BAB VI
Standard Kompetesi 6. Mahasiswa dapat menjelaskan teorema isomorfisma ring dan sifatsifatnya serta dapat menerapkan dalam kehidupan sehari-hari.
Kompetensi Dasar Mahasiswa diharapkan dapat: 6.1 Menjelaskan teorema isomorfisma ring pertama. 6.2 Menjelaskan teorema isomorfisma ring Kedua. 6.3 Menjelaskan teorema isomorfisma ring Ketiga 6.4 Menerapkan teorema isomorfisma ring pada bidang matematika yang lain.
BAB VI TEOREMA ISOMORFISMA RING
6.1 Teorema Isomorfisma Ring Pertama Materi bab ini merupakan kelanjutan Bab III yaitu tentang homomorfisma ring. Topik ini diberikan secara terpisah karena di bab ini memerlukan konsep tentang ring kuosien yang harus dipelajari lebih dahulu. Sebagai penyegaran perlu diingat kembali pengertian homomorfisma ring, yaitu pemetaan f dari ring R ke ring S disebut homomorfisma ring jika untuk sebarang a,b . R berlaku: 1) f(a + b) = f(a) + f(b) 2) f(ab) = f(a) f(b) Sedangkan yang dimaksud dengan kernel dari suatu homomorfisma f, ditulis ker(f), adalah himpunan semua elemen dari R yang dipetakan oleh f ke elemen nol dari S. Jadi ker(f) = {x . R : f(x) = 0S} dengan 0S merupakan elemen nol dari S. Telah ditunjukkan di depan bahwa ker(f) merupakan ideal dari R. Sebelum membahas Teorema Isomorfisma Ring Pertama, berikut ini akan dibahas karakteristik ring kuosien dikaitkan dengan konsep homomorfisma ring. Teorema 6.1.1 Setiap ring kuosien dari ring R merupakan bayangan homomorfik dari ring R. Bukti: Misalkan S adalah sebarang ideal di dalam ring R dan R/S adalah ring kuosien dari ring R oleh ideal S. Didefinisikan pemetaan f dari ring R ke ring kuosien R/S sebagai berikut: f : R . R/S, dengan f(a) = S + a, .a . R. Dengan definisi ini, maka untuk sebarang a, b . R berlaku: f(a + b) = S + (a+ b) = (S + a) + (S + b) = f(a) + f(b)
dan f(ab) = S + ab = (S + a) (S + b) = f(a) f(b). Jadi f merupakan homomorfisma ring. Selanjutnya jika S + a merupakan sebarang elemen di R/S, maka a merupakan elemen di R dan berlaku f(a) = S + a. Ini berarti f pemetaan surjektif. Jadi f merupakan suatu epimorfisma (homomorfisma surjektif) dari ring R pada ring kuosien R/S. ¦ Selanjutnya akan dibahas Teorema Isomorfisma Ring Pertama sebagai generaliasasi dari Teorema Isomorfisma Grup Pertama. Teorema 6.1.2 (Teorema Isomorfisma Ring (Pertama) Setiap bayangan homomorfik dari suatu ring isomorfik dengan suatu ring kuosien. Bukti: Misalkan R dan S suatu ring dan f : R . S suatu homomorfisma ring. Misalkan juga I = ker(f) dan R = im(f). Jelas bahwa I merupakan ideal dari R dan R merupakan subring dari S. Akibatnya R/I merupakan ring kuosien. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa ring kuosien R/I isomorfik dengan ring R = im(f). Untuk membuktikan ini, yang pertama didefinisikan . : R/I . R dengan .(I + a) = f(a). Dalam rangka membuktikan bahwa . suatu pemetaan, diambil sebarang (I + a), (I + b) di R/I dengan I + a = I + b. Akibatnya I + a = I + b . ( a b) . I . f(a b) = 0 . f(a) f(b) = 0 . f(a) = f(b) . .(I + a) = .(I + b). Sekarang misalkan (I + a) dan (I + b) sebarang dua koset di dalam ring kuosien R/I, maka berlaku .[(I + a) + (I + b)] = .[I + (a + b)]
= f(a + b) = f(a) + f(b) = .(I + a) + .(I + b) dan .[(I + a) (I + b)] = .[I + (ab)] = f(ab) = f(a) f(b) = .(I + a) .(I + b). Ini berarti . merupakan homomorfisma ring. Untuk membuktikan bahwa . pemetaan satu-satu, diambil sebarang (I + a) dan (I + b) di R/I dengan .(I + a) = .(I + b). Akibatnya .(I + a) = .(I + b) . f(a) = f(b) . f(a) f(b) = 0 . f(a b) = 0 . (a b) . I . I + a = I + b. Sekarang ditunjukkan bahwa . pada (surjektif), untuk ini diambil sebarang a . R = im(f). Karena f merupakan homomorfisma ring dari ring R pada R = im(f) maka terdapat elemen a di R sedemikian hingga f(a) = a, tetapi f(a) merupakan peta dari elemen (I + a) di dalam R/I, sehingga diperoleh a = f(a) = .(I + a). Dengan pembahasan di atas dapat disimpulkan bahwa . merupakan isomorfisma ring dari ring kuosien R/I ke R = im(f). Dengan kata lain, ring kuosien R/I isomorfik dengan ring R = im(f), dituliskan dengan R/I . im(f). ¦
6.2 Teorema Isomorfisma Ring Kedua Seperti halnya Teorema Isomorfisma Ring Pertama yang merupakan perumuman dari Teorema Isomorfisma Grup Pertama, maka Teorema
Isomorfisma Ring Kedua juga merupakan perumuman dari Teorema Isomorfisma Grup Kedua. Teorema 6.2.1 (Teorema Isomorfisma Ring Kedua) Misalkan S merupakan ideal dari ring R dan T ideal dari ring R yang memuat ideal S, maka . STSRTR/ / /. Bukti: Karena S merupakan ideal dari R, maka R/S merupakan ring kuosien, demikian juga karena T ideal dari R, maka R/T juga ring kuosien. Selanjutnya karena T merupakan ideal dari R yang memuat ideal S, maka jelas bahwa S subring dari ring T. Juga karena S ideal dari R, maka r . R dan s . S . rs . S dan sr . S. Khususnya r . T dan s . S . rs . S dan sr . S. Ini berarti S merupakan ideal dari T, yang akibatnya T/S merupakan ring kuosien. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa T/S merupakan ideal dari R/S. Jika (S + a) sebarang elemen di T/S, maka (S + a) . T/S . a . T . a . R . (S + a) . R/S. Ini berarti T/S merupakan subset dari R/S. Sekarang misalkan (S + a) dan (S + b) sebarang dua elemen di T/S, maka berlaku (S + a) , (S + b) . T/S . a, b . T . (a b) . T dan ab . T . (S + (a b)) . T/S dan (S + ab) . T/S. . [(S+a)(S+ b)] . T/S dan [(S + a)(S + b)] . T/S. Ini berarti T/S merupakan subring dari R/S.
Selanjutnya untuk membuktikan bahwa T/S merupakan ideal dari R/S, diambil sebarang elemen (S + a) di T/S dan sebarang (S + r) di R/S, sehingga diperoleh (S+a) . T/S dan (S+r) . R/S . a . T dan r . R . ar . T dan ra . T . (S+ar) . T/S dan (S+ra) . T/S. . (S+a)(S+r) . T/S dan (S+r)(S+a) . T/S. Ini berarti T/S merupakan ideal dari R/S dan akibatnya merupakan ring kuosien. STSR/ / Sekarang didefinisikan pengawanan f dari ring kuosien R/S ke ring kuosien R/T sebagai berikut: f : R/S . R/T dengan f(S + r) = T + r, .r . R. Untuk membuktikan bahwa f suatu pemetaan, diambil sebarang (S + a) dan (S + b) di R/S dengan (S + a) = (S + b). Akibatnya S + a = S + b . ( a b) . S . (a b) . T . T + a = T + b . f(S + a) = f(S + b). Sekarang diambil sebarang (S + a) dan (S + b) di R/S, maka f[(S + a) + (S + b)] = f[S + (a + b)] = T + (a + b) = (T + a) + (T + b) = f(S + a) + f(S + b), dan f[(S + a) (S + b)] = f[S + (ab)] = T + (ab) = (T + a) (T + b) = f(S + a) f(S + b). Jadi f homomorfisma ring dari ring kuosien R/S ke ring kuosien R/T.
Jika (T + a) sebarang elemen di ring kuosien R/T, maka a elemen di R. Akibatnya terdapat koset (S + a) di ring kuosien R/S sedemikian hingga f(S + a) = T + a. Ini berarti pemetaan f surjektif. Sejauh ini kita telah menunjukkan bahwa f merupakan epimorfisma (homomorfisma surjektif) dari R/S ke R/T, atau R/T merupakan bayangan homomorfik dari R/S. Dengan menggunakan Teorema Isomorfisma Ring Pertama, untuk melengkapi bukti teorema ini tinggal dibuktikan bahwa kernel dari epimorfisma f adalah T/S. Berdasarkan definisi kernel, maka diperoleh ker(f) = {(S + a) . R/S | f(S + a) = T + 0} = {(S + a) . R/S | T + a = T} = {(S + a) . R/S | a . T} = T/S. Berdasarkan Teorema Isomorfisma Ring Pertama dapat disimpulkan . ¦
6.3 Teorema Isomorfisma Ring Ketiga Teorema 6.3.1 (Teorema Isomorfisma Ring Ketiga) Jika S merupakan ideal dari ring R dan T sebarang subring dari R, maka (S + T)/S . T/(S.T). Bukti: Diserahkan kepada pembaca sebagai latihan. ¦
Latihan 6 1. Diketahui S subring dan I ideal dalam ring R. Didefinisikan T = S + I. Buktikan bahwa T merupakan subring dari R yang memuat I dan T/I . S/(S.I). 2. Buktikan Teorema 6.3.1!
