PROBABILIDAD ACTIVIDAD Nº 4
JORGE ERASMO ALBERTO BRAVO COD. 1121827017 SEBASTIAN TEY MORERA COD. 17420651 LINA MARIA ORREGO NIETO COD. 1121847663 PAOLA JOANA CORREAL ACEVEDO COD. 1019044982
ACTIVIDAD Nº 3
LICENCIADO VLADIMIR GUTIERREZ TUTOR
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA PROGRAMA DE INGENIERIA INDUSTRIAL ACACIAS, META 2011
PROBABILIDAD ACTIVIDAD Nº 4
JORGE ERASMO ALBERTO BRAVO COD. 1121827017 SEBASTIAN TEY MORERA COD. 17420651 LINA MARIA ORREGO NIETO COD. 1121847663 PAOLA JOANA CORREAL ACEVEDO COD. 1019044982
ACTIVIDAD Nº 3
LICENCIADO VLADIMIR GUTIERREZ TUTOR
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA PROGRAMA DE INGENIERIA INDUSTRIAL ACACIAS, META 2011
ACTIVIDAD 4
1. Determine en cada caso si los valores de referencia pueden servir como los valores de una distribución de la probabilidad de alguna variable aleatoria que sólo tome los valores 1, 2 y 3 y explique sus respuestas. A. f (1) = 0, 42; f (2) = 0, 31; f (3) = 0, 37 B. f (1) = 0, 08; f (2) = 0, 12; f (3) = 1, 03 c. F ( 1) = 10; f (2) = 1; f (3) = 12 33 3 33
A, F (1) = 0.42
F (2) = 0.31
F (3) = 0.37
no se pude porque P (▲ ) es igual
b. F (1) = 0.08
F (2) = 0.12
no se puede porque P ( ▲ c. F (1) =
10 33
1
F (2) =
Si porque la P ( ▲
33
>
1
F (3) = 1.03 ) es igual
>
F (3) =
1
12 33
)= 1
2. Determine en cada caso si los valores de referencia pueden servir como los valores de una distribución de la probabilidad de alguna variable aleatoria que sólo tome los valores 1, 2, 3 y 4 y explique sus respuestas. A. f (1) = 0.25; f (2) = 0.75; f (3) = 0.25; f (4) = -0.25 B. f (1) = 0.15; f (2) = 0.27; f (3) = 0.29; f (4) = 0.29 C. f (1) = 1; f (2) = 10 ; f (3) = 2 ; f (4) = 5 19 19 19 19
a. F (1) = 0.25
F (2) =0.75
F (3) = 0.25
F (4) = - 0.25
F (3) = 0.29
F (4) = 0.29
Si porque la P ( ) = 1
b. F (1) = 0.15
F (2) =0.27
Si porque la P (▲) = 1
c. F (1) =
1
F (2) =
19
10
F (3) =
15
2
5
F (4) =
19
19
3. Determine en cada uno de los casos siguientes si pueden servir como la distribución de probabilidad de alguna variable aleatoria. 1 a. F ( x) = ------ para x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 5 X+1 ---------- para x = 1, 2, 3, 4. 14
b. F x
a. F ( x) =
1
para X = 0,1,2,3,4,5
5
Si porque la P (
a. F( x) =
▲) = 1
x + 1
1 5
1
1
1
1
5
5
5
5
5
5
+ + + + =
=
5 5
para x = 1,2,3,4
14 F (1) =
2
F (2) =
14
Cumple porque P (
3
F (3) =
14
)= 1
2 14
+
3 14
+
4 14
4
F (4) =
14
+
5 14
=
14 14
5 14
=1
4. Determine en cada uno de los casos siguientes si pueden servir como la distribución de probabilidad de alguna variable aleatoria.
a.
X-2 f ( x) = ------------ para x = 1, 2, 3, 4, 5 5 X2
b. f(x) = ---------
para x = 0, 1, 2, 3, 4.
30 a.
F (x) =
F (1) =
x − 2
−1
Para X = 1,2,3,4,5
5
0
F (2) =
5
F (3) =
5
1
2
F (4) =
5
F (5) =
5
3 5
−1 0 1 2 3 5 + + + + = =1
Si porque la P ( ▲ ) = 1
5
5
5
5
5
5
2
b.
F(x) =
x
para X = 0,1,2,3,4,5
30 2
F (0) =
0
30
=
0 30
Si porque la P ( ▲
= 0=
F (1)
)= 1
0 30
+
1 30
+
1
=
4 30
+
f ( 2) =
30
9 30
+
10 30
=
30 30
4 30
f ( 3) =
9 30
f ( 4) =
16 30
=1
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL 5. En una ciudad determinada, se dice que los gastos médicos son la razón del 60% de todas las bancarrotas personales. ¿Cuál es la probabilidad de que se mencionen los gastos médicos como el motivo de cuatro de las seis bancarrotas personales próximas que se registren en esa ciudad?
P = 0.60 q = 0.40 P ( x =4) =? P ( x =4) =
P (x = 4) =
P (x = 4) =
6 4
6! ( 6 − 4 )!4¡ 6! 2!*4!
6 * 5 * 4! P (x = 4) = 2!*4!
(0.60)
(0.40)²
⁴
(0.60)
(0.40)²
⁴
(0.60)
(0.40)²
⁴
(0.60)
⁴
(0.40)²
P (x = 4) =
30 2 *1
(0.60)
⁴
(0.40)²
P (x = 4) = (15) (0.1296) (0.16) P (x=4) = 0.3110 * 100 = 31.10%
6. Si la probabilidad de que un juego de tenis entre dos jugadores profesionales llegue a la muerte súbita es 0.15, ¿Cuál es la probabilidad de que dos de tres encuentros entre estos jugadores lleguen a la muerte súbita?
q 0.85
P = 0.15 P(x) =
n
P (x=2) *
x
P (x=2) =
P2
*
P (x=2) =
*
P (x=2) =
*
P (x=2) =
*
P (x=2) =
(0.85) (0.85) (0.85)
(0.0225) (0.85)
P (x=2) = 0.0574 * 100 = 5.74%
7. Se menciona la incompatibilidad como la causa legal de 55% de todos los casos de divorcio registrados en un pueblo determinado. Obtenga la probabilidad de que se mencione la incompatibilidad como la causa de cuatro de los siguientes seis casos de divorcio registrados en ese pueblo.
q 0.45
P = 0.55 P(x) =
n x
6 P(x=4) = 4
P (x=4)
6!
P(x=4) = 2!4!
* (0.0915) (0.2025)
P (x=4) =
* (0.0915) (0.2025)
P (x = 4) =
* (0.0915) (0.2025)
P (x=4) = (15) * (0.0915) (0.2025) P(x=4) = 0.2779 * 100 = 27.79%
8. Si la probabilidad de que una persona que viaja por cierta aerolínea pague una tarifa adicional para ver una película es 0,65. ¿Cuál es la probabilidad de que sólo tres de seis personas que viajan por esta aerolínea paguen una tarifa adicional para ver una película?
P = 0.65
q = 0.35 P (x = 3)
P (x) =
P (x =3) = P (x =3) = P (x =3) =
(0.2746) (0.0429)
P (x =3) = (20) (0.2746) (0.0429) P (x =3) = 0.2356 * 100 = 23.56%
9. Explique en cada caso por qué la ecuación de referencia no puede servir como la ecuación de la densidad de probabilidad de una variable continua que toma valores del intervalo de 1 a 4. 1 a. f ( x) = -----1 para 1 ≤ x ≤ 4. 4 2 b. f ( x) = ------ (4 x – 7) para 1 ≤ x ≤ 4. 15
A.
NO CUMPLE
b.
No cumple la condición
10. Si la ecuación de la densidad de probabilidad de una variable continua que toma valores del intervalo de 2 a 10 es f ( x) = 1/8. Obtenga las probabilidades de que esta variable aleatoria tome un valor: a. Menor que 7 b. Entre 2,4 y 8,8
A.
b.
DISTRIBUCIÓN NORMAL 11. Para cada uno de los casos siguientes, que comprenden áreas bajo la curva normal estándar, decida si la primera área es más grande, la segunda área es más grande o si las dos áreas son iguales. a. El área a la derecha de z = 1,5 o el área a la derecha de z = 2 b. El área a la izquierda de z = -1,5 o a la izquierda de z = -2 c. El área a la derecha de z = 2 o a la izquierda de z = -2 a. El área a la derecha de Z = 1.5 o el área de la derecha de Z = Z
0.4332
Z = 1.5 = 0.4332 0.5 – 0.4332 = 0.0668
1.5 0.4773
Z=2 = 0.4773 0.5 – 0.4773 = 0.0227
2
Rta. El área a la derecha de Z=1.5 b. El área a la izquierda de Z =-1.5 o a la izquierda de Z = -Z 0.4332
Z = -1.5 = 0.4332 0.5 – 0.4332 = 0.0668
0.066 8 -1.5
0.4773
Z = -2 = 0.4773 0.5 – 0.4773 = 0.0227
0.022 7 -2
Rta. El área a la izquierda de Z=-1.5
c. El área a la derecha de Z =2 o a la izquierda de Z = -2 0.4773
Z=2 = 0.4773 0.5 – 0.4773 = 0.0227
0.0227 2
Z = -2 = 0.4773 0.5 – 0.4773 = 0.0227
0.4773 0.0227 -2
Rta. El área de las 2 es igual
12. Encuentre el área bajo la curva normal estándar que cae: a. Entre z = 0 y z = 0,87 b. Entre z = -1,66 y z = 0 c. A la derecha de z = 0,48 d. A la derecha de z = - 0,27 e. A la izquierda de z = 1.3 f. A la izquierda de z = -0,79
a) Entre Z = 0 y Z = 0.87 0.3079
0
b)
Rta. 0.3079
0.87
Entre Z = -1.66 y Z= 0
0.4515
Z = -1.66 0.4515
=
-1.66 c) A la derecha de Z = 0.48 0.1844
Z = 0.48 = 0.1844 0.5 – 0.1844 = 0.3156
0.3156 0.48
d) A la derecha de Z = -0.27
0.106
Z = 0.27 = 0.1064 0.5 + 0.1064 = 0.6064
-0.27
e) A la izquierda de Z = 1.3
0.4032
Z = 1.3 = 0.4032 0.5 + 0.4032 = 0.9032
1.3 f) A la izquierda de Z = -0.79
Z = -0.79 0.2852
0.2852
=
-0.79
13. Encuentre el área bajo la curva normal estándar que cae: a. Entre z = 0.55 y z = 1.12 b. Entre z = -1.75 y z = -1.05 c. Entre z = -1.95 y z = 0.44 a) Entre Z = 0.55 y Z = 1.12
0.1598
0.55
b)
Z = 0.55 = 0.2088 Z= 1.12 = 0.3686 0.3686 - 0.2088 = 0.1598
1.12
Entre Z = -1.75 y Z = -1.05
Z = -1.05 = 0.3531 Z= -1.75 = 0.4599 0.4599 - 0.3531 = 0.1068
0.1068
-1.75
c) Entre
-1.05
Z = -1.95 y
Z 0.44
0.6444
Z = -1.95 = 0.4744 Z= 0.44 = 0.1700 0.4744 - 0.1700= 0.6444
-1.95
14. Para cada uno de los casos siguientes, que comprenden variables aleatorias con distribuciones normales, decida si la primera probabilidad es mayor, la segunda probabilidad es mayor o las dos probabilidades son iguales. a. Para una variable aleatoria con una distribución normal con μ = 100 y _ = 20, la probabilidad de un valor mayor que 140 o la probabilidad de un valor mayor que 130. b. Para una variable aleatoria con una distribución normal con μ = 80 y _ = 20, la probabilidad de un valor mayor que 100 o la probabilidad de un valor menor que 70. c. Para una variable aleatoria con una distribución normal con μ = 60 y _ = 12, la probabilidad de un valor entre 48 y 72 o la probabilidad de un valor entre 60 y 84. d. Para una variable aleatoria con una distribución normal con μ = 200 y _ = 40, la probabilidad de un valor mayor que 250 o la probabilidad de un valor menor que 140. Z=
Z2= a. Z2=
Z=2 Z= 1.5
=2 =
= 0.4777 = 0.4332
= 1.5
Rta. Es mayor la probabilidad de un valor mayor que 140 b.Z = 1
Z = Z =
= 0.3413 0,5 – 0,3413 = 0,158
=1
Z= -0,5 = 0.19 0,5 – 0,1915 = 0,3
= -0.5
0,1587
100 80
0,1 Rta.: Es mayor la probabilidad 06 un valor menor de 7 b.
0,30854
70
80
-0,5
0
c.
Z= Z=
= -1
Z=
=1
0,3413
= 0,3413
= 0,3413
0,3413
48
60
-1
1
0,3413 + 0,3413 = 0,6826
Z=
=
=0
Z=
=
=2
=0 = 0,4773
60 0 0 + 0, 4773 = 0,4773 Rta. : Es mayor a la probabilidad de un valor entre 48 y 72 (0,6826)
d.
Z=
Z=
=
N = 200 250)
P (X >
O = 40
P X
= 1,250
= 0,3944
0,5 – 0,3944 = 0,1056
0,1056
200
250
<
0 Z=
=
= -1,5
= 0,4332
0,5 – 0,4332 = 0,0668
0,0668
-1,5
15. Si una variable aleatoria tiene la distribución normal con μ = 80 y _ = 4.8, encuentre las probabilidades de que tome un valor: a. Menor que 87.2 b. Mayor que 76.4 c. Entre 81.2 y 86.0 d. Entre 71.6 y 88.4a. A.
0
Z = 15 Luego
b. Mayor que 76,4
76,4
c. N = 80
O = 4,8 P (81,2 < X < 86) = 2
Z=
=0,25
Z=
= 0,0987
=1,25
Z=
= 0,3944
0,2957
80 0
81,2
8,6
0,2957
1,25
Rta. La P (entre 81,2 y 86) = 0,2957
d.
N = 80
O = 4,8
P (entre 71,6 y 88,4) =?
Z=
Z= Z=
= - 1,75
= 0,4595
= 1,75
= 0,4595
71,6
80
1,75
0
0,4599 + 0,4599 = 0,9198 Rta.: La probabilidad entre 71,6 y 88,4 es 0,9198
