t1 Taller Probabilidad (2)

INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA “ANTONIO JOSÉ CAMACHO” TALLER PRIMER ENCUENTRO ESTADÍSTICA APLICADA A LA SALUD OCUPACIONAL OCUPACIONAL I TALLER Conceptos básicos de pob!bi"id!d E#pei$ento !"e!toio% Antes de su realización, conoceos de anteano todos sus !osi"les resultados, !ero no el resultado concreto #ue $aos a o"tener, aun#ue se o"ser$an re%ularidades al re!etir $arias $eces el e&!eriento' Esp!cio $&est!" 'S(( El con)unto de todos los !osi"les resultados de un e&!eriento aleatorio, noralente se re!resenta !or S' Por e)e!lo, si lanzaos una oneda nuestro es!acio uestral tiene * eleentos + coincide con S -c, s. donde ccara + s sello' E)ento( Es un su"con)unto del es!acio uestral S' Esto i!lica #ue S ta"i/n es un e$ento as0 coo lo es el con)unto $ac0o' Cual#uier resultado indi$idual ta"i/n !uede considerarse coo un e$ento' Se dice #ue dos e$entos A + 1, son utuaente e&clu+entes si no !ueden ocurrir )untos2 es decir, la intersección de A + 1 es el con)unto $ac0o' En*o+&es de pob!bi"id!d Clásica: La !ro"a"ilidad cl3sica es a#uella #ue se toa de anera o")eti$a, !uesto #ue se conoce el n4ero e&acto de o!ciones a ocurrir + !resenta un resultado e&acto + #ue !uede considerarse a !riori' - Probabilidad a Priori ' La !ro"a"ilidad de un e$ento A, P5A6, es la edida del c7ance de #ue ese e$ento ocurra' En este caso los resultados del e&!eriento son i%ualente !ro"a"les' Este /todo 8ue desarrollado !or La!lace' 9 de aneras #ue A !uede ocurrir  P5A6  ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 9 total de resultados !osi"les Ejemplo.

Se lanzan dos onedas al aire, ;cu3l es la !ro"a"ilidad de #ue a"as sean cara 5C6< S  -CC, CS, SC, SS. A  -CC. P 5CC6  = Probabilidad a posteriori  posteriori ' En el caso #ue los e$entos no !oseen i%ual !osi"ilidad de ,ec&e ,ec&enti ntist! st! o Probabilidad ocurrencia, el !ro"lea de asi%nar las !ro"a"ilidades ocurre a !osteriori' El conce!to de !ro"a"ilidad a !osteriori lo desarrolla Ric7ard >on Mises + se conoce ta"i/n coo de 8recuencia relati$a + es a!ro!iado cuando se tienen los datos !ara estiar la !ro!orción del tie!o #ue ocurrir3 el e$ento en el e&!eriento si el e&!eriento se re!ite un n4ero %rande de $eces + cu+os resultados no son e&actos' Frecuencia Frecuencia relativa( Su!on%aos #ue re!etios n $eces un e&!eriento, + sean A + 1 dos e$entos asociados con el e&!eriento' Sean n A + n1 el n4ero de $eces #ue el e$ento A + el 1 5res!ecti$aente6 ocurrieron en las n re!eticiones' Entonces, de8inios 8  A  A  n A ? n coo la 8recuencia relati$a del e$ento A en las n re!eticiones del e&!eriento' La 8recuencia relati$a 8  A  A tiene las si%uientes !ro!iedades( - @  8  A  B' - 8  A  B si + sólo si A ocurre cada $ez en las n re!eticiones' - 8  A  @ si + sólo si A nunca ocurre en las n re!eticiones' - Si A + 1 son dos e$entos utuaente e&clu+entes 5o sea con 8recuencia con)unta @6, + si 85A U 16 es la 8recuencia relati$a asociada al e$ento A U 1, entonces 85A U 16  8  A  A  8 1' - 8  A, "asada en la n re!eticiones del e&!eriento + considerada !ara una 8unción de n, con$er%e en cierto sentido !ro"a"il0stico a P5A6 cuando n::F' 5Esto no es lo iso #ue el conce!to corriente de con$er%encia #ue se encuentra en otra !arte en ate3ticas' En realidad, /sta no es una conclusión ate3tica, sino si!leente un 7ec7o e!0rico'6 Lo i!ortante de esta !ro!iedad es #ue si un

e&!eriento se realiza un %ran n4ero de $eces, la 8recuencia relati$a con #ue ocurre un e$ento A tiende a $ariar cada $ez enos a edida #ue el n4ero de re!eticiones auenta' S&b-eti)!% esta !ro"a"ilidad ocurre cuando no e&isten 8recuencias ni sa"eos el n4ero de o!ciones a ocurrir, !or lo tanto es asi%nada de 8ora su")eti$a !or e&!ertos en el 3rea es!ec08ica'

A#io$!s de pob!bi"id!d% Sea E un e&!eriento + S un es!acio uestral asociado con E' Con cada e$ento  A asociaos un n4ero real, desi%nado con P5A6 + llaado !ro"a"ilidad de A, el cual satis8ace las si%uientes !ro!iedades( - @  P5A6 B - P5S6  B - Si A + 1 son dos e$entos utuaente e&clu+entes, P5A U 16  P5A6  P516 - Si AC es el e$ento co!leentario de A, entonces P5A6  B : P5A C6 - Si A + 1 son dos e$entos cuales#uiera, entonces P5A U 16  P5A6  P516 : P5A G 16 A ( Partición - Si S   Ai entonces P5S6  P5Ai6 Ejemplos

B' Una e!resa necesita a!ortes de sus socios !ara dos !ro+ectos' La !ro"a"ilidad de #ue los socios a!orten al !ro+ecto A es del H@, de #ue a!orten al !ro+ecto 1 es del J@ + de #ue a!orten en a"os es del K ;u/ !ro"a"ilidad 7a+ de #ue a!orten al enos en un !ro+ecto< Solución

 Al enos a B ser0a al !ro+ecto A o al !ro+ecto 1 o a a"os, esto se de8ine coo la unión de dos con)untos P5A U 16  P5A6  P 516  P5A  16  @'H  @'J : @'@K  @'K*

.RO/A/ILI0A0 MAR1INAL 2 CONJUNTA Una anera, u+ usada en la !r3ctica, !ara denoinar la !ro"a"ilidad de un e$ento si!le en un es!acio uestral es coo pob!bi"id!d si$p"e o $!3in!" , la cual 7ace re8erencia a la !ro"a"ilidad de un e$ento si!le, + se denota con P5A6, siendo A el e$ento si!le en cuestión' El no"re de !ro"a"ilidad ar%inal se de"e a #ue esta edida se !uede o"tener a !artir de los totales ar%inales de una ta"la de contin%encia' Ejemplo

Si en un estudio se 7ace una encuesta a K@@ alunos de una uni$ersidad so"re el %rado de satis8acción con la carrera + el %rado de satis8acción con el !ro%reso en la isa' Los resultados de la encuesta se uestran en la si%uiente ta"la' Satis8ec7o en la carrera Si No Total

Si HJ* BK HK@

Satis8ec7o en su !ro%reso No H@ @ *@

Total B* KK K@@

La !ro"a"ilidad de #ue un aluno se encuentre satis8ec7o con la carrera, es decir, la !ro"a"ilidad de #ue ocurra el e$ento A  Qsatis8ec7o con la carrera ele%ida ser3 i%ual al n4ero de alunos #ue est3n satis8ec7os 5B*6 di$ido !or el n4ero de total de alunos encuestados 5K@@6, es decir, P5A6  B*?K@@  @'K' Esta es una !ro"a"ilidad ar%inal' La denoinación de pob!bi"id!d con-&nt! se utiliza !ara re8erirse a la !ro"a"ilidad de ocurrencia de dos o 3s e$entos si!les siult3neaente' Por e)e!lo, si se usa los datos del e)e!lo, la !ro"a"ilidad de #ue ocurran siult3neaente los si%uientes e$entos si!les A  Qel aluno est3 satis8ec7o con su carrera + 1  Qel aluno est3 satis8ec7o con su a$ance en la carrera se calcula coo el n4ero de alunos #ue se

encuentran satis8ec7os tanto con la carrera coo con sus a$ances en la isa 5HJ*, #ue es donde se cruzan las dos o!ciones re#ueridas6 di$ido !or el n4ero total de alunos encuestados 5K@@6, + se denota con P5A + 16 o con P5 A G 1 6 !uesto #ue es una intersección + en esta caso es i%ual a HJ*?K@@  @'*' Observaciones:

B' Las de8iniciones dadas 7asta a7ora, son a!lica"les a situaciones donde el es!acio uestral S se considera 8orado !or n !untos' Por e)e!lo, en la encuesta de alunos n K@@' Cada uno de estos !untos 5e!leados6 tiene !ro"a"ilidad B?n B?K@@ de ser ele%ido al azar' *' Si el es!acio uestral es !articionado en r e$entos, A B, A*,, Ar , #ue de8inen una caracter0stica coo !or  e)e!lo QSatis8acción con la carrera2 + si en este iso es!acio se considera otra !artición %enerada !or s e$entos 1B, 1*,, 1s, #ue de8inen otra caracter0stica coo ser QSatis8acción con su !ro%reso en la carrera, entonces el es!acio uestral S #ueda !articionado en r s su"con)untos' En el e)e!lo de la encuesta, r  s  *, + donde AB  QSi est3 satis8ec7o con la carrera, A * QNo est3 satis8ec7o con la carrera, 1 B QSi est3 satis8ec7o con su !ro%reso + 1 * QNo est3 satis8ec7o con su !ro%reso, lue%o el es!acio uestral #ueda di$idido en  su"con)untos a sa"er A BG1B, A*G1B, ABG1*, A*G1*, + sus res!ecti$as !ro"a"ilidades PA iG1 )V  PAi + 1 )V, son las +a de8inidas !ro"a"ilidades con)untas, ientras #ue las !ro"a"ilidades de los e$entos deterinados !or  cada !artición, es decir, PA iV + P1 )V son las !ro"a"ilidades ar%inales corres!ondientes a la !riera + se%unda !artición res!ecti$aente' H' Si dos e$entos no tienen !untos counes, es decir, ellos no !ueden ocurrir siult3neaente 5no se cruzan6, entonces, se dice #ue son utuaente e&clu+entes' Por otra !arte, un con)unto de e$entos se dice #ue son colecti$aente e&7austi$os, si uno de ellos de"e ocurrir necesariaente' Por e)e!lo, A B + A * son utuaente e&clu+entes + colecti$aente e&7austi$os, ;Por #u/< Por#ue son co!leentos ;Lo son ta"i/n AB + 1*< ' A !artir de la de8inición de !ro"a"ilidad con)unta, + considerando #ue el n4ero de alunos #ue !resentan la caracter0stica A B Qest3n satis8ec7os con la carrera se o"tiene suando el n4ero de alunos #ue !ertenecen al e$ento 5ABG1B6 + al e$ento 5A BG1*6, entonces se $eri8ica #ue( PA BV  PABG1BV  PABG1*V' ' En %eneral si 1 B, 1*,, 1W son e$entos utuaente e&clu+entes + colecti$aente e&7austi$os + A es cual#uier e$ento de8inido en el iso es!acio uestral, se $eri8ica #ue( P5A6  PAG1BV  PAG1*V    PAG1 WV

.RO/A/ILI0A0 CON0ICIONAL E IN0E.EN0ENCIA El conce!to de Pro"a"ilidad Condicional sur%e cuando se #uiere o"tener la !ro"a"ilidad de un e$ento A, + se tiene conociiento #ue +a ocurrió otro e$ento 1 relacionado al !riero + se denota con PAX1V la cual se lee coo Q!ro"a"ilidad de A dado 1, o ta"i/n coo Qla ocurrencia de A de los #ue son de 1' Una !re%unta #ue !odr0a 7acerse el lector es so"re la necesidad de introducir este conce!to' Para o"tener una res!uesta a este interro%ante, al enos intuiti$aente, su!on%aos se #uiere conocer la !ro"a"ilidad del e$ento A  Qllo$er3 + se sa"e #ue se !resentó el e$ento 1  Qest3 nu"lado' Intuiti$aente se !erci"e #ue la PAV auentar3 si se sa"e #ue ocurrió 1 +a #ue a"os e$entos est3n relacionados' Ejemplo

 Antes de dar la de8inición de !ro"a"ilidad condicional consid/rese los datos de la encuesta a los K@@ estudiantes + si%uiendo la notación dada, se #uiere calcular Pest3 satis8ec7o con la carrera ? est3 satis8ec7o con su !ro%reso en la isaV  PA?1V' El n4ero de estudiantes satis8ec7os con la carrera dentro de los HK@ estudiantes no satis8ec7os con su !ro%reso es HJ*, entonces se $eri8ica #ue PA?1V  HJ*?HK@  @'*J, o sea, #ue de los #ue est3n satis8ec7os con el !ro%reso de la carrera, #u/ !orcenta)e o cu3l es la !ro"a"ilidad de #ue est/n satis8ec7os con la carrera' Tres cosas de"e o"ser$arse en esta i%ualdad( 5a6 Si no se dis!one de la in8oración so"re 1Y, entonces PAV B*?K@@  @'K es decir, la !ro"a"ilidad de A sin el conociiento de #ue ocurrió 1 es enor #ue PA?1V'

5"6 El nuerador 5HJ*6 es el n4ero de estudiantes #ue est3n satis8ec7os con la carrera + est3n satis8ec7os con su !ro%reso en la isa, es decir !ertenecen al e$ento con)unto QA + 1 5la intersección6' 5c6 El denoinador 5HK@6 es el n4ero de e!leados #ue !ertenecen al e$ento Q1, esto e#ui$ale a considerar  un nue$o es!acio uestral donde el n4ero de !untos se redu)o de K@@ a K@, el total de los #ue est3n satis8ec7os con el !ro%reso' 5d6 Si se di$ide nuerador + denoinador de la i%ualdad !or K@@, es decir, el n4ero total de estudiantes, se tiene #ue P[A/B]

362/800 

380/800



0.9526

Z entonces se de"e o"ser$ar #ue el nuerador es la PA + 1V PAG1V + el denoinador es P1V'  A !artir de esta 4ltia o"ser$ación sur%e naturalente la de8inición 8oral del conce!to de Pro"a"ilidad Condicional !ara dos e$entos cuales#uiera A + 1, coo( P[A/B]

P[A y B] 

P[B]

P[A  B) 

P[B]

La co!aración de los $alores o"tenidos de PA?1V con PAV en el e)e!lo re$ela cierta in8oración i!ortante( el conociiento del !ro%reso en la carrera a8ecta la !redicción de la satis8acción con la carrera ele%ida' Por lo tanto, desde una !ers!ecti$a estad0stica se !uede esta"lecer #ue estos e$entos est3n asociados de al%una anera' Esto lle$a a de8inir uno de los conce!tos 3s i!ortantes de la estad0stica + #ue es el conce!to de Independenci! Est!d4stic! de la si%uiente anera( Dos e$entos A + 1 se dice #ue son inde!endientes estad0sticaente si PA?1VPAV o P1?AVP1V o PAG1VPAVP1V Es decir #ue el conociiento de la ocurrencia de 1 no a8ecta a la PAV'

TALLER A contin&!ci5n se pesent!n tes e-ecicios "os c&!"es deben eso")ese 6 en)i!se pe)i!$ente en "! p"!t!*o$! en .0,7 se38n "o indic!do en "! !3end! p!! e" pi$e enc&ento9 E-ecicio :; Considere e&!eriento de lanzar un dado no alterado en una ocasión, !ara este caso( B' *' H' ' '

Descri"a el es!acio uestral asociado a este e&!erientó' Calcule la !ro"a"ilidad del e$ento( o"tener el n4ero  en el lanzaiento' Calcule la !ro"a"ilidad del e$ento( o"tener un n4ero !ar en el lanzaiento' Calcule la !ro"a"ilidad del e$ento( o"tener un n4ero enor #ue cinco en el lanzaiento' Indi#ue si la si%uiente a8iración es 8alsa o $erdadera( Los e$entos si!les de este e&!eriento son inde!endientes' 5 6 J' Prue"e #ue la sua de los e$entos e&clu+entes #ue co!onen el es!acio uestral da coo resultadoB'

E-ecicio :< Coo!er Realt+ es una e!resa !e#ue[a de "ienes ra0ces #ue se es!ecializa en inue"les 7a"itacionales' Recienteente les 7a interesado deterinar la !osi"ilidad de #ue una de sus !ro!iedades se $enda dentro de cierto tie!o' Un an3lisis de las $entas de K@@ casas, e8ectuada !or esa e!resa en a[os !asados, arro)ó los datos si%uientes( D0as 7asta la $enta Menos de De HB a Mas de H@ @ @

O8erta inicial

Menos de @ illones De @ a B@@ illones De B@@ a B@ illones M3s de B@ illones Total

Total

@

@

B@

B@@

*@

B@

K@

*@

*@

*K@

B@@

@@

B@

H@

B@

@

B@@

@@

*@@

K@@

' Estie la !ro"a"ilidad de #ue una casa se $ende en 3s de @ d0as' K' Deterine la !ro"a"ilidad de #ue una casa se $enda en 3s de @ d0as + cueste 3s de B@ illones' ' Su!oniendo #ue se aca"a de 8irar un contrato !ara anunciar una casa cu+o !recio inicial es enor de @ illones, ;Cu3l es la !ro"a"ilidad de #ue Coo!er Realt+ tarde 3s de @ d0as en $enderla< 5!ro"a"ilidad condicional6 B@ Su!oniendo #ue Coo!er Realt+ tardó de HB a @ d0as en $ender una casa, ;Cu3l es la !ro"a"ilidad de #ue cu+o !recio inicial sea entre B@@ + B@ illones< 5!ro"a"ilidad condicional6

E-ecicio := BB' Una ca)a contiene oc7o art0culos en "uen estado + tres de8ectuosos, se e&traen dos de ellos de anera consecuti$a, calcule La !ro"a"ilidad de #ue los dos art0culos sean de8ectuosos

E-ecicio :> 'distib&ci5n de pob!bi"id!d bino$i!"( Considere el caso de un )u%ador de "aloncesto con una e8ecti$idad de encestar del J@ en dis!aros desde la l0nea de tiros li"res' Si en un !artido le dan la o!ortunidad de co"rar una 8alta t/cnica + realizar cinco lanzaientos se%uidos desde la l0nea de tiros li"res' B*' ;Cu3l es la !ro"a"ilidad #ue acierte e&actaente en tres de los lanzaientos< BH' ;cu3l es la !ro"a"ilidad #ue acierte en 3&io un lanzaiento<