GRUP SIMETRI Pengertian Permutasi
Definisi 6.1 : Suatu permutasi adalah pemetaan satu lawan satu atau fungsi bijektif dari himpunan n simbol ke himpunan itu sendiri. Contoh : 1).
A={1,2} f : 1 → f(1) = 1
ditulis g =
ditulis f =
2 → f(2) = 2 g : 1 → g(1) = 2 2 → g(2) = 1
Jadi terdapat dua permutasi pada A. 2).
A={1,2,3} f : 1 → f(1) = 3 2 → f(2) = 1
ditulis f =
3 → f(3) = 2
Urutan baris pertama dapat diubah, asal bayangan masing-masing anggota tetap, dan akan menghasilkan permutasi yang sama.
Apabila bayangan ada yang berubah, maka m aka akan menghasilkan permutasi lain. Banyaknya permutasi pada A ={1,2,3} ada 6 yaitu :
Himpunan
A
disebut
himpunan
yang
elemen-elemennya
dipermutasikan
apabila
elemen-elemen
yang
dipermutasikan diketahui. Permutasi dengan notasi 2 baris dapat dinyatakan dalam notasi siklis atau dalam bentuk sikel. Permutasi dapat diuraikan menjadi bagian-bagian yang elemen terakhirnya mempunyai bayangan elemen yang pertama. Setiap bagian disebut sikel. Suatu sikel yang terdiri at as satu anggota boleh tidak ditulis asal tidak mengubah permutasi. Sikel yang terdiri atas 2 anggota disebut transposisi. Contoh : 1)
Adalah 1 → 2 2→3 Ditulis 1 → 2 → 3 → 1 atau 3→1
Jadi Jadi
2)
3)
3 Adalah 1 1 2 3 2
Perkalian Permutasi
→
→
→
1
2
Permutasi adalah pemetaan atau fungsi, maka permutasi dapat dikomposisikan (dikalikan) satu dengan yang lain. Pada komposisi fungsi f o g, g dikerjakan te rlebih dahulu dan dilanjutkan dengan f. Dan f o g ≠ g o f . Contoh :
fog=
Jika f =
dan g = tentukanlah f o g dan g o f .
g dikerjakan terlebih dahulu
ambil satu anggota di g misalnya 1, maka oleh g, 1 → 2 dan oleh f, 2 → 1 . Jadi oleh f o g , 1 → 1. g
f
1→2→1 2→1→3 3→3→2 Sehingga f o g =
f
f o g ≠ g o f
g
1→3→3
Pada umumnya perkalian permutasi
2→1→2
tidak komutatif.
3→2→1 Sehingga g o f =
Grup simetri dari himpunan permutasi
Telah anda ketahui bahwa dari A = {1,2,3} terdapat 6 buah permutasi. Himpunan permutasi P = {a,b,c,d,e,f} dengan a=
( ) b = ( ) c = ( ) d = ( ) e = ( ) f = ( )
dengan operasi perkalian permutasi membentuk suatu grup. Teorema 6.1 : himpunan permutasi merupakan grup dengan operasi perkalian permutasi, dan disebut grup simetri. Bukti misalkan : P = {a,b,c, … f}, dengan a,b,c … permutasi dari n symbol. Misalkan :
b = ( c = ( a=
) )
dengan ji, ki, li, adalah salah satu dari 1, 2,3, … , n.
( ) = ( ) b P, a P ba P
( ) ( = ( )
)
1) ba =
2) cb =
( = (
(cb) a =
) )
ba =
(
) lihat butir 1)
( = (
c (ba) =
) ( ) )
(cb) a = c (ba)
3) G mempunyai elemen identitas
ai=
(
)
( ) = a
4) Setiap anggota G mempunyai invers
Invers dari a =
adalah
= ( Karena
a = =
(
)
=i
(
)
=
Demikian pula invers dari p =
adalah
)
contoh 6 : G = { I,a,b,c,d,e } dengan operasi perkalian permutasi, i = (1)(2)(3)
c = (2 3)
a = (1 2 3)
d = (1 3)
b = (1 3 2)
e = (1 2)
perkalian permutasi mudah dikerjakan jika dinyatakan dengan notasi dua baris, yaitu
( ) a = ( ) b = ( ) i=
( ) d = ( ) e = ( )
c=
beberapa perkalian permutasi terdapat sebagai berikut. ab =
( ) ( ) = ( )= i
( ) ( ) = ( ) = e bb = ( ) ( ) = ( ) = a bc = ( ) ( ) = ( ) = d cd = ( ) ( ) =( ) = a cb = ( ) ( ) = ( ) = d ac =
kerjakan perkalian dengan anggota lain. Hasil kalinya disajikan dalam table berikut : . i a b c d e
i i a b c d e
a a b i d e c
b b i a e c d
c c e d i b a
d d c e a i b
e e d c b a i
Table 1 Dalam modul 5 anda telah mempelajari cara menentukan suatu grup dengan menggunakan tabel
Sifat yang dipenuhi oleh (G, ) adalah 1) Tertutup, sebab dalam kotak hanya terdiri dari anggota G 2) Perkalian permutasi memenuhi sifat asosiatif 3) G mempunyai elemen identitas i 4)
= I = b = a
= c = d = e
Setiap anggota G mempunyai invers. Jadi (G,o) merupakan suatu grup, dan disebut grup simetri dari himpunan permutasi. Yang digunakan untuk menyatakan anggota G tidak harus seperti di atas. G tersebut dapat dinyatakan dengan G = {a,b,c,d,e,f}.
Grup Simetri Dari Bangun Geometri
Suatu bangun geometri dapat dimasukkan dalam bingkainya dengan transformasi sehingga bangun itu invarian atau berimpit dengan dirinya sendiri. Bangun geometri tersebut antara lain segitiga sama sisi, bujur sangkar, persegi panjang, jajar genjang dan belah ketupat. Transformasi tersebut adalah notasi atau pemutaran dan refleksi atau pencerminan. Contoh : Suatu segitiga sama sisi ABC dapat dimasukkan dalam bingkainya dalam 6 cara, sehingga seg itiga ABC berimpit dengan dirinya sendiri. Dalam hal ini dapat dikatakan bahwa ada 6 transformasi sehingga segitiga sama sisi ABC invarian.
C
Y X Z
A B
Ketiga rotasi itu adalah rotasi pada bidang dengan pusat O dan arah perputaran berlawanan dengan arah perputaran jarum jam, yaitu : a.
I rotasi dengan sudut 360
0
b. R rotasi dengan sudut 120 c.
2
0
R rotasi dengan sudut 240
0
Ketiga refleksi itu adalah : a.
A refleksi terhadap sumbu Ax
b. B refleksi terhadap sumbu By c.
C refleksi terhadap sumbu Cz
PENYELESAIAN : 2
Himpunan G = { I, R, R , A, B, C} dengan operasi komposisi transformasi merupakan grup dan disebut Grup Simetri dari segitiga sama sisi. Transformasi tersebut dapat dikaitkan dengan permitasi dengan 3 simbol. Pada titik sudut A, B, C berturutturut diberi nomor 1, 2, 3
Diputar dengan I rotasi posisi menjadi : A→A ;
B→B ;
C→C
1→1
2→2
3→3
Jadi I :
Diputar dengan R rotasi posisi menjadi : A→ B
;
B→C ;
C→A
1→2
2→3
Jadi R :
3→1
2
Diputar dengan R rotasi posisi menjadi : A→C
;
B→A ;
1→3
Jadi R
2→1
2
:
C→B
3→2
Dengan cara yang sama diperoleh :
I:
R :
2
R
:
;
= ( 1 3 2 )
B→C
1→1
;
2→3
Jadi A :
C→B 3→2
B direfleksikan terhadap By posisi menjadi : A→C
;
B→B
1→3
;
2→2
Jadi B :
= (1 2 3)
A direfleksikan terhadap sumbu Ax posisi menjadi : A→A
= (1) (2) (3)
C→A 3 →1
C direfleksikan terhadap Cz posisi menjadi : A→B 1→2
Jadi C :
;
B→A
2→1
;
C→C
3→3
Dengan cara yang sama diperoleh :
A :
B :
C :
= (2 3)
=(13)
= (1 2)
Komposisi transformasi dapat dilakukan sebagai berikut : 2
RR
=
AC =
AR =
RA =
RB =
RC =
= =
=I =R
=
=
= B
= C
= A
= B
=
2
=
Dengan cara yang sama dapat dibuat tabel komposisi transformasi sebagai berikut : 2
A
B
C
R
2
A
B
C
I
C
A
B
o
I
R
R
I
I
R
R
R
R
2
2
2
R
I
R
B
C
A
A
A
B
C
I
R
R
B
B
C
A
R
I
R
C
C
A
B
R
R
R
2
2
2
I
GRUP SIKLIK Definisi 6.2
dimaksud hasilkali a.a …. a dari m factor dengan m bilangan bulat positif 2. Dengan dimaksud hasil kali . , …. dari m factor = , dengan merupakan invers dari a , 1. Dengan
dan m bilangan bulat positif 3. Dengan
dimakud elemen identitas jadi = i
= ( dengan merupakan invers a Teorema 6.3 = dengan m dan n bilangan bulat Teorema 6.4 = dengan m dan n bilangan bulat Teorema 6.2
Teorema 6.5 jika ab = ba sedangkan n adalah bilangan bulat maka
=
Definisi 6.3
{ l k bilangan bulat} a disebut generator atau penghasil (pembentuk) s . grup siklik s dengan generator a ditulis S = []
Suatu grup s , atau subgroup s dari g disebut siklik , jika dan hanya jika ada a G sehingga s =
Definisi 6.4
{ } adalah grup siklik dengan generator a . jika ada bilangan bulat positif terkecil n sehingga = i maka dikatakan a berorder (bertingkat) n . jika tidak ada n , sehingga = i kecuali n = 0 maka Misalkan G =
generator a berorder tak terhingga . suatu grup siklik mungkin berhingga atau tak berhingga . jika G suatu grup dengan n buah anggota, maka dikatakan G berorder n .
Definisi 6.5 1) Dengan ma dimaksud a+a+….+a dengan m suku , dengan m bilangan bulat positif 2) Dengan m (-a) dimaksud (-a) + (-a) +…. + (-a) dengan m suku , - ma = m (-a) dan –a adalah invers penjumlahan dari a . 3)
0.a = 0 adalaah elemen identitas grup aditif
Teorema 6.6 1.
ma + na = ( m+n ) a
2.
(-ma) + (-na) = -( m +n )a
Teorema 6.7 n ( a+b) = na + nb dengan a , b bilangan bulat dan n bilangan bulat positif Teorema 6.8 Setiap grup siklik adalah komutatif Teorema 6.9 : Jika G adalah grup sik lik dengan generator a yang berorder n, maka
adalah n buah
anggita G yang berlainan satu sama lain. Bukti : perhatikan anggota G :
Dalam hal ini a adalah generator G beroder n Berarti n bilangan bulat positif terkecil sehingga
Andaikan teorema itu tidak benar,maka ada bilangan bulat s dan t dengan Sehingga dan karena maka Karena Maka . Jadi : dengan
.
Ini bertentangan dengan ketentuan bahwa n adalah bilangan bulat positif terkecil yang bersifat ternyata pengandaian tadi salah.
semuanya berlainan Sekarang jika ada bilangan bulat maka : dengan q dan r bilangan bulat dan Jadi
(ingat teorema sisa).
. . Jadi Perhatikan , , dengan Dengan demikian setiap dengan akan sama dengan salah satu dari Jadi hanya ada n buah anggota G yang berlainan. Teorema 6.10 : Setiap subgroup S dari siklik G adalah siklik. Jika a adalah generator dari G, m aka generator dari S adalah terkecil sehingga
merupakan anggota dari S.
dengan m bilangan bulat positif
Bukti : G grup siklik dengan generator a. jadi G = [a].
dan S merupakan grup. Misalkan m bilangan bulat positif terkecil sehingga merupakan anggota dari S. Ambil sembarang anggota dari S, misalnya dengan, S subgrup dari G, berarti
Menurut Teorema Sisa, ada bilangan bulat positif q dan bilangan bulat r sehingga
dengan
p = mq + r ====> r = p – mq.
dengan q factor. dan dengan dan Jadi dengan Hal ini bertentangan dengan ketentuan bahwa m bilangan bulat positif terkecil yang berart i
Anggota S berbentuk , dan S merupakan grup siklik dengan gener ator
Jadi r = 0 dan
Teorema 6.11 : Jika G adalah grup siklik, dengan generator a berorder n > 0, sedangkan S adalah subgrup siklik
maka m merupakan factor dari n, S berorder . Teorema 6.12 : Misalkan G adalah grup siklik dengan order n, sedangkan dengan Maka merupakan generator dari G jika dan hanya jika (n,t) = 1. dengan generator
GRUP SIMETRI DAN GRUP SIKLIK
OLEH KELOMPOK: 1. TABITTA TIURMA DANIANTI
A1C210053
2. OKTA MARLINA
A1C210047
3. TIARA GINANTI ISMALEVA
A1C210021
4. AULIA NUGRAHA
A1C2100
5. ANJAR TRI WAHYUNI
A1C210010
PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS JAMBI