Modul Pembinan Matematika OSN SMP
ALJABAR
1. BILANGAN BERPANGKAT 1.1 Bilangan berpangkat sebenarnya (positif)
Pemangkatan sebuah bilangan a terhadap bilangan n dinotasikan sebagai berikut: an dimana: a = bilangan dasar/bilangan pokok n = eksponen/pangkat Definisi pangkat sebenarnya: Pangkat sebenarnya (positif) sebuah bilangan a adalah pemangkatan bilangan a terhadap bilangan cacah n.
Pangkat positif an memiliki arti sebagai perkalian a sebanyak n faktor. n a a a a a n faktor
Contoh 1 a. 24
2 2 2 2 16 3
1
b.
2
1 1 1
1
2 2 2
8
1.2 Bilangan berpangkat tak sebenarnya (pangkat negatif dan pecahan) Definisi pangkat tak sebenarnya: Pangkat sebenarnya (positif) sebuah bilangan a adalah pemangkatan bilangan a terhadap bilangan n yang bukan merupakan bilangan cacah (bilangan negatif atau pecahan). a. Pangkat negatif
Misalkan a, n bilangan real, maka: a
1
n
a
n
, a
b. Pangkat pecahan
Misalkan a bilangan real, n bilangan asli, maka: n
a1 /
Contoh 2
a.
2
4
b. a1 / 3
2 3
1
a
2
1
2
1
2
1
1 1 1 1 . . . 2 2 2 2
1 2
4
1 16
n
a
0
Modul Pembinan Matematika OSN SMP
c.
1
4
2
2
1 4
16
1.3 Sifat-sifat bilangan berpangkat
Beberapa sifat penting dalam bilangan berpangkat adalah: Misalkan a, b, m, n bilangan-bilangan real, maka: a0
o
1, a
0
am an am am am n n a
o
o
an
m
o
o
ab
n
a nb n
n
an
a
a nm
o
bn
b
n
a m / n
o
n
am
n
m
a
Hal khusus: 1. ( 13 23 33 ... n3 ) = ( 1 2 3 ... 2. ( 1 3 5 ... 2 n 1 ) = n2
n )2
LATIHAN SOAL
1. Diketahui p
2
3
3
4
a .b
, jika a = 27 dan b = 16, tentukan nilai p.
a0
2. Bentuk sederhana dari
x
3
1
1
2
2
3
x
1
x 2 1
x
x
1
x
1
1
2
x x 3
3
adalah ...
12
3. Carilah solusi dari x 4
1
7 x 4 3
4. Jika
x x x
p x , x
0
dan
x
p. 5. Akar kuadrat dari
2544 5724
adalah ...
1 , p
adalah bilangan rasional maka tentukanlah nilai
Modul Pembinan Matematika OSN SMP
2. POLA BILANGAN a. Barisan Aritmatika
Barisan aritmatika adalah sebuah barisan bilangan yang mempunyai ciri yang khusus yaitu selisih dari setiap sepasang barisan yang berurutan mempunyai nilai yang tetap. Secara simbol matematika adalah sebagai berikut: Jika u2
u1 , u 2 , , u n u1
u3
u2
adalah un
sebuah
un
1
barisan
bilangan
yang
mempunyai
sifat
b , maka rumus suku ke-n dapat ditentukan sebagai
berikut: un
u1
(n 1)b
b. Barisan Geometri
Barisan geometri adalah sebuah barisan bilangan yang mempunyai ciri yang khusus yaitu perbandingan dari setiap sepasang barisan yang berurutan mempunyai nilai yang tetap. Secara simbol matematika adalah sebagai berikut: Jika u2 u1
u1 , u 2 , , u n
u3 u2
un
un
adalah
sebuah
barisan
bilangan
yang
mempunyai
sifat
r , maka rumus suku ke-n dapat ditentukan sebagai berikut: 1
un
u1 r n
1
c. Pola Teleskoping Pada bagian ini kita akan mempelajari pola dengan bentuk berganti tanda. Misalkan kita ingin menghitung bentuk
un = 1 – 3 + 5 – 7 + 9 – 11 + … sampai n suku. Dalam kasus ini kita dapat menyederhanakan bentuk tersebut menjadi un
1 3 5 7 ( 2)
9 11
( 2)
( 1)
( 2)
n 1
(2n 1) jika n
( 2)
2k genap
k suku
( 2)
( 2)
( 2)
( 2)
(2n 1) jika n
k suku
Dengan demikian untuk n = 2k bilangan genap, maka un
k ( 2) n 2
Jika n = 2k + 1 ganjil, maka
( 2)
n
2k 1 ganjil
Modul Pembinan Matematika OSN SMP
un
k ( 2) (2n 1) n 1
( 2) (2n 1) 2 (n 1) (2n 1) n
Berdasarkan rumus ini kita memperoleh n un
1 1
2 –2
3 3
4 –4
5 5
6 –6
… …
Contoh lain, misalkan diberikan 1
1
1
1
1 2 2 3 3 4 Perhatikan bahwa kita dapat menuliskan 1
1
n (n 1)
1
1 2 1
1 2 1 1
2 3 1
2 1
3 1
3 4
3
4
Jumlah dari ruas kiri adalah
1 1
1 2
1 2
1 1 2 1 3
1
1
1
n( n 1)
n
n 1
1
1
2 3 1 3
3 4
1 4
1
n (n 1)
dan jumlah dari ruas kanan
1
1
1
1
n
n
n 1
1
n 1
n 1
d. Deret Aritmatika Teknik Gauss
Jika diketahui bilangan 1, 2, 3, 4, …, maka seringkali kita harus menghitung jumlah bilangan 1+2+3+… sampai dengan bilangan tertentu. Misalkan kita akan menghitung J = 1 + 2 + 3 + … + 100 Cara yang biasa dilakukan adalah menuliskan kembali bilangan-bilangan tersebut dengan urutan yang terbalik.
Modul Pembinan Matematika OSN SMP
J = 1 + 2 + 3 + … + 99 + 100 J = 100 + 99 + 98 + … + 2 + 1 2 J = 101 + 101 + 101 + … + 101 + 101 Perhatikan bahwa ruas kanan ada bilangan 101 sebanyak 100. Oleh karena itu 2 J = 100 101 J = 50 101 Khususnya, jika 1 2 3
n
1 2
n(n 1)
Secara sederhana, untuk mencari deret aritmatika menggunakan rumus: n 2u1 (n 1)b Sn 2
Sn
u1
u2
un , kita dapat
e. Deret Geometri Penjumlahan Bilangan Dengan Pola Perkalian
Teknik serupa juga dapat dikembangkan untuk bilangan dengan pola perkalian. Misalkan diketahui bilangan 2, 4, 8, 16, 32, … yaitu bilangan berikutnya diperoleh dengan mengalikan 2 bilangan di depannya. Untuk mudahnya, kita dapat menuliskan bilangan tersebut dalam bentuk 2, 22, 23, 24, 25, … Kemudian, suku ke n dari pola bilangan ini adalah 2n, dan kita ingin mencari J = 2 + 22 + 23 + … + 2n 2 J = 22 + 23 + … + 2n + 2n +1 Selisih antara dua penjumlahan ini memberikan 2 J – J = 2n +1 – 2 J = 2n +1 – 2 Secara sederhana pula, untuk mencari deret geometri S n menggunakan rumus: a(1 r n ) Sn 1 r
u1
u2
un , kita dapat
Modul Pembinan Matematika OSN SMP
LATIHAN SOAL
1. Hitunglah nilai dari 2. Hitunglah nilai dari 3. Jika 13 23
1 2
2
1
1
1 1 2
2 1 3
1
2
3 1 4
2 3
1 22
1
2 4
4
3 4
1 5
1 99 2 3 5 5
100
4 5
...
1 40
2
2 ... 40
1 2 3 , hitunglah nilai dari 53 63
dan 13 23 33
4. Hitunglah nilai dari 1
3
...
1 32
1
73
39 40 83
93
1 1 ... 1 42 992
5. Diketahui pada sebuah barisan aritmatika, nilai suku ke-37 empat kali nilai suku ke-4. Suku dari barisan tersebut yang mempunyai nilai 3 kali suku pertama adalah ........
3. SISTEM PERSAMAAN LINIER
SPL dengan 2 variabel dari 2 persamaan, mempunyai bentuk umum sebagai berikut: a1 x b1 y c1 a 2 x b2 y
c2
Dengan menggunakan substitusi dan eliminasi, diperoleh (x, y) yang merupakan penyelesaian dari SPL di atas.
LATIHAN SOAL
1. Bila jumlah dua bilangan adalah 67 dan selisihnya adalah 45, maka carilah kedua bilangan tersebut ! 2. Sebuah bilangan terdiri dari dua angka yang besarnya tujuh kali jumlah angkaangkanya. Bila kedua angka dipertukarkan, diperoleh bilangan baru yang nilainya 18 lebih dari jumlah angka-angkanya. Bilangan manakah itu ? 3. Usia ibu 5 tahun lebih muda dari usia ayah. Perbandingan usia ibu dan ayah 5 tahun yang lalu adalah 5 : 6, sedangkan perbandingan usia ibu dan ayah 10 tahun yang akan datang adalah 8 : 9. Tentukan usia ibu sekarang. 4. Bila 3 a 27 b
2a 4
b
1
, maka hitunglah nilai a dan b. 64 5. Tentukan solusi dari sistem persamaan berikut ini: x y u 4 81 dan
y
u
u
v x
5
v
v x y
0 8
Modul Pembinan Matematika OSN SMP
4. PERSAMAAN KUADRAT
Bentuk umum persamaan kuadrat: 2 ax bx c dimana a, b dan c bilangan-bilangan real.
0,
a
0
Penyelesaian persamaan kuadrat
Nilai-nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat biasa dinotasikan dengan x1 dan x2. Nilainilai x tersebut sering disebut akar-akar persamaan kuadrat atau penyelesaian/solusi persamaan kuadrat. a. Jenis-jenis akar persamaan kuadrat Definisi diskriminan: Jika diberikan persamaan kuadrat ax2 kuadrat tersebut adalah:
bx c
0 , maka diskriminan dari persamaan
2 D b 4ac Jenis-jenis akar persamaan kuadrat dapat dilihat berdasarkan nilai dari diskriminan D yang dikelompokkan menjadi 3 jenis, yaitu:
1. Akar-akar real berbeda ( x 1
x 2
)
Sebuah persamaan kuadrat memiliki akar-akar real berbeda x1 positif (D > 0).
x2 jika nilai diskriminan D
2. Akar real sama/kembar ( x 1 = x 2)
Sebuah persamaan kuadrat memiliki akar-akar kembar x1 = x2, jika nilai diskriminan D nol ( D = 0 ). 3. Akar-akar kompleks
Sebuah persamaan kuadrat memiliki akar-akar kompleks x1,2 = p qi ( i 1 ) jika nilai diskriminan D negatif (D < 0). Bilangan yang berbentuk seperti ini disebut bilangan kompleks. Persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan beberapa cara, diantaranya adalah: 1. Faktorisasi 2. Kuadrat sempurna 2 q, Persamaan kuadrat ax2 bx c 0 diubah ke bentuk ( x p) 3. Rumus abc Rumus abc ditulis sebagai berikut: x1, 2
b2
b
dimana D : nilai diskriminan =
b2
2a –4ac.
4ac
atau x1, 2
b
D 2a
Modul Pembinan Matematika OSN SMP
Hubungan akar-akar persamaan kuadrat dengan koefisien-koefisien persamaan kuadrat
Hubungan akar-akar persamaan kuadrat dengan koefisien-koefisien dapat dilehat sebagi berikut: Jika x1 dan x2 adalah akar-akar dari persamaan kuadrat ax2 maka persamaan tersebut sama dengan persamaan ( x Sehingga diperoleh hubungan
x1 x 2
o
x1 )( x
x2 )
x
2
0 atau ( x1
x
x2 ) x
2
b
x
c
a
a
x1 x2
0.
0,
b
x1 x 2
o
bx c
a
c a
LATIHAN SOAL
1. Jika akar-akar persamaan kuadrat x2
2 x 5
0 adalah a dan b, tentukan
1
1
2
2
a b 2 2 2 2. α dan β adalah akar-akar persamaan x 4 a 3 x 6 0 . Jika 6 , maka α
+ β = ...... 3. Diketahui akar-akar persamaan kuadrat adalah satu lebih kecil dari 3 kali akar-akar persamaan kuadrat x 2 x b 0 . Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah a dan b 4. Jika α dan β merupakan akar-akar persamaan kuadrat p 2 x 2 p 2 x 3 p 2 0 dan berlaku hubungan . 2 , tentukan nilai p. 5. Nilai x positif yang memenuhi persamaan 1 1 2 2
x 10x 29
2
x 10 x 45
2
x 10 x 69
adalah
5. OPERASI ALJABAR DAN MANIPULASI ALJABAR
1. Perpangkatan: a
b
2
a
a
b
3
a
2
2 ab
3
3a2 b 3ab 2
b
2
b
3
2. Jumlah dan selisih kuadrat 2 2 2 a b a b 2 ab atau a2 a
2
b
2
a
b
a
b
2
a
b
2
2 ab
b
LATIHAN SOAL
1. Jika diketahui x
1
dan x > 0, maka nilai dari x
1
.... x x 2. Jika x dan y adalah bilangan real sehingga xy = 13 dan x + y = 10, tentukan nilai x2 + y2 2
Modul Pembinan Matematika OSN SMP
3. jika
3a 4b
a
2
6b
2
adalah….. 5 , maka nilai dari 2a 2b ab 4. 3 bilangan real positif a, b, dan c memenuhi persamaan (a + b)(a + b + c) = 120 (b + c)(b + c + a) = 96 (c + a)(c + a + b) = 72 Nilai dari 3a + 2b + c adalah.... 5. Tentukan bilangan bulat positif a dan b yang memenuhi 5 24 a b 6. Sebuah mobil berjalan dengna kecepatan rata-rata 40 km/jam menempuh sebuah jarak dalam 5 jam. Berapa kecepatan rata-rata mobil tersebut jika dengan jarak yang sama ditempuh selama 4 jam? 7. Perbandingan sisi-sisi segitiga adalah 5 : 12 : 13. Jika kelilingnya 120 cm, maka sisi terpanjang dari segitiga itu adalah ... 8. Sebuah pekerjaan dikerjakan oleh 25 orang dalam waktu 32 hari. Jika dikerjakan oleh 20 orang, maka pekerjaan tersebut dapat selesai dalam waktu ... hari
DAFTAR PUSTAKA
Arie Wibowo, dkk, Materi Ajar Program Pembinaan Pengembangan Peningkatan Mutu SMP Bidang Sains Pelajaran Matematika Science Center FMIPA-UI, Jakarta 2007. David A. Santos, Junior Problem Seminar , Philadelphia, 2004. Kurniawan dan Suryadi MT, Siap Juara Olimpiade Matematika SMP, Penerbit Erlangga, Jakarta, 2006. Sarini, dkk, Modul Matrikulasi Mahasiswa PPKB, Universitas Indonesia, Jakarta, 2006. Soal-soal olimpiade dari berbagai negara.