struktur aljabar

Soal-Soal Struktur Aljabar dan Penyelesaiannya

Kata Kunci: Aljabar, Ring, Ideal, Daerah Integral, Ring Polinomial

Wijna © 2009

Pembuka Tak kenal maka tak sayang. Mungkin itulah peribahasa yang tepat untuk mencitrakan karya ini bagi pembaca sekalian yang tidak familier dengan bidang matematika terutama aljabar. Sehingga tidak heran jika banyak yang mengatakan bahwa apa yang penulis tulis di karya ini hanya penulis seorang diri dan Gusti Allah SWT yang mengetahuinya. Ah ya, tentu sebelumnya penulis kembali memuji kebesaran Gusti Allah SWT, yang telah memberikan kesempatan bagi penulis untuk bisa berpikir (secara matematis), mengenyam jenjang pendidikan S1 di Prodi Matematika FMIPA UGM, dan menghaturkan karya ini bagi pembaca sekalian.

Karya ini bukan merupakan ajang pembuktian diri penulis bahwa ia adalah seorang ahli aljabar di jamannya, melainkan sebuah bagian kecil dari usaha besar untuk kembali menanamkan pemahaman mahasiswa Prodi Matematika FMIPA UGM khususnya dan peminat aljabar lain pada umumnya terhadap bidang matakuliah aljabar yang notabene amat-sangat susah untuk dipahami. Penulis berharap, dengan adanya karya ini dapat memperkaya khazanah ilmu matematika di bidang aljabar yang kerap termarjinalkan di belantara literatur jagat maya. Penulis juga berharap karya ini dapat membantu mahasiswa Prodi Matematika FMIPA UGM, khususnya bagi adik-adik angkatan penulis, yang penulis pernah jumpai dan tidak pernah jumpai, untuk sekiranya mendongkrak nilai yang mereka peroleh. Penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada pihak-pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan karya ini, khususnya lagi bagi bapak dan ibu dosen Prodi Matematika FMIPA UGM yang selalu sabar mengajari penulis akan banyak hal.

Soal-soal yang ada di dalam karya ini disadur dari soal ujian tengah semester dan akhir semester matakuliah Pengantar Struktur Aljabar II pada semester ganjil 2008/2009 yang diampu oleh Bapak Dr. Budi Surodjo, M.Si dan Ibu Dr. Indah Emilia Wijayanti, M.Si. Perlu diperhatikan bahwa penulis baru menginjak jenjang pendidikan S1, karenanya tidak menutup kemungkinan bahwa ada banyak kesalahan di karya ini dan penulis meminta masukan dari pembaca sekalian untuk membantu mengkoreksinya. Semoga karya ini dapat bermanfaat bagi pembaca sekalian. Selamat belajar dan memahami.

Bandung, 2009 Terjebak di rumah, langit mendung, tidak bisa memotret

Penulis

1. Diberikan ring komutatif R yang memiliki elemen satuan 1R dan diketahui juga ψ ∈ End

( R ) . Dengan

 = {0,1,2,...} dibentuk himpunan

{

}

S = a = ( a0 , a1 , a2 , ..., a n , 0, 0, ...) n ∈ , ai ∈ R, i = 0,1, ..., n . Untuk setiap a , b ∈ S didefinisikan: i.

a +b

= ( a0 , a1, a2 ,..., an , 0, 0, ... ) + ( b0, b1, b2,..., bm, 0, 0,... ) = ( a0 + b0 , a1 + b1,..., ak + bk , 0, 0,... ) , dengan k = maks {n, m} .

ii.

a ⋅b

= ( a0 , a1, a2 , ..., an , 0, 0, ... ) ⋅ ( b0, b1, b2, ..., bm, 0, 0, ... ) = ( c0 , c1 , c2 ,..., cn + m , 0, 0, ... ) , dengan ci =

i

∑a

i − jψ

j =0

(b ) . j

Maka, himpunan S terhadap operasi penjumlahan dan perkalian diatas tidak selalu merupakan ring.

Bukti.

Pembuktian dilakukan dengan menunjukkan counter-example, yaitu ada elemenelemen di himpunan S yang operasi perkaliannya tidak asosiatif, sehingga dengan demikian himpunan S tersebut bukan ring. Dibentuk himpunan R, yaitu

⎪⎧⎛ a ⎞ ⎪⎫ R = ⎨⎜ ⎟ a, b ∈  ⎬ . ⎪⎩⎝ b ⎠ ⎪⎭ ⎛a⎞ ⎛ c ⎞ Untuk setiap ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ ∈ R didefinisikan: ⎝ b ⎠ ⎝ d ⎠ i.

ii.

⎛a⎞ ⎛ c ⎞ ⎛ a + c ⎞ ⎜b ⎟ + ⎜ d ⎟ = ⎜b + d ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ a ⎞ ⎛ c ⎞ ⎛ ac ⎞ ⎜ b ⎟ ⋅ ⎜ d ⎟ = ⎜ bd ⎟ . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Maka himpunan R dengan operasi penjumlahan dan perkalian diatas merupakan ring

⎛1⎞ komutatif dengan elemen satuan 1R = ⎜ ⎟ . (Silakan dibuktikan sendiri) ⎝1⎠

Soal-Soal Struktur Aljabar dan Penyelesaiannya © Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id, [email protected]

1

⎛⎛ a⎞⎞ ⎛ b⎞ Dibentuk pemetaan ψ : R → R dengan syarat ψ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ = ⎜ ⎟ untuk setiap ⎝⎝ b ⎠⎠ ⎝ a⎠

⎛a⎞ ⎜b⎟∈ R. ⎝ ⎠

Dengan demikian ψ merupakan homomorfisma ring (Silakan dibuktikan sendiri) dan karena ψ : R → R , berakibat ψ ∈ End ( R ) .

Kemudian dibentuk himpunan S sesuai apa yang telah didefinisikan sebelumnya dan diambil elemen a , b , c ∈ S sebagai berikut: i.

⎛ ⎛1⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎞ a = ⎜ ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ ,... ⎟ ⎝ ⎝1⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎠

ii.

⎛⎛0⎞ ⎛1⎞ ⎛0⎞ ⎛0⎞ ⎞ b = ⎜ ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ ,... ⎟ ⎝⎝0⎠ ⎝0⎠ ⎝0⎠ ⎝0⎠ ⎠

iii.

c

⎛⎛ 2⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ ⎞ = ⎜ ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ ,... ⎟ . ⎝⎝ 1 ⎠ ⎝ 0⎠ ⎝ 0⎠ ⎠

Diperhatikan bahwa

a ⋅b

= ( x0 , x1 , x2 , 0, 0, ... ) = ({a0 ⋅ψ ( b0 )} , {a1 ⋅ψ (b0 ) + a0 ⋅ ψ ( b1 )} , {a2 ⋅ψ (b0 ) + a1 ⋅ψ (b1 ) + a0 ⋅ψ (b2 )} , 0, 0,...) ⎛ ⎧⎪⎛1⎞ ⎛ ⎛ 0 ⎞ ⎞ ⎫⎪ ⎧⎪⎛ 2 ⎞ ⎛ ⎛ 0 ⎞ ⎞ ⎛1 ⎞ ⎛ ⎛1 ⎞ ⎞⎫⎪ ⎧⎪ ⎛0 ⎞ ⎛ ⎛0 ⎞ ⎞ ⎛2 ⎞ ⎛ ⎛ 1 ⎞ ⎞ ⎛1 ⎞ ⎛ ⎛ 0 ⎞ ⎞ ⎫⎪ ⎛ 0 ⎞ ⎞ = ⎜ ⎨⎜ ⎟ ⋅ψ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎬ , ⎨⎜ ⎟ ⋅ψ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ + ⎜ ⎟ ⋅ψ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎬ , ⎨ ⎜ ⎟ ⋅ψ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ + ⎜ ⎟⋅ψ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ + ⎜ ⎟ ⋅ψ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎬ , ⎜ ⎟ ,... ⎟ ⎜ ⎪⎝1⎠ ⎝ ⎝ 0 ⎠ ⎠ ⎪ ⎪⎝ 1 ⎠ ⎝ ⎝ 0 ⎠ ⎠ ⎝1 ⎠ ⎝ ⎝0 ⎠ ⎠⎪ ⎪ ⎝0 ⎠ ⎝ ⎝0 ⎠ ⎠ ⎝1 ⎠ ⎝ ⎝ 0 ⎠ ⎠ ⎝1 ⎠ ⎝ ⎝ 0 ⎠ ⎠ ⎪ ⎝ 0 ⎠ ⎟ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎝⎩ ⎠ ⎛ ⎧⎛1⎞ ⎛ 0 ⎞⎫ ⎧⎛ 2 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎫ ⎧ ⎛ 0 ⎞ ⎛0 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛0 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎛0 ⎞⎫ ⎛ 0 ⎞ ⎞ = ⎜ ⎨⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟⎬ , ⎨⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟⎬ , ⎨ ⎜ ⎟⋅ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⋅ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟⋅ ⎜ ⎟⎬ , ⎜ ⎟ ,... ⎟ ⎜ ⎝1⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎟ ⎭ ⎩⎝ 1 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝1 ⎠ ⎝ 1 ⎠⎭ ⎩ ⎝ 0 ⎠ ⎝0 ⎠ ⎝1 ⎠ ⎝1 ⎠ ⎝1 ⎠ ⎝0 ⎠⎭ ⎝ 0 ⎠ ⎠ ⎝⎩ ⎛⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛0 ⎞ ⎛0 ⎞ ⎞ = ⎜ ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟, ⎜ ⎟, ⎜ ⎟,... ⎟ ⎝⎝ 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝1 ⎠ ⎝0 ⎠ ⎠

(a ⋅b )⋅c

⎛ ⎧⎪⎛ 0 ⎞ ⎛ ⎛ 0 ⎞ ⎞⎫⎪ ⎧⎪⎛ 0 ⎞ ⎛ ⎛ 2 ⎞ ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ ⎛ 0 ⎞ ⎞⎫⎪ ⎧⎪ ⎛ 0 ⎞ ⎛ ⎛ 2 ⎞ ⎞ ⎛0 ⎞ = ⎜ ⎨⎜ ⎟ ⋅ψ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎬ , ⎨⎜ ⎟ ⋅ψ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ + ⎜ ⎟ ⋅ψ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎬ , ⎨⎜ ⎟⋅ψ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ + ⎜ ⎟⋅ψ ⎜ ⎪⎝ 0 ⎠ ⎝ ⎝ 0 ⎠ ⎠⎪ ⎪⎝ 1 ⎠ ⎝ ⎝ 1 ⎠ ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ ⎝ 0 ⎠ ⎠⎪ ⎪ ⎝1 ⎠ ⎝ ⎝1 ⎠ ⎠ ⎝1 ⎠ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎝ ⎩ ⎛ ⎧⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎫ ⎧⎛ 0 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎫ ⎧ ⎛ 0 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎛0 ⎞ ⎛0 ⎞ ⎛0 ⎞ ⎛0 ⎞⎫ = ⎜ ⎨⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎬ , ⎨⎜ ⎟⋅ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⋅ ⎜ ⎟⎬ , ⎨ ⎜ ⎟⋅ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟⋅ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟⋅ ⎜ ⎟⎬ , ⎜ ⎝0⎠ ⎝0⎠ ⎭ ⎩⎝ 1 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠⎭ ⎩ ⎝1 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝0 ⎠ ⎝0 ⎠ ⎝0 ⎠⎭ ⎝⎩ ⎛ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎞ = ⎜ ⎜ ⎟, ⎜ ⎟, ⎜ ⎟, ⎜ ⎟,... ⎟ ⎝ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝0 ⎠ ⎠


⎛ ⎛0 ⎞ ⎞ ⎛0 ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ + ⎜ ⎟⋅ψ ⎝ ⎝0 ⎠ ⎠ ⎝0 ⎠ ⎛0 ⎞ ⎞ ⎜0 ⎟,... ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎠

2

⎛ ⎛0 ⎞ ⎞⎫⎪ ⎛0 ⎞ , ⎜ ⎟,... ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎬ ⎝ ⎝0 ⎠ ⎠⎪⎭ ⎝0 ⎠ ⎟

dan

b ⋅c

= ( y0 , y1 ,0,0,...) = ({b0 ⋅ψ ( c0 )} , {b1 ⋅ψ ( c0 ) + b0 ⋅ψ ( c1 )} , 0, 0,...) ⎛ ⎧⎪⎛ 0 ⎞ ⎛ ⎛ 2 ⎞ ⎞ ⎫⎪ ⎧⎪⎛ 1 ⎞ ⎛ ⎛ 2 ⎞ ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ ⎛ 0 ⎞ ⎞⎫⎪ ⎛0 ⎞ ⎞ = ⎜ ⎨⎜ ⎟ ⋅ψ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎬ , ⎨⎜ ⎟ ⋅ψ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ + ⎜ ⎟ ⋅ψ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎬ , ⎜ ⎟ ,... ⎟ ⎜ ⎪⎝ 0 ⎠ ⎝ ⎝ 1 ⎠ ⎠ ⎪ ⎪⎝ 0 ⎠ ⎝ ⎝ 1 ⎠ ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ ⎝ 0 ⎠ ⎠⎪ ⎝0 ⎠ ⎟ ⎭ ⎩ ⎭ ⎝⎩ ⎠ ⎛ ⎧⎛ 0 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎫ ⎧⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎫ ⎛ 0 ⎞ ⎞ = ⎜ ⎨⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟⎬ , ⎨⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⋅ ⎜ ⎟⎬ , ⎜ ⎟,... ⎟ ⎜ ⎝0⎠ ⎝2⎠ ⎟ ⎭ ⎩⎝ 0 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎭ ⎝ 0 ⎠ ⎠ ⎝⎩ ⎛⎛0 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛0 ⎞ ⎞ = ⎜ ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟, ⎜ ⎟,... ⎟ ⎝⎝0 ⎠ ⎝ 0⎠ ⎝0 ⎠ ⎠

(

a ⋅ b ⋅c

)

⎛ ⎪⎧⎛1⎞ ⎛ ⎛ 0 ⎞ ⎞ ⎪⎫ ⎪⎧⎛ 2 ⎞ ⎛ ⎛ 0 ⎞ ⎞ ⎛1 ⎞ ⎛ ⎛1 ⎞ ⎞⎪⎫ ⎪⎧ ⎛0 ⎞ ⎛ ⎛0 ⎞ ⎞ ⎛2 ⎞ ⎛ ⎛1 ⎞ ⎞ ⎛1 ⎞ ⎛ ⎛0 ⎞ ⎞⎪⎫ ⎛0 ⎞ ⎞ ,... ⎟ = ⎜ ⎨⎜ ⎟ ⋅ψ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎬ , ⎨⎜ ⎟ ⋅ψ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ + ⎜ ⎟ ⋅ψ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎬ , ⎨⎜ ⎟⋅ψ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ + ⎜ ⎟⋅ψ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ + ⎜ ⎟⋅ψ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎬ , ⎜ ⎪⎝1⎠ ⎝ ⎝ 0 ⎠ ⎠ ⎪ ⎪⎝ 1 ⎠ ⎝ ⎝ 0 ⎠ ⎠ ⎝1 ⎠ ⎝ ⎝0 ⎠ ⎠⎪ ⎪ ⎝0 ⎠ ⎝ ⎝0 ⎠ ⎠ ⎝1 ⎠ ⎝ ⎝0 ⎠ ⎠ ⎝1 ⎠ ⎝ ⎝0 ⎠ ⎠⎪ ⎜⎝0 ⎟⎠ ⎟ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎝ ⎩ ⎠ ⎛ ⎧⎛1⎞ ⎛ 0 ⎞⎫ ⎧⎛ 2 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 0 ⎞⎫ ⎧ ⎛ 0 ⎞ ⎛0 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛0 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎛0 ⎞⎫ ⎛0 ⎞ ⎞ = ⎜ ⎨⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟⎬ , ⎨⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟⎬ , ⎨ ⎜ ⎟⋅ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟⋅ ⎜ ⎟⎬ , ⎜ ⎟,... ⎟ . ⎜ ⎝1⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎟ ⎭ ⎩⎝ 1 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 1⎠ ⎝ 1 ⎠⎭ ⎩ ⎝ 0 ⎠ ⎝0 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝1 ⎠ ⎝1 ⎠ ⎝0 ⎠⎭ ⎝0 ⎠ ⎠ ⎝⎩ ⎛⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎞ = ⎜ ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟, ⎜ ⎟, ⎜ ⎟,... ⎟ ⎝⎝ 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝1 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎠

Karena diperoleh i.

ii.

⎛ ⎛ 0⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎞ ⎜ 2 ⎟, ⎜ 2 ⎟, ⎜ 0 ⎟,... ⎟ dan ⎝⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠

(a ⋅b )⋅ c = ⎜ ⎜ 0⎟ , (

a ⋅ b ⋅c

⎛ ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎞ ⎜ 1 ⎟ , ⎜ 1 ⎟, ⎜ 0 ⎟,... ⎟ , ⎝⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠

) = ⎜ ⎜ 0⎟ ,

maka ( a ⋅ b ) ⋅ c ≠ a ⋅ ( b ⋅ c ) . Karena himpunan S memuat elemen-elemen yang perkaliannya tidak asosiatif, maka himpunan S bukan merupakan ring. 


3

2. Diketahui  = {..., −2, −1, 0,1, 2,...} merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian bilangan bulat. Untuk sebarang n ∈  didefinisikan I n adalah ideal yang dibangun oleh n. Maka untuk setiap bilangan prima p, berlaku sifat jika I ideal di  dengan I p ⊆ I ⊆  , maka I = I p atau I =  .

Bukti.

Untuk sebarang n ∈  , ideal I n berwujud I n = {rn r ∈ } . Diperhatikan sebelumnya bahwa setiap ideal I di  dibangun oleh tepat satu elemen, yaitu jika I ideal di  maka I = I n untuk suatu n ∈  .

Diambil sebarang bilangan prima p dan diandaikan terdapat ideal I n di  yang memenuhi I p ⊆ I n ⊆  . Karena p ∈ I p dan I p ⊆ I n , akibatnya p ∈ I n dan dengan demikian p = rn untuk suatu r ∈  . Karena p bilangan prima, maka akan berlaku p | r atau p | n .

i.

Jika yang berlaku p | r , maka r = pm untuk suatu m ∈  sehingga diperoleh p = pmn . Karena p bukan nol, maka menggunakan sifat kanselasi diperoleh

1 = mn . Karena m, n ∈  , persamaan 1 = mn berlaku jika dan hanya jika m = n = 1 atau m = n = −1 . Jika n = 1 , maka I n = I1 = {r1 r ∈ } = {r r ∈ } =  . Jadi diperoleh I n =  untuk n = 1 . Dengan cara serupa, dapat ditunjukkan bahwa untuk n = −1 juga berlaku I n

ii.

=.

Jika yang berlaku p | n , maka n = pm untuk suatu m ∈  . Karena pm ∈ I p , akibatnya n ∈ I p dan dengan demikian rn ∈ I p untuk setiap r ∈  . Jadi, berlaku I n ⊆ I p dan karena I p ⊆ I n maka diperoleh I p = I n . 


4

3. Diketahui R ring dengan elemen satuan 1R . Jika

ϕ

merupakan epimorfisma dari R ke S,

maka S juga memiliki elemen satuan.

Bukti.

Diketahui

epimorfisma dari R ke S, dengan demikian

ϕ

merupakan

homomorfisma yang surjektif. Diambil sebarang s ∈ S , karena

ϕ

pemetaan surjektif, maka

ϕ

terdapat r ∈ R sehingga

ϕ

( r ) = s . Karena R

ring dengan elemen satuan, maka berlaku

1R ⋅ r = r ⋅1R = r , dan dengan demikian menggunakan sifat homomorfisma diperoleh i.

ϕ

( r ) = ϕ (1R ⋅ r ) = ϕ (1R ) ⋅ ϕ (r )

ii.

ϕ

( r ) = ϕ ( r ⋅1R ) = ϕ ( r ) ⋅ ϕ (1R ) .

Dari poin i. dan ii. diperoleh

ϕ

(1R ) ⋅ ϕ ( r ) = ϕ ( r ) ⋅ ϕ (1R ) = ϕ ( r ) dan karena ϕ ( r ) = s , maka

(1R ) ⋅ s = s ⋅ ϕ (1R ) = s . Jadi, karena ϕ (1R ) ∈ S , maka ϕ (1R )

ϕ

merupakan elemen satuan

pada S. 

4. Diketahui R ring . Jika

μ

merupakan monomorfisma dari R ke S dan S ring komutatif,

maka R juga ring komutatif.

Bukti.

Diketahui

μ

monomorfisma dari R ke S, dengan demikian

μ

merupakan

homomorfisma yang injektif. Diambil sebarang r , s ∈ R , dan dengan demikian r ⋅ s dan s ⋅ r keduanya merupakan elemen di R. Menurut sifat homomorfisma diperoleh i.

μ

( r ⋅ s ) = μ ( r ) ⋅ μ ( s )

ii.

μ

( s ⋅ r ) = μ ( s ) ⋅ μ ( r ) .

Karena S ring komutatif, maka dari poin i. dan ii. berlaku akibatnya μ

μ

( r ⋅ s ) = μ ( s ⋅ r ) . Karena

μ

μ

( r ) ⋅ μ ( s ) = μ ( s ) ⋅ μ ( r ) dan

merupakan pemetaan injektif dan

( r ⋅ s ) = μ ( s ⋅ r ) , maka diperoleh r ⋅ s = s ⋅ r . Jadi, ring R merupakan ring komutatif.


5



5. Diketahui R ring komutatif dengan elemen satuan dan I , I1 , I 2 ,... ideal-ideal di R dan berlaku I1 ⊆ I 2 ⊆ ... ⊆ I n ⊆ I n +1 ⊆ ... ⊆ I . Maka himpunan V = ∪ I i merupakan ideal di R yang termuat pada I.

Bukti.

Karena berlaku sifat I1 ⊆ I 2 ⊆ ... ⊆ I n ⊆ I n +1 ⊆ ... ⊆ I , maka jelas bahwa V

= ∪ I i ⊆ I . Dengan demikian, tinggal ditunjukkan bahwa V merupakan ideal di R.

i.

Diambil sebarang a , b ∈V maka a ∈ I n dan b ∈ I m untuk suatu n, m ∈ {1, 2, 3,...} . Dipilih k = maks {n, m} , dengan demikian a ∈ I n ⊆ I k dan b ∈ I m ⊆ I k . Karena I k merupakan ideal di R dan I k ⊆ V , maka berlaku a − b ∈ I k ⊆ V . Jadi, diperoleh a − b ∈ V .

ii.

Diambil sebarang a ∈ V maka a ∈ I n untuk suatu n ∈ {1,2,3,...} . Karena I n merupakan ideal di R dan I n ⊆ V , maka untuk sebarang r ∈ R berlaku ra = ar ∈ I n ⊆ V . Jadi, diperoleh ra = ar ∈ V untuk sebarang r ∈ R .

Dari poin i. dan ii. dapat disimpulkan bahwa V = ∪ I i merupakan ideal di R. 

6. Diketahui R adalah ring komutatif dengan elemen satuan, maka

{

}

R [ X , Y ] = a0 + a1Y + ... + anY n ai ∈ R [ X ] , ( ∃n ∈ {0,1, 2,...}) ( ∀k ≥ n ) ak = 0 juga merupakan ring komutatif dengan elemen satuan.

Bukti.

Karena R merupakan ring komutatif, maka R [ X ] juga ring komutatif. Serupa, karena R [ X ] merupakan ring komutatif, maka R [ X ][Y ] = R [ X , Y ] juga ring komutatif. Karena terdapat hubungan R ⊂ R [ X ] ⊂ R [ X , Y ] , maka elemen satuan pada R juga merupakan elemen satuan pada R [ X ] dan R [ X , Y ] . 


6

Catatan: Pernyataan R [ X ][Y ] = R [ X , Y ] , masih diperdebatkan oleh beberapa matematikawan. Akan tetapi bagi para pemula yang baru mendalami struktur aljabar diharapkan untuk menganggap benar pernyataan tersebut. 7. Diketahui R ring komutatif dengan elemen satuan, maka R [ X , Y ] Y  R [ X ] .

Bukti.

Pembuktian akan dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut: i. ii.

Mencari tahu elemen-elemen pada ring faktor R [ X , Y ] Y . Mengkonstruksi homomorfisma yang bijektif dari R [ X , Y ] Y ke R [ X ] .

Langkah poin i. Diperhatikan bahwa ideal Y = {h ⋅ Y f ∈ R [ X , Y ] } memuat setiap polinomial dengan indeterminate Y sebagai faktornya, yaitu g ∈ Y jika dan hanya jika g = h ⋅ Y untuk suatu h ∈ R [ X , Y ] . Diambil sebarang f ∈ R [ X , Y ] Y , maka f dapat

disajikan sebagai f

= f + Y = ( a0 + a1Y + ... + anY n ) + Y = ( a0 + Y ) + ( a1Y + Y ) + ... + ( anY n + Y )

... ( ∗)

untuk suatu n ∈ {0,1, 2,...} dan ai ∈ R [ X ] . Menurut sifat koset, koset a + I dan b + I dinyatakan sama jika dan hanya jika a − b ∈ I . Diperhatikan bahwa, untuk setiap k ∈ {1,2,...} , ak Y k + Y

= 0 + Y karena ak Y k − 0 = ak Y k ∈ Y . Dengan demikian ( ∗)

menjadi f

= ( a0 + Y ) + ( a1Y + Y ) + ... + ( anY n + Y ) = ( a0 + Y ) + ( 0 + Y ) + ... + ( 0 + Y

)

= ( a0 + 0 + ... + 0 ) + Y = a0 + Y .

{

}

Jadi, diperoleh R [ X , Y ] Y = a = a + Y a ∈ R [ X ] .


7

Langkah poin ii. Dibentuk pengaitan ψ : R [ X , Y ] Y → R [ X ] , dengan ψ

(a +

Y

)=a

dengan a ∈ R [ X ] . Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa ψ merupakan

homomorfisma yang bijektif yaitu dengan menunjukkan bahwa ψ merupakan pemetaan, memiliki sifat surjektif, injektif, dan homomorfisma.

a. Akan ditunjukkan bahwa ψ merupakan pemetaan. Diperhatikan bahwa setiap elemen pada R [ X , Y ] Y dapat dipetakan. Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa hasil peta untuk suatu elemen pada R [ X , Y ] Y adalah tunggal. Diambil sebarang a + Y ,b + Y

∈ R [ X , Y ] Y dengan a + Y = b + Y . Karena a + Y = b + Y ,

maka a − b ∈ Y atau dengan kata lain ( a − b ) + Y = 0 + Y . Karena, ψ ( ( a − b ) + Y

) = a − b , ψ ( 0 +

Y ) = 0 , dan ( a − b ) + Y = 0 + Y , maka

diperoleh a − b = 0 atau dengan kata lain a = b . Jadi, terbukti bahwa hasil peta suatu elemen pada R [ X , Y ] Y adalah tunggal.

b. Akan ditunjukkan bahwa ψ merupakan pemetaan surjektif. Karena

{

}

R [ X , Y ] Y = a = a + Y a ∈ R [ X ] , maka jelas untuk setiap a ∈ R [ X ] selalu dapat

dipilih a + Y ∈ R [ X , Y ] Y sehingga ψ ( a + Y

) = a . Jadi, terbukti ψ

pemetaan

surjektif.

c. Akan ditunjukkan bahwa ψ merupakan pemetaan injektif. Diambil sebarang a, b ∈ R [ X ] dengan a = b . Karena a = b , maka a − b = 0 dan dengan demikian a − b ∈ Y . Karena a − b ∈ Y , maka menurut sifat kesamaan koset diperoleh a+ Y

= b + Y dan berlaku ψ ( a + Y

) = a = b = ψ ( b +

Y ) . Jadi, terbukti ψ

pemetaan injektif.


8

d. Terakhir, akan ditunjukkan bahwa ψ merupakan homomorfisma. Diambil sebarang a + Y ,b + Y

i.

ψ

(( a +

∈ R [ X , Y ] Y dan diperhatikan bahwa Y

) + (b +

Y

))

= ψ ( ( a + b ) + Y ) = a+b = ψ ( a + Y ) + ψ ( b + Y )

ii.

ψ

(( a +

Y

) ⋅ (b +

Y

))

= ψ ( ( a ⋅ b ) + Y ) = a⋅b = ψ ( a + Y ) ⋅ψ ( b + Y ) .

Jadi, terbukti bahwa ψ homomorfisma.

Dengan demikian langkah poin i. dan ii. telah selesai dan terbukti bahwa R [ X , Y ] Y  R [ X ] . Cara pembuktian ini terkesan lebih panjang dibandingkan dengan

pembuktian menggunakan Teorema Fundamental Homomorfisma Ring, akan tetapi menurut penulis lebih mudah untuk dikerjakan tanpa perlu harus memahami Teorema Fundamental Homomorfisma Ring.  8. Diketahui D daerah integral dan a, b ∈ D dengan a, b ≠ 0 , maka a | b jika dan hanya jika b

⊆ a .

Bukti.

(⇒) Karena a | b , maka b = ac untuk suatu c ∈ D . Karena ac ∈ a , berakibat b ∈ a . Sehingga, untuk setiap r ∈ D , berlaku br = rb ∈ a atau dengan kata lain b ⊆ a .

( ⇐) Karena b ∈ b dan b ⊆ a , berakibat b ∈ a atau dengan kata lain b = ac untuk suatu c ∈ D . Karena b = ac , maka berlaku a | b . 


9

9. Diketahui D daerah integral dan a, b ∈ D dengan a, b ≠ 0 , maka a dan b saling terasosiasi jika dan hanya jika b = a .

Bukti.

(⇒) Karena a dan b saling terasosiasi, maka a = bu dan b = av untuk suatu unit u, v ∈ D . Karena a = bu , maka b | a dan menurut soal no. 8 berakibat a ⊆ b . Karena b = av , maka a | b dan menurut soal no. 8 berakibat b ⊆ a . Karena diperoleh a ⊆ b dan b

⊆ a , maka berlaku b = a .

( ⇐) Karena b ∈ b dan b = a , maka b = av untuk suatu v ∈ D . Karena a ∈ a dan b

= a , maka a = bu untuk suatu u ∈ D . Dengan demikian diperoleh

a = bu = ( av ) u = a ( vu ) . Karena a ≠ 0 , menggunakan sifat kanselasi diperoleh 1 = vu , dan

dengan demikian u , v adalah unit di D. Jadi, karena b = av dan a = bu , maka a dan b saling terasosiasi.  10. Diketahui D daerah integral. Elemen a ∈ D merupakan elemen prima jika dan hanya jika a merupakan ideal prima.

Bukti.

(⇒) Diambil sebarang r , s ∈ D dengan rs ∈ a . Karena rs ∈ a , maka rs = ac untuk suatu c ∈ D dan dengan demikian a | rs . Karena a merupakan elemen prima akibatnya a | r atau

a | s . Jika a | r , berakibat r = ad untuk suatu d ∈ D dan dengan demikian r ∈ a . Jika a | s , berakibat s = ae untuk suatu e ∈ D dan dengan demikian s ∈ a . Jadi, terbukti a

ideal prima.


10

( ⇐) Diambil sebarang r , s ∈ D dengan rs ∈ a . Karena a ideal prima berakibat r ∈ a atau s ∈ a . Jika r ∈ a , maka r = ad untuk suatu d ∈ D dan dengan demikian a | r . Jika s ∈ a , maka s = ae untuk suatu e ∈ D dan dengan demikian a | s . Dengan demikian, jika

a | rs maka berlaku a | r atau a | s . Jadi, terbukti a merupakan elemen prima. 

11. Diketahui R ring dan himpunan bagian X ⊆ R . Didefinisikan dan X =

∩ I . Jika

X = Ø , maka X

I X

= { I ideal di R X ⊆ I }

= {0} .

I ∈I X

Bukti.

Diperhatikan bahwa untuk setiap himpunan bagian S ⊆ R , maka ∅ ⊆ S . Dengan demikian untuk ideal trivial {0} , juga berlaku ∅ ⊂ {0} dan akibatnya {0} ∈ I X . Karena setiap ideal I di R selalu memuat elemen 0, akibatnya 0 ∈

∩ I dan dengan demikian berlaku I ∈I X

⎧⎪ ⎫⎪ I ∩ ⎬ = {0} .  ⎪⎩ I ∈ −{0} ⎪⎭

X = ∅ = {0} ∩ ⎨

I X

12. Diketahui R ring dan himpunan bagian X ⊆ R . Didefinisikan dan X =

∩

I X

= { I ideal di R X ⊆ I }

I . Jika A, B ⊆ R , maka A ∩ B ⊆ A ∩ B . Sebaliknya belum tentu

I ∈I X

berlaku.

Bukti.

Sebelumnya, diperhatikan bahwa X merupakan ideal terkecil di R yang memuat X , dan dengan demikian X ∈ I X . Karena A ∩ B ⊆ A , maka setiap ideal di R yang memuat A juga akan memuat A ∩ B dan akibatnya A ∩ B ⊆ A . Diperhatikan bahwa ideal A ∩ B

tidak

mungkin memuat ideal A . Karena jika hal tersebut terjadi akan timbul kontradiksi dengan A ∩ B sebagai ideal terkecil yang memuat A ∩ B . Jadi, diperoleh hubungan


11

A∩ B

⊆ A . Dengan cara serupa, diperoleh juga A ∩ B ⊆ B dan dengan demikian

berlaku A ∩ B ⊆ A ∩ B .

Sebaliknya belum tentu berlaku misalkan R =  , A = {2} , dan B = {5} . Diketahui A ∩ B = {2} ∩ {5} = ∅ , dan menurut soal 13 berakibat A ∩ B = ∅ = {0} . Sedangkan A

∩ B = 2 ∩ 5 = 2 ∩ 5 = 10 = 10 . Jadi berlaku A ∩ B ⊄ A ∩ B . 

13. Diketahui R ring komutatif dan himpunan bagian X ⊆ R . Didefinisikan I X

= { I ideal di R X ⊆ I } dan X =

∩

I . Jika A, B ⊆ R , maka A ∩ B merupakan

I ∈I X

ideal pada A .

Bukti.

Karena A , B ideal-ideal di R, maka A ∩ B juga merupakan ideal di R. Karena berlaku hubungan A ∩ B ⊆ A , maka untuk setiap x ∈ A ∩ B dan r ∈ A selalu berlaku rx = xr ∈ A ∩ B . Jadi, terbukti bahwa A ∩ B merupakan ideal pada A . 


12

struktur aljabar

Recommend Documents