BAB II
Standard Kompetesi 2. Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian subring dan ideal beserta sifat-sifatnya dan dapat menerapkan dalam kehidupan sehari-hari.
Kompetensi Dasar
Mahasiswa diharapkan dapat: 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7
Menjelaskan pengertian subring. Memberikan contoh-contph subring. Membuktikan sifat-sifat subring. Menjelaskan pengertian ideal. Memberikan Memberikan contoh-contoh ideal. Membuktikan Membuktikan sifat-sifat ideal. Menerapkan pengertian subring dan bidang matematika yang lain.
ideal
pada
_______________________________________________________Modul _________________________________________________ ______Modul Struktur Aljabar
15
BAB II SUBRING DAN IDEAL 2.1 Subring dan Sifat-sifatnya Di dalam subbab ini akan disajikan definisi subring, contoh-contoh dan sifat-sifatnya. Definisi 2.1.1 Subset tak kosong S dari ring R disebut subring dari ring R jika S juga merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian yang sama dengan operasi-operasi pada R. Karena setiap himpunan merupakan himpunan bagian dari dirinya sendiri, maka R juga merupakan subring dari ring R sendiri. Juga jika 0 merupakan elemen netral (nol) di dalam ring R, maka S = {0} juga memenuhi sifat-sifat ring. Akibatnya S = {0} juga merupakan subring dari ring R. Ini berarti setiap ring R memenuhi paling sedikit mempunyai dua subring yaitu R dan {0}. Selanjutnya {0} disebut subring trivial dan R disebut subring tidak sejati, sedangkan subring yang lain (jika ada) disebut subring sejati. Berikut ini diberikan beberapa contoh subring. Penjelasan atau bukti dari contoh-contoh berikut diserahkan kepada pembaca sebagai latihan. Contoh 1
Himpunan bilangan rasional Q merupakan subring dari ring
himpunan bilangan real R. Himpunan bilangan real merupakan subring dari himpunan bilangan kompleks. Tetapi himpunan bilangan asli bukan subring dari ring himpunan bilangan rasional. Contoh 2
Himpunan fungsi-fungsi bernilai real yang terdiferensialkan pada
[0,1] adalah subring dari ring himpunan fungsi-fungsi bernilai real kontinu pada [0,1] terhadap operasi penjumlahan dan perkalian fungsi. Teorema 2.1.2 Syarat perlu dan cukup untuk subset tidak kosong S dari ring R merupakan subring adalah untuk setiap a, b Bukti:
S
berlaku a – b
S
dan ab
S.
Syarat perlu. Diassumsikan bahwa S adalah subring dari ring R.
Akibatnya untuk sebarang a,b S berlaku a
S,
b S
a S dan -b S
a – b
S
dan a
S, b S ab
S.
_______________________________________________________Modul Struktur Aljabar
16
Syarat cukup. S dan ab
S.
Diassumsikan bahwa untuk setiap a, b
S
berlaku a – b
Dengan menggunakan sifat-sifat ini diperoleh
a
S,
a S
0
S,
a S
a
S,
b S
0 = a - a S
dan - a = 0 - a S.
Akibatnya a, - b S
a – (- b) S
a + b S
dan dari assumsi a
S,
b S
ab S.
Jadi S tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian, terdapat elemen netral (nol) di dalam S dan setiap elemen di dalam S mempunyai elemen negatifnya di dalam S. Selanjutnya karena S merupakan subset dari R, setiap elemen dari S juga elemen dari R, maka di dalam S juga berlaku sifat komutatif dan assosiatif terhadap penjumlahan dan di dalam S juga berlaku sifat assosiatif terhadap perkalian serta berlaku sifat distributive kiri dan kanan. Ini berarti S terhadap operasi penjumlahan dan perkalian yang sama dengan operasi pada R merupakan ring. Berdasarkan definisi subring S merupakan subring dari ring R.
■
Teorema 2.1.3 Jika S dan T merupakan subring dari ring R, maka S T juga subring dari ring R. Bukti: Ambil sebarang a, b
ST.
Ini berarti a, b S dan a, b
dan T merupakan subring dari ring R, maka berlaku a-b, ab
T.
Karena S
S dan a-b, ab
T. Akibatnya a-b, ab ST. Jadi ST merupakan subring dari ring R.
■
Latihan 2.1 1. Misalkan R adalah ring komutatif dan S adalah subring dari R. Apakah S juga merupakan subring komutatif? Berikan penjelasan!
_______________________________________________________Modul Struktur Aljabar
17
2. Misalkan R adalah ring dengan elemen satuan dan S adalah subring dari R. Apakah S juga merupakan subring dengan elemen satuan? Berikan penjelasan! 3. Buktikan bahwa interseksi sebarang koleksi (hingga atau tak hingga) dari subring dari ring R merupakan subring dari ring R! 4. Misalkan S dan T merupakan subring dari ring R. Apakah S T juga merupakan subring dari R? Berikan penjelasan! 5. Buktikan bahwa interseksi koleksi semua subring yang memuat subset M dari ring R adalah subring terkecil dari ring R yang memuat M.
2.2 Ideal dan Sifat-sifatnya Berikut disajikan beberapa pengertian ideal (ideal kiri, ideal kanan dan ideal dua sisi). Kemudian diberikan beberapa contoh dan sifat -sifat dari mereka. Definisi 2.2.1 Subring S dari ring R disebut 1) ideal kanan dari ring R jika berlaku a
S,
r R
ar S
2) ideal kiri dari ring R jika berlaku a S, r R 3)
ra S
ideal dua sisi (ideal) dari ring R jika S merupakan ideal kanan dan sekaligus ideal kiri, berarti jika berlaku: a
S,
r R
ar, ra S.
Jelas bahwa {0} dan R merupakan ideal dari sebarang ring R. Selanjutnya {0} disebut ideal trivial dari ring R dan R disebut ideal tak sejati dari ring R, sedangkan ideal yang lain disebut ideal sejati. Ring yang tidak mempunyai ideal sejati disebut ring sederhana (s i m p l e r i n g ). Berdasarkan definisi di atas, jelas bahwa ideal kiri dari ring komutatif juga merupakan ideal kanan, dan sebaliknya. Contoh 1 Jika Z merupakan himpunan semua bilangan bulat dan 2Z adalah himpunan semua bilangan bulat genap, maka Z merupakan ring dan 2Z merupakan subring dari ring Z dan sekaligus merupakan ideal dua sisi. Contoh 2 Jika Q merupakan ring himpunan semua bilangan rasional dan Z merupakan himpunan semua bilangan bulat, maka Z merupakan subring dari Q, tetapi bukan merupakan ideal kiri maupun ideal kanan dari Q. _______________________________________________________Modul Struktur Aljabar
18
Teorema 2.2.2 Syarat perlu dan cukup untuk subset tidak kosong I dari ring R merupakan ideal dari R adalah 1) untuk setiap a, b 2) untuk setiap a Bukti:
I
I
berlaku a – b
I,
dan r R berlaku ar, ra I.
Syarat perlu. Diassumsikan bahwa I merupakan ideal dari ring R.
Akibatnya I suatu subring dari R. Dengan menggunakan definisi ideal, berarti a
I,
r R
ar, ra I.
Karena I merupakan subring dari ring R, maka terhadap operasi penjumlahan I merupakan subgrup dari grup penjumlahan R. Akibatnya a
I,
b I
a - b I.
Syarat cukup. Diassumsikan bahwa I adalah subset tak kosong dari ring R yang memenuhi sifat 1) dan 2), sehingga jika a dan b sebarang dua elemen di dalam I, maka dengan menggunakan sifat 1) diperoleh: a
I,
b I
a - b I
a I, b R
dan dengan sifat 2), berlaku: a
I,
b I
a b I.
Ini berarti I adalah subring dari ring R. Dengan demikian I adalah subring dari ring R yang juga memenuhi sifat 2). Jadi I ideal dari ring R.
■
Teorema 2.2.3 Interseksi dari sebarang dua ideal dari ring R adalah ideal dari ring R tersebut. Bukti: Misalkan I dan J sebarang dua ideal dari ring R. Akibatnya I dan J merupakan subring dari R. Dengan Teorema 2.1.3, IJ merupakan subring dari R. Sekarang misalkan a sebarang elemen di IJ dan r sebarang elemen di R. Akibatnya a I, a J dan r J.
R.
Selanjutnya diperoleh ar, ra
Karena I dan J ideal, maka ar, ra I dan ar, ra I J
. Jadi IJ merupakan ideal dari ring R.
■
Teorema 2.2.4 Jika M adalah himpunan bagian tak kosong dari ring R, maka interseksi dari koleksi semua ideal dari R yang memuat M adalah ideal terkecil dari R yang memuat M. Bukti: Misalkan {J :
I,
I himpunan indeks} adalah koleksi semua ideal dari
R yang memuat M. Dengan menggunakan definisi ideal maka J merupakan subring dari ring R yang memuat M, untuk setiap
I.
Karena interseksi
semua subring dari ring R yang memuat M adalah subring terkecil dari ring R _______________________________________________________Modul Struktur Aljabar
19
yang memuat M (Buktikan!), maka H =
{J
:
I, I himpunan indeks}
merupakan subring terkecil dari R yang memuat M. Sekarang diambil sebarang elemen a di H dan sebarang elemen r di R. Akibatnya a
J ,
untuk setiap
ideal dari ring R, maka ar, ra Jadi H =
{J
memuat M.
:
I,
I.
Karena untuk setiap
J, untuk setiap
I.
I,
J merupakan
Ini berarti ar, ra
H.
I himpunan indeks} merupakan ideal terkecil dari R yang
■
Selanjutnya ideal H di atas disebut ideal yang dibangun oleh M dan dinotasikan dengan H =
. Definisi 2.2.5 Ideal dari suatu ring yang dibangun oleh elemen tunggal dari ring tersebut disebut ideal utama. Jika ideal I dibangun oleh elemen tunggal a maka dituliskan dengan I = . Jelas bahwa himpunan semua bilangan bulat genap 2Z merupakan ideal utama yang dibangun oleh 2 dari ring himpunan semua bilangan bulat Z , selanjutnya dituliskan dengan 2Z = <2>. Definisi 2.2.6 Ring komutatif R tanpa pembagi nol dan dengan elemen satuan dikatakan ring ideal utama jika setiap ideal dari ring R merupakan ideal utama.
Latihan 2.2 1. Berikan sebuah contoh ideal kanan yang bukan ideal kiri dan sebaliknya! 2. Buktikan bahwa interseksi sebarang koleksi (hingga atau tak hingga) dari ideal dari ring R merupakan ideal dari ring R! 3. Buktikan bahwa setiap lapangan tidak memuat ideal sejati.! 4. Buktikan bahwa jika S ideal dari ring R dan 1
S,
5. Jika I dan J ideal dari ring R dan I + J = {x + y | x
maka S = R.
I,
y
J} maka buktikan
I
+ J juga ideal dari R. 6. Diketahui R adalah ring komutatif dengan elemen satuan. Misalkan a,b dan S = {xa + yb | x, y
R}
Tunjukkan bahwa: a). S merupakan ideal dari R yang memuat a dan b. b). Jika I ideal yang lain dan memuat a dan b, maka S I. _______________________________________________________Modul Struktur Aljabar
20
R
7. Misalkan U ideal dari ring R dan r(U) = {x
R|
xu = 0 untuk semua u
U}.
Buktikan bahwa r(U) ideal dari R! 8. Misalkan R ring dan a
R.
Didefinisikan Ra = {ra | r
R}.
Buktikan bahwa
R.
Didefinisikan r(a) = {r | ar = 0}. Buktikan bahwa
Ra ideal kiri dari R! 9. Misalkan R ring dan a
r(a) ideal kanan dari R! 10. Buktikan bahwa Z merupakan ring ideal utama!
_______________________________________________________Modul Struktur Aljabar
21
