CUADERNILLO DE TRABAJO 3 DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA CAPÍTULO IV.- VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD SECCIÓN 4.1.- DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Y FUNCIONES DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD. 1.- Si f ( x) e x para x 0 . Determinar las siguientes probabilidades: a) P(1 < X); b) P(1 < X < 2.5 ); c) P( X = 3 ); d) P(X < 4 ); e) P( 3 X ) Solución: a) 0.3679; b) 0.2858; c) 0; d) 0.9817; e) 0.05 2.- Si f ( x) e x para x 0 .
a) Determinar el valor de x si P( x X ) = 0.1 b) Determinar el valor de x si P( X x ) = 0.1 3.- Si f x 1.5 x 2 para 1 x 1 . Determinar las siguientes probabilidades: a) P( 0 X ); b) P( 0.5 < X ); c) P( 0.5 X 0.5 ); d) P( X < -2 ); e) P( X < 0 o X > 0.5 ); f) Determinar x tal que P( x X ) = 0.05 4.- La función de densidad de probabilidad del peso neto en libras de un herbicida químico empacado es: f ( x ) 2 para 49.75 < x 50.25 . a) Determinar la probabilidad de que un paquete pese más de 50 libras. b) ¿Cuánto herbicida contiene el 90 % de los paquetes? Solución: a) 0.5; b) 50.2 libras.
SECCIÓN 4.2.- FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA. 5.- Si f ( x ) 1.25 para 74.6 x 75.4 mm, determinar la función de distribución acumulada y usarla para determinar la probabilidad de que una longitud exceda 75 mm. Solución:
0
F (x )
si x 74.6
1.25 x 93.25 1
si 74.6 x 75.4
si x 75.4
P( X 75 ) = 0.5
1
6.- Determinar la función de densidad de probabilidad para la siguiente función de distribución acumulada:
1
si x 2 si 2 x 1 si 1 x 1.5 si 1.5 x
0 0.25 0.5 0
si x 2 si 2 x 1 si 1 x 1.5 si 1.5 x
0
F (x )
0.25 x 0.5 0.5 x 0.25
Solución:
f (x)
7.- La anchura del entrehierro es una propiedad importante en una cabeza de grabación magnética. En unidades codificadas, si la anchura es una variable aleatoria continua en el rango de 0 x 2 con f ( x) 0.5 x , determinar la función de distribución acumulada de la anchura del entrehierro. Solución:
F (x )
0 0.25 x 2 1
si x 0 si 0 x 2 si x 2
8.- Si la función de distribución acumulada de la variable aleatoria X es:
F (x )
0 0.2 x 1
si x 0 si 0 x 5 si 5 x
Determinar: a) P( X 2.8) ; b) P( X 1.5) ; c) P( X 2) ; d) P( X 6) .
2
Solución: a) 0.56; b) 0.7; c) 0; d) 1.
SECCIÓN 4.3.- MEDIA Y VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA. 9.- Si f ( x) 0.25 para 0 x 4 , calcular la media y la varianza de x . Solución: 2 ; V ( X ) 1.333 10.- Si f ( x ) 1.5 x 2 para 1 x 1 . Determinar la media y la varianza de x . Solución: 0 y 2 V ( X ) 0.6 11.- El espesor de un recubrimiento conductor en micrones (milésimas de milímetro) tiene una función de densidad de probabilidad 600 x 2 para 100 x 120 , con x en micrones. a) Determinar la media y la varianza del espesor del recubrimiento. b) Si el costo del recubrimiento es de $ 0.50 por micrón de espesor en cada pieza, ¿cuál es el costo promedio del recubrimiento por pieza? Solución: a) 109.393 micrones y V ( X ) 33.186 micrones cuadrados; b) $54.6965
SECCIÓN 4.4.- DISTRIBUCIÓN CONTINUA UNIFORME. 12.- Si X tiene una distribución continua uniforme en el intervalo [1.5, 5.5]. a) Determinar la media, la varianza y la desviación estándar de X . b) Calcular P( X 2.5) . Solución: a) 3.5 y V ( X ) 1.333 ; b) 1. 13.- La distribución para el peso neto en libras de un herbicida químico empacado es uniforme para 49.75 x 50.25 . a) Determinar la media y la varianza del peso de los paquetes; b) Determinar la función de distribución acumulada del peso de los paquetes; c) Calcular P( X 50.1) . Solución: a) 50 libras y 0.020833 libras cuadradas. b) 0 si 49.75 x
F (x )
x 49.75 0.5 1
si 49.75 x 50.25 si x 50.25
c) 0.7
3
14.- El espesor del recubrimiento fotoprotector aplicado a las obleas en la fabricación de semiconductores en un sitio particular de la oblea, tiene una distribución uniforme entre 0.2050 y 0.2150 micrones (millonésimas de metro). a) Determinar la función de distribución acumulada del espesor del recubrimiento. b) Determinar la proporción de obleas cuyo espesor del recubrimiento excede 0.2125 micrones. c) ¿Qué espesor exceden 10 % de las obleas? d) Determinar la media y la varianza del espesor del recubrimiento fotoprotector. Solución: a) 0
F (x )
x 0.205 0.01 1
si x 0.205 si 0.205 x 0.215 si x 0.215
b) 0.25 ; c) 0.214 ; d) 0.21 y V ( X ) 8.333 10 6
SECCIÓN 4.5.- DISTRIBUCIÓN NORMAL. 15.- El tiempo de reacción de un conductor a un estímulo visual tiene una distribución normal con una media de 0.4 segundos y una desviación estándar de 0.05 segundos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una reacción requiera más de 0.5 segundos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que una reacción requiera entre 0.4 y 0.5 segundos? c) ¿Cuál es el tiempo de reacción que se excede 90 % de las veces? Solución: a) 0.02275; b) 0.47725; c) 0.336 16.- La longitud de un estuche de plástico moldeado por inyección para almacenar cinta magnética tiene una distribución normal con una longitud media de 90.0 mm y una desviación estándar de 0.1 mm. Si se miden 10 estuches y se supone que éstos son independientes. ¿Cuál es la probabilidad de que los 10 estuches midan entre 89.7 y 90.3 mm? Solución: 0.9733 17.- La vida de un láser semiconductor con una alimentación de energía constante tiene una distribución normal con una media de 7000 horas y una desviación estándar de 600 horas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un láser falle antes de 5000 horas? b) ¿Cuál es la vida en horas que exceden el 95 % de los láser? c) Si se usan tres láser en un producto y se supone que fallan de manera independiente, ¿cuál es la probabilidad de que los tres sigan funcionando después de 7000 horas? Solución: a) 0.000434; b) 6016 horas; c) 0.125 18.- El peso de un zapato especializado para correr, tiene una distribución normal con una media de 12 onzas y una desviación estándar de 0.5 onzas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un zapato pese más de 13 onzas?
4
b) ¿Cuál debe ser la desviación estándar del peso para que el fabricante anuncie que 99.9 % de sus zapatos pesan menos de 13 onzas? Solución: a) 0.02275; b) 0.3226 onzas SECCIÓN 4.6.- GRÁFICAS DE PROBABILIDAD. 19.- Se seleccionan muestras de 20 piezas de dos máquinas, y se mide una dimensión crítica en cada pieza, obteniéndose los datos siguientes. Calcular los correspondientes valores normales estandarizados y graficarlos. ¿ La distribución de cada máquina puede considerarse normal? MÁQUINA 1: 99.4 99.1 99.0 98.9 99.6
101.5 103.8 99.6 99.4 104.6
102.3 100.4 102.5 99.7 101.6
96.7 100.9 96.5 103.1 96.8
MÁQUINA 2: 90.9 99.6 105.9 91.2 92.8
100.7 105.5 104.0 96.5 106.7
95.0 92.3 109.5 96.2 97.6
98.8 115.5 87.1 109.8 106.5
20.- Se prueba la vida de un componente electrónico bajo condiciones de alta temperatura para acelerar el proceso de falla. El tiempo de falla, en horas, para 20 componentes seleccionados al azar se presentan a continuación. Graficar los datos estandarizados y determinar si tienen una distribución normal. 176.1 150.4 79.6 197.6
35.3 55.0 24.7 73.0
124.5 34.9 155.7 122.8
90.6 46.0 42.2 133.8
99.6 40.4 131.5 40.4
SECCIÓN 4.7.- DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL. 21.- Si los conteos registrados por un contador Geiger siguen un proceso de Poisson con un promedio de dos conteos por minuto. a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya conteos en un intervalo de 30 segundos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer conteo ocurra en menos de 10 segundos? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer conteo ocurra entre 1 y 2 minutos después de encender el contador? Solución: a) 0.3679; b) 0.2835; c) 0.117
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22.- El tiempo entre las llamadas telefónicas a una ferretería tiene una distribución exponencial con un tiempo promedio entre las llamadas de 15 minutos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya llamadas en un intervalo de 30 minutos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya al menos una llamada en un intervalo de 10 minutos? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera llamada se realice dentro de los 5 y 10 minutos después de abrir? d) Determinar la longitud de un intervalo de tiempo tal que la probabilidad de que haya al menos una llamada en el intervalo sea de 0.90 . Solución: a) 0.1353; b) 0.5134; c) 0.2031; d) 34.539 segundos. 23.- El tiempo para que pase un taxi desocupado por un crucero muy transitado tiene una distribución exponencial con una media de 10 minutos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona tenga que esperar más de una hora por un taxi? b) Suponer que una persona ya ha esperado una hora por un taxi, ¿cuál es la probabilidad de que pase uno en los próximos 10 minutos? c) Determinar x tal que la probabilidad de que una persona aguarde más de x minutos sea 0.10 d) Determinar x tal que la probabilidad de que una persona aguarde menos de x minutos sea 0.90 e) Determinar x tal que la probabilidad de que una persona aguarde menos de x minutos sea 0.50 Solución: a) 0.002479; b) 0.3679; c) 23.026 minutos; d) 23.026 minutos; e) 6.9315 minutos. 24.- La distancia entre las grietas grandes en una carretera sigue una distribución exponencial con una media de 5 millas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya grietas grandes en un tramo de 10 millas de la carretera? b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya dos grietas grandes en un tramo de 10 millas de la carretera? c) ¿Cuál es la desviación estándar de la distancia entre las grietas grandes? d) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera grieta grande se presente entre 12 y 15 millas después del inicio de la inspección? e) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya grietas grandes en dos tramos separados, cada uno de 5 millas, de la carretera? f) Dado que no hay grietas grandes en las primeras 5 millas inspeccionadas, ¿cuál es la probabilidad de que no haya grietas grandes en las siguientes 10 millas inspeccionadas? Solución: a) 0.1353; b) 0.8647; c) 5 millas; d) 0.0409; e) 0.1353; f) 0.1353
4.8.- DISTRIBUCIONES ERLANG Y GAMMA. 25.- Se estudia la contaminación de una materia prima . Suponer que el número de partículas de contaminación por libra de material es una variable aleatoria de Poisson con una media de 0.01 partículas por libra. a) ¿Cuál es el número esperado de libras necesarias de materia prima para obtener 15 partículas de contaminación?
6
b) ¿Cuál es la desviación estándar de las libras necesarias de materia prima para obtener 15 partículas de contaminación? Solución: a) 1500 libras; b) 387.298 libras. 26.- El tiempo entre los problemas de procesamiento en una línea de producción tiene una distribución exponencial con una media de 30 días. a) ¿Cuál es el tiempo esperado hasta el cuarto problema? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo hasta el cuarto problema exceda 120 días? Solución: a) 120 días; b) 0.4335 27.- En un sistema de comunicación da datos, varios mensajes que llegan a un nodo se agrupan en un paquete antes de transmitirse en la red. Suponer que los mensajes que llegan al nodo siguen un proceso de Poisson con 30 mensajes / minuto. Se usan 5 mensajes para formar un paquete. a) ¿Cuál es el tiempo promedio hasta que se forme un paquete, es decir, hasta que llegan 5 mensajes al nodo? b) ¿Cuál es la desviación estándar del tiempo hasta que se forme un paquete? c) ¿Cuál es la probabilidad de que se forme un paquete en menos de 10 segundos? d) ¿Cuál es la probabilidad de que se forme paquete en menos de 5 segundos? Solución: a) 10 segundos; b) 4.472 segundos; c) 0.5595; d) 0.1088
4.9.- DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL. 28.- Suponer que X tiene una distribución de Weibull con 0.2 y Determinar la media y la varianza de X.
100
horas.
Solución: 12,000; 2 3.6144 1010 29.- Si la vida de un rodamiento de rodillos sigue una distribución de Weibull con parámetros 2 y 10,000 horas. a) Determinar la probabilidad de que un rodamiento dure al menos 8,000 horas. b) Determinar el tiempo promedio hasta la falla de un rodamiento. c) Si están en uso 10 rodamientos y las fallas ocurren de manera independiente, ¿cuál es la probabilidad de que los 10 rodamientos duren al menos 8,000 horas? Solución: a) 0.5273; b) 2,000 horas; c) 0.001662 30.- La vida de una bomba de recirculación sigue una distribución de Weibull con parámetros 0.2 y 700 horas. a) Determinar la vida media de una bomba. b) Determinar la varianza de la vida de una bomba. c) ¿Cuál es la probabilidad de que una bomba dure más que su media? Solución: a) 84,000 horas; b) 1.771 1012 horas 2 ; c) 0.9261
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