ESTUDIO DE CASO 3: Baloto es un juego novedoso de tipo loto en línea, l ínea, de suerte y azar, donde el jugador elige 5 números del 1 al 43 y una súper balota con números del 1 al 16 a través de una terminal de venta. El juego consiste en acertar 5, 4 o 3 números en cualquier orden de una matriz del 1 al 43 y otro número (super balota) del 1 al 16. El jugador señala en un tarjetón los 6 números que escoge. Los números están representados en 43 balotas amarillas numeradas del 1 al 43 y 16 balotas rojas numeradas del 1 al 16. Cada número aparece una sola vez y las
balotas ganadoras se seleccionan sin reemplazo. El premio
acumulado se entrega a quien haga coincidir los seis números. En la tabla aparecen las opciones para ganar
Usando sus conocimientos sobre distribuciones discretas de probabilidad, presente un informe en el que como mínimo m ínimo incluya:
1. Esta situación cumple con los supuestos de la distribución Hipergeométrica. Identifíquelos Cada número aparece una sola vez y las balotas ganadoras se seleccionan sin reemplazo. La distribución Hipergeométrica no requiere independencia y una condición fundamental de la distribución es que el muestreo que se realiza es sin reemplazo. El jugador señala en un tarjetón los 6 números que escoge. Los números están representados en 43 balotas amarillas numeradas del 1 a las 43 y 16 balotas rojas numeradas del 1 al 16. Vemos que existen dos grupos distintos con probabilidad y de escoger. Si suponemos que 6 jugadores de los cuales 2 aciertan a las formas de ganar (se considera un éxito) y el resto que en este caso son 4 (fracaso).
5⁄43 1⁄16
2. Probabilidad de obtener el “Gran acumulado” con los 6 números (5 números del 1 al 43 y la súper balota). El gran acumulado consiste en acertar los 5 números (1 al 43) y una super balota (1 al 16) “Muestras independientes” esta última tiene una probabilidad de 1/16 = 0,0625. Por lo tanto la probabilidad de obtener el gran acumulado es:
)(−) ( = = (− ; =0,1,2,3….. ) N=43 r=5 n=5
)(−) ( = 5 = (−) )() ( = 5 = () 1 = 5 = 962.598 La probabilidad de ganar el acumulado es:
1 1 = 962.598 ∗ 16 1 = 15.401.568 = 0,0000006493 Como se observa es una probabilidad pequeña de acertar.
3. La empresa encargada del sorteo informa que Hasta el sorteo anterior, la posibilidad de “pegarle al gordo” era de
1 en 8 millones, mientras que ahora será de 1 en 15 millones. Explique esta afirmación. La empresa encargada del sorteo está en lo correcto, si observamos la probabilidad anterior (1 en 15.401.568), comparada con la anterior (1 en 8.000.000) lo que indica que la posibilidad de “pegarle al gordo” es más pequeña.
4. El sorteo también otorga otros premios (ver tabla). Presente la probabilidad de obtener los premios que incluyen acertar la súper balota.
La probabilidad de 5 aciertos y acertar a la super balota es: 1 en 15.401.568
La probabilidad de 4 aciertos y acertar a la super balota es:
)(−) ( = 4 = (−) )() ( = 4 = () 190 = 4 = 962.598
95 = 4 = 481.299 95 1 = 481.299 ∗ 16 95 = 7.700.784 = 0,00001233641
La probabilidad de 3 aciertos y acertar a la super balota es:
)(−) ( = 3 = (−) )() ( = 3 = () 7030 = 3 = 962.598 3515 = 3 = 481.299
3515 1 = 481.299 ∗ 16 3515 = 7.700.784 = 0,00045644703
La probabilidad de 2 aciertos y acertar a la super balota es:
)(−) ( = 2 = (−) )() ( = 2 = () 84.360 = 2 = 962.598 14.060 = 2 = 160.433 14.060 1 = 160.433 ∗ 16 3515 = 2.566.928
= 0,00547736438
La probabilidad de 1 aciertos y acertar a la super balota es:
)(−) ( = 1 = (−) )() ( = 1 = () 369.075 = 1 = 962.598 17.575 = 1 = 45.838 17.575 1 = 45.838 ∗ 16 17.575 = 733.408 = 0,00239566517
La probabilidad de 0 aciertos y acertar a la super balota es:
)(−) ( = 0 = (−) )() ( = 0 = () 501942 = 0 = 962.598 11.951 = 0 = 22.919 11.951 1 = 22.919 ∗ 16 11.951 = 366.704 =0,032590
5. Presente la probabilidad de obtener los premios que no incluyen acertar la súper balota. Como la probabilidad de no acertar a la super balota es la probabilidad del complemento:
1 = 15 1 16 = 16 16 16 16
La probabilidad de 5 aciertos y no acertar la super balota es:
1 15 = 962.598 ∗ 16 15 = 15.401.568 5 = 5.133.856 = 0,00000097393
La probabilidad de 4 aciertos y no acertar la super balota es:
95 ∗ 15 = 481.299 16 1.425 = 7.700.784
= 0,00018504609
La probabilidad de 3 aciertos y no acertar a la super balota es:
3515 15 = 481.299 ∗ 16 52.725 = 7.700.784 =0,0068467 6. Con base en los resultados obtenidos, ¿usted invertiría dinero en el BALOTO? Observando los resultados de las posibilidades yo no invertiría d inero ya que la probabilidad de ganar es muy baja.
DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMETRICA Corresponde a variables aleatorias discretas, está asociada generalmente con un proceso de muestreo sin reposición en una población finita. Las características o condiciones que debe reunir una distribución Hipergeométrica, son: a) La información de la muestra se toma sin reposición de una población finita. b) La probabilidad de éxito no es constante, cambia para cada observación. c) El resultado de una prueba es dependiente de la prueba anterior, siempre se verá afectado por el resultado de observaciones previas. d) El tamaño de la muestra (n) debe ser superior en un 5% con respecto al tamaño poblacional N. e) Se relaciona con situaciones que tengan que ver con dos o más resultados f) La distribución es adecuada, cuando el tamaño de la población es pequeña.
Esta última condición limita su aplicación.
)() ( = ()
Su fórmula es: Siendo: N= Tamaño de la población
A= Número de éxito de la población n= Tamaño de la muestra x= Número de éxito de la muestra Es necesario tener en cuenta que x no puede exceder a A ni a n. Recordemos que:
= =
