MAKALAH STRUKTUR ALJABAR

MAKALAH STRUKTUR ALJABAR  GRUP PERMUTASI  Diajukan untuk memenuhi memenuhi salah satu satu tugas matakuliah Struktur Aljabar Aljabar di  ampu oleh :  Nurviana, S.Pd., M.PMat. M.PMat.

Oleh : Kelompok 1

Amiruddin Raja Guk Guk

150601002

Luci Dewi Muliana

150601005

Mah!irah

15060100"

JURUSAN MATEMATIKA MATEMATIKA FAKULTAS TEKNIK  UNIVERSITAS SAMUDRA LANGSA 2016

KATA KATA PENGANTAR  PENG ANTAR 

#uji $%ukur Alhamdulillah $enan&ia$a ki&a panja&kan kehadira& Allah '()* %an &elah mem+erikan $eala nikma& dan karunia,-%a kepada ki&a. 'holawa&  +e$er&a $alam Allah '()* $emoa &ercurahkan & ercurahkan kehari+aan -a+i ki&a Muhammad 'A( 'A(* kepad kepadaa keluar keluara a** dan dan kepad kepadaa para para $aha+ $aha+a&,$ a&,$aha aha+a& +a&n%a n%a $er&a $er&a $emua $emua  peniku& %an $elalu $e&ia kepada ajarann%a* mudah,mudahan mudah,mudahan $%a!aa&n%a kelak akan ki&a peroleh di %aumul akhir* aamiin yaa robbal alaamiin. Dan penuli$ +er$%ukur kepada Allah Allah '()* $e+aaimana $e+aaimana penuli$ didalam melak$ melak$ana anakan kan &ua$ &ua$ kelomp kelompok ok ini di+eri di+eri kemamp kemampuan uan un&uk un&uk men%e men%ele$ le$aik aikan an makala makalahh %an %an +erjud +erjudul ul Grup Grup #ermu #ermu&a$ &a$i.i. #enul #enuli$ i$ men%a men%adar darii +ahwa +ahwa penuli penuli$an $an makalah ini ma$ih jauh dari ke$empurnaan. ke$empurnaan.

2

Makala Makalahh ini di+ua di+ua&& dalam dalam ranka ranka mempe memperda rdalam lam pemaha pemahama mann &en&an &en&an /n&e /n&er ral al i&u i&u $end $endir iri.i. Dala Dalam m pro$ pro$e$ e$ pend pendal alam aman an ma&e ma&eri ri ini* ini* &en& &en&un% un%aa kami kami mendapa&kan +im+inan*arahan* korek$i dan $aran* un&uk i&u ra$a &erima ka$ih %an $edalam,dalam $edalam,dalamn%a n%a #enuli$ #enuli$ ucapkan ucapkan kepada kepada /+u -uriana* -uriana* '.#d '.#d.*.* M.#Ma&. M.#Ma&. do$en Mipa Ma&ema&ika %an &elah mem+erikan ma$ukan un&uk makalah ini. Oleh karena i&u* penuli$ jua $ana& menharapkan kepada para pem+aca aar  mem+erikan $aran a&au kri&ik %an kon$&ruk&i! kepada penuli$ makalah ini* demi ke$empurnaan &ua$,&ua$ %an di+erikan oleh do$en un&uk ma$a %an akan da&an. Akhir ka&a* penuli$ han%a mampu un&uk menucapkan +an%ak &erima ka$ih ka$ih kepada kepada $emua $emua pihak pihak %an %an &elah &elah mem+an mem+an&u &u dalam dalam penuli penuli$an $an makalah makalah ini. 'emoa makalah ini dapa& +erman!aa& +ai para pem+aca.

Lan$a* 1 -oom+er 2016

#en%u$un*

DAFTAR ISI KAT KATA PENGANT PENGANTAR AR..... .......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ............ ................. ............... .....

ii

DAFTAR DAFTAR ISI...... ISI........... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ............ ................. ................. .......

iii

BAB I PENDAH PENDAHULU ULUAN. AN.... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ....... ........ ........ ........ ...... ..

1



1.1. 1.1. 1.2. 1.2. 1.. 1..

La&a La&arr 3el 3elak akan an. .................................................................................................... ...... ...... ...... ...... ...... .......... ...... ..... Rumu Rumu$a $ann Ma$a Ma$ala lah. h................................................................................................ ...... .......... ...... .......... ...... ....... )ujua )ujuan. n............................................................................................................................................................................ .......

1  

BAB II PEMBAH PEMBAHASA ASAN.. N..... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ....... ........ ........ ........ ...... ..

4

2.1. 2.1. 4u 4un n$i $i dan dan #em #eme& e&aa aan. n............................................................................................................................ ...... ... 2.2. 2.2. Grup Grup #er #ermu mu&a &a$i $i .... ........................................................................................................................................... ....... 2.2.11 #ener&ian 2.2. #ener&ian Grup #ermu&a$i #ermu&a$i..... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ........... ...... 2.2. 2.2. #erm #ermu& u&a$ a$ii Komp Kompo$ o$i$ i$i.i.................................................................... .......... ...... .......... ...... .......... ... 2.2. 'i!a&,$i!a& 2.2. 'i!a&,$i!a& Grup #ermu&a$i.. #ermu&a$i....... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ............ ............... ........ 2.2." 2.2 ." Menen& Menen&uka ukann %cle %cle 7pu&aran 7pu&aran88 dan Or+i&.. Or+i&..... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ....... ....... ... 2.2.5 )eorema,&eorema %an 3erhu+unan denan Grup #ermu&a$i. #ermu&a$i...... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... ............. .......... 2.. 2.. Grup Grup 'ime 'ime&ri &rik. k.................................................................................................................................... ...... ...... ...... ..... 2.". 2.". Grup Grup Dihe Dihedr dral al................................................................................................................................................... ...... ...

" 6 6  11 12

BAB III PENUTUP... PENUTUP........ .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ............. ................. ............. ....

25

.1 .Ke$im .Ke$impul pulan. an.... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ....... ........ .... .2 .'a .'aran ran... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ....... ........ ........ ........ ....

25 25

DAFTAR DAFTAR PUSTAK PUSTAKA.... A......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ............. ........

26

1 1 21

"

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Latar B!a"a# B!a"a#$ $

#ada awal perkem+anann%a kajian alja+ar a+$&rak han%a melipu&i &eori rup* rin* dan lapanan* namun perkem+anan ilmu kompu&a$i dan &eknoloi in!orm in!orma$i a$i %an %an $ana $ana&& pe$a& pe$a& mena menaki+ ki+a&k a&kan an peran peran alja+a alja+arr a+$&r a+$&rak ak $emaki $emakinn  +er&am+ah pen&in. )erdapa& )erdapa& +an%ak $ekali penerapan alja+ar a+$&rak %an $erin ki&a &emui &anpa ki&a $adari* con&ohn%a adalah $im+ol Universal Product Code 79#8* a&au le+ih dikenal denan i$&ilah barcode,  karena +en&ukn%a %an +erupa ari$,ari$ +erjajar $eper&i +a&an. 'elain 'elain penerapa penerapann%a nn%a $ecara $ecara lan$un lan$un** alja+ar alja+ar a+$&rak a+$&rak jua memean memean  peranan pen&in dalam perkem+anan perkem+anan ilmu lain* u&aman%a dalam perkem+anan perkem+anan ilmu per$andian 7cryptography8 dan &eori penkodean 7 coding theory8. 3e$arn%a  peran alja+ar a+$&rak &erhadap perkem+anan di$iplin ilmu lain menaki+a&kan kajian alja+ar a+$&rak $emakin melua$. Alja+ar a+$&rak &idak han%a menjadi kajian u&ama u&ama dalam dalam perku perkulia liahan han maha$i maha$i$wa $wa juru$a juru$ann ma&em ma&ema&i a&ika ka** namun namun jua jua pada pada  juru$an lain dian&aran%a dian&aran%a 'ain$ dan dan )eknik. )eknik. 'a&u ma$alah %an $erin dihadapi dalam pem+elajaran alja+ar a+$&rak adalah ke&ika mema$uki pem+aha$an &eori rup. Dimana maha$i$wa di&un&u& un&uk un&uk memaha memahami mi kon kon$ep $ep ma&em ma&ema&i a&ika ka %an %an cender cenderun un a+$&r a+$&rak ak dan dan $ekal $ekaliu iu$$ dihadapk dihadapkan an pada per$oalan per$oalan pem+uk&ia pem+uk&iann loi$* loi$* dua hal %an jaran di&emui di&emui pada  pem+elajaran ma&ema&ika &inka& $ekolah menenah. Maha$i$wa %an mendapa&i ke$uli&an $emacam ini akan $emakin kehilanan mina& +elajar &eori rup. #adahal &eori rup merupakan $alah $a&u kon$ep pen&in %an memiliki +an%ak penerapan dala dalam m kehi kehidu dupa pann n%a& n%a&aa dan dan dalam dalam perk perkem em+a +an nan an ilmu ilmu lain lain** $e+a $e+aa aim iman anaa din%a&akan oleh )homa$ (. ud$on dalam +ukun%a A+$&rac& Ale+ra: Ale+ra: )heor% and Applica&ion*

1

The theory of groups occupies a central potition in mathematics. … Groups now play a central role in such areas as coding theory, counting, and the study of symmetries many areas of biology, chemistry, and   physics have benefited from group theory. 7)eori rup menempa&i po$i$i

u&ama dalam ma&ema&ika. ; Grup memainkan peran u&ama dalam  +er+aai +idan dian&aran%a &eori penkodean* perhi&unan* dan  pem+elajaran menenai $ime&ri< +ioloi* kimia* dan !i$ika &elah +an%ak meman!aa&kan &eori rup8.

Me$ki de!ini$i rup a+$&rak +elum di&e&apkan $ecara jela$ hina akhir  &ahun 1=00,an* me&ode,me&ode dalam &eori rup &elah diunakan jauh $e+elum &ahun ini %akni dalam penem+anan +er+aai +idan ma&ema&ika* &erma$uk eome&ri dan kon$ep per$amaan alja+ar. )ahun 10,11 o$eph,Loui$ Larane menunakan &eori rup un&uk mempelajari me&ode pen%ele$aian per$amaan  polinomial. Kemudian pada 1=11,1=2 >ari$&e Galoi$ +erha$il menemukan cara menen&ukan apakah $ua&u per$amaan polinomial dapa& di$ele$aikan a&aukah &idak denan meliha& koe!i$ien,koe!i$ien per$amaan &er$e+u&. Kon$ep %an dikemukakan oleh Galoi$ inilah %an pada akhirn%a menjadi da$ar &eori rup. )eori rup adalah ca+an alja+ar a+$&rak %an mem+aha$ menenai rup. Dalam ma&ema&ika* rup adalah $ua&u $&ruk&ur alja+ar %an &erdiri dari $e+uah himpunan dan $e+uah opera$i %an mena+unkan $e+aran dua elemen himpunan &er$e+u& un&uk mem+en&uk elemen +aru %an jua &erdapa& pada himpunan &er$e+u&. Aar dapa& diolonkan $e+aai rup* himpunan dan opera$i &er$e+u& haru$ memenuhi +e+erapa kondi$i %an di$e+u& ak$ioma rup. '&udi rup +erawal dari aa$an menenai himpunan,himpunan permu&a$i %an &er&u&up di +awah opera$i perkalian dan meli+a&kan iden&i&a$* $er&a iner$ un&uk $e&iap elemenn%a. Kon$ep permu&a$i %an per&ama dikemukaan oleh Larane* %ai&u permu&a$i adalah !un$i %an meme&akan $e+uah himpunan kepada himpunan i&u $endiri. -amun &eorema,&eorema da$ar permu&a$i dan no&a$i, no&a$i %an diunakan di dalamn%a dikem+ankan oleh auch%. auch% jua merupakan oran per&ama %an menunakan no&a$i $iklik dalam men%a&akan $e+uah permu&a$i.

2

)om Dai$ dalam Group )heor% ia Ru+ik?$ u+e men%a&akan* @ A very important class of groups are so!called permutation groups….  73aian %an $ana& pen&in dari rup adalah rup permu&a$i8. Grup permu&a$i merupakan  pokok dari $&udi $ime&ri eome&ri dan &eori Galoi$* %ai&u pencarian pen%ele$aian  per$amaan polinomial. /roni$n%a* me$kipun memiliki +an%ak man!aa& kajian &eori rup kuran dimina&i dan $erinkali $uli& di!ahami dikarenakan $i!a&n%a %an a+$&rak.

1.2 R%&%'a# Ma'a!a(

1. 3aaimana mem+en&uk rup permu&a$iB 2. Apa $aja $i!a&,$i!a& rup permu&a$iB . 3aaimana cara menen&ukan c%cle 7pu&aran8 dan or+i& dalam rup  permu&a$iB ". 3aaimana cara menerapkan &eorema,&eorema %an +erhu+unan denan rup permu&a$iB

1.) T%*%a#

1. Memahami +en&uk rup permu&a$i 2. Menjela$kan $i!a&,$i!a& rup permu&a$i . Menen&ukan c%cle 7pu&aran8 dan or+i& dalam rup permu&a$i ". Menerapkan &eorema,&eorema %an +erhu+unan denan rup permu&a$i



BAB II PEMBAHASAN

2.1 FUNGSI DAN PERMUTASI

"

DEFINISI 2.1

7F%#$'i ata% P&taa# 8

'ua&u +%#$'i a&au ,&taa#

dari himpunan  A ke himpunan " adalah $ua&u

a&uran %an menen&ukan un&uk $e&iap elemen

 +ahwa

&&ta"a# a ,a-a b dan

meme&akan A ke ".

 -o&a$i un&uk menunjukkan +ahwa

Clemen b adalah a/a#$a# a tr(a-a, $ecara $im+olik $e+aai

&epa& $a&u elemen  ". Dika&akan

meme&akan a pada b adalah

. 4un$i

meme&akan A ke  " din%a&akan

/lu$&ra$i,n%a dapa& diliha& pada am+ar 1

a•

•b

5

Ga&ar 1

ika dan adalah !un$i,!un$i denan dan maka ada !un$i dari  A ke C * ilu$&ra$i pada am+ar 2. 4un$i dari  A ke C   adalah +%#$'i

"&,'it 7composite function8 %an &erdiri dari

φ 

diiku&i

di&uli$

ψ  •

c

$elanju&n%a dide!ini$ikan

$e+aai

.

6

Ga&ar 2

DEFINISI 2.2 7'at%'at%  dan ,a-a8

'ua&u !un$i dari himpunan  A ke himpunan  " adalah 'at%'at% 7one to one 8 jika $e&iap elemen " mempun%ai palin +an%ak $a&u elemen  A %an dipe&akan padan%a dan dika&akan ,a-a 7onto8  " jika $e&iap elemen  " mempun%ai $ekuran, kurann%a $a&u elemen  A %an dipe&akan padan%a.

Ki&a dapa& menunjukkan $ua&u !un$i denan meniku&i a&uran +eriku&:

1. 4un$i

  $a&u,$a&u

dan pada

$a&u,$a&u di&unjukan +ahwa 

 un&uk $e&iap

2. 4un$i

 pada

un&uk $e&iap

Di+erikan !un$i

dan himpunan

di&unjukkan +ahwa

&erdapa&

$edemikian $ehina

. impunan  A  di$e+u& -&ai# 7domain8 dari

 " 

di$e+u&

"-&ai#

7codomain8 dari

. impunan

= di$e+u& a/a#$a# 7image8 dari A &erhadap

.

=

DEFINISI 2.) 7Pr&%ta'i8

'ua&u ,r&%ta'i ,a-a (i&,%#a#  A adalah peme&aan

%an $a&u,$a&u 7

a&au injek&i!8 dan pada 7 on&o8. Denan ka&a lain* permu&a$i un&uk  A adalah !un$i $a&u,$a&u dari A pada A* kadan di&uli$

: A → "

un&uk !un$i $a&u,$a&u

dari A pada ".

3NTH 1

Mi$alkan himpunan

denan de!ini$i peme&aan $e+aai +eriku&:

2 →1

2→

→ 2

 →1

"→

"→"



maka +ukan $ua&u permu&a$i karena  permu&a$i.

$edankan

$ua&u

2.2 GRUP PERMUTASI 2.2.1 P#$rtia# Gr%, Pr&%ta'i

#ermu&a$i dari $e+uah himpunan adalah !un$i dari A ke A %an  +erkore$ponden$i $a&u,$a&u dan on&o. #ermu&a$i rup dari himpunan A adalah himpunan permu&a$i,permu&a$i dari A %an mem+en&uk $e+uah rup denan opera$i kompo$i$i !un$i.

3#t( 2

'e+aai con&oh* ki&a da!&arkan $e+uah permu&a$i E1*2**"F denan mene&apkan 

 718 2

 728





 781





dari himpunan

 7"8"

9n&uk menunjukkan kore$ponden$i ini adalah menuli$kan  denan mem+en&uk  +ari$an $e+aai +eriku&.

10

 

α

Di $ini α 7j8 dian&i $ecara lan$un di +awah j un&uk $e&iap j. 3ei&u pun*

 permu&a$i dari

728  *

dari himpunan

78  1*

7"8  6

di&e&apkan

758  2*

718  5*

768  "

Di&en&ukan dalam +ari$an denan +en&uk $e+aai +eriku&



2.2.2 Pr&%ta'i K&,'i'i

Ki&a akan menunjukkan +ahwa kompo$i$i !un$i adalah opera$i +iner pada himpunan $emua permu&a$i un&uk himpunan  A* opera$i ini di$e+u& M%!ti,!i"a'i

Pr&%ta'i 7 Permutation  #ultiplication8

Diam+il $ua&u himpunan A dan

dan

11

adalah permu&a$i,permu&a$i un&uk  A $edemikian $ehina keduan%a merupakan !un$i

$a&u,$a&u dan pada un&uk A. 4un$i kompo$i&

denan $kema

merupakan peme&aan dari  A ke  A. 4un$i kompo$i& di&unjukkan $e+aai +eriku&.

jua merupakan permu&a$i*

 maka*

Karena

$a&u,$a&u maka

Karena

!un$i pada maka un&uk $e&iap

dan karena

dan karena

$a&u,$a&u maka

* ada

!un$i pada maka un&uk $e&iap

.

$edemikian $ehina

* ada

12

$edemikian $ehina

. Demikian un&uk $e&iap

$edemikian $ehina

adi un&uk A.

* %ai&u

!un$i $a&u,$a&u dan pada* ke$impulann%a

* ada

!un$i pada.

merupakan permu&a$i

3NTH )

Mi$alkan

dan

adalah permu&a$i pada A denan

→

2→2 →5 "→

no&a$i un&uk permu&a$i A di&uli$

σ  = 

ar&in%a +ahwa un&uk A denan

 

. ika

permu&a$i lain

1

τ  = 

mul&iplika$i permu&a$i

maka didapa& permu&a$i

 

$e+aai +eriku&

un&uk A $e+aai

σ oτ  = 

 

1"

'ekaran jika

* ki&a +en&uk himpunan

= dan

padaF

%ai&u kolek$i $emua permu&a$i un&uk A. Opera$i +iner pada

 permu&a$i* &erhadap opera$i ini  +eriku&.

adalah mul&iplika$i

merupakan rup. Ki&a can&umkan dalam &eorema

TEREMA 1

Mi$alkan  A $ua&u himpunan*

dan

kolek$i $emua permu&a$i un&uk  A maka

 merupakan rup &erhadap opera$i mul&iplika$i permu&a$i. B%"ti

Kolek$i

merupakan rup di&unjukkan $e+aai +eriku&:

1. )er&u&up* Di&unjukkan opera$i mul&iplika$i permu&a$i well defined 

15

Am+il $e+aran

nt 

karena

* perha&ikan +ahwa

dimana 718

maka

a&au

Dilain pihak

* $ehina un&uk $e&iap

un&uk $e&iap

maka

maka

dan

a&au

728

Dari 718 dan 728 didapa&

. Ma$ih haru$ di&unjukkan +ahwa

 merupakan peme&aan* $a&u,$a&u* dan pada.

16



 peme&aan*

Am+il $e+aran

*

maka

adi



adi

peme&aan.

peme&aan maka

.

 $a&u,$a&u*

Am+il $e+aran

karena

a&au

peme&aan maka

*

dan

a&au

$a&u,$a&u.

1



 pada*

Karena

pada* un&uk $e&iap

karena

pada* &erdapa&

adi

un&uk

&erdapa&

$ehina

$e&iap

$ehina

.

&erdapa&

a&au

dan

$ehina

pada.

Ke$impulan opera$i mul&iplika$i permu&a$i well defined .

2. A$o$ia&i!*

un&uk $e&iap

adi a$io$ia&i! +erlaku pada

.

1=

. Ada elemen iden&i&a$*

Mi$alkan elemen iden&i&a$ i&u diwakili oleh

$edemikian hina

i

un&uk $e&iap

7

8 maka

. ela$ +ahwa

*

dan i  pada.

 dan

un&uk $e&iap

adi &erdapa&

". 9n&uk $e&iap elemen

Mi$alkan

*

mempun%ai iner$*

$edemikian $ehina

uuuuuuuuuuuuuuuuu u ru

1

*

dan

+ukan elemen iden&i&a$ karena

. adi

iner$ dalam

.

2.2.) Si+atSi+at Gr%, Pr&%ta'i

Dua un$ur a* + ' +erela$i a + !i jika dan han%a jika +  a.! i un&uk $ua&u  +ilanan +ula& i* maka akan di&unjukkan +ahwa rela$i ini merupakan rela$i ekialen$i dalam ' $e+aai +eriku&:

1. 'i!a& re!lek$i : a

a !e karena a  a! o  ae.

3#t( 4 'ime&ri Dari #er$ei 7  "8

#ada con&oh ke,* ki&a menhu+unkan $e&iap pererakan dalam D" denan permu&a$i dari penempa&an,penempa&an &iap empa& $udu& per$ei. 'e+aai con&oh* jika ki&a &andai empa& po$i$i $udu& $eper&i dalam am+ar di +awah dan &erap menandai ini %an di&e&apkan $e+aai acuan. Ki&a dapa& menam+arkan $e+uah ro&a$i 0 ° ha$il prmu&a$i.

20

 ρ= 'edankan re!lek$i denan ari$ menda&ar $um+u horiHon&al menha$ilkan

=

∅

Dua elemen ini $ecara umum menha$ilkan roup 7+ahwa* $e&iap elemen

adalah kom+ina$i +e+erapa

dan

8. ika D" di&ilkan denan cara ini*

ki&a ka&akan +ahwa D" adalah $e+uah $u+roup dari '".

2. 'i!a& $ime&ri$: jika a

+!i maka +  a. ! i* karena i +ilanan +ula& &erdapa&  &i

$ehina a  + !  Ii. /ni +erar&i +

a!i.

3#t( 5 Grup 'ime&ri 'ei&ia $ama $i$i7

8

21

Mi$alkan

men%a&akan $emua himpunan !un$i $a&u,$a&u dari

un&uk himpunan i&u $endiri. Kemudian

dalam kompo$i$i !un$i adalah rup

denan elemen ke,6 elemenn%a adalah.

α   

ε=



a&a&an +ahwa

. 'i!a& &ran$i&i!: jika a

α   

α   



α 



≠ α  $ehina

+!i dan +

c!i  +erar&i +  a. ! i dan

c  +! i  7a! i8!  j  a! 7iJj8* %an +erar&i a

2.2.4

adalah &idak A+elian.

c!i.

M##t%"a# 3/! 7,%tara#8 -a# rit

22

a. -o&a$i %cle  -o&a$i c%cle memiliki &eori %an +erman!aa& pada $i!a&,$i!a& pen&in dari $e+uah permu&a$i %an diam+arkan* ke&ika no&a$i c%cle diunakan. 3#t( 6

'e+aai ilu$&ra$i dari no&a$i c%cle* mari ki&a liha& permu&a$i di +awah ini :

α =  -ilai permu&a$i di a&a$ dapa& di&ilkan $ecara $kema&i$ $eper&i di+awah ini :

'ehina dapa& di&uli$ 71*287*"*68758 dari no&a$i c%cle. 'e+uah am+aran dari +ari$an 7

8 di$e+u& panjan c%cle m a&au perpu&aran m c%cle.

 +. Or+i& dari rup permu&a$i

2

Mi$alkan ! $ua&u permu&a$i pada himpunan ' $ehina ! A7'8* kla$ ekialen %an &er+en&uk dalam ' %an di$e+a+kan adan%a rela$i ekialen$i dia&a$

di$e+u& orbit dari a oleh ! un&uk $ua&u a un$ur,un$ur.

' dan or+i& dari a oleh ! ini &erdiri a&a$

3#t( 9

Mi$alkan dalam '6 $ua&u permu&a$i !

A7'68 +er+en&uk

!

#erha&ikan •

or+i& dari 1 han%a &erdiri dari : 1  1! 

•

Or+i& dari 2 diperoleh : 2!  5* 2! 2  5!  6* dan 2!   6!  2* $ehina or+i& dari 2 &erdiri dari 72*5*68

•

Or+i& dari * &erdiri dari  $endiri karena !.

•

Or+i& "* jua &erdiri dari " $endiri.

'ehina pu&aran dari ! adalah : 718* 72*5*68*78* 7"8. #u&aran ! dia&a$ $erin di&uli$ $e+aai !  72*5*68 dimana or+i& &erdiri dari $a&u un$ur $erin &idak di&uli$kan.

2"

2.2.5

Tr&aTr&a /a#$ Br(%%#$a# D#$a# Gr%, Pr&%ta'i

Tr&a 2. Pr-%" -i'*i#t /!'

%etiap permutasi dari himpunan terbatas dapat ditulis sebagai cycles atau  sebagai produ' dari dis(oint cycles.

BUKTI.

 menjadi permu&a&ion 

. 9n&uk menuli$ $iklik

di$join&* ki&a memulai denan memilih ano&a  A* ka&akan



8*



α 

* dan +iarkan

2

(¿)=α  ( a ) ¿ 1

dan $e&eru$n%a* $ampai ki&a dapa&kan



&ahu ada +e+erapa karena dere&an

*

 +erhina* jadi pada akhirn%a &erjadi penulanan*

un&uk +e+erapa m. Ki&a

8*

haru$ &idak

* un&uk i dan

25

 ( denan i ) (.

Kemudian

hu+unan dian&ara



* dimana

$eper&i

m * ( & i.

(¿ ¿ 1 , a ,a 2

3, …

Dan ki&a $e+u&

.. am ) …

3#t( :

ika uru&an no&a$i un&uk  dan * ma$in,ma$in adalah

α =

 dan  

Kemudian* dalam no&a$i c%cle*   7128787"58*   715872"8* dan   7128787"58715872"8. 9n&uk menempa&kan  dalam +en&uk di$join& c%cle ama&i +ahwa 72"8 menen&ukan 1< 7158 menirimkan 1 ke ".kemudian denan cara ini. Kemudian denan cara ini ki&a mendapa&kan   71"87258.

Tr&a ). Di'*i#t 3/!' 3&&%t

26

 +i'a

dua

buah

,

si'li' 

,

dan

tida' memili'i isi yang sama, 'emudian

dan

BUKTI.

, , , ,… ..

.

dari permu&a$i

'

Dimana c?$ ano&a

% 

%an &er$i$a dari

* maka di&unjukan

. 9n&uk mem+uk&ikan

un&uk $emua  $ di % . ika  $

adalah elemen a maka:

'ehina di&a!$irkan

i

i

i+1

i+ 1

2

m

Karenan%a* !un$i dari

menunjukan +ahwa

di dalam eleman. Arumen %an mirip

$edan i&u

ka&akan $ adalah elemen dari c* a&au

b

elemen $ama +aikn%a. Akhirn%a*

. Kemudian di dapa&kan

Dalam con&oh perkalian $iklik* ki&a menunjukan produk 71 8 72 8 7" 5 68 7=8 71 2  "8 76 " =8 758 dapa& di&uli$ denan 71   28 7" =8 75 68. Apakah ekonomi dalam rumus keuntungan hanya untuk menulis permutasi dalam bentuk menguraikan siklus? Tidak. Yang nantinya akan ditunjukan dalam theorema selanjutnya, order dari permutasi.

Teorema 4. r-r S%at% Pr&%ta'i 7R%++i#i19;;8

rder suatu permutasi suatu yang ditulis dalam di set terbatas memisah format   si'li' adalah yang umum yang tera'hir berbagai pan(ang si'li'. BUKTI. #er&ama*

n.

menama&i $ua&u $iklu$ panjann%a n %an mempun%ai order 

7memeri!ika$i $endiri8. Kemudian* memi$alkan

dan

denan

memi$ahkan $iklu$ panjann%a m  dan n* dan mem+iarkan ', maka jadilah %an umum %an menalikan +er+aai m dan n. /&u meniku&i dari )eorema ".1 %an 2=

kedua,duan%a

n

+eru+ah*

dan

adalah permu&a$i iden&i&a$



adalah jua iden&i&a$. kemudian* ki&a mene&ahui

denan ke$impulan ke )eorema ".1 7

' 8

+ahwa order

Akan &e&api

dan* karena m dan

 e men%ira&kan +ahwa $ua&u mem+ai

,mem+iarkan ki&a men%e+u&kann%a t ,haru$ mem+ai ' .





* $edemikian $ehina

3aaimanapun* i&u haru$ jela$ +ahwa jika

umum %an $ama adalah +enar un&uk

dan

dan



.

&idak pun%a $im+ol*

* karena peninka&an $ua&u

$iklu$ +ai $ua&u kua$a &idak memperkenalkan lam+an +aru. )e&api* jika

dan

adalah $ama dan &idak pun%a $im+ol* mereka umum haru$ kedua,

duan%a jadi akan menjadi iden&i&a$* $e+a+ &iap,&iap lam+an didalam

2

di&e&apkan* per+aiki oleh

dan $e+alikn%a 7&idak ina& +ahwa $ua&u lam+an

muncul adalah $ua&u permu&a$i di&e&apkan dan diper+aiki oleh permu&a$i8. Meniku&i i&u* kemudian* i&u kedua,duan%a m dan n haru$ mem+ai t . /ni +erar&i ' * palin $ediki& i&u %an umum +er+aai m dan n* di+ai t  jua. menunjukkan ini  +ahwa '* t . Denan +ei&u jauh* ki&a $udah mem+uk&ikan +ahwa &eorema adalah +enar ka$u$ di mana permu&a$i adalah $iklik &unal a&au $ua&u produk dua memi$ah $iklik. Ka$u$ %an umum %an men%er&akan le+ih dari dua $iklik dapa& di&anani denan $ua&u cara %an $epadan. Ke&ika ki&a akan $eera meliha&* %an &eru&ama $ekali macam pen&in permu&a$i adalah $ua&u $iklik panjann%a 2,i&u adalah* $ua&u permu&a$i &en&an !orma& 7 ab8. 3an%ak oran penaran men%e+u&kan permu&a$i ini peru+ahan* karena e!ek ab8 adalah un&uk memper&ukarkan a&au menu+ah uru&an $ua&u a dan b. Teorema . Pr-%" 2 Si"!%'

Tiap!tiap permutasi di -dalam n/0,adalah suatu produ' 1!si'lus. BUKTI. #er&ama* ca&a& +ahwa iden&i&a$ i&u dapa&

din%a&akan ke&ika 71 2871 28* dan ini merupakan $ua&u produk 2,$iklu$. Denan )eorema 5.1* ki&a mene&ahui  +ahwa &iap,&iap permu&a$i dapa& di&uli$ dalam !orma& 7a0a1...a' 87b0b1...bt 8...7c0c1...c s8. $ua&u perhi&unan lan$un menunjukkan +ahwa ini adalah $ama $e+aai 7a0a' 87a0a'!08...7a0a187b0bt 87b0bt!08...7b0b187c0c s87c0c s!08...7c0c18 /ni &anda +uk&i.

0

#enhapu$an %an per&ama di dalam con&oh %an +eriku& memper&unjukkan &eknik ini. #roduk lain di dalam con&oh " per&unjukan +ahwa penhapu$an $ua&u  permu&a$i ke dalam $ua&u produk 2,$iklu$ &idaklah unik. 3NTH ;

71 2  " 58

 71 58 71 "8 71 8 71 28  7" 58 75 8 72 58 71 58  72 18 72 58 72 "8 72 8  75 "8 75 28 72 18 72 58 72 8 71 8

on&oh " enap per&unjukan +ahwa +an%akn%a 2,$iklu$ +oleh +er&ukar,&ukar dari $a&u penhapu$an kepada %an +eriku&n%a. )eorema 5.5 7dalam kai&an denan auch%8 mena&akan +aaimapun i&u ada $a&u a$pek $ua&u penhilanan %an &idak pernah +eraria$i. Ki&a meni$ola$ikan $ua&u $pe$ial ka$u$ )eorema 5.5 $e+aai lemma.  !"MMA

 +i'a

*

BUKTI.  Denan

r

...

jela$*

, dimana

r

2   s adalah 1!si'li', 'emudian r adalah

1* karena $ua&u 2,$iklu$ +ukanlah iden&i&a$. ika

 2*ki&a adalah %an dilak$anakan.jadi*ki&a menira +ahwa

 +erpro$e$ denan induk$i. Karena 7i j8  7j i8*ha$il

r

 2 dan ki&a

dapa& din%a&akan $alah

$a&u dari !orma& %an +eriku& menunjukkan pada $i$i kiri:

1

7a b87a b8  7a b87a c8  7b c87a b8 7a b87c d 8  7c d 87a b8 7a b87b c8  7b c87a c8. ika ka$u$ %an per&ama &erjadi* ki&a +oleh menhapu$

un&uk memperoleh



...

dari produk$i

dan oleh karena i&u* denan prin$ip

/nduk$i Ma&ema&ika* r ,2 %an kedua menjadi enap. Di dalam lain &ia ka$u$* ki&a menan&ikan !orma&

pada $i$i kiri oleh coun&erpan&n%a pada $i$i

kanan un&uk memperoleh $ua&u produk$i +aru r   2,$iklik i&u ma$ih iden&i&a$* han%alah dimana kejadian per&ama +ilanan +ula& adalah di dalam %an kedua 2, $iklik produk $e+aai an&i %an dulu. Ki&a $ekaran menulani pro$edur i&u han%a uraikan denan

* dan* $ama $eper&i $e+elunn%a*ki&a memperoleh

$ua&u produk 7 r ,28 2,$iklu$ $epadan denan iden&i&a$ i&u a&au $ua&u produk$i +aru r   2,$iklik* di mana kejadian %an per&ama $ua&u adalah di 7dalam8 %an ke&ia 2, $iklik. Melanju&kan pro$e$* ki&a ini haru$ memperoleh $ua&u produk 7 r ,28 2,  +eredar $ama kepada iden&i&a$* $e+a+ jika &idak ki&a mempun%ai $ua&u produk $epadan denan iden&i&a$ dimana kejadian %an per&ama +ilanan +ula& adalah didalam 2,$iklik %an &erakhir* dan produk $eper&i i&u &idak menen&ukan $ua&u $edankan menerjakan iden&i&a$. Karenan%a* denan induk$i* r ,2 +ahkan dan r   +ahkan jua. 2

Teorema #. S!a!% G#a, ata% S!a!% Ga#*i!

 +i'a pada permutasi

dapaat dinyata'an sebagai per'alian yang ber(umlah 1

 si'li', ma'a setiap penguraian

a'an men(adi per'alian dari 1 si'li' yang 

bah'an harus memili'i (umlah 1 si'li'. %eperti yang ada di bawah (i'a

0

1

dimana

…

 dan

r 

dan

0

1

…

 s

adalah 1 si'li', ma'a r dan s 'eduanya genap atau gan(il.

BUKTI. Ama&i +ahwa

1

2

 ;

1



1

2

 

r 

;

 ;

2

1

 ;

,1 r 

 ;

r 

$

 men%ira&kan

,1 2

 ...

$

$

2

2

1

1

,1

*

karena 2 $iklik adalah iner$n%a $endiri. Demikian* $eper&i %an di a&a$ menjamin  +ahwa  s 3 r   adalah enap. 'ehina &erjadi r   dan  s keduan%a adalah enap dan anjil. Teorema $. Pr&%ta'i G#a, M&#t%" Gr%,

 4impunan permutasi genap di % n membentu' subgroup % n.



BUKTI. 3uk&i ini

di$erahkan kepada pem+aca.

#ada permu&a$i enap $u+roup dalam  +erikan nama khu$u$ dan no&a$i.

% n  akan

jadi $erin muncul %an ki&a

DEFINISI %roup &ertukar dari Tingkat n

Group permu&a$i enap n adalah $im+ol %an dilam+ankan oleh  An dan di$e+u&  group bertu'ar dari ting'at n.

a$il +eriku&n%a menunjukkan +ahwa &epa& $e&enah dari un$ure,un$ur menjadi permu&a$i enap.

% n -n / 0

Tr&a :

Untu' n / 0, A n adalah order yang mempunyai

BUKTI.

9n&uk $e&iap permu&a$i anjil

* permu&a$i 7128

adalah permu&a$i enap.

Demikian* $e&idakn%a ada $e+aai permu&a$i anjil %an +an%ak karena ada %an aneh. Di $i$i lain* un&uk $e&iap permu&a$i enap

* permu&a$i 7128

permu&a$i

anjil. adi* $e&idakn%a ada +an%ak maupun $ediki& pada permu&a$i anjil $e+aai

"

 permu&a$i enap. /&u &erjadi karena $e+uah anka $ama dari permu&a$i enap dan

anjil. Karena N% nN n5* $edankan %an ki&a miliki N AnN

.

2.) GRUP SIMETRIK 

Mi$alkan A adalah himpunan +erhina . Grup $emua permu&a$i un&uk A di$e+u& Gr%, Si&tri" ,a-a n (%r%+ 7%ymmetric group n letters 8* $erin di&uli$ $e+aai

= . ika A mempun%ai n elemen maka

 dimana

. 3NTH )

Mi$alkan

maka rup

elemen.

'emua permu&a$i un&uk A $e+aai +eriku&

5

 ρ 0 = 

 

 µ 1 = 

 

 µ 2 = 

 

 µ  = 

 

*

 ρ 1 = 

  *

 ρ 0 = 

  *

*

*

*

*

6

*

*

 ρ0 oρ1 = 

  = ρ 1

adi

 µ1 oµ 2 = 

 ρ1 oµ1 = 

  = µ 

*

 µ2 oρ1 = 

  = ρ 1

*

  = µ 

* dan

.

a$il $emua permu&a$i mul&iplika$i pada P

di+erikan dalam &a+el 1 di +awah.

 60  61  62  71  72  7

 60  60  61  62  71  72  7

 61  61  62  60  7  71  72

 62  62  60  61  72  7  71



 71  71  72  7  60  61  62

 72  72  7  71  62  60  61

 7  7  71  72  61  62  60

Ta! 1

#erha&ikan +ahwa rup ini &idak komu&a&i! &e&api un&uk $e+aran rup denan  palin +an%ak " elemen adalah komu&a&i!.

2.4 GRUP DIHEDRAL

'ecara umum ki&a menam+il $e+aran himpunan denan  elemen

$ehina ki&a mempun%ai rup $eper&i pada con&oh 5 di a&a$. Ki&a dapa& menam+il con&oh un&uk keadaan &er$e+u& mi$al $ei&ia $ama $i$i denan &i&ik,

&i&ik 1* 2* dan . 7am+ar,8. )erhadap $ei&ia $ama $i$i ini ki&a de!ini$ikan

un&uk ro&a$i dan

un&uk +a%anan cermin pada ari$,ari$ +ai $udu&,$udu&.

=

Ga&ar )



Denan demikian ki&a memperoleh

'a&a 'i'i

. -o&a$i

Gr%, Di(-ra! "#

$r%,

'i&tri' %#t%" '$iti$a

un&uk men%e+u&kan rup dihedral ke, $ehina adalah rup %an &erdiri dari $ime&ri,$ime&ri n,$ei+an%ak

7n! polion8.



Grup

$ime&ri$ un&uk $ei&ia $ama $i$i adalah

. #erha&ikan pro$e$ mendapa&kan permu&a$i,permu&a$i

dan

.

"0

1

 ρ 0 = 

 

 ρ 1 = 

 

 ρ  = 

2

 

"1

 µ 1 = 

 

 µ 2 = 

 

 µ  = 

 

"2

3NTH 4

Mi$alkan

* rup dihedral ke,"* denan $eiempa& %an mempuna%i &i&ik,&i&ik

$udu& 1* 2* * dan " $eper&i dalam am+ar "* denan de!ini$i !un$i

ro&a$i,ro&a$i*

&eak luru$* dan

adalah

adalah +a%anan cermin &erhadap +i$ek&or,+i$ek&or $i$i,$i$i

adalah +a%anan cermin &erhadap diaonal,diaonal.

Ga&ar 4

"



1

2

1 Ki&a

rup $ime&ri$ $eiempa& ti.

peroleh

jua di$e+u&

Gr%,

""



1

2

 ρ 0 = 

"

 

 ρ 1 = 

 

 ρ 2 = 

 



"5

 ρ  = 

 

"

"



"



"





"6

 µ 1 = 

 

 µ 2 =  *

δ 2 = 

δ 1 = 

 

 

*

*

 

Opera$i $e&iap elemen dalam dalam &a+el 2. P

diperliha&kan

 60  61  62  6  71  72

91

92

 60  60  61  62  6  71  72

91

92

 61  61  62  6  60

91

92  72  71

 62  62  6  60  61  72  71

 6  6  60  61  62

92

92

91

91  71  72

 71  71

92  72

91  60  62  6  61

 72  72

91  71

92  62  60  61  6

91

91  71

92  72  61  6  60  62

92

92  72

91  71  6  61  62  60

"

Ta! 2

E ρ 0 * ρ2 * µ1 * µ 2 F

E ρ 0 * µ 1F

E ρ 0 * µ 2 F

E ρ 0 * ρ 2 * δ 1 * δ 2 F

E ρ 0 * ρ1 * ρ 2 * ρ  F

E ρ 0 * ρ 2 F

E ρ 0 * δ 1F

E ρ 0 * δ 2 F

Diaram keki$i

un&uk $u+rup,$u+rup

$e+aai +eriku&:

Ga&ar 5. Diaram Keki$i

"=

"

BAB III PENUTUP

).1 K'i&,%!a#

#ermu&a$i rup dari himpunan A adalah himpunan permu&a$i,permu&a$i dari A %an mem+en&uk $e+uah rup denan opera$i kompo$i$i !un$i* %an  +er$i!a& on&o dan pada. -o&a$i c%cle memiliki &eori %an +erman!aa& pada $i!a&, $i!a& pen&in dari $e+uah permu&a$i %an diam+arkan* ke&ika no&a$i c%cle diunakan. -o&a$i c%cle dapa& memudahkan dalam pem+aha$an Grup #ermu&a$i di&am+ah denan menunaan permu&a$i kompo$i$i. 'elain Grup #ermu&a$i * &erdapa& jua Grup 'ime&rik dan Grup Dihedral* %an menunakan no&a$i c%cle dan permu&a$i kompo$i$i.

).2 Sara#

#em+aca diharapkan aar &erle+ih dahulu memahami &en&an !un$i dan  permu&a$i $e+elum melanju&kan ke Grup #ermu&a$i karena pem+aha$an didalam Grup #ermu&a$i men%inun &en&an !un$i dan permu&a$i un&uk memudahkan  pem+aca dalam memhami Grup #ermu&a$i

50