Stabilnost konstrukcija, predavanja – dr Ratko Salati ć ć
1
10. STABILNOST LJUSKI 10.1
METODE ZA ODREĐIVANJE KRITIČNIH OPTEREĆENJA
Metode izučavanja ljuski na stabilnost je u na čelu sličan sa metodama koje se koriste i u slu čaju pritisnutih štapova. Razmatraju se tri osnovne metode iznalaženja i znalaženja kritičnog stanja ljuski: 1) statički metod, koji se sastoji u analiziranju pobuđenih ravnotežnih formi, 2) energetski metod, koji se sastoji u izjednačavanju rada spoljašnjih sila sa prirastom potencijalne energije sistema, 3) dinamički metod, koji se sastoji u izučavanju pobuđenih kretanja sistema. Pri dimenzionisanju ljuski putem statičkog proračuna dobijaju se po pravilu, sasvim male debljine, pa će problem stabilnosti imati utoliko veći značaj što su ljuske tanje. Prora čun ljuski na stabilnost kod mnogih ljuski će dati merodavne dimenzije i materijal koje treba usvojiti. U praktičnim proračunima na stabilnost štapova i sistema, nastalih od štapova, možemo se ograni čiti na iznalaženje izvijenih ravnotežnih formi, što leže u najbližoj okolini osnovnog stanja (izu čavanje stabilnosti u malom). Takav pristup je moguć i pri određivanju kritičnih opterećenja koje deluju na optere ć ljusku. Pomoću njega se dolazi do tzv. gornjeg kriti č čnog ćenja. Osnovno stanje obi čno odgovara bezmomentnom napregnutom stanju ljuske. Iskustveno je porvrđeno da se pri gubitku stabilnosti ljuske, nova ravnotežna forma bitno razlikuje od po četne (ljuska se osetno deformiše). Stoga je u ovom slučaju istraživanje stabilnosti moguće samo na osnovu nelinearne teorije, koja računa sa elastičnim pomeranjima koja su samerljiva sa debljinom ljuske (izučavanje stabilnosti u velikom). Pomo ću metoda nelinearne teorije nalazi se donje kriti č čno optere ć ćenje . Nova forma ravnoteže se može javiti i znatno ranije u praksi, odnosno pre onog trenutka kada opterećenje dostigne svoju gornju kritičnu vrednost. To se dešava usled nekih dopunskih ugiba i početnih imperfekcija, koje su u praksi nezaobilazne i gde je vrlo teško održati idealnu formu ljuskaste građevinske konstrukcije. Čak i u eksperimentima sa izuzetnom, maksimalnom pažnjom, eksperimentalni podaci samo u najređim slučajevima daju veličinu gornjeg kritičnog opterećenja . Zato se eksperimentalne vrednosti kritičnog opterećenja obično nalaze u granicama:
.
Pri proračunu ljuski na stabilnost, proračun se ne smatra punovažnim ako nije uzet u obzir uticaj izvesnih početnih deformacija ljuske. Ovde će biti obrađeni problemi iznalaženja kritičnog opterećenja za cilindričnu ljusku u slučaju: 1. Ravnomernog pritiska u pravcu osovine 2. Ravnomernog spoljnjeg bočnog pritiska Problemi koji se javljaju u vezi sa izvijanjem cilindričnih ljuski i koji nisu ovde obrađeni mogu biti sledeći: 1. Pritisak ekscentrične sile, paralelne sa osom ljuske (Slika 1a) 2. Delovanje momenta torzije na krajevima ljuske (Slika 1b) 3. Istovremeno delovanje ravnomernog aksijalnog pritiska i torzionih spregova na krajevima ljuske (Slika 1c) 4. Istovremeno delovanje ravnomernog aksijalnog pritiska i ravnomerno raspodeljenog spoljnjeg poprečnog opterećenja (Slika 1d) 5. Savijanje pod delovanjem popre čne sile (Slika 1e)
Stabilnost konstrukcija, predavanja – dr Ratko Salati ć
2
a)
b)
c)
d)
e)
10.2 SIMETRIČNO IZVIJANJE CILINDRIČNE LJUSKE POD DEJSTVOM RAVNOMERNOG PRITISKA U PRAVCU OSOVINE
Ako je neka cilindrična ljuska ravnomerno pritisnuta u aksijalnom pravcu, pri izvesnoj vrednosti opterećenja pritiska, može se dogoditi izvijanje, simetrično u odnosu na osovinu cilindra (Slika 10.2). Kritična vrednost sile pritiska na jedinicu dužine ivice ljuske, može se dobiti pomoću metode energije.
Sve dok ljuska ostaje cilindri čna, ukupna deformaciona energija je energija aksijalnog pritiska. Međutim kad počne izvijanje, moramo da uzmemo u obzir, pored aksijalnog pritiska, deformaciju srednje površine u kružnom smislu, kao i savijanje ljuske. Pri tome je deformaciona energija ljuske povećana; pri kritičnoj vrednosti opterećenja, ovo povećanje energije mora biti jednako izvršenom radu od opterećenja za vreme skraćivanja cilindra zbog izvijanja.
Stabilnost konstrukcija, predavanja – dr Ratko Salati ć
3
Slika 10.2: Cilindri čna optere ćenju ljuska pri kriti čnom
sin , , 1 . sin , sin , 2 . , 0 2 sin 2 2 .
Neka je
radijalno pomeranje za vreme izvijanja dato izrazom:
gde je dužina cilindra. Deformacije i u pravcu osovine i kružnom smislu, posle izvijanja, na ći će se iz uslova, da aksijalna sila pritiska ostaje konstantna za vreme izvijanja. Ako se upotrebi za aksijalnu deformaciju pre izvijanja oznaka
gde je debljina ljuske, dobija se vodeći računa da je
nalazi se
Promena krivine u osovinskoj ravni iznosi
Uvodeći izraze simetrične deformacije
u jednačine za deformacionu energiju i vodeći računa da je zbog
nalazimo za povećanje deformacijone energije za vreme izvijanja sledeći izraz:
Rad sila pritiska za vreme izvijanja je
Stabilnost konstrukcija, predavanja – dr Ratko Salati ć
4
2 sin 4 , . 2 √ 31 , . 0. 3 121 1,72√ . 44 22 0.
gde prvi član u zagradi potiče od promene savijanja izvodnica. Izjednačavajući izraze
aksijalne deformacije, a drugi član u zagradi od dobija se
Pretpostavljajući da se obrazovalo više talasa po dužini cilindra za vreme izvijanja i smatraju ći neprekidnu funkciju od , minimalna vrednost izraza je
i nastupa kada je
1
kao
Otuda je dužina polutalasa u koje se izvija ljuska , za
2
Umesto metode energije, može se koristiti za sračunavanje kritičnog opterećenja diferencijalna jednačina ugiba za simetričnu deformaciju cilindrične ljuske.
Zamenjujući za raniji izraz i izjednačavajući sa nulom koeficijent uz jednačine kritičan napon dat izrazom .
3
sin
, dobija se iz te
U opitima sa cilindričnim ljuskama, pritisak se obično predaje krutim blokovima mašina, a bo čno širenje ljuske je sprečeno trenjem. Onda umesto problema stabilnosti, uočava se problem zajedničkog dejstva sila pritisaka i savijanja, kao što je pokazano na Slici 3.
Slika 10.3 −D eformacija cilindri čne za vreme ispitivanja
Stabilnost konstrukcija, predavanja – dr Ratko Salati ć
5
Pretpostavljajući da je napon pritiska manji od kritičnog napona i upotrebljavajući oznaku
, 3 sin √ 1 4 ; √ 1 4 02 0 . , 2 2 √ 12 4 . 2
opšte rešenje jednačine
, smatrajući pritom da se radi o dugoj ljuski, glasi
gde je
i gde su i integracione konstante koje treba odrediti iz uslova da je na prosto oslonjenim ivicama za
Drugi uslov kaže da sile trenja potpuno sprečavaju bočno širenje ljuske na ivicama. Tada dobijamo deformaciju u obliku talasa, koji brzo bivaju prigušeni zbog prisustva faktora . Dužina talasa je
Ova dužina je nešto ve ća od one u jednačini i bliži se toj vrednosti kad se bliži jedinici. Oblik deformacije je kao na Slici 3. Maksimalna deformacija brzo raste, ukoliko se optere ćenje bliži svojoj kritičnoj vrednosti i slom se dešava zbog tečenja materijala na grebenima talasa, najbližih blokovima mašine za ispitivanje. Kad se prvi polutalas, zbog plastične deformacije, spljošti, drugi polutalas brzo raste. Ta vrsta deformacije je prikazana na Slici 4.
Slika 10.4: Plasti čna ljuski deformacija tankih cilindri čnih 10.3 IZVIJANJE CILINDRIČNE LJUSKE POD DEJSTVOM RAVNOMERNOG SPOLJNJEG BOČNOG PRITISKA
Za rešavanje ove vrste problema, koristiće se obrazac za kritično opterećenje dobijeno za kružni prsten. Posmatraće se cilindrična ljuska, sa slobodnim ivicama, izloženu ravnomernim bo čnim pritiskom.
Stabilnost konstrukcija, predavanja – dr Ratko Salati ć
6
Isti se obrazac može primeniti i u slučaju ljuske sa izvesnim ograni čenjima slobode na ivicama, ako je dužina ljuske tolika, da se može zanemariti svaki uticaj ojačanja od bilo kakvog ukru ćenja na ivicama.
, 2 0 ; 20 ; 1 2 0 . , 2 0 ; 0 ; 2 22 22 2 1 22 0 . 0; ; 0; ; 0. – ′ ′ – , 1 1 1 ; ,
Koristeći jednačine ravnoteže za opšti slučaj deformacije cilindrične ljuske i pretpostavljajući da su u slučaju ravnomernog bočnog pritiska sve rezultante osim male i zanemarujući članove koji sadrže proizvode ovih rezultanti i izvode pomeranja i dobijaju se sledeće jednačine
Koristeći momentne jednačine, koje smo takođe dobili posmatrajući opšti slučaj deformacije cilindrične ljuske i pretpostavljajući da su momenti savijanja i torzije mali i zanemarujući proizvode ovih momenata sa izvodima pomeranja i dobijaju se sledeće jednačine
Zamenjujući u jednačine
, dobija se
Parcijalno rešenje jednačine dobija se pretpostavljajući da pod dejstvom ravnomernog spoljnjog pritiska, kružna cilindrična ljuska ostaje kružna, a da trpi samo ravnomerni pritisak u kružnom smislu, tako da je
Kod razmatranja izvijanja ljuske posmatraćemo samo male deformacije od ovog ravnotežnog oblika za slučaj ravnomernog pritiska, tako da se u jednačini vrlo malo razlikuje od vrednosti pa se može napisati
gde je mala promena u rezultanti pritisnute ljuske cilindričnog oblika.
, koja odgovara malim pomeranjima
i
ravnomerno
Uvešćemo u račun i istezanje srednje površine ljuske za vreme izvijanja, a i će se zameniti sa odnosno u drugoj i trećoj jednačini . Vodeći računa da je
pretpostavićemo jednačinu
u sledećem obliku
Stabilnost konstrukcija, predavanja – dr Ratko Salati ć
7
2 0 ; ′ 0 ; 2 22 22 2 ′ 22 0 . ,
, 1 Φ i 12ah α, 22 12 2 Φ2 12 22 0; 12 2 12 22 22 22 33 32 1 22 0; 3 3 4 4 4 2 3 2 2 4 4 2 22 Φw 2. Poznavajući izraze za tri komponente deformacije rezultujuće sile i momente pomoću pomeranja i upotrebljavajući oznake
i srednje površine izrazićemo ove . Zamenjujući ove izraze u jednačine i
dobija se
Na taj način problem određivanja kritične vrednosti bočnog pritiska sveden je na rešavanje gornje tri diferencijalne jednačine i zadovoljavanje graničnih uslova.
/
Ako su ivice ljuske slobodno oslonjene, granični uslovi zahtevaju da i budu nule na ivicama. Uzimajući da je dužina cilindra , a da se meri od srednjeg poprečnog preseka ljuske, dobijamo rešenje jednačine , koje zadovoljava grani čne uslove, uzimajući za pomeranja za vreme izvijanja sledeće izraze:
sinsin ; coscos ; sin cos ; 2 / / 12 12 Φ Φ 0 1 2 1 0 12 20 1 2 Φ1 0 ,
koji pokazuju da se za vreme izvijanja izvodnice ljuske deformišu u jedan polutalas sinusne linije, dok je obim podeljen u polutalasa. Na krajevima su i pomeranja i izvod nule, što predstavlja uslove slobodno oslonjenih ivica. Uvodeći izraze jednačine:
za pomeranja u jednačine
i koristeći oznaku
, dobijaju se sledeće
Ako se stavi da su , što odgovara ravnotežnom obliku ravnomerno pritisnute kružne ljuske, jednačine bi bile zadovoljene. Dok je izvijeni ravnotežni oblik moguć samo ako je jednačine imaju i rešenja različita od nule.
Stabilnost konstrukcija, predavanja – dr Ratko Salati ć
8
Potrebno je da je determinanta sistema ovih jednačina nula. Razvijanjem determinante dobija se jednačina, koja nakon ispuštanja malih članova, koji imaju vrlo mali uticaj, na veli činu kritičnog pritiska i uvođenja izraza za i , ima sledeći oblik
, Φ 1 1 12 1 21 1 . 11 / 1 121 1 .
Kad je ljuska vrlo duga, je veliki broj, pa zanemarujući u jednačini imaju kvadrat tog odnosa, dobiće se izraz za kritično opterećenje:
1
one članove koji u imeniocu
Literatura
1. N. I. Bezuhov, O. V. Lužin, N. V. Kolkunov, Stabilnost i dinamika konstrukcija – U primerima i zadacima, Beograd 1973. 2. S. Timošenko, Teorija elastične stabilnosti, Beograd 1952. 3. Dr prof. A. A. Umanskog - Konstrukterski priručnik, izabrana poglavlja, Beograd 1980.
