Predavanja, dr Ratko Salati ć - Teorija konstrukcija 2 , Stabilnost konstrukcija
1
5. METOD KONAČNIH ELEMENATA
5.1
Tradicionalne Tradicionalne metode proračuna u Teoriji konstrukcija
diferencijalno mali element
domen
uslovi na konturi Slika 5.1: Tradicionalne metode prora č čuna
Rešavanje graničnog (konturnog) problema mehanike kontinuuma, problem mehanike deformabilnog tela. Problem Teorije konstrukcija -
Pretpostavke i procedura proračuna
Uspostavljaju se osnovne relacije (funkcije) izme đu geometrijskih i fizi čkih veličina na elementu diferencijalno malih dimenzija. Usvaja se pretpostavka neprekidnosti funkcija koje definišu ove veli čine. Zavisnosti između srednjih vrednosti ovih veli čina proširuju se na ceo domen. Dobijene su diferencijalne jednačine (obične ili parcijalne), odnosno integralne ili integrodiferencijalne jedna čine. Utvrđuju se konturni (grani čni) i inicijalni uslovi. Dobijenom jednačinom i graničnim, odnosno inicijalnim uslovima, definisan je grani čni problem. Rešenja graničnog problema mogu biti u zatvorenom obliku i/ili približna rešenja zasnovana na matematičkoj diskretizaciji jednačina graničnog problema. Približna rešenja svode problem na domen algebre, tj. rešavanje sistema linearnih algebarskih jednačina.
5.1
Karakteristike Metode konačnih elemenata (MKE)
Savremena metoda numeri čke analize, metoda diskretne analize. Jednostavna matematička formulacija i matemati čki aparat za rešavanje problema. Osnov za razmatranje problema (umesto diferencijalno malog elementa) je deo domena konačnih dimenzija, poddomen kona č čni element . Poddomen, konačni element, ima iste karakteristike kao i domen. Jednačine pomoću kojih se opisuje stanje u pojedinim kona čnim elementima su obične algebarske jednačine. Domen sa beskonačno mnogo stepeni slobode zamenjen je diskretnim modelom međusobno povezanih konačnih elemenata sa kona čnim brojem stepeni slobode (nepoznate veličine).
Predavanja, dr Ratko Salatić - Teorija konstrukcija 2 , Stabilnost konstrukcija
2
Usvaja se pretpostavka da su konačni elementi povezani u kona čnom broju tačaka, čvorovima modela. konačni element
nepoznati parametri u čvoru
čvor
Slika 5.2: Metod kona čnih elemenata
Problem izbora diskretnog modela i izbora nepoznatih (stepena slobode) koji mogu da opišu odgovarajući konturni problem. Uslov za primenu metode je bio razvoj računarske tehnike (mogućnost rešavanja velikih sistema jednačina).
Postupak 1. Razmatrani domen (nosa č ) se deli na kona č an broj poddomena (kona čnih elemenata) formiranje mreže kona čnih elemenata . 2. Izbor kona čnog broja parametara (nepoznatih veli čina) u č vorovima za opisivanje razmatranog problema. 3. Izbor interpolacionih funkcija N za opisivanje stanja u svakom elementu pomo ću usvojenih nepoznatih veli čina. 4. Uvr đivanje parametara na na konturi domena. 5. Utvr đivanje č vornog optere ćenja. 6. Postavljanje uslovnih jedna čina, matrice sistema i vektora slobodnih č lanova. 7. Rešavanje nepoznatih parametara (rešavanje sistema algebarskih jedna čina).
Element i {u1 , u2 , u3 , u4 , u5 , u6 ,u7 , u8 } Element j {u3 ,u4 ,u9 , u10 , u11 , u12 , u5 , u6 }
,, Ω, ,
Predavanja, dr Ratko Salatić - Teorija konstrukcija 2 , Stabilnost konstrukcija
3
Konfomni i nekonformni elementi MKE je približan postupak
2
1: Greška aproksimacije domena modelom
2: Greška aproksimacije konturnih uslova
3: Greška pri izboru interpolacionih funkcija
1
3
2 Slika 5.3: Greške u metodi kona čnih elemenata
5.2
Primena MKE na linijske nosače
Podele linijskih nosača Puni (gredni) i rešetkasti ̶ Ravni i prostorni nosači ̶ Osnovne jednačine ̶ Konstitutivne veze Uslovi ravnoteže čvorova ̶ Uslovi kompatibilnosti čvorova ̶ Linearna teorija ravnog štapa Materijalna linearnost - Materijal je homogen izotropan i elastičan ̶ Statička linearnost - Pomeranja su mala, viši stepeni nepoznatih veli čina se mogu ̶ zanemariti, uslovi ravnoteže se mogu postaviti na nedeformisanom nosa ču Deformacijske veličine su male ̶ Osnovne statičke i kinematičke veličine ̶ Generalisane sile i generalisana pomeranja (parametri pomeranja ili stepeni slo bode)
Slika 5.4: Metod kona čnih elemenata u primeni na linijske nosa če
Predavanja, dr Ratko Salatić - Teorija konstrukcija 2 , Stabilnost konstrukcija
4
Konstrukcije kod kojih je dužina znatno veća od dimenzija poprečnih preseka linijski nosa či Elementi linijskih nosača štapovi (pravi ili krivi) Štapovi su međusobno povezani u čvorovima (svaki štap može biti povezan u najviše dva čvora) Uz određene pretpostavke vezane za popre čni presek štapa, linijski nosači se mogu predstaviti samo osama štapova, a stanje u linijskom nosaču preko veličina u osama štapa jednodimenzionalna analiza (Statičke i deformacijske nepoznate su funkcije samo jednog argumenta ose nosača) Nema greške modeliranja kod pravih štapova Interpolacione funkcije su ta čne Ta čna metoda deformacije Matrica krutosti štapa (veza između generalisanih sila i generalisanih pomeranja) Ekvivalentno optere ć enje je opterećenje na krajevima štapa kojima se zamenjuju spoljašnji
uticaji koji deluju duž ose nosača (jednako je negativnim reakcijama štapa sa totalno uklještenim krajevima). Usvaja se pretpostavka da su aksijalno i fleksiono naprezanje me đusobno nezavisna. Interpolacione funkcije za interpolacione funkcije usvojena je kubna interpolacija i to Hermitovi polinomi.
13 22 3 2 ⁄ Slika 5.5: Interpolacione funkcije kod linijskih nosa ča
5.2.1 Problem stabilnosti linijskih nosača
Varijacioni postupak se zasniva na stavu o stacionarnosti potencijalne energije nosača. (Potencijalna energija nosača ima minimum.) Potencijalna energija nosača jednaka je zbiru unutrašnje energije (deformacionog rada) i potencijalu generalisanih sila u čvorovima nosača. Potencijal generalisanih sila jednak je negativnom radu generalisanih sila. Razmatra se samo fleksiona krutost štapa.
Predavanja, dr Ratko Salatić - Teorija konstrukcija 2 , Stabilnost konstrukcija
5
Slika 5.6: Problem stabilnosti štapa
Unutrašnja energija (deformacioni rad)
1 2 1 1 2 2
Potencijal generalisanih sila
Razmatra se problem stabilnosti, tako da postoji samo aksijalna generalisana sila.
cos 1 c o s cos 1 2! 4! ⋯ cos ≅ 1 2! 1 1 2 2 1 2 1 ∙ 2 1 1 Π 2 2 1Π 2
kako je mali ugao, primenom Maklorenovog reda, i usvajanjem samo dva člana reda
Potencijalna energija
ako je
gde su:
vektor interpolacionih funkcija vektor generalisanih pomeranja u č vorovima
Predavanja, dr Ratko Salatić - Teorija konstrukcija 2 , Stabilnost konstrukcija
6
za interpolacione funkcije usvojena je kubna interpolacija i to Hermit-ovi polinomi sada su prvi i drugi izvod vertikalnog pomeranja ose štapa
ili
gde su
′ 1Π 2 ′ ′ ′′ Π ′′ ′ ′ ′ 12 12 12 6 12 6 ⁄ ⁄ 4 3 6 3 2 1266 426 6 12 12 12 6 10 3⁄ 4 3⁄ 6 4 Π 0 → 0 fleksiona matrica krutosti štapa
geometrijska matrica krutosti štapa
integracijom se dobija
Na osnovu stava o stacionarnosti potencijalne energije dobija se jedna čina stabilnosti
Primer 1
Odrediti kriitično opterećenje obostrano uklještene grede primenom metode kona čnih elemenata.
Rešenje
126 46 612 2 6 126 62 61212612 46 466 61212 266 12 612 2 6 4 3⁄ 12 43⁄ 12 12 3⁄ 6 126 4 3⁄ 46 63⁄6 1212 3⁄ 10 3⁄ 4 3⁄ 6 240 8010 204 803⁄
Predavanja, dr Ratko Salatić - Teorija konstrukcija 2 , Stabilnost konstrukcija
7
24 24 10 0 → 10.0 , 42 9.87 1.32% 8 8 10 0 → 30.0 , 4 ∙ 4.42934 20.19 48.59% Primer 2
А )
20000 , ,
Odrediti najmanje kritično opterećenje , ako na sistem deluju samo koncentrisane sile. Primeniti metod konačnih elemenata. U proračunu zanemariti uticaj aksijalnih sila na deformaciju ( ). B) Ako je i ako deluje i raspodeljeno opterećenje , odrediti obrtanje . (Zanemariti promenu normalnih sila čvora usled raspodeljenog opterećenja)
0.70 5. 0 /
Rešenje
Nepoznata pomeranja:
.
Fleksione matrice krutosti štapova:
1 12 24 12 24 12 24 5 234 . 2412 24 64 489 . 2412 243264 64 3 12 36 12 36 467 . 3612 3614472 108 ∗ 24 6432 213.3323 240 64 5 0 24 12 1 5 234 . . .. 20 489 . . 40 3 467 . 30
Fleksiona matrica krutosti sistema:
Geometrijske matrice krutosti štapova:
Predavanja, dr Ratko Salatić - Teorija konstrukcija 2 , Stabilnost konstrukcija
8
Geometrijska matrica krutosti sistema:
128 38432 120 120 ∗ 24 32 5∗ ∗ 0 12 36 ∙ det∗ ∗ 0
Jednačina stabilnosti:
32 32 0 120 64 → 6432128 0 320 213.3243 384 24 12 12 12 36 1 2 1 0 → 16 160 213.33 3842 24 1123 0 0. 2 00777 2232 3172 1290.66 149.33 0 → 0.0.4812467 07903 1 2064 0.3765 0.7 ∙ 0.7 ∙ 0.3765 ∙ 20000 5271 6 2 2∙ ∙527120000 3.0802 → 1.2050 5 ∙ 3612 ∙ 1.2050 18.0750 64 0.1406 5 271120 20000 46.36.04083979 159.36.43979583 22.30133 18.0 075 64→ 0.0.24443081∙∙6464⁄⁄ 0 22.3133 6.9398 0 0.9907 ∙ 64⁄ 0 .308120000∙ 64 9.8592 ∙ 10
Određivanje obrtanja čvora :
