A.
Pendahuluan
Ilustrasi 1.1:
Perhatikan Gambar 1.1 1.1 berikut berikut ini:
D
C
C
D
A
B
D
A
A
B
B
A
D
C
C
B
a
b
c Gambar 1.1
Gambar (b) diperoleh dari gambar (a) yang di .... Bagaimanakah cara untuk memperoleh gambar (c) dan (d) dari gambar (a) ? Operasi apakah yang digunakan agar dari gambar (a) menjadi gambar (d)?
d
2
Perhatikan Gambar 1.2 di bawah ini:
D
C
B
C
A
B
A
D
(i)
(ii) Gambar 1.2
Bila operasi yang tersedia hanya operasi rotasi dan refleksi (datar dan tegak), bagaimana cara mendapatkan gambar (ii) dari gambar (i) tersebut di atas?
Ilustrasi 1.2:
Misalkan A Misalkan A himpunan himpunan tak kosong, dan A a, b, c, d , e, f . a b c a b d a b e a : b f Simbol , , , dan : merupakan simbol operasi pada suatu himpunan. Selain empat simbol dasar tersebut, ada simbol-simbol operasi lain, seperti *, , , dan lain sebagainya, yang dapat didefinisikan sesuai dengan kebutuhan. Sebagai contoh, misalnya
A a, b, c . Operasi * pada himpunan A didefinisikan A didefinisikan dengan cara seperti tertulis dalam Tabel 1, 2 dan 3 berikut ini:
Tabel 1.1
Tabel 1.2
Tabel 1.3
*
a
b
c
*
a
b
c
*
a
b
c
a
a
b
c
a
a
a
a
a
b
c
a
b
b
c
a
b
a
a
a
b
c
b
a
c
c
a
b
c
a
a
a
c
a
c
b
Tabel yang dapat digunakan untuk mendefinisikan operasi-operasi tersebut disebut sebagai tabel Cayley.
Perhatikan kembali operasi tersebut. Operasi tersebut menghubungkan dua elemen dari suatu himpunan, ke elemen lain dalam himpunan tersebut. Operasi yang demikian ini disebut sebagai operasi biner.
Definisi 1.1:
Operasi Biner
Misalkan G suatu himpunan tak kosong. Operasi biner * pada himpunan G adalah suatu fungsi (pemetaan) yang mengkaitkan setiap pasangan terurut dari elemen di G ke elemen di G. Dengan kata lain, operasi biner * pada himpunan G adalah suatu fungsi * : G G G dari produk Cartesius G G a, b a , b G , ke himpunan G.
Problem 1.1:
Perhatikan beberapa tabel berikut ini.
Tabel 1.4
Tabel 1.5
Tabel 1.6
*
a
b
*
a
b
*
a
b
a
a
b
a
e
a
a
a
a
c
b
a
b
b
a
a
b
Manakah di antara tabel-tabel tersebut yang merupakan operasi biner? Berikan penjelasan!
Problem 1.2:
Berdasarkan Definisi 1 tersebut di atas, dapatkah kamu memberikan contoh beberapa operasi biner pada suatu himpunan?
Problem 1.3:
Selidiki apakah operasi penjumlahan, pengurangan & perkalian pada himpunan bilangan bulat
merupakan operasi biner. Berikan penjelasan!
4
Problem 1.4:
Operasi pembagian pada himpunan bilangan bulat pada himpunan bilangan bulat
bukan merupakan operasi biner
. Selidiki kebenaran pernyataan tersebut dan berikan
penjelasan.
Ilustrasi 1.3:
Perhatikan persamaan linier berikut ini:
3 x 4 2x 3 . Untuk menyelesaikan persamaan linier tersebut, tahapan yang dilalui adalah sebagai berikut: 3 x 4 2 x 3
2 x 4 x 4 2 x 2 x 3
( 2 x adalah invers penjumlahan dari 2 x )
2 x 4 x 4 2 x 2 x 3
(assosiatif)
2 x 4 0 3
(0 adalah elemen identitas pada penjumlahan)
2 x 4 3 2 x 4 4 3 4
( 4 ad adalah invers penjumlahan dari 4)
2 x 1
1 2 x 1 1 2 2 1 x x
1 2 1
(
1 2
adalah invers perkalian dari 2)
(1 adalah elemen identitas pada operasi perkalian)
2
Perhatikan proses penyelesaian persamaan linier tersebut. Ada tiga sifat penting yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan tersebut, yaitu invers, assosiatif , dan elemen identitas. Ketiga sifat tersebut merupakan syarat perlu dari suatu himpunan, yang
bersama-sama dengan operasi biner * membentuk sebuah grup.
5
Grup
Sebuah grup adalah sebuah pasangan terurut (G ( G,*), dengan G adalah sebuah himpunan tak kosong, dan * adalah sebuah operasi biner pada G yang memenuhi sifat-sifat berikut: 1.
Asosiatif . Operasi tersebut bersifat asosiatif, yaitu
a * b *c
a * b * c , untuk
semua a, b, c di c di G. 2.
Identitas.
Terdapat
suatu
elemen
e (disebut
identitas)
di
G,
sehingga
a * e e * a a , untuk semua a di G. 3.
Invers. Untuk setiap elemen a di G, terdapat suatu elemen b di G (disebut invers)
sehingga a * b
b*a e .
Problem 1.5:
Berdasarkan
a *b * c
definisi
tersebut,
bila
G grup,
dan
a,
b,
c
di
G,
maka
a * b * c a * b * c . Bagaimana pendapatmu tentang pernyataan tersebut?
Berikan penjelasan!
Problem 1.6:
Bila operasi biner * pada: (a)
himpunan bilangan bulat
(b)
himpunan bilangan riil
didefinisikan oleh a * b b a , dan didefinisikan oleh a * b a b ab ,
selidiki apakah operasi biner * tersebut bersifat asosiatif. Jelaskan jawabmu!
Problem 1.7:
Selidiki apakah himpunan bilangan bulat
, rasional
, dan riil
beserta operasi
perkalian membentuk grup. Berikan penjelasan! Apakah mungkin himpunan yang diberikan dengan operasi operasi ini membentuk grup jika beberapa elemennya dibuang? dibuang? Jelaskan jawabmu!
Problem 1.8:
Himpunan bilangan bulat tak nol dan operasi perkalian tidak membentuk sebuah grup. Benarkah pernyataan ini? Jelaskan jawabmu!
6
Problem 1.9:
Berikut ini adalah beberapa operasi biner, yaitu: +, -, dan • di
. Selidiki apakah operasi-
operasi tersebut asosiatif?
Problem 1.10:
Selidiki pula apakah operasi-operasi pada Problem 9 tersebut bersifat komutatif. Bila tidak, berikan contoh kontranya (counter example) untuk menunjukkannya.
Problem 1.11:
Misalkan A adalah himpunan sebarang (cukup yang sederhana saja), dan * adalah operasi pada himpunan A. Buatlah beberapa tabel Cayley dari ( A,*). Definisikan operasi * pada himpunan A tersebut sedemikian sehingga a) * bukan operasi biner; b) ( A,*) tidak mempunyai identitas; c) Ada unsur di A yang tidak mempunyai invers.
Problem 1.12:
Misalkan A a, b , B a, b, c dan C a, b, c, d dan * adalah operasi pada himpunan A, B dan C . (a)
Buatlah tabel Cayley dari ( A,*), ( B,*), dan (C ,*).
(b)
Kapan suatu tabel Cayley merupakan suatu grup? Carilah semua kemungkinan agar terbentuk tabel Cayley yang merupakan grup.
(c)
Apakah ciri-ciri tabel Cayley yang merupakan grup? Jelaskan jawab Anda!
Problem 1.13:
a b , dan operasi penjumlahan c d
Selidiki apakah matriks ukuran 2x2 sebarang, seperti
pada matriks membentuk sebuah grup. Jelaskan jawabmu!
7
(a)
Jika a dan b bilangan bulat dan n bilangan bulat positif, bilangan a disebut modulo n terhadap b jika n habis membagi a – b, dan ditulis
a
b mod n . Sebagai contoh,
10 1 mod 3, karena 10 1 3q , dan 14 2 mod 4, karena 14 2 4q , dengan q adalah kuosien (hasil bagi). (b)
Pada modulo, dikenal juga operasi penjumlahan dan perkalian mod n , yang dinyatakan dengan a b mod n dan ab mod n . Ditulis,
a b
mod n a mod n b mod n mod n , dan
ab mod n a mod n b mod n mod n. Sebagai contoh,
12 15
12 mod 10 15 mod 10 mod 10 = 2 mod 10 5 mod 10 mod 10
mod 10 =
= 7 mod 10 = 7. (13 27)mod10 13mod10 27 mod10 mod10
3 7mod10 21mod10 1. Untuk selanjutnya, 27 mod 10 = 7 mod 10. (c)
ab mod n adalah bilangan bulat r dengan sifat a b nq r , dengan 0 r n , dan a b adalah perkalian biasa. Bilangan bulat a mempunyai invers perkalian modulo n jika dan hanya jika a dan n prima relatif. Pada contoh perkalian modulo 10 di atas, 7 adalah invers perkalian modulo 10 dari 3, karena 10 dan 3 adalah prima relati f.
Problem 1.14:
Himpunan Z n 0,1, 2,..., n 1 untuk
n 1 membentuk grup di bawah operasi
penjumlahan modulo n. Selidiki kebenaran pernyataan tersebut, dan sebutkan elemen identitas dan inversnya.
Problem 1.15:
Selidiki apakah Z n \ 0 , untuk n 2,3,4 membentuk grup? Jelaskan jawabmu!
8
Problem 1.16:
1,2,3 di
Jelaskan mengapa himpunan
bawah perkalian modulo 4 bukan grup tetapi
1,2,3,4 di bawah perkalian modulo 5 merupakan grup. Problem 1.17:
Buatlah tabel Cayley untuk (a)
Apakah
(b)
Elemen manakah dari
6
6
terhadap operasi perkalian.
grup terhadap perkalian? 6
yang mempunyai invers dan manakah yang tidak?
Problem 1.18:
Kerjakan hal yang sama seperti pada Problem 21, tetapi untuk
7
dan
10
.
Problem 1.19:
Apakah yang dapat Anda simpulkan dari ketiga himpunan tersebut? Kapankah suatu himpunan
n
merupakan grup terhadap operasi perkalian?
Definisi 1.2:
Grup Abelian
Grup (G,*) disebut abelian (komutatif ) jika a * b
b * a untuk semua a, b di G.
Problem 1.20:
Jika G grup yang mempunyai tiga elemen, maka G pasti abelian. Selidiki kebenaran pernyataan tersebut.
Problem 1.21:
Misalkan G sebuah grup dengan sifat-sifat sebagai berikut: Jika a, b, dan c adalah elemenelemen dari G, dan ab ca, maka b c. Buktikan bahwa G adalah Abelian. Petunjuk: (a) Untuk membuktikan, mulai dengan ab ca. (b) Gunakan informasi yang diberikan dalam soal. (c) Tuliskan kesimpulan Anda.
9
Problem 1.22: 1
Buktikan bahwa sebuah grup G adalah Abelian jika dan jika ab a 1b 1 , untuk semua a dan b di G. Petunjuk: (a) Mulailah pembuktian dengan menggunakan definisi grup Abelian, yaitu ab ba. (b) Gunakan sifat-sifat aljabar dari invers komposisi dua elemen, yaitu ab
1
b 1a 1.
(c) Tuliskan kesimpulannya.
Definisi 1.3:
Prima Relatif
Suatu bilangan bulat positif a dikatakan prima relatif dengan n, bila faktor persekutuan terbesarnya dengan n adalah 1. Dengan kata lain, FPB (a,n) = 1.
Problem 1.23:
Misalkan A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kurang dari 10. Sebutkan semua anggota A yang prima relatif dengan 10, tuliskan sebagai himpunan B.
Problem 1.24:
Terhadap perkalian modulo 10, selidiki apakah B membentuk grup.
Problem 1.25:
Misalkan U (n) didefinisikan sebagai himpunan semua bilangan bulat positif yang lebih kecil dari n dan prima relatif ke n, untuk setiap n > 1, n U (n), bila 1. n bilangan prima 2. n p q, p dan q saling prima 3. n p 2 , p prima. Petunjuk: ambillah n yang khas.
. Berikan contoh himpunan
10
Buatlah tabel Cayley untuk U (10) dengan operasi perkalian modulo 10. (a) Carilah elemen identitasnya dan selidiki apakah elemen identita snya tunggal? (b) Sebutkan unsur-unsur yang saling invers dari elemen-elemen pada U (10), bila ada. Apakah inversnya tunggal? (c) Selidiki apakah U (10) merupakan grup di bawah operasi perkalian modulo 10? Bagaimana pula dengan U (12), U (15)? (d) Kesimpulan apakah yang dapat kamu ambil dari beberapa contoh U (n) tersebut?
B.
Sifat-sifat Elementer dari Grup
Teorema 1.1:
Ketunggalan Identitas
Dalam sebuah grup G, hanya ada satu elemen identitas.
Problem 1.27:
Buktikan Teorema 1.1 tersebut. Petunjuk: untuk membuktikan ketunggalan, biasanya dimulai dengan mengambil pengandaian yang terbalik. (a)
Andaikan ada 2 elemen identitas, yaitu e dan e '.
(b)
Bila masing-masing elemen tersebut merupakan unsur identitas, sifat apakah yang akan dipenuhi oleh e dan e '.
(c)
Tuliskan suatu kesimpulan berdasarkan jawab pertanyaan (b)!
Teorema 1.2:
Pembatalan
Dalam sebuah grup G, hukum pembatalan kanan dan kiri berlaku, yaitu ba ca mengakibatkan b c , dan ab ac mengakibatkan b c .
11
Buktikan Teorema 1.2 tersebut berdasarkan petunjuk berikut ini. Petunjuk: (a)
Untuk membuktikan, mulailah dengan ba ca.
(b)
Karena grup, maka a mempunyai invers.
(c)
Kalikan persamaan di (a) dengan invers dari a. Perhatikan arah perkalian.
(d)
Hitunglah hasilnya.
(e)
Lakukan dengan cara yang sama untuk persamaan ab ac.
Teorema 1.3:
Ketunggalan Invers
Untuk setiap elemen a dalam sebuah grup G, ada elemen tunggal b dalam G, sehingga
ab ba e.
Problem 1.29:
Buktikan Teorema 1.3 tersebut. (Petunjuk: lakukan prosedur seperti pada pembuktian Teorema 1.1 di atas, yaitu mulai dengan asumsi terbalik. (a)
Andaikan ada dua invers, yaitu b1 dan b2.
(b)
Bila keduanya merupakan invers dari a, sifat apakah yang diperoleh dari perkalian kedua invers tersebut masing-masing dengan a?
(c)
Gunakan Teorema 1.2 untuk menyimpulkan jawab pertanyaan (b).
12
Adalah lazim apabila dalam membicarakan sebuah kelompok (grup) secara umum, kita ingin mengetahui ada berapa banyak anggota grup tersebut. Sebagaimana ketika kita bertemu seorang anak yang tidak dikenal, biasanya pertanyaan yang diajukan adalah sekolah di mana, kelas berapa, dan berapa banyak temannya dalam satu kelas? Dalam konteks grup dalam aljabar, banyaknya anggota (elemen) dari suatu grup juga merupakan hal yang menarik untuk diketahui. Berikut ini akan diperkenalkan beberapa istilah yang berkaitan dengan banyaknya elemen dari suatu grup, dan notasi yang digunakan.
Definisi 2.1: Orde dari sebuah Grup Orde dari sebuah grup G, dinyatakan dengan G , adalah banyaknya elemen dari sebuah
grup G (hingga atau tak hingga).
Problem 2.1:
Berikan contoh orde dari beberapa grup, seperti grup himpunan bilangan bulat operasi penjumlahan,
12
terhadap
, U (10) , dan sebagainya.
Definisi 2.2: Orde dari suatu Elemen
Jika G sebuah grup dan g G , maka orde dari elemen g tersebut adalah bilangan bulat n positif terkecil n sedemikian sehingga g e. Notasinya: g n.
Elemen g dikatakan mempunyai orde takhingga, jika tidak ada bilangan bulat n yang memenuhi persamaan tersebut.
13
Problem 2.2:
Bila a adalah elemen dari grup
terhadap operasi penjumlahan, tentukan orde a.
Petunjuk: buatlah barisan nilai ak , k
, dengan ak adalah operasi penjumlahan
sebanyak k kali.
Problem 2.3:
Hitunglah orde dari grup
10
, dan elemen-elemennya terhadap penjumlahan modulo
10.
Problem 2.4:
Hitunglah orde U (15) dan elemen-elemennya terhadap perkalian modulo 15. Petunjuk: Untuk memudahkan penghitungan, gunakan trik berikut. Misalkan kita akan menghitung orde elemen 13. Perhatikan bahwa 13 2 modulo 15 , karena 13 2 0 modulo 15, sehingga 132 (2) 2 4 , 133 13 132 (2) 4 8 , 134 13 133 (2) (8) 1. Jadi orde elemen 13 adalah 4.
Ilustrasi 2.1:
Dalam teori himpunan, kita mengenal apa yang disebut sebagai subset (himpunan bagian). Begitu pula dalam teori grup, kita akan mengenal juga apa yang disebut sebagai subgrup. Sebagai ilustrasi untuk memperkenalkan konsep subgrup, perhatikan tabel Cayley dari grup Abelian
6
, berikut:
Tabel 2.1 + 0 1 2 3 4 5 0
0 1 2 3 4 5
1
1 2 3 4 5 0
2
2 3 4 5 0 1
3
3 4 5 0 1 2
4
4 5 0 1 2 3
5
5 0 1 2 3 4
14
Dapatkah kalian melihat keistimewaan grup tersebut? Misalkan G grup Abelian terhadap operasi penjumlahan, dengan G 0,2,4,1,3,5 . Apakah yang dapat kalian katakan tentang grup G dan
Sekarang perhatikan tabel Cayley untuk grup
6
?
G, pada
Tabel 2.2 berikut. Dapatkah
kalian melihat keistimewaannya? Tabel 2.2 + 0 2 4 1 3 5 0
0 2 4 1 3 5
2
2 4 0 3 5 1
4
4 0 2 5 1 3
1
1 3 5 2 4 0
3
3 5 1 4 0 2
5
5 1 3 0 2 4
Misalkan H dan K adalah himpunan bagian dari grup G tersebut, dengan H 0,2,4 dan
K 1,3,5 . Dengan melihat tabel Cayley tersebut, kamu dapat menentukan manakah di antara H dan K yang mempunyai sifat-sifat seperti grup G. Apakah yang dapat kamu simpulkan tentang H dan K ?
Dari ilustrasi tersebut, kita mendapatkan gambaran kapankah sebuah himpunan bagian dari sebuah grup merupakan sebuah grup. Berikut ini dijelaskan definisi dari subgrup tersebut.
Definisi 2.3: Subgrup
Himpunan tak kosong H adalah himpunan bagian dari sebuah grup G. H dikatakan subgrup dari G jika H merupakan grup terhadap operasi yang sama di G.
15
Keterangan:
Notasi yang biasa digunakan untuk menyatakan bahwa H merupakan subgrup dari G adalah: H G . Bila H subgrup dari G tetapi tidak sama dengan G disebut subgrup murni ( proper subgrup), dan ditulis H
G.
Problem 2.5:
Buktikan bahwa {e} adalah subgrup dari G.
Keterangan:
Subgrup {e} dan G sendiri disebut subgrup trivial dari G. Bila ada subgrup lain dalam grup G yang bukan {e} atau G, maka subgrup tersebut dikatakan subgrup nontrivial dari G. Pada Ilustrasi 2.1 tersebut di atas, H merupakan subgrup nontrivial dari G.
Problem 2.6:
Buktikan bahwa
n
terhadap operasi penjumlahan modulo n bukan subgrup dari
terhadap operasi penjumlahan.
Problem 2.7: 7
0 adalah grup terhadap operasi perkalian. Selidiki apakah
7
0 tersebut
mempunyai subgrup nontrivial!
Problem 2.8:
Perhatikan himpunan-himpunan P, Q dan R berikut, dengan P 0,5 , Q 0,2,4,6,8 dan R 0,1,2,3,4,5,6 . Himpunan-himpunan P, Q dan R tersebut merupakan himpunan bagian dari grup
10
terhadap operasi penjumlahan. Selidiki manakah dari ketiga
himpunan bagian tersebut yang merupakan subgrup dari
10
!
Problem 2.9:
Misalkan himpunan-himpunan K , L, dan M berikut adalah himpunan bagian dari grup terhadap operasi penjumlahan, dengan elemen-elemennya adalah: K 4k k
,
16
L 4k 1 k
dan
M 4k 1 k
yang merupakan subgrup dari
.
Dari ketiga himpunan tersebut, manakah
?
Problem 2.10:
Misalkan diketahui dua grup A dan B adalah subgrup dari grup G. Buktikan bahwa A B juga subgrup dari G jika dan hanya jika A B atau B A.
Problem 2.11:
Buktikan bahwa jika S dan T adalah subgrup dari G, maka S T , juga merupakan subgrup dari G.
Problem 2.12:
Buktikan bahwa himpunan bilangan bulat ganjil dan nol bukan merupakan subgrup dari .
Problem 2.13:
Bila H subgrup dari G dan K subgrup dari H , selidiki apakah K juga subgrup dari G!
Problem 2.14:
Buktikan pernyataan-pernyataan berikut:
(a) (b)
dan
terhadap operasi penjumlahan.
0 , bukan subgrup dari
0 , .
Berdasarkan definisi subgrup yang sudah kita pahami melalui beberapa problem yang sudah dikerjakan, ada cara lain untuk memeriksa apakah suatu himpunan bagian dari suatu grup merupakan subgrup dari grup tersebut. Cara memeriksa subgrup ini dikenal sebagai Tes Tahap ke-1, Tes Tahap ke-2, dan Tes Subgrup Berhingga, sebagaimana dikemukakan dalam teorema-teorema berikut.
17
Teorema 2.1:
Tes Tahap ke-1 dari Subgrup
Misalkan H adalah himpunan bagian tak kosong dari suatu grup G. H adalah subgrup dari G jika ab1 dalam H , untuk setiap a dan b di H .
Catatan:
Untuk notasi penjumlahan, H adalah subgrup jika a – b di H untuk setiap a, b di H .
Problem 2.15:
Buktikan Teorema 2.1 tersebut di atas! Petunjuk: Gunakan sifat-sifat grup yaitu asosiatif, identitas, invers dan tertutup.
Problem 2.16:
Misalkan G adalah grup dari bilangan-bilangan riil tak nol terhadap operasi perkalian. P dan Q adalah himpunan bagian dari grup
P x G x 1 dan
G, dengan
Q x G x 1 atau x irasional . Dengan menggunakan Teorema 2.1, selidiki apakah P dan Q subgrup dari G!
Problem 2.17
Misalkan G grup Abelian terhadap perkalian dengan identitas e. Bila H dan K adalah
himpunan bagian dari G, dengan H x 2 x G dan K x G x 2 e , buktikan bahwa H dan K merupakan subgrup dari G.
Teorema 2.2:
Tes Tahap ke-dua dari Subgrup
Misalkan H adalah himpunan bagian tak kosong dari suatu grup G. H adalah subgrup dari G jika ab H , untuk setiap a, b H (tertutup terhadap operasi perkalian) dan a 1 H , untuk setiap a H (tertutup terhadap invers-inversnya).
18
Problem 2.18
Buktikan teorema tersebut di atas. Petunjuk: gunakan Teorema 2.1.
Problem 2.19
Misalkan G adalah grup dari semua matriks ukuran 2x2,
a b , c d
yaitu
dengan
ad bc 0 terhadap operasi penjumlahan. R dan S adalah himpunan bagian dari grup G.
a b 1 b dan S G ad 0 , tunjukkan bahwa R merupakan 0 1 0 d
Bila R
subgrup dari G dan S subgrup dari R.
Teorema 2.3:
Tes Subgrup Berhingga
Misalkan H adalah himpunan bagian berhingga tak kosong dari suatu grup G, maka H adalah subgrup dari G jika H tertutup terhadap operasi di G.
Problem 2.20:
Buktikan teorema tersebut! Petunjuk: (a)
tunjukkan bahwa a 1 H untuk setiap a H .
(b)
Mulai dengan jika a e, maka pembuktian selesai.
(c)
Jika a e, gunakan sifat H sebagai himpunan berhingga, dengan barisan a, a 2 , a3 ,... yang berhingga, di mana semua pangkat positif a ada di H , dan tidak semua elemen ini berbeda.
(d)
Andaikan ai a j , dengan i>j, maka ai j e . Tunjukkan bahwa ai j 1 H .
Teorema 2.4:
a adalah Subgrup
Misalkan G suatu grup, dan a adalah elemen dari G, maka a adalah subgrup dari G.
19
Catatan:
Bila a adalah elemen dari suatu grup, maka
a a n n
.
Subgrup
a
disebut
. Bila G a , maka G subgrup siklis dari G yang dibangkitkan ( generated ) oleh a disebut siklis dan a adalah pembangkit ( generator ) dari G.
Problem 2.21:
Buktikan teorema tersebut! Petunjuk: (a)
Tunjukkan bahwa a tidak kosong.
(b)
Gunakan Teorema 2.1.
Problem 2.22:
Tunjukkan bahwa 3 merupakan subgrup siklis dari
10
terhadap operasi penjumlahan.
Problem 2.23:
Tunjukkan bahwa 3 subgrup siklis dari U (10) terhadap operasi perkalian modulo n.
Problem 2.24:
Tunjukkan bahwa U (14) 3 5 dan selidiki apakah U (14) 11 .
Problem 2.25:
Buktikan bahwa U (20) bukan siklis.
Problem 2.26:
Tunjukkan bahwa U (15) mempunyai enam subgrup siklis.
Definisi 2.4: Pusat dari grup Pusat, Z(G), dari suatu grup G adalah subset dari elemen-elemen di G yang berhubungan
(commute) dengan setiap elemen dari G. Notasi: Z G a G ax xa untuk semua x di G .
20
Problem 2.27:
Tunjukkan bahwa jika G grup Abelian, maka Z (G) = G.
Teorema 2.5:
Pusat grup adalah subgrup
Pusat dari suatu grup G adalah subgrup dari G.
Problem 2.28:
Buktikan teorema tersebut! Petunjuk: gunakan Teorema 2.2 untuk membuktikan Teorema 2.5 tersebut.
Definisi 2.5: Pemusat a di G
Misalkan a adalah elemen yang tetap dari suatu grup G. Pemusat (centralizer ) a di G, dinyatakan dengan C(a), adalah himpunan semua elemen-elemen di G, yang berhubungan (commute) dengan a. Notasinya: C a g G ga ag
Problem 2.29:
Misalkan G suatu grup, dan a G. Tunjukkan bahwa C (a) C (a 1 ).
Teorema 2.6:
C(a) adalah subgrup
Untuk setiap a dalam suatu grup G, pemusat a yang dinyatakan dengan C(a), adalah subgrup dari G.
Problem 2.30:
Buktikan teorema tersebut!
Problem 2.31:
Selidiki kebenaran pernyataan berikut: G grup Abelian jika dan hanya jika C (a) G untuk semua a di G.
21
3.1 Sifat-sifat Grup Siklis
Ilustrasi 3.1:
Dari Bab 2, sudah dijelaskan bahwa suatu grup G disebut siklis jika ada suatu elemen a di G sehingga G a n n
. Elemen a tersebut dinamakan generator dari G. Selanjutnya,
G disebut grup siklis yang dibangkitkan ( generated ) oleh a dengan menuliskan G a .
Problem 2.17:
Setelah memahami Ilustrasi 3.1 tersebut, cobalah selidiki generator dari himpunan bilangan bulat
terhadap operasi penjumlahan biasa. Tentukan juga generator dari
himpunan-himpunan
6
,
8
, dan
20
, terhadap penjumlahan modulo 6, 8 dan 20.
Dapatkah kamu menentukan generator dari
n
( n 1) secara umum?
Problem 2.18:
Tuliskan semua elemen dari subgrup 20 dan 10 di
30
.
18
. Sebutkan pula semua elemen
Problem 2.19:
Tuliskan semua elemen dari subgrup 3 dan 15 di dari subgrup 3 dan 7 di U 20 .
Problem 2.20:
Perhatikan jawaban Problem 3.2 dan 3.3. Apakah yang dapat kamu simpulkan dari kedua jawaban soal tersebut?
22
Ilustrasi 3.2:
Perhatikan gambar berikut, dengan a 4 . …= a- = a = a = …
…= a- = a = a = …
…= a- = a = a = …
…= a- = a = a = … Gambar 3.1
Pada grup siklis
4
berorde 4 (berhingga), generatornya adalah 1 dan 3.
Ambil a 3 , maka 3 n.3 n
..., 1.3,0.3,1.3,2.3,3.3,4.3,5.3,6.3,7.3,...
...,1, 0,3,2,1, 0,3,2,1,... 0,3,2,1
.
Berdasarkan Gambar 3.1, 0.3 = 4.3 = 8.3. Demikian pula untuk 1.3 = 5.3 = 9.3, dan seterusnya. Perhatikan hubungan antara 0,4,8 dan 4 (orde grup). Demikian juga dengan hubungan antara 1,5,9 dan 4 (orde grup). Dapatkah kamu mengambil kesimpulan?
Perhatikan grup siklis U 9 yang berorde 6 (berhingga). Ambil a U 9 . Misalkan
a 2 , maka 2 2n n
..., 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
, 211, 212,...
...,1, 2, 4,8,7,5,1, 2, 4,8,7,5,... 1, 2, 4,8,7, 5 Memperhatikan elemen-elemen 2 , dapat dilihat bahwa ... 20 26 212 ... . Demikian pula ... 21 27 213 ... Adakah hubungan antara 0,6,12 dan orde dari grup (6)? Juga hubungan antara 1,7,13 dan orde dari grup? Dapatkah kamu mengambil kesimpulan?
Dengan memperhatikan kedua ilustrasi tersebut, dapat dicari suatu kriteria untuk pangkat (perkalian) dari a, yang berlaku untuk semua grup siklis G berorde n (hingga) dan tak
23
hingga. Bagaimana kita menentukan kriteria untuk pangkat a, sehingga diperoleh ai a j , ? Teorema berikut ini menjelaskan kriteria untuk ai a j .
dengan i, j
Kriteria untuk ai a j
Teorema 2.2:
Misalkan G adalah suatu grup dan a adalah elemen dari G. Jika a mempunyai orde tak hingga, maka semua pangkat berbeda dari a adalah elemen-elemen grup yang berbeda. Jika a mempunyai orde yang berhingga, sebut saja n, maka
a e, a , a 2 , ..., a n 1 dan
ai a j jika dan hanya jika n membagi i-j.
Problem 2.21:
Pahami Teorema 3.1. Cobalah terapkan teorema tersebut pada grup elemen dari
5
, dan tentukan orde elemen-elemen dari
5
5
. Tuliskan semua
tersebut.
Problem 2.22:
Selidiki subgrup siklis dari
5
tersebut. Bila a n , untuk setiap a di
5
, periksa apakah
a e, a , a 2 , ..., a n 1 dan ai a j jika dan hanya jika n membagi i-j.
Problem 2.23:
Kerjakan hal yang sama seperti pada Problem 3.5 dan 3.6 untuk grup lain. Ambillah contoh 2 grup yang berbeda.
Akibat 3.1: a k e mengimplikasikan bahwa a membagi k
Misalkan G adalah suatu grup dan a suatu elemen berorde n di G. Jika a k e , maka n membagi k .
24
Problem 2.24:
Pahami Akibat Teorema 3.1 tersebut. Selidiki pernyataan akibat tersebut untuk grup U (5) dan U (10). Bagaimana pendapatmu? Kerjakan dengan cara yang sama untuk 2 grup lain yang berbeda.
Ilustrasi 3.3:
Pada Ilustrasi 3.2 sebelumnya, U 9 2 21 , dengan U 9 6 . Perhatikan pangkat 1 dari 2 dan orde grup siklis U 9 . Adakah hubungan antara 1 dan 6? Apakah 1 dan 6 relatif prima? Subgrup siklis lain dari U 9 adalah 5 25 . Adakah hubungan antara pangkat 5 dari 2 dan 6 (orde grup)? Apakah 2 dan 6 relatif prima?
Cobalah selidiki apakah U (9) mempunyai generator lain, selain 2 dan 5. Misalkan ada
k
, sehingga 2k U (9) , apakah ada kaitan antara k dengan orde grup U (9) ? Apakah
kesimpulan yang kamu peroleh? Dapatkah kamu menentukan suatu kriteria untuk menentukan generator dari suatu grup siklis? Tanpa perlu mencari generator dari suatu grup siklis dengan mencoba elemennya satu persatu, ada suatu cara singkat untuk menentukan generatornya. Perhatikan teorema berikut.
Teorema 3.2:
Generator dari Grup Siklis
Misalkan G a adalah suatu grup siklis berorde n. Maka G a k jika dan hanya jika gcd (k, n) = 1.
Problem 2.25:
Selidiki apakah grup U 20 grup siklis! Bila ya, tentukan generator dari grup tersebut dengan menggunakan Teorema 3.2.
Problem 2.26:
Ambillah beberapa contoh grup siklis berorde n, dengan salah satu generatornya. Periksa apakah teorema tersebut berlaku pada contoh-contoh yang kamu ambil. Problem 2.27:
25
Cobalah kamu buktikan Teorema 3.2. Gunakan informasi yang diketahui pada teorema tersebut untuk membuktikan.
Akibat 3.2: Generator dari
Suatu bilangan bulat k di
n
n
adalah generator dari
n
jika dan hanya jika gcd (k, n) = 1.
Problem 2.28:
Selidiki pernyataan Akibat tersebut untuk grup
5
,
6
dan
9
. Dapatkah kamu
menentukan generator dari grup tersebut dengan cepat? Jelaskan j awabmu dengan singkat.
3.2 Klasifikasi Subgrup dari Grup Siklis
Ilustrasi 3.4:
Perhatikan kembali subgrup siklis
2 dari grup siklis U 9 1,2,4,5,7,8 . Elemen-
elemen dari subgrup siklis 2 adalah
2 21 21 , 22 , 23, 2 4 , 2 5, 2 6 2, 4,8, 7, 5,1 1, 2, 4, 5, 7,8 . Elemen-elemen subgrup siklis lain dari U 9 adalah:
4 22 41 , 4 2 , 4 3, 4 4 , 4 5, 4 6 4,7,1 1, 4,7 . 8 23 81,82 ,83,8 4,8 5,8 6 8,1 1,8 . 1 26 11 ,12 1,1 1 . 5 25 51, 52 , 53, 54, 55, 56 5, 7,8, 4, 2,1 1, 2, 4, 5, 7,8 . 7 24 71 , 7 2 ,7 3,7 4 , 7 5, 7 6 7, 4,1 1, 4, 7 . Perhatikan bahwa subgrup siklis subgrup-subgrup siklis dari
4 , 8 , 1 , 5 , 7 merupakan subgrup dari 2 . Orde 2 tersebut adalah
8 23 2 , 1 26 1 , 5 25 6 ,
2 21 6 ,
4 22 3 ,
7 24 3 . Perhatikan bahwa orde
subgrup-subgrup siklis tersebut adalah 1,2,3,6. Bandingkan dengan pembagi positif dari 6
26
(orde subgrup siklis 2 ), yaitu 1,2,3,6 . Adakah kesamaan? Berikut ini adalah teorema dasar grup siklis yang perlu diketahui.
Teorema 3.3:
Teorema Dasar Grup Siklis
Setiap subgrup dari suatu grup siklis adalah siklis. Jika
a n, maka orde suatu subgrup
dari a adalah pembagi dari n; dan untuk masing-masing pembagi positif k dari n, grup a mempunyai tepat satu subgrup berorde k , yang disebut a n / k .
Ilustrasi 3.5:
Perhatikan ilustrasi berikut ini: Diketahui grup siklis a yang berorde 20. Subgrup dari
a berbentuk a m , dengan m
adalah pembagi positif dari 20. Jika k pembagi positif dari 20, maka subgrup berorde k adalah a 20/ k . Dengan demikian, subgrup-subgrup dari a dapat ditentukan, yaitu: a e, a, a 2 , a 3 ,...., a 19
berorde 20,
a 2 e, a , a 2 , a 3 ,...., a 9
berorde 10,
a 4 e, a, a 2 , a 3 , a 4
berorde 5,
a5 e, a, a 2 , a 3
berorde 4,
a10 e, a
berorde 2,
a 20 e
berorde 1.
Problem 2.29:
Bila diketahui 3 adalah salah satu generator dari grup siklis U (50) , dengan U (50) 30 , tentukan subgrup-subgrup siklis dari 3 .
27
Problem 2.30:
Buktikan Teorema 3.3 tersebut.
Akibat 3.3: Subgrup dari
n
Untuk masing-masing pembagi k dari n, himpunan n / k adalah subgrup tunggal dari , yang berorde k . Subgrup ini merupakan satu-satunya subgrup dari
n
n
.
Problem 2.31:
Cobalah terapkan pernyataan Akibat 3.3 tersebut pada subgrup siklis yang kamu pilih sendiri.
Problem 2.32:
Misalkan suatu grup siklis G a , dengan a 24 . Tentukan semua generator untuk subgrup berorde 8.
Problem 2.33:
Misalkan G suatu grup dan a adalah elemen dari G. a. Jika a12 e , apakah yang dapat dikatakan tentang orde a? b. Jika a m e , apakah yang dapat dikatakan tentang orde a? c. Misalkan G 24 dan G siklis. Jika a8 e dan a12 e , tunjukkan bahwa a G .
Ilustrasi 3.6:
Dengan menggabungkan Teorema 3.2 dan 3.3, banyaknya elemen dari setiap orde dalam suatu grup siklis berhingga dapat dihitung dengan mudah. Ada suatu fungsi bilangan teoritis yang disebut fun gsi E ul er phi , yang berkaitan dengan banyaknya elemen dari suatu grup siklis. Misalkan (1) 1 , dan untuk bilangan bulat n 1 , (n) menyatakan banyaknya bilangan bulat positif yang kurang dari n, dan prima relatif ke n. Perhatikan bahwa U (n) n .
28
Problem 2.34:
Selidiki apakah U (n) grup siklis, untuk n 5,9,10,14,15,18, 20,22, 25. Bila U (n) grup siklis, tentukan generatornya. Buatlah suatu konjektur untuk U (n) .
Teorema 3.4:
Banyaknya Elemen dari Masing-masing Orde dalam Suatu Grup Siklis
Jika d adalah suatu pembagi positif dari n, banyaknya elemen berorde n dalam suatu grup siklis berorde n adalah d .
Problem 2.35:
Buktikan teorema 3.4 tersebut.
29
4.1 Definisi dan Notasi
Ilustrasi 4.1
Perhatikan suatu himpunan tak kosong A, dengan A himpunan berhingga. Himpunan A dinyatakan dengan A 1,2,3,..., n , untuk beberapa bilangan bulat positif n. Permutasi dari himpunan A tersebut adalah suatu fungsi dari A ke A yang satu-satu dan pada. Sebagai contoh, perhatikan himpunan A 1,2,3 . Untuk semua x elemen A, f ( x ) A , permutasi yang mungkin terjadi adalah 1. f (1) 1, f (2) 2, f (3) 3. 2. f (1) 1, f (2) 3, f (3) 2. 3. f (1) 2, f (2) 1, f (3) 3. 4. f (1) 2, f (2) 3, f (3) 1. 5. f (1) 3, f (2) 1, f (3) 2. 6. f (1) 3, f (2) 2, f (3) 1. Perhatikan bahwa ada 3! 6 permutasi yang mungkin terjadi.
Misalkan permutasi yang pertama ditulis dengan 1 . Untuk menyatakan hubungan antara himpunan A dan hasil permutasinya adalah dengan menyusunnya dalam bentuk matriks,
1
yaitu 1
f (1)
2 f (2)
3
1 2 3 . Dengan cara yang sama, permutasi ke dua f (3) 1 2 3
sampai ke enam juga dapat dinyatakan dalam bentuk matriks berikut ini:
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 , , , , 3 4 5 6 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 . 1 3 2
2
Permutasi
1 , 2 ,..., 6 membentuk suatu himpunan tersendiri, yaitu
permutasi
1 , 2 ,..., 6 .
himpunan
Bila himpunan ini bersama-sama dengan operasi komposisi
30
membentuk suatu grup, maka grup ini disebut grup permutasi . Berikut ini diberikan definisi dari permutasi suatu himpunan dan grup permutasi dari suatu himpunan.
Definisi 4.1
Permutasi A , Permutasi Grup A
Permutasi dari suatu himpunan A adalah suatu fungsi dari A ke A yang satu-satu dan
pada. Grup permutasi dari suatu himpunan A adalah suatu himpunan permutasi dari A yang membentuk grup terhadap komposisi fungsi.
Latihan 4.1
Misalkan diketahui dua permutasi
dan , dengan
1 2 3 4 dan 3 1 4 2
1 2 3 4 . Dengan operasi komposisi, selidiki apakah . 4 2 1 3
Latihan 4.2
Grup Simetri S 3
Misalkan S 3 menyatakan himpunan dari semua fungsi satu-satu dari 1,2,3 ke dirinya sendiri. S 3 ini membentuk grup dengan 6 elemen (perhatikan kembali Ilustrasi 4.1), terhadap operasi komposisi. Keenam elemen S 3 ini adalah , , 2 , , , 2 , dengan
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 , , , , 2 3 1 2 1 3 dan 3 1 2 1 3 2 1 2 3
1 2 3 . Selidiki apakah S 3 grup Abelian. 3 2 1
2
Latihan 4.3
Grup Simetri S n
Misalkan A 1, 2,3,..., n . Himpunan semua permutasi dari A disebut grup simetri derajat n dan dinyatakan dengan S n . Dengan memperhatikan Ilustrasi 4.1, dapat
diketahui bahwa banyaknya elemen dari S n ada n ! . Buktikan bahwa S n non Abelian, untuk n 3. Ilustrasi 4.2
Persegi yang Simetri
31
Perhatikan grup dihedral D4 . Setiap gerakan dalam D4 dihubungkan dengan permutasi dari keempat lokasi sudut persegi. Bila keempat sudut persegi tersebut diberi label, maka gambarnya dapat dilihat sebagai berikut: 3
2
4
1
1 2 3 4 2 3 4 1
Rotasi 900 ( R90 ) terhadap persegi tersebut berkaitan dengan permutasi
. Sedangkan refleksi terhadap garis horizontal ( H ) menghasilkan suatu permutasi
1 2 3 4 . 2 1 4 3
Latihan 4.4
Seperti
sudah
dijelaskan
dalam
bab
pengantar,
elemen
dari
D4
adalah
D4 R0 , R90 , R180 , R270 , H , V , D, D ' . Tuliskan elemen-elemen D4 tersebut dalam bentuk permutasinya, seperti dan tersebut di atas.
4.2 Notasi Putaran (Cycle N otation )
Ilustrasi 4.3
Selain notasi matriks seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya, permutasi dapat dinyatakan dalam notasi putaran (cycle notation). Perhatikan permutasi berikut:
1 2 3 4 5 6 . 2 1 4 6 5 3
Penempatan nilai-nilai pada permutasi tersebut dapat dinyatakan secara skematik sebagai berikut:
1
3
6 2
5
4
32
Skema tersebut kemudian diganti dengan notasi putaran sebagai berikut, yaitu
12 346 5 atau 12 346 . Perhatikan bahwa menurut kesepakatan, putaran yang hanya mempunyai satu masukan, yaitu (5), dapat dihilangkan. Bila dalam penulisan notasi putaran ada elemen yang hilang (tidak dituliskan), berarti elemen yang hilang tersebut dipetakan ke dirinya sendiri . Dengan demikian, untuk permutasi identitas seperti berikut ini,
1 2 3 4 5 , kita tidak dapat menghilangkan semua 1 2 3 4 5
elemennya, tetapi hanya menuliskan salah satu elemennya saja, yaitu 2 atau 5 , atau elemen lainnya.
1 2 3 4 5 6 . Permutasi ini dapat 5 3 1 6 2 4
Perhatikan permutasi ke dua berikut ini:
ditulis dalam notasi putaran 2315 64 atau 46 3152 . Panjang suatu putaran adalah banyaknya elemen dalam putaran tersebut. Misalkan
12345 , maka panjang putarannya adalah 5.
4.3 Sifat-sifat Permutasi
Teorema 4.1 Hasil Putaran yang Saling Lepas ( Di sj oint Cycl es )
Setiap permutasi dari suatu himpunan berhingga dapat ditulis sebagai suatu putaran (cycle) atau sebagai suatu hasil ( product ) dari putaran yang saling lepas.
Latihan 4.5
Buktikan Teorema 4.1 tersebut. Petunjuk: misalkan α adalah suatu permutasi pada himpunan A = {1, 2, 3, …, n}. Tuliskan permutasi α sebagai bentuk putaran yang saling lepas.
Latihan 4.6
Perhatikan Ilustrasi 4.3 di atas. 46 3152 merupakan sebuah permutasi, yang dinyatakan dalam dua putaran yang saling lepas. Berikan sebuah contoh permutasi yang dapat dinyatakan dalam suatu putaran atau hasil putaran yang saling lepas!
33
Latihan 4.7
Misalkan
1 2 3 4 5 6 7 8 2 1 3 5 4 7 6 8
dan
1 2 3 4 5 6 7 8 . 1 3 8 7 6 5 2 4
Tuliskan α dan β sebagai hasil dari putaran yang saling lepas.
Teorema 4.2 Komutasi Putaran yang Saling Lepas
Jika sepasang putaran a1 , a2 ,..., am dan b1 , b2 ,..., bn tidak mempunyai elemenelemen (entry) yang sama, maka .
Latihan 4.8
Buktikan Teorema 4.2 tersebut.
Latihan 4.9
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 dan . Selidiki apakah 2 1 3 5 4 6 6 1 2 4 3 5
Misalkan .
Teorema 4.3 Orde dari Permutasi Orde suatu permutasi dari suatu himpunan berhingga, yang ditulis dalam bentuk putaran
yang saling lepas, adalah kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari panjang putaran.
Latihan 4.10
Buktikan Teorema 4.3 tersebut.
Latihan 4.11
Tentukan orde dari permutasi α = (12)(3)(45) dan β = (153)(24).
Latihan 4.12
Perhatikan permutasi γ = (13)(27)(456)(8)(1237)(648)(5). Apakah permutasi γ terdiri dari putaran yang saling lepas? Dapatkah kita menghitung orde permutasi γ dengan menggunakan Teorema 4.3? Jelaskan pendapatmu.
34
Latihan 4.13
Perhatikan soal Latihan 4.12. Dapatkah permutasi γ dinyatakan dalam bentuk putaran yang saling lepas? Bila ya, tentukan orde dari permutasi γ tersebut.
Ilustrasi 4.4.
Suatu permutasi identitas (1) dapat dinyatakan sebagai (12)(12). Selain itu, juga dapat dinyatakan sebagai (13)(13) atau (14)(14), dst. Jadi suatu permutasi dalam S n dapat dinyatakan sebagai hasil dari 2-putaran. Menurut Teorema 4.1, setiap permutasi dapat ditulis dalam bentuk
(a1a2 ...ak )(b1b2...bt )(c1c2...cs ) . Dengan penghitungan langsung,
permutasi tersebut juga dapat ditulis sebagai:
(a1ak )(a1ak 1 )...( a1a2 )(b1bt )(b1bt 1)...(b1b2)( c1cs )( c1cs 1)...( c1c 2) , yang merupakan hasil ( product ) 2-putaran.
Teorema 4.4 Hasil 2-Putaran
Setiap permutasi dalam Sn , n 1, adalah hasil dari 2-putaran.
Latihan 4.14
Periksa kebenaran pernyataan ini: 12345 21 25 24 23 .
Latihan 4.15
Periksa kebenaran pernyataan ini: 12345 45 53 25 15 .
Lemma 4.1
Jika 1 2 ... r , dengan β adalah 2-putaran, maka r adalah genap.
Latihan 4.16
Periksa
kebenaran
pernyataan
berikut:
12345 54 52 21 25 23 13 .
Bandingkan ketiga soal Latihan 4.14 - 16. Bagaimana pendapatmu terhadap permutasi α dan Lemma 4.1?
35
Teorema 4.5 Selalu Genap atau Selalu Ganjil
Jika suatu permutasi α dapat dinyatakan sebagai suatu hasil dari 2-putaran bilangan genap, maka setiap dekomposisi dari α ke dalam suatu hasil 2-putaran harus mempunyai bilangan genap dari 2-putaran. Simbolnya,
1 2 ... r dan 1 2 ... s , dengan β dan γ adalah 2-putaran, maka r dan s keduanya genap atau keduanya ganjil.
Latihan 4.17
Buktikan teorema 4.5 tersebut. Petunjuk: 1. Mulai dengan 12 ... r 1 2... s . 2. Gunakan invers dari 2-putaran, untuk menunjukkan bahwa r dan s keduanya ganjil atau genap.
Latihan 4.18
Perhatikan soal Latihan 4.14-16. Permutasi α tersebut dapat dinyatakan sebagai hasil
2 putaran yang jumlahnya genap. Dapatkah kamu membuat suatu contoh permutasi, yang dapat dinyatakan sebagai hasil 2 putaran yang jumlahnya ganjil?
Definisi 4.2
Permutasi Genap dan Ganjil
Suatu permutasi yang dapat dinyatakan sebagai hasil dari 2-putaran yang jumlahnya genap disebut permutasi genap . Suatu permutasi yang dapat dinyatakan sebagai hasil dari 2 putaran yang jumlahnya ganjil disebut permutasi ganjil.
Latihan 4.19
Permutasi dalam grup S 3 terdiri dari permutasi genap dan permutasi ganjil. Dapatkah kamu menyebutkan permutasi-permutasi tersebut? (Petunjuk: nyatakan permutasi dalam S 3 dalam bentuk hasil 2 putaran, seperti dalam Ilustrasi 4.4, lalu tentukan apakah permutasi tersebut merupakan permutasi genap atau ganjil).
36
Latihan 4.20
Lakukan hal yang sama seperti pada soal Latihan 4.19 pada grup S 4.
Teorema 4.6 Permutasi Genap Membentuk Grup
Himpunan permutasi genap dalam S n membentuk subgrup dari S n .
Latihan 4.21
Buktikan Teorema 4.6 tersebut.
Latihan 4.22
Periksa apakah himpunan permutasi genap dalam S 3 membentuk subgrup dari S 3. Buatlah tabel Cayleynya terhadap operasi fungsi komposisi.
Latihan 4.23
Periksa apakah permutasi ganjil dalam S 3 membentuk subgrup? Jelaskan pendapatmu.
Definisi 4.3
Grup Berayun (Alternating ) Derajat n
Grup permutasi genap dari n simbol dinyatakan dengan An dan disebut grup berayun derajat n .
Latihan 4.24
Tentukan grup berayun A4 . Buatlah tabel Cayley dari A4 tersebut terhadap fungsi komposisi.
Latihan 4.25
Hitunglah order dari setiap elemen dalam A4 . Periksa apakah ada kaitan antara orde elemen dengan order A4 .
Teorema 4.7
Untuk n > 1, An mempunyai orde n!/2.
37
Latihan 4.26
Hitunglah banyaknya permutasi ganjil yang berorde 4 dalam S 6.
Latihan 4.27
Hitunglah banyaknya elemen berorde 5 yang ada di A6.
Latihan 4.28
Periksa apakah ada subgrup siklis berorde 4 dan subgrup non siklis berorde 4 dalam S 4. Jelaskan pendapatmu.
Latihan 4.29
Tentukan elemen α dan β di S 3 sehingga 2, 2, dan 3.
Latihan 4.30
Tunjukkan bahwa suatu permutasi dengan orde ganjil pasti sebuah permutasi genap.
38
Ilustrasi 5.1
Dua anak (A dan B) sedang bermain kelereng. Sebelum bermain, mereka menggabungkan kelereng yang mereka punya, dan mulai menghitung. Si A yang berasal dari suku Jawa menghitung kelerengnya dengan bahasa Jawa, sementara si B yang berasal dari suku Sunda, menghitung kelerengnya dengan bahasa Sunda. A mengucap siji, loro, telu, papat, …, sementara B mengucap hiji, dua, tilu, opat, …. Merek a menghitung barang yang sama, tetapi dengan bahasa yang berbeda. Dengan kata lain, mereka menggambarkan konsep yang sama, dengan istilah yang berbeda. Situasi s eperti itu juga sering muncul dalam grup. Grup yang sama digambarkan dengan istilah (terminology) yang berbeda.
Dalam bab ini akan dipelajari suatu metode untuk menentukan apakah dua grup sebenarnya sama, meski mereka terdefinisi dalam terms yang berbeda. Bila kedua grup tersebut sama, maka dikatakan ada isomorfisme antara kedua grup tersebut. Istilah isomorfisme berasal dari bahasa Latin, iso dan morphe. Iso artinya sama dan morphe artinya bentuk. Isomorfisme pertama kali diperkenalkan oleh Galois, sekitar 1,5 abad yang lalu.
5.1 Definisi Definisi 5.1 Grup Isomorfisme
Suatu isomorfisme dari suatu grup G ke suatu grup G adalah pemetaan (fungsi) satusatu dari G pada G , yang mengawetkan operasi grup. Yaitu, (ab) (a) (b) untuk semua a, b di G.
Jika ada suatu isomorfisme dari G ke G , dikatakan G dan G isomorfik dan ditulis G G .
39
Latihan 5.1
Perhatikan definisi isomorfisme tersebut. Untuk membuktikan suatu grup G isomorfik ke suatu grup G , ada empat tahapan berbeda yang harus dilalui. Dapatkah kamu menyebutkan tahapan-tahapan tersebut secara detil?
Latihan 5.2
Perhatikan tahapan-tahapan berikut. Susunlah tahapan-tahapan tersebut secara terurut sesuai definisi di atas, sehingga dapat digunakan untuk membuktikan adanya suatu isomorfik dari suatu grup ke grup lainnya. 1) “O.P”. Buktikan bahwa mengawetkan operasi, yaitu tunjukkan bahwa (ab) (a) (b) , untuk semua a dan b di G.
2) “1-1”. Buktikan bahwa satu-satu, yaitu asumsikan (a) (b) dan buktikan bahwa a b . 3) “Pemetaan”. Definisikan suatu calon untuk isomorfisme , yaitu definisikan suatu fungsi dari G ke G . 4) “Pada”. Buktikan bahwa pada, yaitu untuk sebarang elemen g di G , tentukan sebuah elemen g di G sehingga ( g ) g .
Latihan 5.3
Misalkan G adalah grup bilangan riil terhadap operasi penjumlahan dan G adalah grup bilangan riil positif terhadap operasi perkalian. Tunjukkan bahwa G dan G isomorfik terhadap pemetaan ( x) 2 x.
Latihan 5.4
Tunjukkan bahwa pemetaan dari
terhadap dirinya sendiri yang diberikan oleh ( x) x3
bukan suatu isomorfisme. Syarat apakah yang tidak dipenuhi oleh tersebut?
40
Latihan 5.5
Buktikan bahwa U (10)
4
U (5).
Latihan 5.6
Dapatkah dikatakan bahwa grup siklis berorde 4 isomorfik terhadap
4
? Jelaskan
pendapatmu! Bagaimana bila dikatakan grup siklis berorde n isomorfik terhadap grup siklis berorde tak hingga isomorfik dengan
n
dan
? Jelaskan pendapatmu!
Latihan 5.7
Selidiki apakah U (10) U (12) !
5.2 Teorema Cayley Teorema 5.1 Teorema Cayley
Setiap grup adalah isomorfik ke suatu grup permutasi.
Latihan 5.8
Buktikan Teorema 5.1 tersebut. Petunjuk: 1.
Untuk sebarang g di G, definisikan suatu fungsi T g dari G ke G, dengan T g ( x) gx untuk semua x di G.
2.
Misalkan G T g g G. Jelaskan bahwa G adalah grup terhadap operasi fungsi komposisi.
3.
Ambil suatu pemetaan dari G ke G . Untuk setiap g di G, definisikan
g T g . 4.
Tunjukkan bahwa suatu isomorfisme dari G ke G , dengan memeriksa apakah suatu fungsi 1-1 pada dan OP.
5.
(left reguler representative of G). G disebut wakil reguler kiri dari G
41
Latihan 5.9
Selidiki apakah U (10) dan U (10) isomorfik! ( U (10) adalah grup permutasi dari U (10)). Petunjuk: 1.
Misalkan U (10) a1, a2 ,..., an , maka U (10) Ta1 , Ta2 ,..., Tan .
2.
Buatlah tabel Cayley dari dua grup tersebut, dan bandingkan!
Latihan 5.10
Dengan cara yang sama seperti pada Latihan 5.8, selidiki apakah U (12) dan U (12) isomorfik!
5.3 Sifat-sifat Isomorfisme Teorema 5.2 Sifat-sifat Isomorfisme
Misalkan adalah suatu isomorfisme dari grup G pada grup G , maka 1.
membawa identitas dari G ke identitas G .
2.
Untuk setiap bilangan bulat n dan untuk setiap elemen grup a di G, a n a .
3.
Untuk elemen a dan b di G, a dan b berkomutasi jika dan hanya jika (a) dan (b)
n
berkomutasi. 4. 5.
G adalah Abelian jika dan hanya jika G Abelian. a a untuk semua a di G (isomorfisme mengawetkan order).
6.
G adalah siklis jika dan hanya jika G siklis.
7.
Untuk bilangan bulat tetap k dan elemen grup tetap b di G, persamaan x k b k mempunyai banyak solusi yang sama di G seperti persamaan x b di G .
8.
1 adalah suatu isomorfisme dari G pada G.
9.
Jika K adalah suatu subgrup dari G, maka K k k K adalah subgrup dari G.
Latihan 5.11
Tunjukkan bahwa U (8) U (12).
42
Latihan 5.12
Dengan menggunakan sifat no.5 dari isomorfisme, tunjukkan bahwa U (8) U (10).
Latihan 5.13
Selidiki apakah U (20) dan U (24) isomorfik.
5.4 Automorfisme Definisi 5.2 Automorfisme
Suatu isomorfisme dari suatu grup G pada dirinya sendiri disebut automorfisme dari G.
Latihan 5.14
Misalkan
adalah sebuah grup dari bilangan real positif terhadap operasi perkalian.
Tunjukkan bahwa pemetaan ( x)
x adalah suatu automorfisme dari
.
Latihan 5.15
Misalkan G suatu grup dan a adalah elemen dari G. Buktikan bahwa pemetaan a yang didefinisikan oleh a ( x) axa 1 adalah suatu automorfisme dari G.
Latihan 5.16
Buktikan bahwa pemetaan yang diberikan oleh x x3 , dari U (16) terhadap dirinya sendiri, merupakan suatu automorfisme.
Definisi 5.3 Automorfisme Dalam yang Disebabkan oleh a (i nner automorphi sme of G i nduced by a )
Misalkan G suatu grup, dan misalkan a G . Fungsi a yang didefinisikan oleh yang disebabkan a ( x) axa 1 untuk semua x di G disebut automorfisme dalam dari G
. oleh a
43
Latihan 5.16
Perhatikan grup dehidral D4 . Ambil R90 D4 . Tuliskan semua automorfisme dalam dari D4 yang disebabkan oleh R90 .
Latihan 5.17
Kerjakan hal yang sama seperti pada Latihan 5.16, tetapi yang disebabkan oleh R180 .
Ilustrasi 5.2
Himpunan dari semua automorfisme dari suatu grup G, membentuk suatu grup tersendiri yang disebut Aut (G). Himpunan dari semua automorfisme dalam dari G yang disebabkan oleh a juga membentuk grup tersendiri yang disebut Inn(G).
Teorema 5.3 Aut(G ) dan Inn(G ) adalah Grup
Himpunan automorfisme dari suatu grup dan himpunan automorfisme dalam dari suatu grup adalah grup terhadap operasi fungsi komposisi.
Latihan 5.18
Tentukan semua himpunan automorfisme dari grup Aut(
10
).
Petunjuk: 1. Misalkan
Aut(
10
Aut(
10
).
Karena
10
10 ,
asumsikan
) {1, 2 , 3,..., 10 } .
2. Tentukan generator dari
10
.
3. Karena 1 adalah salah satu generator dari
10
, maka 1 10 .
4. Tentukan pilihan untuk hasil pemetaan (1) . 5. Tunjukkan bahwa i adalah automorfisme, dengan i adalah generator dari
10
.
Latihan 5.19
Dengan cara yang sama seperti pada Latihan 5.18, tentukan semua automorfisme dari Aut( 6
).
44
Teorema 5.4 Aut(Z n ) U (n)
Untuk setiap bilangan bulat n, Aut(Z n ) adalah isomorfik ke U (n).
Latihan 5.20
Tunjukkan bahwa Aut(Z10 ) U (10) .
Latihan 5.21
Ambillah contoh Aut (Z n ) yang lain, yang isomorfik ke U (n).
45
Ilustrasi 6.1.
Perhatikan grup dari himpunan bilangan bulat dari
terhadap operasi penjumlahan. Subgrup
salah satunya adalah himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 terhadap operasi
penjumlahan, yaitu 3 ..., 6, 3,0,3,6,... . Tambahkan 1 pada setiap elemen subgrup tersebut, sehingga diperoleh subset dari
, yaitu 1 3 ..., 5, 2,1,4,7,... . Tambahkan
2 pada setiap elemen subgrup tersebut, sehingga diperoleh subset lain, yaitu
2 3 ..., 4, 1,2,5,8,... . Gabungan dari ketiga subset ini akan membentuk himpunan bilangan bulat
, sehingga sebarang bilangan bulat akan termasuk dalam salah satu dari
ketiga subset tersebut. 6.1
Definisi Koset
Definisi 6.1
1)
Koset H di G
Misalkan G suatu grup dan H adalah subset dari G. Untuk a G , himpunan aH ah h H , Ha ha h H dan aHa 1 aha 1 h H .
2)
Jika H adalah suatu subgrup dari G, maka himpunan aH disebut koset kiri dari H di , sementara H a disebut koset kanan dari H di G yang memuat a . G yang memuat a Pada kasus ini, elemen a disebut wakil (representative) dari aH (atau Ha).
3)
Banyaknya elemen dalam himpunan aH dinyatakan dengan
aH dan banyaknya
elemen di Ha dinyatakan dengan Ha .
Latihan 6.1
Misalkan H (1), (13) di G S 3 terhadap operasi fungsi komposisi. Tentukan koset kiri dari H di G. Selidiki apakah terdapat a, b G sehingga aH = bH .
46
Latihan 6.2
Misalkan H 0,3,6 di dari H di
9
9
terhadap penjumlahan. Tentukan koset kiri dan koset kanan
. Selidiki apakah terdapat a, b G sehingga aH = bH (atau Ha = Hb).
Latihan 6.3
Misalkan G D4 (grup dehidral berorde 8), dan H R0 , R180 . Tentukan koset kiri dari H di D4. Apakah koset-koset kiri tersebut merupakan subgrup dari D4? Jelaskan pendapatmu!
Latihan 6.4
Tentukan semua koset kiri dari H 1,8 di G = U (15). Di antara koset-koset kiri tersebut, tentukan mana yang merupakan subgrup dari U (15).
Latihan 6.5
Perhatikan Latihan 6.3-6.4 tersebut. Dapatkah kamu menyusun konjektur (dugaan), apakah syarat suatu koset kiri dari H menjadi subgrup dari G? Jelaskan pendapatmu.
6.2 Sifat-sifat Koset
Lemma 6.1
Sifat-sifat Koset
Misalkan H subgrup dari G dan misalkan a dan b anggota G. Maka, 1.
a aH ,
2.
aH H jika dan hanya jika a H ,
3.
aH bH atau aH bH ,
4.
aH bH jika dan hanya jika a 1b H ,
5.
aH bH ,
6.
aH Ha jika dan hanya jika H aHa1 ,
7.
aH adalah subgrup dari G jika dan hanya jika a H .
47
Latihan 6.7
Buktikan Lemma di atas.
Latihan 6.8
Misalkan H 1,11 di grup U (30). Dengan menggunakan sifat koset, tentukan kosetkoset kiri dari H di U (30).
Latihan 6.9
Dengan menggunakan sifat no.7 dari Lemma 6.1 ter sebut, tentukan koset kiri mana yang merupakan subgrup dari U (30).
6.3 Teorema Lagrange dan Konsekuensinya Teorema 6.1 Teorema Lagrange: H Membagi G
Jika G suatu grup berhingga dan H adalah suatu subgrup dari G, maka H membagi G . Banyaknya koset kiri (kanan) yang berbeda dari H di G adalah G / H .
Latihan 6.10
Buktikan Teorema 6.1 tersebut di atas.
Latihan 6.11
Misalkan H (1),(12)(34),(13)(24),(14)(23) . Berapakah banyaknya koset kiri yang berbeda dari H di A4. Sebutkan!
Latihan 6.12
Misalkan P adalah subgrup murni ( proper subgrup) dari Q dan Q adalah subgrup murni dari R. Jika P 35 dan R 350 , berapakah kemungkinan orde dari Q?
48
Ilustrasi: Indeks dari suatu subgrup H di G adalah banyaknya koset kiri dari H di G, dan dinyatakan
dengan G : H . Jika H berhingga, Teorema Lagrange menyatakan bahwa
G : H G / H .
Akibat 6.1
a Membagi G
Pada suatu grup berhingga, orde dari setiap elemen grup membagi orde grup.
Latihan 6.13
Misalkan grup G U (10) . Tentukan orde dari G dan orde elemen-elemennya.
Latihan 6.14
Misalkan a mempunyai orde 30. Berapa banyak koset kiri dari a 5 di a ? Tuliskan semua koset kiri tersebut.
Akibat 6.2
Grup Berorde Prima adalah siklis
Suatu grup berorde prima adalah siklis.
Latihan 6.15
Buktikan Lemma 6.2 tersebut.
Latihan 6.16
Tunjukkan bahwa grup
Akibat 6.3
a
G
5
terhadap penjumlahan merupakan grup siklis.
e
Misalkan G adalah grup berhingga, dan misalkan a G. Maka a
Latihan 6.17
Buktikan Akibat 6.3 tersebut.
G
e.
49
Latihan 6.18
Misalkan G = U (12). Misalkan a U (12). Tunjukkan bahwa a
Akibat 6.4
G
e.
Teorema Kecil Fermat
Untuk setiap bilangan bulat a dan setiap prima p, a p modulo p = a modulo p.
Latihan 6.19
Buktikan Akibat 6.4 tersebut.
Latihan 6.20
Selidiki apakah bilangan p 2257 1 adalah prima. Petunjuk: Gunakan Teorema Kecil Fermat. 1. Jika p prima, maka 10 p 10 modulo p, sehingga 10 p 1 100 modulo p. 2. Hitung 10 p 1 102
257
. Bila hasilnya tidak 100, maka p bukan prima.
Latihan 6.21
Hitunglah 515 modulo 7 dan 713 modulo 11.
6.4
Aplikasi Koset untuk Grup Permutasi
Definisi 6.2.
Penyeimbang (Stabilizer ) dari suatu Titik
Misalkan G suatu grup permutasi dari suatu himpunan S . Untuk masing-masing i di S , definisikan stabG (i) G (i) i. Dikatakan, stabG (i ) adalah penyeimbang i di G . Latihan 6.22
Apakah stabG (i) merupakan subgrup dari G? Jelaskan pendapatmu!
Latihan 6.23
Misalkan G = {(1), (132)(465), (132)(465)(78), (123)(456), (123)(456)(78), (78)}. Tentukan stabG (i).
50
Definisi 6.3.
Orbit Titik
Misalkan G suatu grup permutasi dari suatu himpunan S . untuk masing-masing s di S , misalkan orbG (s ) ( s) G. Himpunan orbG (s) adalah subset dari S , yang disebut orbit dari s terhadap G .
Latihan 6.24
Untuk grup G yang sama seperti pada soal Latihan 6.23, tentukan orbG (s) .
Latihan 6.25
Misalkan G = {(1), (12)(34), (1234)(56), (13)(24), (1432)(56), (56)(13), (14)(23), (24)(56)}. a) Tentukan penyeimbang dari 1 dan orbit dari 1. b) Tentukan penyeimbang dari 3 dan orbit dari 3. c) Tentukan penyeimbang dari 5 dan orbit dari 5.
Teorema 6.2
Teorema Orbit-Penyeimbang
Misalkan G suatu grup permutasi berhingga dari suatu himpunan S . Maka, untuk sebarang i dari S , G
orbG (i) stabG (i) .
Latihan 6.26
Buktikan Teorema 6.2 tersebut.
