BAB I Pemetaan dan Macamnya
Definisi. Diberikan V himpunan sebarang objek-objek dengan dua operasi yang didefinisikan sebagai penjumlahan dan perkalian oleh scalar (bilangan riil). Penjumlahan adalah aturan yang menghubungkan tiap pasangan u,v ∈ V dengan elemen u+v, disebut jumlah u dan v, sedangkan perkalian scalar adalah aturan untuk menghubungkan tiap scalar k dan u∈V dengan elemen ku. Jika aksioma berikut dipenuhi oleh u, v, w ∈ V dan semua scalar-skalar k dan l, maka V disebut ruang vektor dan objek-objek dalam V disebut vektor. 1. u+v ∈ V 2. u + v = v + u 3. u + (v + w) = (u + v ) + w 4. terdapat 0 ∈ V, sehingga untuk setiap u∈ V, berlaku 0 + u = u + 0 = u 5. untuk setiap u∈ V, terdapat -u∈ V, sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0 6. untuk setiap u∈ V, dan scalar k, maka ku ∈ V 7. k(u+v) = ku = kv 8. (k+l) u = ku + lu 9. k(lu) = (kl)u 10. 1u = u Beberapa sifat ruang vektor adalah : 1. 0u = 0 2. k0 = 0 3. (-1)u = -u 4. jika ku = 0 , maka k = 0 atau u = 0 untuk setiap u ∈ V dan k scalar. Definisi. Himpunan bagian W dari ruang vektor V disebut ruang bagian dari V jika W merupakan ruang vektor di dalam penjumlahan dan perkalian scalar yang didefinisikan pada V.
Teorema penting tentang ruang vektor bagian : Jika W adalah himpunan satu atau lebih vektor-vektor dari ruang vektor V, maka W ruang bagian dari V bila syarat berikut dipenuhi : 1. jika u dan v dalam W, maka u+v dalam W
2. jika k scalar dan u vektor dalam W, maka ku dalam W.
Definisi. Jika f : V → W fungsi dari ruang vektor V ke ruang vektor W, maka f disebut pemetaan linier jika memenuhi : 1. f ( u + v ) = f (u) + f(v), untuk setiap u, v ∈ V 2. f (ku) = k f(u) , untuk setiap u ∈ V, k scalar Salah satu struktur yang berkaitan dengan ruang vektor adalah Kernel dan Range. Sebelum diberikan pengertian Kernel dan Range, akan dibahas sifat-sifat berikut sebagai dasar pembentukan kernel dan range.
Teorema Jika T : V → W adalah pemetaan linier, maka 1. T(0) = 0 2. T(-v) = - T(v) untuk setiap v ∈ V 3. T(v-w) = T (v) – T(w) untuk setiap v,w ∈ V
Definisi. Jika T : V → W adalah pemetaan linier, maka { x ∈ V | T(x) = 0 } = Kernel T. Range dari T yaitu R(T) = { y ∈ W | T(x) = y, x ∈ V}. Soal-soal : 1. Jika V adalah himpunan semua matriks berordo 2x2, buktikan V adalah ruang vektor. 2. Diberikan f : R2 → R3 dengan definisi jika v = (x,y) ∈ R2 maka f(v) = ( x, x+y, xy ). Buktikan f merupakan pemetaan linier. 3. Diberikan f : R2 →R2 dengan definisi f(x,y) = ( x, y+1). Buktikan apakah f pemetaan linier.
