penjumlahan dan perkalian bilangan-bilangan kompleks merupakan ring komutatif dengan elemen satuan. 8. Diketahui R adalah ring komutatif dengan elemen satuan dan R2 = {(a,b) | a,b R}. Pada R2 didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian sebagai berikut: (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) dan (a,b) *(c,d) = (ac, bd). Tunjukkan bahwa (R2,+,*) ring komutatif dengan elemen satuan! 9.
Misalkan (R,+,*) merupakan ring dengan elemen satuan 1. Pada R didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian lain sebagai berikut: ab = a + b + 1
dan ab = a*b + a + b.
Tunjukkan bahwa (R,,) ring dengan elemen satuan! 10. Misalkan R adalah himpunan semua simbol
11e11 + 12e12 + 21e21 + 22e22 =
2
e
ij ij
i , j 1
dengan semua ij adalah bilangan rasional. Pada R didefinisikan 2
e
(i)
ij ij
2
=
i , j 1
jika dan hanya jika ij = ij untuk semua i,j = 1, 2.
2
ij eij +
i , j 1 2
(iii)
ij ij
i , j 1
2
(ii)
e
e
ij ij
.
i , j 1
2
(
i , j 1
i , j 1
2
2
ij eij =
e
ij ij
i , j 1
=
ij
e
ij ij
i , j 1
ij )eij dengan ij
2
iv
vj
.
v 1
Tunjukkan bahwa (R,+,.) merupakan ring dengan elemen satuan.
1.2 Sifat-sifat Ring Teorema berikut menyajikan sifat-sifat dasar dari ring. Teorema 1.2.1
Misalkan R adalah ring dengan elemen satuan. Untuk
sebarang a, b, c di R, pernyataan-pernyataan berikut benar: 1). a0 = 0a = 0, dengan 0 adalah elemen netral di R. 2). a(-b) = (-a)b = -(ab) 3). (-a)(-b) = ab 4). –(a + b) = (-a) + (-b)
____________________________________________________Modul Struktur Aljabar
10
5). a(b-c) = ab – ac 6). (b-c)a = ba – ca 7). (-1)a = -a,
dengan 1 elemen satuan di R.
Bukti: 1). Jika a R maka a0 = a(0 + 0)
sifat elemen netral 0 = 0 + 0.
= a0 + a0
sifat distributif kanan
Akibatnya karena R merupakan grup terhadap penjumlahan, maka apabila kedua ruas ditambah dengan –(a0) diperoleh -(a0) + a0 = -(a0) + (a0 + a0) 0 = [-(a0) + a0] + a0 0 = 0 + a0 0 = a0. Dengan cara serupa dapat ditunjukkan bahwa 0a = 0. 2). Untuk menunjukkan a(-b) = -(ab), harus diperlihatkan bahwa ab + a(-b) = 0. Perhatikan bahwa ab + a(-b) = a [b + (-b)] = a.0
sifat distributif sifat elemen invers terhadap penjumlahan
=0
hasil dari 1).
Ini berarti a(-b) = -(ab). Dengan cara serupa dapat ditunjukkan bahwa (-a)b = -(ab).
3). Dengan menggunakan hasil 2) diperoleh (-a)(-b) = -[a(-b)]
hasil dari 2).
= -[-(ab)]
hasil dari 2).
= ab
karena -(-x) = x .
4). sampai dengan 7). Diserahkan kepada pembaca sebagai laihan.
■
Definisi mengenai elemen satuan pada ring, memungkinkan terdapat lebih dari satu elemen satuan pada ring R. Akan tetapi teorema di bawah ini akan menjamin bahwa kemungkinan tersebut tidak mungkin terjadi.
____________________________________________________Modul Struktur Aljabar
11
Teorema 1.2.2 Jika R adalah suatu ring dengan elemen satuan, maka elemen satuan tersebut tunggal. Bukti: Misalkan e1 dan e2 adalah elemen satuan di R. Perhatikan bahwa e1 . e2 = e 1, karena e2 adalah elemen satuan. Padahal e 1 . e2 = e 2, karena e1 juga elemen satuan. Akibatnya e1 = e1 . e2 = e2 Telah ditunjukkan bahwa elemen satuan di R adalah tunggal.
■
Pada ring dengan elemen satuan, perlu dipertimbangkan adanya invers terhadap perkalian. Berikut ini diberikan definisi mengenai invers terhadap perkalian. Definisi 1.2.3 Misal R adalah suatu ring dengan elemen satuan e dan misalkan a R. Jika terdapat suatu elemen x di R sedemikian hingga ax = xa = e, maka x disebut invers perkalian dari a. Seperti halnya pada elemen satuan, invers perkalian juga tunggal. Teorema 1.2.4 Misalkan R adalah suatu ring dengan elemen satuan e. Jika elemen a R memiliki invers perkalian, maka invers perkalian dari a adalah tunggal. Bukti: Misalkan x dan y adalah invers perkalian dari a. Diperhatikan ax = xa = e, karena x adalah invers perkalian dari a dan ay = ya = e, karena y juga invers perkalian dari a. Akibatnya
x = ex,
karena e adalah elemen identitas
= (ya)x,
karena ya = e
= y(ax),
dengan sifat assosiatif
= ye,
karena ax = e
= y,
karena e adalah elemen identitas.
Telah ditunjukkan invers perkalian dari a adalah tunggal.
■
Pada pembahasan selanjutnya invers perkalian dari a akan dinotasikan dengan a-1. Definisi 1.2.5 Misalkan F adalah suatu ring. Ring F disebut lapangan (field) jika syarat-syarat berikut ini dipenuhi: 1. F adalah ring komutatif. 2. F memiliki elemen satuan e dan e ≠ 0.
____________________________________________________Modul Struktur Aljabar
12
3. Setiap elemen tak nol di F memiliki invers perkalian. Contoh 1.10 Misal (R, +, .) adalah ring himpunan bilangan riil. Ring (R,+,.) adalah suatu lapangan. Untuk membuktikan ini berturut-turut ditunjukkan: (i) R adalah ring komutatif. Berdasarkan sifat perkalian pada R, maka a . b = b . a, untuk setiap a, b R. Ini berarti R adalah ring komutatif. (ii) R memiliki elemen satuan e dan e ≠ 0. Elemen satuan R adalah e = 1 ≠ 0, karena a . 1 = 1 . a = a, untuk setiap a R. Telah ditunjukkan R memiliki elemen satuan 1 dan 1 ≠ 0. (iii) Setiap elemen tak nol di R memiliki invers perkalian. Diambil sebarang a R, dengan a ≠ 0, maka terdapat sedemikian sehingga a . b = a . memiliki invers perkalian yaitu
1
a
1
a
b =
1
a
R
= b . a = 1. Ini berarti setiap a ≠ 0 R
.
Jadi R adalah suatu lapangan. Contoh 1.11 Pada Contoh 1.1 telah dibuktikan bahwa (Z, +, .) adalah suatu ring, tetapi
ring (Z, +, .) bukanlah suatu lapangan karena syarat (3) pada
Definisi 1.2.5 tidak dipenuhi, yaitu terdapat 0≠2 Z, tetapi jika diambil sebarang b Z tidak ada yang memenuhi 2.b = b.2 = 1. Definisi 1.2.6 Jika R adalah ring dengan elemen satuan tetapi tidak komutatif, dan setiap elemen tidak nolnya mempunyai invers terhadap perkalian maka R disebut ring pembagian (division ring ). Jelas bahwa perbedaan antara lapangan dan division ring hanya pada sifat komutatifnya terhadap perkalian saja. Sebelum dibahas mengenai salah satu kelas khusus ring, yaitu daerah integral (integral domain ), berikut ini akan diberikan terlebih dahulu definisi pembagi nol. Definisi 1.2.7 Jika R adalah suatu ring komutatif, maka 0 ≠ a R disebut sebagai pembagi nol jika terdapat 0 ≠ b R sedemikian sehingga ab = 0.
____________________________________________________Modul Struktur Aljabar
13
Definisi 1.2.8
Suatu ring komutatif R disebut daerah integral ( integral
) jika R tidak memiliki pembagi nol. domain Contoh 1.12 Misal (Z, +, .) adalah suatu ring, maka Z adalah suatu daerah integral. Bukti : Jelas bahwa (Z, +, .) merupakan ring komutatif. Untuk membuktikan bahwa Z tidak memuat pembagi nol, diambil sebarang a ≠ 0 Z. Kemudian untuk persamaan ab = 0, dengan a ≠ 0 maka haruslah b = 0. Ini berarti tidak ada b ≠ 0 Z yang memenuhi persamaan ab = 0. Telah ditunjukkan (Z, +, .) adalah suatu daerah integral.
Latihan 1.2 1. Lengkapilah bukti Teorema 1.2.1. 2. Jika R merupakan ring dan a, b R, maka buktikan bahwa (a + b)2 = a2 + ab + ba + b2. 3. Nyatakan bentuk umum Teorema Binomial di dalam sebarang ring, dengan kata lain tentukan ekspresi untuk (a + b)n, dengan n bilangan bulat positif. 4. Ring R disebut ring boolean jika untuk setiap elemen a di R berlaku a2 = a. Tunjukkan bahwa jika R ring boolean maka R ring komutatif! 5. Tunjukkan bahwa ring komutatif D adalah daerah integral jika dan hanya jika untuk a, b, c D dengan a 0, relasi ab = ac mengakibatkan b = c! 6. Buktikan bahwa sebarang lapangan (field) adalah daerah integral! 7. Buktikan bahwa Zp dengan p bilangan prima terhadap operasi penjumlahan modulo p dan operasi perkalian modulo p merupakan daerah integral. 8. Buktikan bahwa sebarang daerah integral dengan banyak anggota hingga merupakan lapangan! 9. Berikan contoh daerah integral yang bukan lapangan! 10. Berikan contoh ring pembagian.
____________________________________________________Modul Struktur Aljabar
14
