Teorija konstrukcija 2 – predavanja dr Ratko Salati ć ć
4
4.3. EULER-OVI SLUČ AJEVI IZVIJANJA ŠTAPA Kritično opterećenje definisano je ranije kao najmanja vrednost optere ćenja pri kojem homogeni zadatak linearizovane teorije drugog reda ima bar i jedno rešenje razli čito od trivijalnog. Primenom dobijenih rešenja iz metode po četnih parametara, uz uslov netrivijalnog rešenja odre đuje se kritično optere ćenje, za različite slučajeve oslanjanja štapa.
Prvi Euler-ov slučaj – uklješten štap
Slika 4.4. Prvi Euler-ov slu č aj izvijanja štapa Granični uslovi za štap na Slici 4.4 su: za
0 00 0 0 0 0 cos 0 0 cos0 cos0 21 21 2 1, 2 , 3 … 21 2 1, 2 , 3 … 1 2 2 9 2 25 2 :
za
(0) =
: :
(0) =
Iz uslova ravnoteže štapa sledi da je preseku prema jedna čini glasi: Ako se izuzme trivijalni trivijalni slučaj
, i iskoristi uslov
Ova jednačina je zadovoljena samo ako je
Kako je kritična sila
. Izraz za moment savijanja u proizvoljnom
, dobija se jedna čina:
, odnosno ako je:
, sledi da je:
2
Za
dobija se prva kriti čna sila, za
druga kritična sila, itd.
Slika 4.5. Oblici izvijanja za prve tri kriti č čne sile
Teorija konstrukcija 2 – predavanja dr Ratko Salati ć
5
Drugi Euler-ov slučaj – slobodno oslonjen štap
Slika 4.6. Drugi Euler-ov slu č aj izvijanja štapa Granični uslovi za štap na Slici 4.6. su: za
0 0 0 0 0 0 0 0 0 sin0 0 0 1,2,3… 1,2,3… 4 9 :
za
:
Iz uslova ravnoteže štapa dobija se . Slično kao u prethodnom slučaju, zanemarujući trivijalno rešenje , uslov da je ugib na kraju jednak nuli, prema jedna čini:
je ispunjen uslov ako je
, odnosno ako je:
pa je kritična sila:
Slika 4.7. Oblici izvijanja za prve tri kriti čne sile
Treći Euler-ov slučaj – uklješten, slobodno oslonjen štap
Slika 4.8. Tre ći Euler-ov slu čaj izvijanja štapa Granični uslovi za štap na Slici 4.8. su: za
0 0 0 0 :
(0) =
za
0 0 :
Teorija konstrukcija 2 – predavanja dr Ratko Salati ć
6
0 0 si n 1cos sin cos 0 detcos 0 cossin tg 4. 4 934 21 2,3,4… 4.4934 254
Iz graničnih uslova i homogen sistem jedna čina:
prema jedna činama metode početnih parametara dobija se
0
Uslov netrivijalnog rešenja je ,
čije
pa je karakteristična jednačina stabilnosti:
odnosno
je rešenje
2
Prve dve kritične sile su:
Slika 4.9. Oblik izvijanja za prvu kriti čnu silu Četvrti Euler-ov slučaj – obostrano uklješten štap
Slika 4.10. Č etvrti Euler-ov slu čaj izvijanja štapa Granični uslovi za štap na Slici 4.10. su: za
0 0 00 0 sin 0 1cos sin 1cos 0 0 det 0 2sin 2 2sin 2 cos 20 :
(0) =
Uslovi
i
za
00 :
prema jedna činama (2.5) i (2.6) daju homogen sistem jednačina:
Uslov netrivijalnog rešenja
Iz uslova dobija se prva kritična sila:
, određuje karakterističnu jednačinu stabilnosti:
Teorija konstrukcija 2 – predavanja dr Ratko Salati ć
7
2 4 2sin cos 0 tg 2 2 2 4.4934 4·4.4934
dok iz uslova
dobija se druga kriti čna sila:
Slika 4.11. Oblik izvijanja za prve dve kriti č ne sile
4.2. EFEKTIVNA DUŽINA IZVIJANJA ŠTAPA Efektivna dužina izvijanja štapa je po definiciji dužina fiktivnog štapa zglobno oslonjenog na krajevima, koji ima istu kritičnu silu, kao i realni štap sa proizvoljno definisanim uslovima oslanjanja. Za efektivnu dužinu izvijanja štapa tako đe se može re ći da predstavlja odstojanje izme đu tačaka infleksije štapa pri izvijanju. Ako se sa
označi stvarna dužina štapa, a sa koeficijent efektivne dužine izvijanja , onda je efektivna dužina izvijanja .
Najmanja kritična sila za zglobno oslonjen štap je:
Slika 4.12. Efektivna dužina izvijanja štapa
Odakle je koeficijent efektivne dužine izvijanja:
, 2
U zavisnosti od uslova oslanjanja ili promene momenta inercije duž ose štapa, mogu se tabulisati koeficijenti , pa bi se za odgovarajuću očitanu vrednost koeficijenta , proračun određivanja kritične sile sveo na jedan izraz:
Za Euler -ove slučajeve izvijanja štapa mogu se jednostavno odrediti dužine odnosno koeficijenti efektivne dužine izvijanja:
2.0
Teorija konstrukcija 2 – predavanja dr Ratko Salati ć
8
, 1.0 , 4.4934 0.7 0.7 , 4 0.5 0.5 Poznavanje kritičnih sila Euler-ovih slu čajeva je pogodno za brzu procenu kriti čne sile proizvoljno oslonjenog štapa.
Slika 4.13. Procena kriti čne sile štapa sa elasti čnim osloncem
Koeficijent efektivne dužine izvijanja štapa ima primenu i u propisima kod složenijih štapova.
Slika 4.14. Štapovi sa promenljivim popre čnim presekom
Teorija konstrukcija 2 – predavanja dr Ratko Salati ć
9
Primer 4.1 Za date štapove i opterećenje odrediti izraze za momente uklještenja prema teoriji drugog reda koristeći metodu po četnih parametara, a zatim na ći vrednosti tih momenata za:
0. 7 5/ 20 8 ⁄ 0.5 ,
,
,
,
Rešenje a) Granični uslovi su: za
0 0 00 0 ? 0 0 si n 1cos si n cos1 2 1cos· sin 2 cos1 2 0 2 sin cos10 1cos 12 6 sin12cos1 1cos sin cos sin " 6 si n 12cos1 si n 12 1cos cos 2 cos1 2 12 6 sin12cos1 cos sin 1cos 2 1cos :
za
:
(iz uslova ravnoteže)
Početni moment parametara:
Za
određuje se iz uslova
, uvodeći oznaku
Vrednost momenta
, dobija se moment
primenom jedna čine metode po četnih
:
određuje se iz izraza za moment u proizvoljnom preseku (2.7):
Teorija konstrukcija 2 – predavanja dr Ratko Salati ć
10
12 6 sin12cos1 1cos 0 0 4 0 . 7 2√0.75.2569 0 12 6 sin12cos1 1cos 0 1.0 5.2569 2.4597 0 5·812 2.459765.59
Momenti
i
su jednaki s obzirom na simetri čnost nosača i opterećenja.
Najmanja kritična sila za obostrano uklješten štap je
, pa je:
Izraz za moment uklještenja može se napisati u obliku:
gde je koeficijent koji predstavlja odnos momenata po teoriji drugog reda i momenta po teoriji prvog reda ( za teoriju prvog reda). Za koeficijent , a moment uklještenja je:
Princip superpozicije uticaja po teoriji drugog reda
