I. Polinomial
15. Tunjukkan babwa x4a + xab + 1 + x4c + 2 + x4d + 3, a, b, c, dan d bilangan asli, habis habis dibagi 3 2 x + x + x + 1.
1. Tentukan a dan b agar akar-akar dari x2 + ax + b = 0 adalah a dan b.
16. Tentukan nilai n agar 1 +x2 + x4 +…+ x2n-2 habis dibagi 1 + x + x 2 + …+ xn-1 ?
2. Tentukan semua bilangan real x yang memenuhi persamaan x persamaan x4 + 4 x3 + 5 x2 + 4 x + 1 = 0. (Soal OSP 2007)
17. Misalkan a4 + b4 = 7c dan a dan b akar x2 – 5x + 3. Tentukan c.
BIDANG ALJABAR
3. Tentukan semua bilangan real x yang memenuhi persamaan x persamaan x4 + 4 x3 + 5 x2 + 4 x + 1 = 0.
18. Tentukan sisa dari pembagian x135 + x125 – x115 + x5 + 1 dengan x3 – x. II. Persamaan Fungsional
4. Tentukan Nilai minimum fungsi 1. Misalkan f suatu fungsi yang memenuhi memenuhi
− x 2 + 4 x −3
1 f ( x ) = 2
1 + 1 f (− x) = 2 x x x
f
5. Misalkan a dan b bilangan bulat. Jika kedua akar suku banyak x2 + ax + b + 1 adalah bilangan asli, buktikan bahwa a2 + b2 bilangan komposit. 6. Tentukan sisa pada pembagian x dengan x2 – 1. 7. Tunjukkan bahwa ( x − 1)
2
100
nx n +1
51
– 2x + 1
− (n + 1) x n + 1
untuk setiap bilangan real x nilai f(2).
9. Tentukan nilai nilai a, b dan c sedemikian sedemikian hingga hingga
x + 5 ( x − 1)( x − 2)( x − 3)
=
a
+
b
x − 1 x − 2
+
c x − 3
0. Berapakah
2. Jika Jika f(1) = 1 dan f(n) = n + f(n – 1) untuk semua bilangan asli n ≥ 2, maka nilai f(6) adalah ... 3. Diketahui fungsi f dengan definisi:
f (3n) = 8. Tent Tentukan ukan a sedem sedemiki ikian an hingga hingga -1 merup merupaka akan n 5 2 kelipatan dari akar x – ax – ax + 1.
≠
n + f (3n − 3), 1, n = 1
n >1
Tentukan f(12). 4. Tentukan fungsi f yang memenuhi persamaan fungsional berikut :
1 = x; 1 − x
f ( x) + f
untuk semua x
≠ 0, 1.
10. Misalkan p dan q adalah bilangan prima prima dan 2 x – px + q = 0 mempunyai akar bilangan bulat positif. Maka nilai p dan q adalah ....
5. Tentukan semua polinomial p yang memenuhi:
11. Diketahui f(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e polynomial atas bilangan real. Jika f(1) = f(2) = f(3) = f(4) = f(5). Tentukan nilai a.
6. Jika f(x) menunjukkan polynomial berderajat n sedemikian hingga hingga f(k) = 1/k untuk k = 1, 2, …, n + 1. Tentukan f(n + 2).
12. Misalkan a, b dan c akar-akar polynomial p(x) = x3 + x2 – 333x – 1001. Tentukan nilai dari a3 + b3 + c3.
7. Tentukan semua fungsi f : R \ { 0,1}
13. Tentukan bilangan bulat a sedemikian hingga x13 + x + 90 habis dibagi oleh oleh x2 – x + a. 14. Misalkan f(x) adalah polynomial yang bersisa A jika dibagi (x – b) dan bersisa B jika dibagi x – b, a ≠ b. Tentukan sisa f(x) jika dibagi (x – a) (x – b). b ).
p ( x + 1) = p ( x) + 2 x + 1
→R
yang
memenuhi memenuhi persamaan fungsional :
1 = 2(1 − 2 x) ; 1 − x x(1 − x)
f ( x ) + f
x
≠ 0, x ≠ 1
(R = himpunan semua bilangan real/nyata dan
R \ { 0,1} ) adalah himpunan semua
bilangan real kecuali 0 dan 1)
1 3 5 999999 1 . . ... < 2 4 6 1.000.000 1000
8. Didefinisikan fungsi f berikut: f ( x − 1) + f ( x ) + f ( x + 1) = 0,
∀ x ∈ Z
Jika diketahui f(0) = 26 dan f(1) = 38, maka tentukan nilai f(2007) = ..... 9. Diketahui fungsi kontinu:
9. Jika a, b, c bilangan bulat positif sedemikian hingga (1 + a) (1 + b) (1+c) = 8, buktikan abc ≤ 1
10. Diberikan a, b, c, d, dan e bilangan real sedemikian hingga a+b+c+d+e=8 a2 + b2 + c2 + d2 + e2 = 16 Tentukan nilai maksimum dari e !
f : R → R
yang memenuhi f(1000) = 999, dan f(x).f(f(x)) = 1 untuk semua bilangan real x. Tentukan f(500).
11. Jika a 1, a2, … , a n > 0 dan a1, a2, …, an =1, Buktikan (1 + a1) (1 + a2)…(1 + an) ≥ 2n.
III. Pertidaksamaan
1. Jika a, b, c ∈ R dan a2 + b2 + c2 = 1, buktikan
1
− ≤ ab + bc + ca ≤ 1 2
13. Jika x, y, z > 0, buktikan (x + y + z) (xy + yz + zx)
2. Tentukan nilai a dan b sedemikian hingga ax + 2 < 3 + b.
4( a + b ) 2
4. Carilah bilangan terkecil x sedemikian
Buktikan
p a 2
b ( a − b)
≥
3
a, b dan c
+ (1 − p)b 2 > p(1 − p) c 2
IV. Persamaan dan Sistem Persamaan (Non Linear)
untuk 1. Misalkan x dan y adalah bilangan tak nol yang memenuhi:
semua bilangan real (nyata) p. 6. Diketahui a, b, dan c sisi-sisi segitiga sikusiku, dengan c sisi miringnya. Buktikan bahwa a + b ≤ c 2 7. Misalkan a, b, dan c bilangan asli.Buktikan : a. (a + b) (a + c) (c + a) ≥ 8abc b. a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ≥ abc (a + b + c) c. Jika a + b + c = 1, maka ab + bc + ca
1
a b c x y z + + ≥9 a + b + c x y z
merupakan sisi suatu segitiga jika dan hanya jika
15. Jika a > b > 0, maka a +
16. Jika a, b, c, x, y, z > 0, maka
− y , untuk setiap y > 0. >0.
9xyz.
14. Jika a, b, c > 0, buktikan : (a + b + c) (a2 + b2 + c2) ≥ 9abc
adalah 1/16; a dan b adalah bilangan positif.
5. Misalkan a, b, c
≥
ab
3. Tunjukkan nilai maksimum dari F =
sehingga x ≥ 4 y
12. Jika a, b, c, > 0 dan a + b + c = 1, buktikan (a -1) (1 – b) (1 – c) ≥ 8abc.
≤
1 3
xy =
x y
= x − y
Tentukan nilai x + y.
2. Jika 4x + 4-x = 7, tentukan nilai dari 8x + 8-x = 3.Diketahui
x + y + 3 x + y
= 18
dan x − y − 2 x − y
= 15
Tentukan nilai x . y
8. Buktikan : 4. Misalkan a + b = 1 dan a 3 + b3 = 19. Tentukan
Nilai a2 + b2. 5.
Diberikan bilangan real a, b dan c yang memenuhi persamaan: ab + b = -1 bc + c = -1 ca + a = -1 Tentukan a.b.c
6. Misalkan x dan y merupakan bilangan asli yang memenuhi : x2 + 2xy = 40 y2 + 1/2xy = 15 Tentukan x2 + y2. 7. Selesaikan sistem persamaan berikut: 3x2 – 4xy = 4 x2 – 2y2 = 2 8. Selesaikan system persamaan: x2 – yz = 3 y2 – zx = 4 z2 – xy = 5 9. Tentukan penyelesaian dari system persamaan : x + y2 + z 3 = 3 y + z 2 + x3 = 3 z + x2 + y3 = 3
10. Misalkan x1, x2, ..., x7 adalah bilangan real yang
memenuhi: x1 + 4x2 + 9x3 + 16x4 + 25x5 + 36x6 + 49x7 = 1 4x1 + 9x2 + 16x3 + 25x4 + 36x5 + 49x6 + 64x7 = 12 9x1 + 16x2 + 25x3 + 36x4 + 49x5 + 64x6 + 81x7 = 123 Tentukan nilai dari : 16 x1 + 25 x2 + 36 x3 + 49 x4 + 64 x5 + 81 x6 + 100 x7
11. Tentukan semua solusi bilangan real yang memenuhi sistem persamaan berikut: 4 x 2 = y 1 + 4 x 2 4y 2 = z 1 + 4y 2 4z 2 = x 1 + 4z 2
