TUGAS 3 STRUKTUR ALJABAR
Oleh
: Kelompok 2
Anggota
:
1. 2. 3. 4.
Ikhsan Magribi Novaliyosi Tintin Kartini Lia Yuliawaty
NIM. 0907504 NIM. 0907564 NIM. 0907604 NIM. 0907560
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA SEKOLAH PASCA SARJANA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA 2009
Soal halaman 47 4. a). Misalkan H adalah subgroup dari
aHa
−1
G
dan a ∈ G .
= { aha −1 h ∈ H } . Tunjukkan bahwa aHa −1 adalah subgroup dari G.
Jawab:
−1
Adt aHa ≠ φ Perhatikan
e = aea −1 ∈ aHa −1 , aHa −1
≠ φ
ah1a −1 , ah2 a −1 ∈ aHa −1 , maka
( ah a − ) ( ah a− ) 1
1
1
−1
2
= ah1a−1ah2−1a−1 = ah1 h2−1 a−1 ∈ aHa−1
Maka aHa −1 adalah subgrup dari
G.
−
b). Jika H berhingga, berhingga, apa itu ο ( aHa 1 ) ? Jawab:
Untuk membuktikan: aHa Adt
−1
= H
1−1 → aH−a1 dengan f( h) = aha−1 untuk semua h ∈ H f: H pada
h, h1 ∈ H . Jika h = h1 maka aha −1 = ah1a −1 Misalkan f terdefinisi dengan baik, sehingga aha −1 ∈ aHa −1 . 1−1 −1 1 , maka f ( h) = f ( h ) , maka aha −1 = ah1a −1 . f: H → aHa Dari hal tersebut maka h = h1 menunjukkan bahwa f adalah satu-satu. Untuk menunjukkan menunjukkan f onto aHa −1 , x∈ aHa−1 −1 −1 x= aha = f( y) . Untuk beberapa y ∈ H , sebutlah y = a xa xa . Maka f onto aHa −1 .
∴ο (aHa −1 ) adalah
1−1 → aH−a1 f: H pada
6. Tuliskan semua koset kanan H pada G dimana: 2 a). G = (a ) adalah grup siklik dengan order 10 dan H = ( a ) adalah subgroup
G
dengan generator a 2 . Jawab:
G = { a, a 2 , a 3 , ..., a10 = e} dan H = { a2 , a4 , a6 , a8 , a1 0 = e} Misalkan a k adalah sebarang unsur dari k k k k k k Ha = { a2 a , a4 a , a6 a , a8 a , a }
Hak = { a2 +k , a4+ k , a6+ k , a8+ k , ak }
G.
Koset kanan Ha k diberikan oleh
5 b). G adalah bagian dari ( a ) , H = ( a ) adalah subgroup
G
dengan generator a 5 .
Jawab:
G = { a, a 2 , a 3 , ..., a10 = e} dan H = {a 5 , a 10 = e} Misalkan a k adalah sebarang unsur dari H
= {a 5 a k , a 10 a k }
G.
Koset kanan Ha k diberikan oleh
H = {a 5+k , a 10
+ k
}
c). G = A( S ), S = { x1 , x2 , x3 } dan H = { σ ∈ G x1σ = x1} Jawab:
x1σ = x1
x1e
= x1
x1 x1 x −1
= x1
Maka koset kanannya adalah Hs 7. Tuliskan semua koset kiri dari
= { x1 , x 2 , x 3 }
H pada G
untuk H dan G sebagai bagian dari
(a),(b),(c ) pada soal nomor 6. Jawab:
a). a H = { a k
b). a H = {a k
k +2
k +5
, a k + 4 , a k + 6 , a k + 8 , ak } ,a
k +10
}
c). sH = { x1 , x2 , x3 } 8. Apakah setiap koset kanan H pada nomor 6?
G
merupakan koset kiri
H pada G
pada grup
Jawab:
Benar, setiap koset kanan 9. Misalkan
H pada G
H adalah subgrup G
−1 gHg ⊂
Buktikan bahwa
merupakan koset kiri
H pada G.
sedemikian sehingga jika Ha≠ Hbmaka aH
semua g ∈ G . Huntuk
Jawab:
Asumsi bahwa H subgroup normal G, maka Ha= aH Adt Ha= aH Ambil h ∈ H
h ∈ H ⇒ ha ∈ Ha = aH ha = ah1 untuk h1 ∈ H a −1ha ha = a −1ah ah1 a −1ha = h1 aa −1ha ha = ah1 ha = ah1 ∈ aH Ha= aH Maka benar H ∆G Adt
−1 gHg ⊂ H −
h ∈ H maka
−
ghg1 ∈ gHg1
karena terbukti H ∆G maka gH = Hg, gh∈ gH dan gH∈ Hg maka gh = h g untuk h1 ∈ H 1
−1 ghg = 1h −1 gHg ⊂
H
≠ bH .
∴
gHg−1
⊂ H∀ g∈ G
21. Pemetaan τ ab untuk a, b bilangan real. Pemetaan bilangan real pada bilangan real dengan syarat τ ab : x → ax + b . Didefinisikan G = { τ ab a ≠ 0} . Buktikan bahwa
G
adalah grup pada komposisi pemetaan. Temukan rumus untuk τ abτ cd . Jawab:
Adt G adalah grup Ambil
τ ab ( x) = ax+ b τ cd ( x) = cx+ d
1) memenuhi sifat tertutup, sbb.
(τ ab ) o(τ cd ) = a (cx + d ) + b
= (ac) x + (ad + b ) ∈ G 2) memenuhi sifat asosiatif, sbb.
[ (τ ab ) o(τ cd ) ] o(τ ef ) = (τ ab ) o(τ cd ) o(τ ef )
[ a(cx + d ) + b ] o(ex + f ) = (ax + b ) o[ c (ex + f ) + d ] (acx + ad ad + b ) o(ex + f ) = (ax + b ) o(cex + cf cf + d )
ac(ex + f ) + ad + b = a (cex + cf + d ) + b acex + ( acf + ad + b ) = acex + (acf + ad + b ) 3) mempunyai identitas, sbb. Misalkan e = x ∈ G Ambil τ ab ( x ) = ax + b
τ ab ( x). e= τ ab ( x) τ ab ( x ) = τ ab ( x)
ax + b = τ ab ( x) 4) mempunyai invers, sbb.
(ax + b) oτ ab −1 = x − aτ ab 1 + b = x −1 aτ ab = x − b
τ ab −1 =
x − b
a cx + d ) Rumus untuk τ abτ cd = (ax + b)(cx
= axcx + axd + bcx + bd = acx 2 + (ad + bc ) x + bd ad + bc ) = v; bd = w , maka:τ abτ cd = ux 2 + vx + w Misalkan ac = u; ( ad Tugas tambahan Carilah subgrup dari S 3 dimana setiap koset kirinya sama dengan koset kanannya. Jawab:
13), (23), (123),(132)} S 3 = { (1), (12), (13),(23), Misal:
S 3 dimana H = { (1),(123),(132)}
H subgroup
Dicari H (12) dan Perhatikan
H
(12)
(1)ο (12) = (12) (123) 123)ο (12) = (13) 13) (132) 132)ο (12 (12)) = (23) (23)
Maka, Koset kanannya adalah H (12) = { (12),(13),(23)} Perhatikan
(12)ο (1 (1) = (12) (12)ο (123 (123)) = (23) (23) (12)ο (132 (132)) = (13) 13)
Koset kirinya adalah
H = { (12),(13),(23)}
(12)
∴ H (12 ) = (12 ) H Tugas tambahan Carilah subgrup dari S 3 dimana setiap koset kirinya sama dengan koset kanannya. Jawab:
13), (23), (123),(132)} S 3 = { (1), (12), (13),(23), Misal:
S 3 dimana H = { (1),(123),(132)}
H subgroup
Dicari H (12) dan Perhatikan
H
(12)
(1)ο (12) = (12) (123) 123)ο (12) = (13) 13) (132) 132)ο (12 (12)) = (23) (23)
Maka, Koset kanannya adalah H (12) = { (12),(13),(23)} Perhatikan
(12)ο (1 (1) = (12) (12)ο (123 (123)) = (23) (23) (12)ο (132 (132)) = (13) 13)
Koset kirinya adalah
H = { (12),(13),(23)}
(12)
∴ H (12 ) = (12 ) H Soal halaman 53 2. Jika G grup dan H < G indeks 2, tunjukkan H ∆G Jawab o(G : H )
=2→
o(G )
;grup siklis berorde 2
o( H ) Karena o(G : H ) = 2 maka hanya terdapat 2 koset dari H dalam G , yaitu Hg = gH gH dimana g ∈ H H sendiri dan y lainnya adalah Hg
Akan ditunjukan H subgrup normal di G Hg Hg = gH gH , maka untuk sebarang h ∈ H , hg ∈ Hg Hg gh1 untuk suatu h1 ∈ H dan ternyata: Maka hg = gh
= gH oleh karena itu,
g −1 hg = g −1 gh gh1
g −1 hg = h1 ∈ H Jadi H adalah subgrup normal Hg serta g −1 hg = h1 ∈ H Misalkan H ∆G dan hg ∈ Hg Hg ⊂ gH gH maka hg = gh1 ∈ gH sehingga Hg
diketahui bahwa ghg
−1
= ( g −1 ) −1 hg −1 = h2 ∈ H
gH karena H normal maka gh = h2 g ∈ Hg , sehingga gH Hg ⊂ gH gH dan gH gH ⊂ Hg Hg maka Hg Hg = gH gH jadi karena Hg
⊂ Hg Hg
Jadi H adalah subgrup normal G 3. Diketahui N ∆G dan H sebarang
< G buktikan NH < G
Jawab 5. H < G dan N ∆G , tunjukkan H ∩ N ∆ H Jawab
8. Beri Berila lah h sebu sebuah ah cont contoh oh grup grup G , subgru subgrup p H dan a ∈ G ⇔ aH a
aH a
−1
−1
⊆ H tetapi
≠ H N ∆G
Jawab
= 6 ={(1), (12 ), (13 ), ( 23 ), (123 ), (132 )} ( H 4 ) = {(1), ( 23 )} ( H 2 ) = {(1), (12 )} ( H 5 ) = {(1), (123 ), (132 )} ( H 3 ) = {(1), (13 )} ( H 6 ) = S 3
diketahui o ( S 3 ) ( H 1 ) = {(1)}
− salah satu contoh ambil a = ( 23 ), H = (13 ) sehingga a 1 aHa −1 = ( 23 )(13 )( 23 ) −1 = (12 ) jadi
aHa
−1
(12 )
≠ (13 )
≠ H
10. Jika H sebuah subgrup G , N ( H ) a) N ( H ) Subgrup G
= { g ∈G | gHg −1 = H } , Buktikan
Jawab
i.
N ( H )
= (23 ) −1 = ( 23 )
≠ φ ambil g ∈ H
= e = eg ∈ H e ∈ H e ∈ N ( H )
ge ge
ii. Akan ditunjukkan N ( H ) tertutup di G Ambil g 1 ∈ H dan g 2 ∈ H
∈ H → g 1 . g 2 ∈ H −1 g 1 ∈ H ⇔ g 1 Hg 1 ∈ H −1 g 2 ∈ H ⇔ g 2 Hg 2 ∈ H g 1 , g 2
akibatnya g 1 Hg 1
−1
= g 2 Hg 2 −1 ∈ H
−1
−1
g 1 Hg 1 .( g 2 Hg 2 ) Belum selesai
iii. Memilik Memilikii invers invers −1 Ambil g ∈ N ( H ) tunjukkan g 1
∈ N ( H )
−1
Perhatikan bahwa g 1 ada di G Sekarang perhatikan bahwa g
−1
H
−1
= g
= g = g
He
1 − − 1
Hgg gHg
=eHg = Hg
−1
− 1
1 −
1 −
b) H adalah normal dalam N ( H ) Definisi : ∀a ∈ N ( H ); aHa −1 ∈ H Misalkan a x = aHa x = aha
−1 −1
= gh1 g −1 ; h1 ∈ H ∈ H
h ∈ H
x = ( gh gh 1 g −1 ) h ( gh gh 1 g −1 ) −1 −1 −1 −1
gh1 g hgh1 g ; hh1 ∈ H −1
gh1 heh1 g −1 −1
gh1 hh1 g −1 gehg
−1
ghg −1 ∈ H H ∆ N ( H ) ∴
c) Jika H subgrup nomal dari subgrup K di G , K ⊂ N ( H ) (sehingga N ( H ) adalah sugrup terbesar di G dimana H normal) Jawab : d) H Normal di G jika dan hanya jika N ( H ) = G Jawab : H ∆G maka ghg −1 ∈ H akan ditunjukan N ( H ) ghg
−1
ghg
−1
∈ H , ∀ g ∈G , h ∈ H ∈ H ⊆ N ( H )
⊆ N ( H ) N ( H ) = G G
=G
21. Misal Misal G himpunan semua bilangan real dengan matrik 2x2,
ad ≠ 0 dengan perkalian matriks,
a 0
b dimana d
1 b 0 1 , buktikan :
a) N ∆G Jawab : Untuk menunjukkan N ∆G maka harus ditunjukkan jika g −1 ng ∈ N ∀ g ∈G dan n ∈ N
1 n n = akan ditunjukkan d 0 1 n 1 d − b a 1 0 a d
a 0
Ambil g =
a 0
b 1
d 0
b
d − b a an + b ad ad a 0 d 0 ad ad − ab + a 2 n + ab 1 ad ad = ad 0 0 ad Karena n ∈ N maka
b) G | N abelian N ( g 1 g 2 ) Ambil n
n. g 1 g 2 n. g 1 g 2
an d
g −1 ng ∈ N
an
d ∈ N 1
∈ N sehingga Terbukti bahwa N ∆G
= N ( g 2 g 1 )
1 = 0
n
a
b
a
1 n a1 b1 a 2 b2 1 = 0 d 0 d = 0 0 1 1 2 a a a b + b d + nd 1 d 2 = 1 2 1 2 1 2 0 d d 1 2
1 n a 2 b2 a1 b1 1 = 0 d 0 d = 0 0 1 2 1 a 2 a1 a 2 b1 + b2 d 1 + nd 2 d 1 n. g 2 g 1 = 0 d d 2 1 n. g 2 g 1
Karena n. g 1 g 2
Soal Halaman 55
Contoh 270 :
b
1 1 2 2 g 2 = g 1 = 1 0 d 1 0 d 2
= n. g 2 g 1
maka abelian.
n a1a 2
1
0
n a 2 a1
1
0
+ b1 d 2 d 1 d 2
a1b2
+ b2 d 1 d 2 d 1
a 2 b1
Misalkan G1 , G2 adalah grup .
→ G adalah pemetaan dengan aturan Untuk setiap Χ ∈ G, Tunjukkan ϕ : G → G ϕ : G1
( Χ ) =
2
1
2
homomorfisma
Jawab :
→ G pemetaan Ambil Χ dan Χ ∈ G maka ( Χ ) = dan ( Χ ) = Maka ϕ : G → G pemetaan Adt ( Χ Υ ) = ( Χ ) . ( Υ ) Ambil Χ , Υ ∈ G berdasarkan definisi ( Χ Υ ) = = Adt ϕ : G1
2
1
2
1
1
2
=
( Χ 1)
=
( Χ ) .
2
( Υ ) ( Χ ) .
( Χ Υ )=
Jadi
( Υ )
Jadi berdasarkan pembuktian di atas ϕ : G1
→
G2 adalah sebuah homomorfisma. homomorfisma.
Homomorfisma seperti ini disebut homomorfisme trivial.
Contoh hal 273
Diketahui G grup pada bilangan bulat dibawah operasi penjumlahan misal G=G untuk untuk setiap setiap bilanga bilangan n bulat bulat X ∈ G didefinisikan adalah sebuah
Χ) = 2 Χ
ϕ (
buktikan
Homomorfisme
Jawab : (i). (i).
Akan Akan ditu ditunj njuk ukan an Ambil X1, X2
peme pemeta taan an
∈G
(X1) =
dengan X1 = X2 maka akan ditunjukan 2X 1 = 2X2 atau
(X2)
∈ X ∈
Ambil
X1
2
maka
(X1) = 2 X1
maka
(X2) = 2 X2
Karena X1 = X2 , maka 2X1 = 2X2 akibatnya (ii) (ii)..
Akan Akan ditu ditunj njuk ukan an Ambil X dan Y
(X + Y) =
(X) (X) +
(X1) =
(X2)
(Y) (Y)
∈G
(X + Y) = 2 (X + Y) = 2 X + 2Y = Jadi
(X + Y) =
Karena
(Y) (X) +
(Y)
merupakan pemetaan dan
Maka
Contoh 274
(X) +
Homomorfisme
:
(X + Y) =
(X) +
(Y)
Misal G adalah grup pada pada bilangan bilangan real positif G = { -1,1 } dengan dengan 1.1 = 1 , -1.- 1 = 1 , 1. -1 = -1 , -1.1 = -1 Didefinisikan Didefinisikan f : G
→G
dengan F ( Χ )= 1 ,jika
Χ positif dan
Χ)= -1 Tunjukan G merupakan hoomorfisma. Jawab : (i).
→ G merupakan suatu pemetaan Ambil Χ = 1 dan Χ = 1 ∈ G maka F ( Χ )= 1 dan F ( Χ )= 1 Jadi untuk Χ = Χ 1 maka F ( Χ )= F ( Χ ). Adt untuk F ( Χ Y)= F ( Χ ) . F (Y) Adt f : G
1
2
1
(ii).
1
2 =
1
2
2
Ambil 1 ∈G dan −1 ∈G F (1.1) =1 = F (1) . F(1) = 1 . 1 = 1 F (-1.1) = -1 = F (-1) . F(1) = -1 . 1 = -1 F (1.-1) =-1 = F (1) . F(-1) = 1 . -1 = -1 F (-1 . -1) =-1 = F (-1) . F(-1) = -1 . -1 = 1 Jadi berdasarkan (i) dan (ii) maka, F = G 1
→G
2
adalah suatu homomorfisme
Contoh 2.7.6 :
Misal G grup pada operasi perkalian bilangan real positif Misal G grup untuk bilangan real penjumlahan ϕ : G
→ G didefinisikan 10
ϕ ( x ) =
log x
10
ϕ ( xy xy ) =
log( xy xy )=10 log x +10 log y
(i) Buktikan
( x ).ϕ ( y ) =ϕ
adalah homomorfisma homomorfism a dari
G
ke G
Jawab: Adt
pemetaan
Ambil x1 , x 2
∈G
maka
log x1 ϕ ( x1 ) = log 10
ϕ ( x 2 )
Karena x1 (ii) (ii)
= x2
Bukti Buktika kan n
maka ϕ ( x1 )
log x 2 =10 log
= ϕ ( x 2 )=10 log log x
pada pada oper operas asii penj penjum umla laha han n homo homomo morf rfis isma ma 1-1 1-1 dan dan onto onto
Jawab : Adt
10
ϕ ( xy xy ) =
Ambil x1 , x 2
xy ) ϕ ( xy
10 10 log( xy xy ) = log x + log y
∈G
maka berdasarkan definisi
=10 log log x1 x 2 =10 log log x1 +10 log log x 2
F(
= ϕ ( x1 ) +ϕ ( x 2 ) Jadi terbukti bahwa
adalah homomorfisma dari
G
ke G.
Cont Contoh oh 2.7. 2.7.7 7 :
dengan d
b
a Misal G grup pada matrik 2 x 2 bilangan real c
ad – bc
≠0
Missal G grup bilangan real tidak nol didefinisikan ϕ : G
a b
→ G dengan
Tunjukan
= ad – bc d
b
Homomorfisme
Jawab :
(i) Akan ditunjukan (ii)
e Y d g
b
a c
Misal X =
Akan ditunjukan (x.y)=
pemetaan
f h
(x.y)= a c
(x) . (y)
e Y d g
f ae +bg = h ce +dg
b
af + bh
= cf + dh
a d e h + b c f g – b c e h – a d f g . . . (*) (x)=
(y) =
a c e g
= ad – d
b
} bc ( x ) ( y )
f
=eh–fg h
Dari … (*) dan (**) tersebut
(xy) =
Jadi berdasarkan (i) dan (ii)
merupakan
= ( ad −bc )( eh − fg )
= adeh +bcfg −bceh −adfg ...(**)
(x)
(y)
Homomorfisma
