Stabilnost Kosina

Univerzitet u Tuzli Rudarsko-geološko-građevinski fakultet Građevinski odsjek 

Stabilnost kosina i potporne konstrukcije konstrukcije

Predmetni nastavnik Dr.sc.- Dipl.ing. Adnan Ibrahimović, vanr.prof.

Tuzla, 2014.

1. UVOD I HISTORIJAT IZUČAVANJA STABILNOSTI PADINA I KOSINA Razlika izmeĎu  prirodnih i vještačkih  nagetih površina  na terenu, bilo da su one formirane u tlu ili stijenskoj masi, definisana je i njihovim nazivima: il i stijeni, • padine, prirodno formirani nagibi u terenu, tlu ili

• kosine, vještački tj. projektovani nagibi na terenu, tlu ili stijeni. Padine su u većini slučajeva stabilne ali ima i onih koje se sporije ili brže kreću pod uticajem gravitacije tj. egzogenih sila i erozije. Kosine nastaju nasipanjem ili iskopavanjem i osnovna im je karakteristika da nastaju kontrolisano tj. one se projektuju.

Zajedničko  za padine i kosine jeste utvrditi njihovu stabilnost, najčešće  na krutoplastičnom  modelu na kome se uporeĎuje “moguća čvrstoća na smicanje” sa “otpornom na smicanje”, duž kritične klizne ravnine, da bi sistem bio u ravnoteži. Uslov ravnoteže je čvrstoća na smicanje je veća od napona smicanja. smicanja . Uzroci nestabilnosti su: prirodni ili vještački (antropogeni, tehnogeni). tehnogeni).

Nestabilnost padina i kosina može biti uzrok ozbiljnim posljedicama.

Značajna je teorija graničnih stanja plastične ravnoteže za analize stabilnosti kosina i padina. Nestabilnosti kosina usko su povezane sa promjenama potencijalnog polja u području podzemne ili procjedne vode u kosini ili padini. Nema bitne razlike u proračunima za različite slučajeve osim u izboru ulaznih parametara. EC 7 daje razliku u razmatranju odbrambenih nasipa.

stabilnosti za nasipe i kosine od od stabilnosti brana i

Kada je u pitanju projektovanje nasipa moguće  je propisati unaprijed svojstva materijala, odnosno i parametre materijala potrebne za proračun  stabilnosti. Zato se uzorci iz pozajmišta, od koga će se nasip raditi, sabijaju u Proktorovom aparatu (optimalna vlažnost) a oni se kod laboratorijskog ispitivanja posmatraju kao neporemećeni uzorci. U toku gradnje nasipa provjeravaju se pretpostavljene vrijednosti na kontrolnim uzorcima.

Proučavanje uslova i uzroka nastanka nestabilnosti je široko, kompleksno i interdisciplinarno. Prvi pristupi su se bazirali na iskustvu, bez laboratorijskih i terenskih ispitivanja da bi prva izučavanja počela krajem XIX vijeka od osoba koje se bave izučavanjem prirodnih fenomena (geomorfolozi, geolozi geografi (Katzer 1907.) Inženjerska intuicija i prethodno iskustvo su i dalje bitni u pogledu rješavanja ovih problema

Osnove i metode za proučavanje  nestabilnosti kosina i padina obuhvataju tri važna činioca: 1. Prepoznavanje, klasifikacija i oblik sloma, definisanje njihovih morfoloških, geoloških i geotehničkih osobina, ustanovljenjem obima i brzine pokreta i uzročnika tih pokreta,

2. Deskripcija materijal obuhvaćenog  tim procesima nestabilnosti, njegova čvrstoća na smicanje, deformacione i druge geomehaničke osobine, 3. Parametarsku analizu stabilnosti kosine odgovarajućim  metodama što  zavisi od tipova klizanja odnosno osobina materijala. Uslovna podjela metoda ispitivanja stabilnosti kosina i padina:

•Metode granične ravnoteže, pretpostavljena klizna ravan, ravnoteža  cjelokupne mase tla unutar kliznog tijela ili lamela, klizna ravan različitog oblika, •Metode teorije plastičnosti, diferencijalne  jednačine ravnoteže  i uslovi loma za ravni problem, Sokolovski  – čisto plastičan  problem iznalaženja  napona ali ne i deformacija, Drucker i Prager - kinematičko rješenje, •Metoda konačnih elemenata, na kojima su radili Chang, Dunkan, Loo i Lee.

U prirodi se kao nestabilne pojave javljaju kameno  – snježne  lavine, sipari (kruta i plastična podloga) odroni i klizišta.

Klizišta se po starosti kreću od fosilnih do aktivnih i povremeno aktivnih. Potreba za gradnjom saobraćajnica, hidrotehničkih  objekata, urbanih i industrijskih cjelina, zahtijeva novi pristup gdje se uključuju  pored geologa i graĎevinskih inženjera i geomehaničari, geofizičari, geometri i td. Najnoviji period istraživanja ove problematike je u posljednjih 20 godina.

Klizišta su najznačajnije  manifestacije nestabilnosti padina, koja utiču na ekonomičnost  projektovanja, graĎenja  i eksploatacije objekata, te ograničavaju prostorno i urbano planiranje gradova i naselja.

Specifičnost klizišta su: jako težak odabir parametara jer se na kliznoj ravnini javljaju rezidualne (zaostale) vrijednosti parametara čvstoće  na pritisak. U ovakvim slučajevima se koristi tzv. parametarska analiza. Nužnost  izrade statističkih  obrada tj. katastra klizišta  kako bi se dobila optimalna sanaciona rješenja.

Kod izučavanja klizišta potrebno je utvrditi sljedeće sljedeće:

1.

Osobine padine u širem području  i uslove nestabilnosti odnosno uticaje na nastanak nestabilnosti,

2.

Osobine terena u području klizišta:

•

Osobine klizne plohe kao što su  položaj,  oblik, veličina,  osobine tijela klizišta (dimenzije, zapremina, raspored masa), tip klizišta,  klasifikacija klizišta,  brzina kretanja i uzroci klizanja, fizičko – hemijske i mehaničke osobine materijala,

•

Osobine podloge i okolnog neposrednog terena sa fizičko  – mehaničkim osobinama (otpornost na smicanje i deformabilnost),

•   Hidrogeološke  uslove kao što  su nivo podzemnih voda i oscilacije tih nivoa u toku vremena, 3.

Izučiti  stabilnost padine i mjere sanacije u zavisnosti od tipa klizišta,  osobina materijala i drugih tehničko – ekonomskih parametara.

2. UZROCI NESTABILNOSTI Nestabilnost se javlja kada je: otp < smicanja, gdje je otp = f (c; []) Brzina i obim loma zavise od materijala u kome se dešava lom. Naponi smicanja nastaju od gravitacionih sila i spoljašnih opterećenja  (nekada su to dinamički tj. seizmički uticaji). Vederovanje (weathering) utiče na smanjenje čvrstoće na smicanje, otp  Antropogeni uticaji se manifestuju kroz poremećaj prirodne ravnoteže: -opterećenjima od prirodnih graĎevina,

-promjenom oblika kosina iskopa i nasipa, -poremećajem režima podzemnih voda, -promjenom vegetacije i slično. U prirodnim uslovima kritične  klizne površine  nastaju po predisponiranim strukturnim geološkim oblicima, kao što su: -slojevitost, -ispucalost, -rasjedanje i td. (stijenska masa).

Slika 1. Klizanje u prirodnim uslovima: a) klizanje tla po predisponiranom sloju propusnog

materijala, b) klizanje po pukotini, c) klizanje unutar više geoloških formacija

2.1. Promjena uslova ravnoteže na kosinama Gradnjom vještačkih  objekata stvaraju se sekundarna naponska stanja čime se narušava prirodna ravnoteža tj. primarno naponsko stanje u tlu ili stijeni.

Slika 2. Klizanje usljed promjene uslova ravnoteže: a) izrada zasjeka u jednorodnom tlu, b) izrada usjeka u slojevitom tlu, c) izrada nasipa na površinskom tlu od il ovače

2 .2 . U t i c a j f il t r a c i je p o d z e m n e v o d e n a s t a b i l n o s t k o s i n a i p a d i n a Ovaj uticaj se manifestuje kroz sile uzgona i filtracione sile kao i promjenu fizičko-mehaničkih osobina tla.

Slika 3. Uticaj podzemnih voda na formiranje klizišta: a) kanal u višeslojnom materijalu, b) priobalno djelovanje akumulacije, c) brana sa glinenim jezgrom, d) glacijalni materijal na padini

a)

Denivelacija izaziva filtracione pritiske,

b)

Kritičnost  naglog spuštanja  akumulacije gdje se mogu javiti veoma obimne i katastrofalne nestabilnosti i pokretanja mase tla ili stijene,

c)

Slično  kao u prethodnom slučaju,  lomovi mogu da nastanu i kod nasutih brana u glinenim jezgrima,

d)

Poremećaj  podzemnog toka vode zbog gradnje vještačkog  objekta na padini sa propusnim tlom ograničene  dubine može  da dovede do ispiranja i klizanja materijala ispod samog objekta.

2.3. Uticaj likvifakcije pijeska na stabiln os t padin a i kos ina

Likvifakcija (rastvaranje) je prelazak pjeska iz čvrstog stanja u fluid (živi pijesak) koja je izazvana brzom promjenom stanja napona, bez obzira na prirodu te promjene napona.

Najčešći uzrok odnosno razlog pojave likvifakcije pijeska su seizmičke sile.

Slika 4. Klizanje i tonjenje usljed pojave likvifakcije pijeska u stopi kosine obale

3. OBLICI SLOMA PADINA I KOSINA I DEFINICIJA FAKTORA SIGURNOSTI

Kod proračuna sigurnosti padina i kosina razmatra se granična ravnoteža kada počinje plastično tečenje sa velikim deformacijama duž klizne površine ili u svim tačkama klizne mase.

Slika 5. Oblici sloma padine ili kosine: a) linijski, b) plastični, c) kombinovani

a)

Narušavanje stabilnosti padine ili kosine usljed prekoračenja otpornosti na smicanje na odreĎenoj površini loma tzv. linijski lom, izmeĎu dvije elastične zone,

b)

Lom u svim tačkama kliznog tijela, gdje je plastično stanje postignuto u cjelokupnoj kliznoj masi,

c)

Najrealniji slučaj  loma kod koga se u jednom dijelu javlja lom u plastičnoj  zoni a u drugom dijelu klizno tijelo ostaje u stanju elastične ravnoteže – elastoplastično stanje.

Proračun  napona prije loma i pri postepenom prelasku u stanje loma mogao bi se analitički definisati, za ovakav elastoplatični materijal, samo ako su poznati odnosi izmeĎu napona i deformacija, što zahtijeva veoma složene proračune. Kod klasičnih metoda analize stabilnosti kosina pretpostavlja se idealno plastičan materijal i da u njemu nastupa lom duž  klizne površine  prema Mohr  –  Coulomb-ovoj hipotezi za granično stanje ravnoteže:  

 c      tg  

(1)

gdje je: c’ i ’ – parametri čvrstoće na smicanje ’ – efektivni normalni napon.

Najčešće se (kod većine metoda) kod proračuna koristi ova linearana zavisnost izmeĎu  i ’ i ravni problem koji zadovoljava graĎevinsku praksu.  Ako unutrašnji  otpor tla u vidu kohezije i trenja nije dovoljan da se suprostavi smičućim naponima nastupit će klizanje po nekoj kliznoj površini unutar tla.

Razni su oblici kliznih ravnina (površina) i zavise od fizičkih i mehaničkih osobina tla, oblika kosine, slojevitosti, vlažnosti, vanjskog opterećenja i td. Stabilnost kosine ili padine definiše faktor sigurnosti Fs ili F (susreću se u literaturi obje oznake) koji predstavlja broj kojim je potrebno redukovati stvarnu čvrstoću na smicanje ( st) kako bi uslov loma bio zadovoljen na površinama ili zonama loma,  m   m 

  st   F  s

   F  s

;  F  s 



1  F  s

  st   m

(2)

c   tg    cm 

c  F  s

i tg  m 

tg    F  s

(3)

Prema tome, faktor sigurnosti je onaj broj za koji treba redukovati karakteristike otpornosti na smicanje u plastičnoj zoni ili na površini klizanja da bi uslov sloma bio zadovoljen.  Ako je Fs < 1 tada je padina ili kosina nestabilna,  Ako je Fs > 1 tada je padina ili kosina stabilna. Ovo predstavlja teoretsku granicu, izraženu  kroz kvantitativnu ocjenu, koja odvaja područje stabilnosti od područja nestabilnosti..

Zahtjevani faktor sigurnosti obično je veći  od 1 i zavisi od stanja napregnutosti kliznog tijela i značaja objekta. Na zatjevani faktor sigurnosti utiču:

•Vrsta objekta, •Obim i kvalitet izvedenih istražnih radova, •Primjena metoda proračuna stabilnosti.

4. SILE NA KOSINI Sile koje se javljaju na kosini su:

• gravitacione sile, • sile uzgona, • sile strujnog pritiska, • porni pritisak, nastao promjenom totalnih napona, • vanjske sile od vanjskih opterećenja. 4.1. Gravit acio ne sile

Težina vlastite zapremine odnosno mase kliznog tijela računata na 1 m’ širine klizišta. W   V   g     V    

(4)

Za suho tlo:  = (1-n)sg

Za vlažno tlo:  = (1-n)sg +nSr vg Sr  – stepen zasićenosti uzorka, dobija se u laboratoriji i nalazi se u geomehaničkom elaboratu.

4.2. Sile uzgo n a Voda u porama tla, u toku svog kretanja, izaziva dvostruke posljedice:

• ispod nivoa vode, pored sila gravitacije, djeluje u tlu na uronjene čestice pritisak po  Arhimedovom zakonu,

• tok vode sa većeg na niži potencijal izaziva hidrodinamičke sile.  Ako su čestice tla uronjene u mirnu vodu smanjuje se intenzitet sile gravitacije. Kada voda teče kroz tlo pojavljuje se i kosa komponenta, koja skreće silu mase svakog dijela zapremine tla, a time i rezultante od vertikalnog položaja, ali može i da poveća vertikalnu komponentu ukoliko je strujanje vertikalno.

Pošto sila uzgona djeluje na potopljeni dio kliznog segmenta kod proračuna se uzima da se zapremina potopljenog dijela kosine množi sa vrijednosti uronjene prostorne težine tla, pa je:

W   V 1    g  V 2     g 

(5)

gdje je:

V1 – zapremina nepotopljenog dijela kliznog segmenta, V2 – zapremina potopljenog dijela kliznog segmenta, ’

– gustoća tla koja u obzir uzima i uzgon [ ’=(1-n)(s - v), odnosno ’ = ’·g]

Kapilarno dizanje vode u tlu treba uzeti u obzir prilikom mnogih geotehničkih proračuna:

• kod proračuna  stabilnosti kosina treba uzeti u obzir da je tlo iznad nivoa podzemne vode zasićeno otvorenom kapilarnom i zatvorenom kapilarnom vodom te ima povećanu gustoću, • kod proračuna potpornih zidova ova pojava dodatno opterećuje potpornu konstrukciju. Povećanje gustoće u području  zatvorene i otvorene kapilarne vode može  se opisati izrazom:

    (1  n)    s  S r    w  n

(6)

Sr  – stepen zasićenja, za zonu zatvorene kapilarne vode S r  = 1, a za zonu otvorene kapilarne vode S r  < 1. S r  

w  Gs e

Za područje otvorene kapilarne vode pritisak koji se javlja usljed kapilarnog dizanja je:

uc   w  hi   w  g 

1  S r  2

 h

(7)

gdje je:

h’ – visina zone otvorene kapilarne vode, hi – idealna visina kapilarnog dizanja u zoni otvorene kapilarne vode,

hi 

1  S r  2

 h

Nasipi izraĎeni od sitnozrnog tla posebno su ugroženi od kapilarnog dizanja vode, jer ova pojava može da dovede do odrona kosine nasipa kao posljedice promjene u polju sila. Postavljanjem tzv. drenažnih tepiha u temelju nasipa, moguće je tehnički preduprijediti ovu pojavu. Izgradnjom drenažnih  tepiha od materijala veće  propusnosti (materijal većih pora meĎu zrnima) spriječava se kapilarno dizanje vode.

4.3. Porn i pritis ak

Porni pritisak se javlja u slabo propusnim materijalima u tlu, u području gdje dolazi do promjene totalnih napona usljed dodatnog opterećenja na površini.

Porni pritisak u = f(koeficijent propusnosti, poroznosti, put dreniranja vode kroz tlo). Porni pritisak je fizička i statička pojava koja je promjenljiva u vremenu, usljed pojave konsolidacije tla, i svoju maksimalnu vrijednost dostiže na početku konsolidacije.

Računanje pornog pritiska se obavlja na osnovu promjene glavnih napona 1 i 3, ako i korištenje  tzv. Skemptonovih parametara (prosječni  parametri promjene pornog pritiska) koji se dobijaju laboratorijski (triaksijalno ispitivanje):

u   B 3  A 1   3 

(8)

Slika 6. Porni pritisci na kliznoj masi tla

Slika 7. Model razvoja pornog pritiska i njegova promjena u vremenu

Usljed migracije ili uopšte  kretanja vode u tlu dešavaju  se promjene u tlu iako je ukupno naprezanje u tlu nepromjenjeno. Te promjene se dešavaju  u dodirnim tačkama čestica, zbog promjene pritiska u pornoj vodi. Iz toga se proizilazi da su sile na dodirima čestica  u vezi sa razlikom naprezanja koje nastaje u gravitacionom polju (naziva se totalno naprezanje, totalni naponi) i pornog nadpritiska u vodi (u literaturi se često susreće kao porni pritisak – pritisak vode u porama) izmeĎu čestica tla. Ovo zapažanje čini osnovu za vrlo važan koncept efektivnih naprezanja.

Važan zaključak: tlo, kao višefazni  sistem pod opterećenjem,  teret preuzima djelimično  preko čvrste  faze (skeleta) a djelimično  preko fluida kojim su ispunjene pore. Ovaj princip je prvi definisao Terzaghi (1925.), kao i svojstvo efektivnog naprezanja ’: Svi mjerljivi učinci  promjene naprezanja kao što  su zbijanje, distorzija, čvrstoća, uzrokovani su samo promjenom efektivnih naprezanja. Efektivno naprezanje (napon) je onaj dio ukupnog naprezanja (totalni napona) kojeg prenose čvrste čestice tla (skelet tla).

Slika 8. Uzgon u tlu

Na elemenat A, u zasićenom  tlu, okomito na svaku ravninu elementa djeluje totalno napon  i porni pritisak u. Efektivni napon je definisan kao razlika ova dva činioca:

      u  v   v  u 

  h   h  u 

(9)

(10)

Slika 9. Promjena totalnog naprezanja bez uticaja na tlo

4.4. Strujn i pr itisak U slučajevima proticanja vode kroz tlo javljaju se strujni pritisci. Posljedica strujnih pritisaka su sile strujanja vode koje se moraju uzeti u obzir prilikom proračuna stabilnosti kosine ili padine. Kada voda teče  kroz tlo pojavljuje se kosa komponenta, koja skreće  silu mase svakog dijela zapremine tla, a time i rezultante, od vertikalnog položaja  u neki kosi smjer ili povećava vertikalnu komponentu ako je to strujanje vertikalno.

Tečenje  kroz tlo stvara potencijalno polje, koje u svakoj tački  posmatranog prostora ima odreĎenu vrijednost potencijala. Za praktične primjene numerički  rezultati se prikazuju strujnim mrežama,  koje omogućuju da se u svakoj tački posmatranog prostora odredi, dovoljno tačno, veličina pornog pritiska, što  uz poznatu gustinu tla, omogućuje odreĎivanje  efektivnog naprezanja, kao i strujnih sila. U tom slučaju  strujno polje je prekriveno (strujnom) mrežom  koja se sastoji od ekvipotencijala i strujnica. Ekvipotencijale su linije koje spajaju tačke u strujnom polju koje imaju iste potencijale (h). Ekvipotencijale se crtaju tako da izmeĎu  dvije susjedne ekvipotencijale uvijek postoji  jednak pad potencijala. Strujnice su linije koje čije tangente su u svakoj tački usmjerene u smijeru tečenja vode.

Područje izmeĎu svake dvije strujnice naziva se strujnom cijevi (voda nikada ne izlazi iz strujne cijevi preko njene granice; protok duž  svake strujnice je konstantan  –  zakon održanja mase). Strujnice se crtaju tako da je u svakoj strujnici protok jednak. U izotropnim sredinama, povoljno je širinu strujne cijevi izabrati jednaku razmaku susjednih ekvipotencijala na tom mjestu čime se formira kvazikvadratična strujna mreža.

Slika 10. Strujna mreža

Kada su u pitanju kosine i ukoliko su približno  poznati granični  uslovi kretanja vode kroz posmatrano tlo mogu se, za orijentacone proračune,  pretpostaviti pojednostavljenja na lameli, na kojoj je moguće proračunati  vrijednost sile strujnog pritiska za posmatrani klizni segment tj. zakrivljena strujna mreža  se zamjenjuje pravolinijskom sa pretpostavkom da voda teče paralelno sa nagibom posmatrane kosine. Gradijent pritiska je hidrostatski pritisak na jedinicu dužine linije proticanja:

i p 

h   w l 

(11)

 A hidraulički gradijent :

i

i p

 w



h l 

(12)

Slika 11. Djelovanje strujnog pritiska i uzgona na kosini

i

dh dx



dx  sin   dx

  sin  

(12)

Zbog pojednostavljenja, gradijent pritiska jednak je u svakoj tački presjeka kroz kosinu:

gdje je: F – površina popriječnog presjeka kliznog segmenta.

 Ako se težina segmenta računa sa totalnom prostornom težinom tla uključujući i težinu vode W, tada je veličina  uzgona, koji djeluje kao hidrostatski pritisak na segmentu izmeĎu dva susjedna ekvipotencijala jednak:

Pošto je:

imamo da je:

5. METODE PRORAČUNA STABILNOSTI KOSINA Značajna,  ako ne i ključna  faza, u izučavanju  stabilnosti kosina je odreĎivanje  faktora sigurnosti. Potreba za što  preciznijom kvantitativnom mjerom sigurnosti dovela je do razvoja različitih metoda te procjene, koje su se zasnivale na različitim principima (ranije su spomenuti). U geotehnici se najčešće koriste metode granične ravnoteže. Pored toga, proračun stabilnosti kosina može se obavljati i preko analize napona i analize ravnoteže sila (Nonveiller, 1981.)

Prve radove objavio je Coulomb, pretpostavljajući ravne površine klizanja. Nakon toga se pretpostavlja kružno-cilindrična površina  klizanja a klizno tijelo se tretira kao jedno homogeno tijelo. Ovakav pristup rješavanju  problema nestabilnosti kosina definisao je tzv. rezultantne metode. Ukoliko bi se cjelokupno klizno tijelo podijelilo na odreĎeni broj lamela tada se radi o tzv. metodi lamela.

Proračun  kod rezultantnih metoda može  da bude sproveden grafički  (Fellenius, 1927., 1936.) ili grafo analitički (Bishop, 1955.) Sljedeće unaprijeĎenje u razvoju metoda procjene stabilnosti kosine je obuhvatilo metode koje imaju proizvoljnu površinu  loma ali linearan kriterij loma. Prof. Sarač je predložio metodu proračuna za nelinearan kriterij loma (1974.)

5.1. Metode granične ravnoteže Kod ovih metoda se polazi od pretpostavke da se cijelokupna klizna masa (tijelo) kreće duž stvarne ili pretpostavljene klizne ravnine, i kao takva cjelina se procjenjuje u pogledu njene stabilnosti. Izbor oblika i mjesta kliznih ravnina vrši se na osnovu geotehničkih istražnih radova ali i po intuiciji i iskustvu. Obično se uzima da su klizne površine oblika pravca, kruga ili spirale ali se takoĎer   uzimaju i proizvoljnog oblika a takvi slučajevi se rješavaju metodama, iz ove grupe, koje su prilagoĎene za slučajeve proizvoljnih kliznih ravnina. U odnosu na kliznu površinu odreĎuje  se odnos izmeĎu  aktivnih sila i sila otpora, koji predstavlja stepen stabilnosti kosine. Ovaj stepen stabilnosti se u literaturi susreće  pod terminom koeficijent sigurnosti ili faktor sigurnosti i najčešće se obilježava oznakom Fs. S obzirom da odreĎivanje  klizne ravnine predstavlja najveći  problem i izazov, jer u velikom broju slučajeva  to nije eksplicitno jasno, kao najvjerovatnija klizna ravnina, od više provjerenih, usvaja se ona koja ima minimalan faktor sigurnosti i naziva se kritična  klizna ravnina.

Generalno se mogu izdvojiti dva postupka analize stabilnosti klizne mase, za pretpostavljenu kliznu ravninu: 1.Analiza ravnoteže se obavlja za cjelokupnu kliznu masu, pa se ta grupa metoda naziva  još i rezultantne metode. Najpoznatije metode iz ove grupe su: -Metoda kruga trenja, -Logaritamska spirala, -Grafička metoda. 2.Ako se analiza ravnoteže obavlja tako što se cjelokupno klizno tijelo najprije podijeli na odreĎeni broj lamela, a zatim se ocjenjuje ravnoteža svake lamele posebno, onda se radi o grupi metoda koje se nazivaju metode lamela. Ova grupa metoda može da se radi grafički ili analitički. MeĎu analitičkim metodama lamela najčešće korištene u inženjerstvu su: •Švedska metoda (Fellenius, 1927.), •Janbu-ova metoda (1954.), •Bishop-ova metoda (1955.), •Uprošćena Janbu-ova metoda, •Morgenstern-ova i Price-ova metoda (1965.), •Nonveiller-ova metoda (1965.), •Spencer-ova metoda (1964. i 1973.)

Specifičnost metoda lamela je uvoĎenje u račun meĎulamelarnih  sila na graničnim površinama susjednih lamela i meĎusobno su iste.

5.2. Osnove proračuna metodama granične ravnoteže Uzima se klizna ravnina kružnog  oblika ili oblika logaritamske spirale duž  koje su vrijednosti c i  konstantne veličine. Na ovoj pretpostavci je zasnovana i poznata metoda kruga trenja (Taylor, 1937., 1948.).

Proračun prema metodi kruga trenja može se primjeniti i u slučajevima kada čvrstoća na smicanje ne zavisi od normalnih napona, kada je sistem statički odreĎen,  pa je f   = c i  = 0.

Za slučajeve nekoherentnih materijala, kod kojih su parametri c i  jednaki nuli, smičući naponi su u zavisnosti od normalnih napona, pa je za proračune  potrebno poznavati i promjenu odnosno raspodjelu normalnih napona duž ravnine loma. U takvom slučaju se daje pretpostavlja raspodjela normalnih napona kako bi bili zadovoljeni uslovi ravnoteže. Kao najprihvatljivija se uzima sinusoidna raspodjela, za koju su vrijednosti normalnih napona na krajevima klizne ravnine jednaki nuli. Ovu raspodjelu normalnih napona prate i koeficijenti k, zavisni od srednjeg ugla klizne kružne ravnine 0, sa kojima se premnaža radijus kruga trenja Rsin. Kod koherentnih materijala (c ≠ 0 i  ≠  0) faktor sigurnosti se nalazi, primjenom ove metode, preko iterativnog postupka.

Kod metode lamela imamo statički neodreĎen sistem, pa je potrebno, u toku analize sila koje djeluju na svaku pojedinačnu lamelu, uvesti i odreĎene pretpostavke. Te pretpostavke se najčešće odnose na položaj i vrijednosti meĎulamelarnih sila.

Slika 12. Šema proračuna metodom lamela: a) podjela kliznog tijela na lamele, b) raspored djelujućih sila na proizvoljnoj lameli

Na proizvoljno odabranoj lameli djeluju poznate i nepoznate statičke veličine. Poznate statičke veličine su: • težina lamele – Wi, • vertikalno opterećenje – p, P, • rezultanta poznatih horizontalnih sila (obično seizmičke) – Si, • rezultanta pritiska vode na meĎulamelarnim površinama – iWw, • rezultanta pritiska vode na bazu lamele  – iWu.

i-1Ww,

Nepoznate statičke veličine su: • rezultanta efektivnih normalnih pritisaka (napona) na bazu lamele, sa odstojanjem c i – N’i,

• sila smicanja koja djeluje na bazi lamele  – Ti,

,

• sila normalnog, bočnog  efektivnog pritiska na vertikalne granične površine  lamela (bočne meĎulamelarne sile), sa odstojanjima di-1, di – Ei-1, Ei, • vertikalne meĎulamelarne sile – Yi-1, Yi. Za svaku pojedinačnu lamelu potrebno je da budu ispunjene tri statička uslova ravnoteže: H = 0, V = 0 i M = 0. Problem se javlja za ispunjenje uslova M = 0, jer je potrebno poznavati mjesto djelovanja pojedinih sila.

Broj nepoznatih veličina  je 2n + 2(n  –  1) + n = 4n  –  1, odnosno na jednoj lameli su to veličine: N’i, Ti, E’i, Y’i  i F. Na svakoj meĎulamelarnoj površini,  od 1 do n  –  1, javlja se samo po jedna nepoznata meĎulamelarna sila, E’i i Y’i.

TakoĎer,  za rješenje problema postoje dva uslova H = 0 i V = 0 i veličina smičuće sile Ti, što nam sada daje 2n + n = 3n uslova. Odnos nepoznatih veličina  i broja uslova daje nam statički neodreĎen  sistem osim za n = 1. Da bi se ovaj besmisao riješio  mnogi autori uvode odreĎene  dodatne uslove (pretpostavke) o meĎulamelarnim  silama, kojima se obezbjeĎuje  dodatnih n  –  1 uslova, čime sistem postaje statički odreĎen.

Kod grafičkih metoda primjenjuje se ravnoteža sila, dok se u analitičkim metodama traži da bude zadovoljen i uslov ravnoteže  momenata. U tom slučaju,  uz nepoznate statičke veličine  kao nepoznate se javljaju i odstojanja tj. udaljenosti pojedinih statičkih veličina (sila): ci za silu N’i i di za silu E’i. Sada je broj nepoznatih (4n  – 1 + n + n  – 1) = 6n  – 2 a broje  jednačina 3n + n = 4n, što opet definiše  sistem kao statički neodreĎen, a pa su nužni dodatni uslovi (pretpostavke ) za sile.

 Analitičke  metode se razlikuju meĎusobno  po uvedenim pretpostavkama koje izjednačavaju  broj nepoznatih i broj  jednačina  sistema, odnosno sistem čine statički odreĎenim.

Zajedničko  za sve analitičke  metode je pretpostavka da sila N’i  djeluje na polovini baze lamele. Razlike u pogledu pretpostavki za pojedine metode su sljedeće: • Janbu je uveo pretpostavku o položaju  sile E’i, odnosno o položaju  linije pritisaka (1954.), • Nonveiller je uveo pretpostavku o veličini sile Y (1965.), i jednu nepoznatu , • Morgenstern i Price su uveli pretpostavke o nagibu sile kojom se definiše odnos sile Y i E:

- nepoznata konstanta, f(x) – neka unaprijed odreĎena funkcija.

Na ovaj način su zadovoljeni rubni uslovi i uslovi ravnoteže za cijelo klizno tijelo.

5.3. Principi proračuna rezultantnim metodama U slučaju  kada se analizira ravnoteža  klizne mase kao jedne cjeline i uz to se zanemare meĎulamelarne  sile, a pretpostavi raspodjela normalnih napona (N i) na kliznoj ravnini, imamo tri uslova ravnoteže i jednu nepoznatu veličinu u vidu koeficijenta (faktora) sigurnosti F (Fs).

U ovakvom slučaju, broj nepoznatih i broj  jednačina sistema, preko koga se te nepoznate dobijaju, mora biti izjednačen,  pa se zbog toga raspodjela normalnih napona na kliznoj ravnini pretpostavlja sa dva nepoznata parametra (rijetko se primjenjuju u ovom obliku).

Inače  se rijetko koriste za heterogeno tlo i za proizvoljne oblike kliznih ravnina zbog komplikovanog postupka. Uglavnom se koriste za klizne ravnine kružnih  i spiralnih oblika (logaritamska spirala) uz pretpostavku da su parametri čvrstoće  na smicanje na cijeloj ravnini lizanja konstantne veličine. Najpoznatija metoda, koja je zasnovana na ovim pretpostavkama je tzv. metoda kruga trenja.

5.3.1. Metoda (pomoćnog) kruga trenja Metodu je objavio Taylor 1948. Koristi se teorija graničnih  stanja plastične ravnoteže. Za materijale koji ne dilatiraju pri deformacijama, kao što su pijesak i glina srednje zbijenosti, odgovara kružnocilindrični  lom. S obzirom da normala u bilo kojoj tački  klizne ravnine prolazi kroz težište kruga, to i rezultanta normalnih napona, bez obzira o kojoj raspodjeli se radi, prolazi kroz težište kruga.

Slika 13. Djelujuće sile na kliznom tijelu i poligon sila

Na kliznoj ravnini djeluju naponi  i  preko kojih se ostvaruje ravnoteža kliznog tijela. P – rezultanta poznatih sila koje djeluju na kliznu masu (tijelo) = W + porni pritisak (U) + vanjske sile (p, q) Normalne i smičuće  napone možemo  predstaviti preko rezultanti N i T, gdje ćemo najveću silu T dobiti za slučaj loma na kliznoj ravnini, kada je  = f . Kako bi bili zadovoljeni uslovi ravnoteže to rezultanta otpornosti tla (Q), mora sa silom P imati isti pravac i intenzitet ali obrnut smjer, koja se rastavlja na dvije komponente: normalnu (N) i tangencijalnu (T). Zbog ove osobine normalna sila otpora mora proći kroz središte kruga i sjeći rezultantu aktivnih sila P i tangencijalnu komponentu T (Tc i T  kod koherentnog materijala sa c > 0 i  > 0) u tački na odstojanju R c i R, koje se posebno izračunaju. Sa slike je važno uočiti sljedeće: Suma smičućih sila po luku  je .

i u smjeru AB jednaka

Kod ove metode potrebno je od rezultante ukupnog smičućeg napona naći  dio koji se  javlja kao posljedica kohezije, prema obrascu:

 Ako se pretpostavi faktor sigurnosti za koheziju F c, onda je mobilisana kohezija: pa je:

Sila Tc je paralelna duži , a napadna tačka te sile odreĎena je rastojanjem OC = R c, iz uslova da je suma momenata oko tačke O jednaka nuli,

odakle je :

odnosno:

Rezultanta normalnih napona i djela smičućeg napona koji se odnosi na trenje označena je sa Q’. Ova sila Q’ djeluje na elementarne površine kružnog luka i sa normalnom na kružni luk (pravac koji spaja centar kruga) zaklapa ugao m, tako da tangira krug trenja r (Rsinm).

Slika 14. Kružna klizna ravnina sa silama na njoj i krugom trenja (za  = 0)

Pri tome je:

Očekivano je pretpostaviti da će rezultanta svih elementarnih sila Q’i tangirati krug trenja r = Rsinm. TakoĎer,   potpuno je očigledno  da rezultanta sila Q’1 i Q’n  mora proći  kroz tačku D, presječnu tačku pravaca ove dvije sile, te zbog toga neće tangirati krug trenja. MeĎutim, pošto  ova pretpostavka nije u potpunosti tačna  potrebno je uvesti korekcioni faktor “k” kojim se redukuje krug trenja, pa se dobija da je r = kRsin m. Pošto smičući  napon zavisi od normalnog napona n koeficijent “k” se može pronaći samo ako se pretpostavi neka raspodjela napona na kliznoj ravnini. Taylor (1948.) je ispitivao promjenu veličine  koeficijenta “k”  u zavisnosti od centralnog ugla 2 0  za dvije raspodjele: - ravnomjernu normalnu raspodjelu (uobičajeno kada je  = 0 i c  0), - sinusoidnu normalnu raspodjelu (uobičajno kada je   0 i c = 0).

Obično se preporučuje sinusoidna raspodjela kod koje je u tačkama A i B napon n = 0 a na sredini luka on ima maksimalnu vrijednost.

Koristeći se dijagramom koji je dao Taylor, moguće je naći odnos (koeficijent “k”) izmeĎu polupriječnika Rc i R (Rc/R), odnosno R i R (R/R).

Slika 15. Zavisnost koeficijenta “k” od centralnog ugla 2 0: a) za ravnomjernu raspodjelu normalnih napona, b) za sinusoidnu raspodjelu normalnih napona (Taylor 1948.)

Procedura rješavanja zadataka metodom (pomoćnog) kruga trenja:

•Pretpostave se minimalno tri vrijednosti za faktor sigurnosti F c, tj. 1Fc, 2Fc i 3Fc; •Izračunaju se odgovarajuće rezultante sile kohezije Tc, tj. 1Tc, 2Tc i 3Tc; •Izračunate sile kohezije slože se sa silom P u poligon sila čime se odrede pravci i veličine sila Q’1, Q’2 i Q’3; •Izračunate  sile Q’  se nanose iz tačke  presjeka sila P i Tc, na kliznoj ravnini, čime se definišu pomoćni krugovi trenja sa polupriječnicima: r 1= Rsin1m, r 2= Rsin2m, r 3= Rsin3m, iz kojih je moguće izračunati vrijednosti za 1m, 2m i 3m; •Vrijednosti faktora sigurnosti za trenja 1Fc, 2Fc i 3Fc dobijaju se iz izraza(23) tj.:

•Traženi faktor sigurnosti F = F c = F može se dobiti iz dijagrama zavisnosti F c i F, koji su u hiperboličnoj vezi, kako je prikazano na dijagramu Slike 16. Tažena veličina F se nalazi na mjestu presjeka linije hiperboličke zavisnosti i pravca za koji je F c = F . Napomena: ovaj proračun može da se koristi i u slučaju kada je c = 0 i djelimično uronjenu padinu ili kosinu , s tim da se uzima u obzir težina zasićenog i uronjenog tla, porni pritisak i uzgon vode.

Slika 16. OdreĎivanje faktora sigurnosti za koherentan materijal metodom (pomoćnog )

5.3.2. Metoda logaritamske spirale Ravnina loma u obliku logaritamske spirale veoma dobro odgovara zbijenim nekoherentnim materijalima i jako prekonsolidiranim glinama. Kod tih materijala, prilikom klizanja, nastaje dilatiranje materijala u području  sloma pri porastu deformacija, a ova pojava se upravo dešava sa segmentom klizanja na logaritamskoj spirali.

Jednačina spirale, koja predstavlja kliznu ravninu u ovom slučaju data je izrazom:

gdje je: r 0 – najmanji polupriječnik (na gornjoj ravnini kosine),  - ugao izmeĎu r 0 i pola spirale.

Slika 17. Klizanje po ravnini oblika logaritamske spirale: a) sile na kliznoj ravnini, b) poligon

Ova spirala se naziva i “geomehanička”  spirala, sa karakteristikom da je u svakoj tački spirale ugao izmeĎu  pola spirale i normale konstantan i jednak uglu m, koji je jednak mobilisanom uglu čvrstoće  na smicanje (uglu unutrašenjeg  trenja) materijala u kome je izgraĎena kosina. Sve parcijalne sile Q’n  na kliznoj ravnini, koje su rezultanta normalnih napona i napona smicanja od trenja (za slučaj c > 0 i  > 0), kao i ukupna rezultanta ovih sila, prolaze kroz pol spirale. Zbog toga je momenat oko pola spirale jednak nuli. Tako će opterećenje segmenta , uz rezultantu sila P koje na njega djeluju, izazvati slom na kosini ako P prolazi kroz pol slirale O. Kada je rezultanta pomaknuta prema nižem  dijelu kosine, faktor sigurnosti kosine je F s > 1. On se može izračunati približno tako da se izmejri ugao izmeĎu normale u tački c gdje rezultanta aktivnih sila P siječe ravninu loma (klizanja). Za tačku c mogu se iz poligona sila naći vrijednosti za obje komponente napona, normalnu N i tangencijalnu T, T, prema izrazu:

a komponentu potrebnog tangencijalnog otpora prema iz razu:

Pošto  je faktor sigurnosti definisan kao odnos napona na smisanje i otpornosti na smicanje, to je faktor sigurnosti definisan izrazom:

Napomena: Ovakav proračun je  približan jer komponente N i T ne sijeku silu Q’ u tački  c, nego nešto  dalje od spirale, u tački  c’,  a mjesto te tačke  zavisi od raspodjele normalnih napona što  se ne može  utvrditi iz statičkih  uslova ravnoteže. Bez tog uslova dobija se nešto veći   ugao    i manji F s  prema  jedančini   (28). Ova greška  je utoliko veća  ukloiko je spirala dublja i jače zakrivljena. Za rješenje  zadatka i ovdje rezultantu smičućeg  otpora dijelimo na komponentu koja pripada koheziji Tc i onu koja pripada trenju i normalnom naponu T . Iz definicije faktora sigurnosti, te prethodno rečenog u vezi komponenti smičućeg otpora i činjenice da se faktor sigurnosti ne može odrediti jednoznačno, imamo:

a položaj komponente Tc odreĎen je izrazom:

 Ako se zna da je površina sektora spirale izmeĎu krajnjih polupriječnika data izrazom:

a dužina luka AB izrazom:

onda se može polupriječnik r c izračunati i preko izraza:

Kada su poznati ovi podaci provodi se iterativni postupak za proračun  faktora sigurnosti, sličan kao u prethodnom slučaju (Metoda pomoćnog kruga trenja): •Pretpostave se tri vrijednosti za F c i na osnovu izraza (29) izračunaju tri vrijednosti Tc, •Iz poligona sila se očitaju vrijednosti za sile Q’ za odgovarajuće vrijednosti Tc, •Sile Q’ sa normalnom na spiralu u tački c zatvaraju ugao  koji se očitavaju i na osnovu kojih se računaju vrijednosti za F , prema izrazu:

•Za dobijene vrijednosti nacrta se grafik i odredi vrijednost F s pomoću grafičke interpolacije.

5.4. An aliza stabiln os ti za ravn e klizne ravnin e

5.4.1. Klizanje po beskonačnoj kliznoj ravnina Ovakav oblik klizne ravnine često  je prisutan kod terena koji imaju značajnom  zonom raspadanja stijene ili tla.

Slika 18. Kosina sa kliznom ravninom paralelnom sa nagibom kosine

U ovakvim slučajevima moguće  je kliznu masu analizirati, u pogledu stabilnosti, kao beskonačnu kosinu, kod koje su, osim krajeva koji se zanemaruju, naponsko –deformacioni uslovi isti za cijelu kliznu ravninu.

Napomena: Zanemarena je razlika između  zapreminske težine tla ispod i iznad vode, tako što je usvojeno da je iznad nivoa vode zapreminska težina vodozasićenog  tla.

Slika 19. Djelujuće sile na lameli

Rezultante meĎulamelarnih sila Zi i Zi-1 su paralelne površini terena, pa tako i kliznoj ravnini,  jednakog su intenziteta i suprotnog su smijera. Iz uslova ravnoteže sila u pravcu paralelnom kliznoj površini imamo:

gdje je,

S obzirom da od ranije znamo da je:

Slijedi da je faktor sigurnosti iskazan kroz izraz

Iz uslova ravnoteže sila u upravnom pravcu na kliznu ravninu imamo:

Kako je:

uvrštavanjem izraza (42) u izraz (40) dobija se opšta jednačina faktora sigurnosti beskonačne kosine:

Za drenirane uslove u tlu prethodni izraz je iskazan sa efektivnim vri jednostima parametara otpornosti:

Izraz (44) doživljava odreĎene modifikacije za specijalne slučajeve kao što su:

Slika 20. Strujanje paralalno sa beskonačnom kosinom

Iz jednačine (49), za uslov F s = 1,0 dobija se:

- zapreminska

težina potopljenog tla

U slučaju kada imamo čvrstoću  tla izraženu preko ukupnih paramatera otpornosti, a to je slučaj nedreniranih uslova, izraz (43) ima oblik:

5.4.2. Culmann-ova metoda za analizu stabilnosti kosine ravne klizne ravnine

Slika 21. Klizno tijelo i djelujuće sile za Culmann -ovu metodu Pretpostavke: • Lom nastaje duž klizne površine koja prolazi kroz nožicu kosine i zaklapa ugao  sa horizontalom, • Parametri otpornosti duž  klizne ravnine su jednaki (za proračun  se uzima njihova prosječna vrijednost).

Težina kliznog tijela data je izrazom:

Na kliznoj ravnini otpor se javlja kroz dvije komponente: normalnu tangencijalnu otpornu silu S.

otpornu silu P i

Na osnovu uslova ravnoteže sila u pravcu paralalnom kliznoj ravnini imamo:

tako da je faktor sigurnosti dat izrazom

 Ako je iz uslova ravnoteže sila po pravcu upravnom na kliznu ravninu

faktor sigurnosti je konačno

Izraz (56) važi za proizvoljan nagib klizne ravnine, ali je najvažniji za onu vrijednost ugla  koji definiše kritičnu kliznu ravninu. Koristeći se varijacionim računom može se dobiti izraz za odreĎivanje tog kritičnog ugla .

Culmann je došao  i do zavisnosti izmeĎu  zapreminske težine,  kohezije, visine kosine, i faktora sigurnosti, a tu zavisnost je definisao preko bezdimenzionalnog koeficijenta stabilnosti, preko izraza:

Vrijednost koeficijenta stabilnosti zavisi od ugla unutrašnjeg trenja i ugla nagiba kosine i dat  je u narednoj Tabeli 1. Korištenjem ove tabele može se na jednostavan način izvršiti analiza stabilnosti kosine. Ova metoda se koristi kod analize stabilnosti strmih homogenih kosina sa uglom nagiba  75°. Kod kosina blažih nagiba klizna ravnina odstupa od pretpostavke da je ravna, pa je i metoda nepouzdana. Často  se primjenjuje kod kosina proizvoljnog nagiba sa predisponiranom i ravnom kliznom ravninom.

Tabela 1. Ugao nagiba kosine  [°]

Ugao unutrašnjeg trenja  [°]

Koeficijent stabilnosti Ns

90

0

0,250

75

60

45

30

15

5

0,229

15

0,192

25

0,159

0

0,192

5

0,171

15

0,134

25

0,102

0

0,144

5

0,124

15

0,088

25

0,058

0

0,104

5

0,083

15

0,049

25

0,023

0

0,067

5

0,047

15

0,018

25

0,002

0

0,003

5

0,015

15

0,004

U uslove ravnoteže treba uključiti sve spoljne uticaje, pa tako, ukoliko imamo porni pritisak izraz za faktor sigurnosti,u tom slučaju, ima oblik:

5.5. Analiza stabilnosti za kružne klizne ravnine 5.5.1. Grafička metoda lamela Postoji nekoliko metoda proračuna  stabilnosti kosina, koje pripadaju grupi grafičkih  metoda lamela, ali je najpoznatija Lowe  – Karafiath-ova metoda (ova metoda se svrstava kod nekih autora i u grupu grafičkih metoda lamela za proizvoljne odnosno složene klizne površine). Sve ove metode zasnivaju se na ravnoteži  sila a meĎusobna  razlika im je u pretpostavci nagiba meĎulamelarnih sila. Prednost metode je što omogućuje  analizu pretpostavljenih kliznih ravnina proizvoljnog oblika, odnosno složenog oblika. Postupak počinje podjelom kliznog tijela, po pretpostavljenoj kliznoj ravnini, na “n” lamela, a zatim se ispituje ravnoteža svake lamele posebno. Ovaj postupak je moguće  provesti ispitujući ravnotežu  sila po x i y osi dok se ravnoteža momenata ne ispituje, ali se mora voditi računa da ovakav način ima svoje nedostatke. U ovom slučaju,  cijeli sitem, sa n lamela, ima (4n-1) nepoznatu a samo 3n uslova, pa se mora uvesti (n-1) pretpostavki.

Statička neodreĎenost problema se prevazilazi pretpostavkom (n-1) nagiba meĎulamelarnih sila tj. rezultante verikalne i horizontalne meĎulamelarne sile.

Slika 22. Grafičko ispitivanje ravnoteže sila

Problem se grafički rješava sukcesivno, idući od lamele do lamele. Nagib rezultantne meĎulamelarne  sile obično  se uzme kao srednji nagib terena i dna lamele, dok se veličina ove rezultantne meĎulamelarne sile dibije iz poligona sila. U postupku analize stabilnosti pretpostavlja se veličina  faktora sigurnosti sa kojim se redukuju parametri otpornosti na smicanje kliznog tijela.

Ovako definisani parametri koriste se za crtanje probnog poligona sila. Postupak grafičkog rješavanja  problema počinje  od gornje ili donje lamele i nastavlja se sukcesivno.

Bočna  rezultanta meĎulamelarna  sila Zi,  dobijena u prethodnoj lameli, prethodnom koraku rješavanja,  ista je i za narednu lamelu, naredni korak rješavanja,  s tim da ima suprotan predznak.

5.5.2. Analitičke metode lamela

5.5.2.1. Švedska metoda Poznata je još kao i Fellenius -ova metoda (1927.) i najstarija je metoda lamela.

Slika 23 . Klizno tijeli i djelujuće sile na njemu

Na jednoj prizvoljnoj lameli “i” mobilisana čvrstoća smicanja je data izrazom:

To čini da je:

Kod ove metode pretpostavljeno je da su meĎulamelarne sile Z paralelne sa osnovom lamele. U opštijem  pristupu se podrazumjeva da je samo razultanta svih meĎulamelarnih sila, na jednoj lameli, paralelna sa bazom lamele.  Ako se postavi uslov ravnoteže sila u pravcu upravnom na osovinu lamele dobija se:

Za uslov ravnoteže momenata, za cjelokupno klizno tijelo (sve lamele), u odnosu na centar rotacije O imamo:

Na osnovu izraza (63) imamo:

Prema tome, izraz za faktor sigurnosti, uzimajući u obzir i izraz (64), je:

Pošto  se u ovom slučaju  radi o eksplicitnoj metodi, njeno rješavanje je moguće  i bez korištenja računara. Karakteristika ove metode je da ona zadovoljava samo jedan uslov ravnoteže,  globalnu ravnotežu momenata oko centra rotacije. Napomena: Usvojenom pretpostavkom o pravcu međulamelarnih  sila nije zadovoljen aksiom o jednakosti akcije i reakcije na spoju između lamela, pa je stoga prisutna greška kod vrijednosti faktora sigurnosti. Najčešća greška je reda veličine 10%, ali treba imati na umu da ona može  da bude i reda veličine  50%, kod dubokih kliznih ravnina i visokog  pornog pritiska. Vrijednosti faktora sigurnosti koji se dobije koristeći   se ovom metodom su konzervativne , što znači  da su na strani sigurnosti.

Može  se koristiti i kod složenih  kliznih površina i izduženih  kliznih tijela, sa zadovoljavajućom tačnošću

Slično  kao kod Culmann-ove metode i ovdje se može  definisati koeficijent stabilnosti N s, koji se koristi, kod homogenih kosina, za odreĎivanje  minimalnog faktora sigurnosti, izrazom:

Ugao nagiba kosine

( °)

Ugao unutrašnjeg trenja

(°)

Ns

90

0 5 15 25

0,261 0,239 0,199 0,165

75

0 5 15 25

0,219 0,196 0,154 0,118

60

0 5 15 25

0,191 0,165 0,120 0,082

45

0 5 15 25

0,170 0,141 0,085 0,048

30

0 5 15 25

0,156 0,114 0,048 0,012

15

0 5

0,145 0,072

5.5.2.2. Bis ho p-ova po jedno stavljena m etoda

Ova metoda se naziva pojednostavljenom jer je predpostavljeno da su meĎulamelarne sile horizontalne a da su smičuće meĎulamelarne sile (vertikalne) jednake nuli.

Slika 24. Djelujuće sile kod pojednostavljene Bishop -ove metode

Relacija izmeĎu sila S i i Pi definisana je Coulomb- Mohr-ovim uslovom i data je izrazom:

Iz uslova vrtikalne ravnoteže sila na proizvoljnoj lameli imamo:

 Ako izraz (70) sredimo, uzimajući u obzir izraz (69), dobit ćemo:

gdje je:

Momenat kliznog tijela oko centra rotacije O je:

 Ako se u izraz (73) uvrsti izraz (69) dobija se:

Napomena: U izrazu (74) treba voditi računa  da se F s  javlja sa obje strane znaka  jednakosti, što metodu čini   implicitnom, pa se stoga rješenje  mora tražiti   sukcesivno sa više aproksimacija, sa unaprijed zadatom tačnošću.

Rješavanje je olakšano ukoliko se koriste računari, mada nije nužno potrebno, jer se do rješenje može doći i korištenjem tabela, i obično sa nekoliko iteracija. Iako je metoda postavljena tako da zadovoljava ograničen  broj uslova ravnoteže,  tj. n  jednačina ravnoteže  vertikalnih sila i jednu  jednačinu ravnoteže  momenata , ona ipak daje dosta dobra rješenja  (vrijednosti faktora sigurnosti), koja se od tačnih rješenja razlikuju samo u nekoliko procenata. Zbog ove karakteristike, ova metoda se jako mnogo i koristi u inženjerskoj geotehničkoj praksi. Napomena: tačna rješenja  su ona koja se dobijaju metodama koje zadovoljavaju sve uslove ravnoteže kliznog tijela.

U svojoj izvornoj formulaciji, Bishop je eliminisao silu P i, pa izraz (74) dobija oblik:

Veoma često, u literaturi se umjesto pornog pritiska u i uvodi koeficijent pornog pritiska r u, koji je definisan kao odnos pornog pritiska i ukupnog pritiska, a traži  se za tačke na kliznoj površini.

Slika 25 Koeficijent pornog pritiska r u

Vrijednosti koeficijenta pornog pritiska se kreću u granicama od 0 do 0,5. U ovom slučaju izraz (75) dobija formu:

gdje je:

Obično  se analiza stabilnosti rješava korištenjem računara,  ali ukoliko se analiza obavlja bez korištenja računara tada se najčešće koriste tabele kako bi se došlo do rješenja analize stabilnosti. TakoĎer, u našoj geotehničkoj  praksi najčešće se koristi  jednačina (75), za koju odgovara tabela prikazana na narednoj slici.

Slika 26 Tabela proračuna za Bishop -ovu pojednostavljenu metodu

Postupak proračuna započinje usvajanjem početne vrijednosti za fakor sigurnosti F s = Fs1, što metodu i čini implicitnom. U daljem postupku sukcesivno se, kroz iterativni postupak, dolazi do rješenja  jednačine  (75), odnosno vrijednosti faktora sigurnosti. Taj postupak podrazumjeva da se u svakom narednom koraku, kao početna  vrijednost faktora sigurnosti, uzima ona vrijednost faktora sigurnosti, koja je dobijena u prethodnom koraku aproksimacije. Broj aproksimacija uslovljen je zadanom tačnošću proračuna  faktora sigurnosti, koja se konstatuje u trenutku kada dvije uzastopne proračunata  faktora sigurnosti imaju vrijednosti koje se razlikuju manje od zadate tačnosti (npr. u procentu ili u promilu). Kod ove metode konvergencija je brza i obično se dešava nakon 2 – 3 iteracije. Bishop i Morgenstern (1960.) primjenili su ovu metodu za odreĎivanje  dijagrama stabilnosti, koji važe  za homogene kosine sa jednolikom (homogenom ) raspodjelom pornih pritisaka. U ovom slučaju  se faktor sigurnosti izražava  preko koeficijenta pornog pritiska i preko dva bezdimenzionalna parametra m i n.

m, n – koeficijenti stabilnosti koji su u zavisnosti od nagiba kosine , ugla unutrašnjeg trenja , faktora dubine D i faktora c/ H.

Slika 27 Dijagrami za koeficijente stabilnosti m i n po Bishop-u i Morgenstern-u

Kritična klizna ravnina je ona ravnina za koju je faktor sigurnosti najmanji. Za odreĎivanje kritične  klizne površine potrebno je odrediti faktore sigurnosti za veći  broj kliznih ravnina.

OdreĎivanje odnosno proračun faktora sigurnosti za veći broj probnih kliznih krugova, kako bi se odredila kritična  klizna površina,  bio bi dugotrajan postupak, čime  bi se dovela u pitanje i njegova smisaonost. Obično se vrši  izbor manjeg broja potencijalnih kružnih ravnina za koje se računa  faktor sigurnosti, ali je takav pristup opterećen  pitanjem pouzdanosti dobijenih podataka. Problem odreĎivanja kritične klizne ravnine riješen je kroz primjenu računar  u proračunima, koji omogućavaju  da se u kratkom vremenu provjeri veliki broj probnih kliznih ravnina i izvrši  selekcija najnepovoljnijih odnosno kritičnih  kliznih ravnina (klizne ravnine sa najmanjim vrijednostima faktora sigurnosti).

Proračun  koji koristi računare zahtijeva pripremu ulaznih parametara, obično  u vidu tabela, kao što su: geometrijski podaci karakteristične tačke kosine, granice slojeva i nivoa podzemnih voda, širine lamela, jediničnih težina, parametara čvrstoće, pornih pritisaka i td. Za odabir centra probnih kliznih ravnina postoje odreĎene  metode kojima se definišu granice zone centra i preko koordinata ovi podaci unose u računar .

5.5.2.3. Spen cer-ov a meto da

Kod ove metode statička neodreĎenost  se prevazilazi pretpostavkom o meĎulamelarnim silama, odnosno da je njihov nagib u čitavom kliznom tijelu konstantan.

Slika 28 Djelujuće sile na lameli kliznog tijela i poligon sila

Odnos izmeĎu sila Si i Pi definisan je Coulomb – Mohr-ovim kriterijem:

Iz uslova ravnoteže sila po vertikali dobija se:

SreĎivanjem jednačine (82) a u skladu sa izrazom (81), dobija se:

gdje je:

Iz uslova ravnoteže sila po horizontali dobija se:

Ponovo, sreĎivanjem ovog izraza a u skladu sa jednačinom (81) dobija se:

Spencer je pretpostavio da je nagib meĎulamelarnih sila u čitavom kliznom tijelu konstantan:

 Ako se postavi uslov ravnoteže momenata kliznog tijela oko centra rotacije O dobit će se sljedeći izraz za vrijednost faktora sigurnosti:

U pogledu meĎulamelarnih sila klizno tijelo zadovoljava sljedeće uslove:

Na osnovu jednačina (85) i (88) dobija se sljedeći izraz za faktor sigurnosti:

Postupak analize stabilnosti se, odnosno proračun  faktora sigurnosti obavlja se iterativno: 1.Pretpostavi se da je Xi – Xi-1 = 0. 2.Korištenjem  jednačina  (85) i (86) odreĎuju se meĎulamelarne  sile Ei i Xi  . U toku proračuna smičuće meĎulamelarne  sile zaostaju, za jednu iteraciju, u odnosu ba normalne meĎulamelarne sile, a postupak se provodi primjenom računara. Spencer je postavio dva uslova ravnoteže  i iz njih dobio dvije  jednačine za proračun faktora sigurnosti Fm i Ff . U opštem slučaju  ova dva faktora sugurnosti su različita po vrijednosti. Tu razliku treba ukloniti, a to se radi na način  da se mjenja nagib meĎulamelarnih sila sve dok se ne postigne jednakost ova dva faktora sigurnosti.

Slika 29 Zavisnost faktora sigurnosti F m i Ff  od nagiba meĎulamelarnih sila 

Sa prethodne slike da se uočiti,  da je F m  mnogo manje osjetljiv na promjenu ugla  nego je to slučaj sa Ff .

Spencer-ova metoda je kasnije proširena kao bi se primjenjivala i kod složenih kliznih površina.

5.6. Analiza stabilnosti za složene klizne ravnine 5.6.1. Grafičke metode lamela 5.6.1.1. Metod a k lina

Metoda klina je grafička metoda lamela i jako se često koristi kod analiza stabilnosti čvrstih stijenskih masa. Predložena je od Seed-a i Sultan-a 1967. Klizno tijelo se najčešće sastoji od dvije ili tri lamele, dok kliznu ravninu čine potencijalni ili realni diskontinuiteti.

Slika 30 Klizno tijelo i lamele kod metode klina

Metoda je po mnogo čemu slična  metodi Lowe-a i Karafiath-a, jer se i ovdje sa pretpostavljenom vrijednosti faktora sigurnosti F s1 odreĎuju  redukovane vrijednosti parametara otpornosti na smicanje, a zatim se koriste za crtanje probnog poligona sila. MeĎutim poligon sila se crta odvojeno za svaku lamelu.

Slika 31 a) Klizno tijelo sa djelujućim silama, b) poligon sila za lamelu 1, c) poligon sila za lamelu 2, d) zavisnost meĎulamelarnih sila od faktora sigurnosti

Iz takvih poligona sila se dobijaju vrijednosti za meĎulamelarne sile Z1L i Z1R koje nisu iste, što  je u suprotnosti sa aksiomom jednakosti akcije i reakcije. Posljedica toga je pogrešno pretpostavljen faktor sigurnosti. Zatim se usvaja novi faktor sigurnosti F s2  i ponovo crta poligon sila, iz kojih se ponovo dobijaju vrijednosti za meĎulamelarne sile Z. Na osnovu ove dvije iteracije, kao i na osnovu linearne zavisnosti Z 1 = Z1 (Fs) dobija se faktor sigirnosti F s koji zadovoljava uslov da je:

 Ako se u kliznom tijelu javlja voda, onda se linearna zavisnost odnosi na efektivne meĎulamelarne sile.

Ugao nagiba meĎulamelarnih sila je prosječan nagib površine terena ili srednja vrijednost prosječnog nagiba površine terena i klizne površine.

5.6.2. Analitičke metode lamela 5.6.2.1. Janbu -ova pojedn os tavljena m etoda

Janbu je ovu metodu postavio 1956., u kojoj je pretpostavio da su meĎulamelarne  sile horizontalne.

Slika 32 Klizno tijelo i djelujuće sile kod Janbu -ove pojednostavljene metode

Zavisnost izmeĎu Si i Pi definisana je izrazom:

Iz uslova ravnoteže sila po vretikali dobija se:

Uzimajući u obzir izraz (92) dobija se:

Iz uslova ravnoteže sila koje djeluju u pravcu paralelnom osovini lamele dobija se:

Uzimanjem u obzir izraza (92) i sreĎivanjem izraza (95), dobija se:

 Ako se postavi uslov ravnoteže sila po horizontali dobija se:

Odavde se dobija izraz za odreĎivanje vrijednosti faktora sigurnosti:

Janbu je uticaj meĎulamelarnih smičućih sila definisao preko korekcionog faktora f 0, pa izraz za odreĎivanje vrijednosti faktora sigurnosti, (98), glasi:

Ova metoda je takoĎer   implicitna i vrijednost faktora sigurnosti se odreĎuje sukcesivnim aproksimacijama.

Slika 33 Korekcioni faktor f 0, po Janbu-u

Ova metoda je takoĎer   implicitna i vrijednost faktora sigurnosti se odreĎuje sukcesivnim aproksimacijama. U svojoj originalnoj formulaciji, Janbu je eliminisao silu P i, pa jednačina za odreĎivanje faktora sigurnosti ima sljedeći oblik:

gdje je:

Ova metoda daje konzervativne vrijednosti faktora sigurnosti. Kod plitkih i izduženih kliznih ravnina greške su ispod 10%, dok se kod dubokih kliznih tijela kreću do 15%. Povećanje tačnosti postiže se primjenom Janbu-ove opšte metode.

5.6.2.2. Jan bu -  ova

opšta metoda

Janbu je ovu metodu definisao 1954. Ona zadovoljava sve uslove ravnoteže,  pa se svrstava u tzv. “tačne” metode lamela. Da bi problem učinio statički odreĎenim, Janbu je definisao položaj  potporne linije (geometrijsko mjesto napadnih tačaka meĎulamelarnih sila) meĎulamelarnih sila.

Slika 34 Klizno tijelo i djelujuće sile kod Janbu -ove opšte metode

Kao i kod pojednostavljene metode i ovdje je definisan odnos sila Si i Pi ( na bazi CoulombMohr-ovog uslova) izrazom:

Iz uslova ravnoteže po vertikali dobija se izraz:

Na osnovu ovih dviju  jednačina dobija se:

Postavljanjem uslova ravnoteže u pravcu paralelnom osnovi lamele dobija se:

Na osnovu izraza (102) i (105) dobija se:

Postavlja se uslov ravnoteže momenata i -te lamele u odnosu na središnju tačku osnove te lamele (pretpostavlja se da je širina te lamele tako mala da se u jednačini mogu zanemariti male veličine višeg reda) dobijamo:

Odavde se dobija izraz za vrijednost vertikalne komponente meĎulamelarne sile na i -toj lameli:

Postavljanjem uslova ravnoteže sila po horizontalnom pravcu dobijamo:

Jednačina (109) omogućava nam da doĎemo do izraza za faktor sigurnosti:

Rješenje za Fs se dobija iterativnim postupkom koji se sastoji od sljedećih koraka: •Pretpostavi se (X i – Xi-1) = 0, •Korištenjem jednačina (106) i (108) odrede meĎulamelarne sile E i i Xi (u toku proračuna vrijednosti smičućih (vertikalnih) meĎulamelarnih sila zaostaju za jednu iteraciju u odnosu na normalne (horizontalne) meĎulamelarne sile). Proračun se danas izvodi pomoću računara što ubrzava proces proračuna i metodu čini veoma zgodnom za upotrebu.

Slično kao i kod uprošćene metode, Janbu je eliminisao silu P, pa je onda dobijen sljedeći izraz za faktor sigurnosti:

5.6.2.3. Metod a Morgen stern  – Pric e-a

Morgenstern i Price su 1965. razvili ovu metodu, koja se karakteriše činjenicom da zadovoljava sve uslove ravnoteže kliznog tijela. Ova metoda se uspješno  primjenjuje kod lomova kosina koje se dešavaju po kružnoj  ili složenoj kliznoj ravnini.

TakoĎer, karakteristična  je po pretpostavljenoj vezi izmeĎu  horizontalnih i vertikalnih meĎulamelarnih sila, koja je iskazana sljedećim izrazom:

gdje je: f(x) – funkcija koja definiše zavisnost odnosa X/E duž kliznog tijela, - koeficijent razmjere. Definisanjem funkcije zavisnosti proračun  analize stabilnosti postaje statički odreĎen problem.

Rješavanje  problema započinje  pretpostavkom vrijednosti  i Fs, a nakon toga se iteracijom ove vrijednosti mijenjaju sve dok se ne zadovolje uslovi stabilnosti (ravnoteža) kliznog tijela. S obzirom da se radi o veoma kompleksnom iterativnom postupku, rješavanje zadataka ovom metodom obavlja se isključivo primjenom računara.

Prilikom definisanja funkcije f(x) treba imati na umu da se u kliznom tijelu ne javljaju naponi zatezanja , a da smičuće sile X ne prelaze vrijednosti smičuće čvrstoće tla. TakoĎer, istraživanja su pokazala da veličina faktora sigurnosti nije mnogo osjetljiva na izbor ove funkcije zavisnosti f(x).

Slika 35 Funkcije f(x) koje se koriste u metodi Morgenstern-Price

5.7. Specifičnosti analize stabilnosti kosina u krutoj ispucaloj s t i j en s k o j m a s i Predstavljene metode analize stabilnosti uspješno se koriste kako u tlima tako i kod čvrstih stijenskih masa. Kod ispitivanja stabilnosti čvrstih  stijenskih masa ipak treba voditi računa o odreĎenim specifičnostima  vezanim za stijenu, a prije svega na pojavu diskontinuiteta različitog porijekla. Kod stijeneke mase pojava diskontinuiteta uzrokuje njeno djeljenje na manje ili veće blokovske komade, čije  pokretanje i nestabilnost predstavljaju manifestaciju nestabilnosti takvih kosina. Odnosno, može  se kazati da je pojava diskontinuiteta direktni uzrok nestabilnosti kosina formiranih u stijenskoj masi. Sve to, nadalje, uzrokuje pojavu različitih  mehanizama loma odnosno različitih  pojavnih oblika gubitka stijenske mase sa kosine. MeĎu najjednostavnijim gubicima stijenske mase na kosinama izdvajaju se: •Planarno kretanje, koje predstavlja translatorno kretanje stijenskog bloka po kliznoj ravnini odnosno predisponiranom diskontinuitetu, •Klinasti lom ili klinasto klizanje, koji je u suštini  zapreminski problem i predstavlja translatorno, ili pak u nekim slučajevima  rotaciono kretanje, tetrahedarskog bloka po dvije klizne ravnine odnosno predisponirana i konstitutivna dikontinuiteta klinastog bloka.

Slika 36 Tipovi klizanja u krutim i diskontinualnim stijenskim masama: a) planarno klizanje, b) klinasti lom

Stabilnost pojedinih stijenskih blokova odreĎena  je na osnovu principa granične ravnoteže.

Planarno klizanje se analizira kao problem ravne deformacije, a F s se može  odrediti primjenom Culmann-ove metode za stijenski blok. U slučajevima kada postoji zatezna pukotina i kada je ona ispunjena vodom faktor sigurnosti se dobija po izrazu:

Pri čemu su sila pornog pritiska duž klizne ravnine i rezultanta pritiska vode u tenzionoj pukotini definisane izrazima:

Slika 37 Planarno klizanje pukotinom ispunjenom vodom

sa

tenzionom

Češća pojava nestabilnosti stijenskih kosina je klinasti lom. Analiza stabilnosti predstavlja zapreminski ili trodimenzionalni problem.

Slika 38 Klinasti lom: a) presjek upravan na presječnu  pravu, b) presjek duž presječne prave

U ovom slučaju Fs može da se odredi po sljedećem izrazu:

Kod ovog izraza je pretpostavljeno da je kohezija jednaka nuli i da je ugao unutrašnjeg trenja  isti na obje ravnine klina (diskontinuiteta klizanja). Sile P A i PB odreĎuju se iz uslova horizontalne i vertikalne ravnoteže upravno na presječni pravac:

Iz jednačina (117) i (118) dobija se da je:

Pa je faktor sigurnosti:

5.7. Pov ratn a analiza Osnovni zadatak analize stabilnosti je odrediti F s. U tom slučaju, geomehaničke  otporne veličine su poznate i one predstavljaju ulazne parametre.

TakoĎer, moguće  je na osnovu poznate vrijednosti F s  odrediti otporne parametre tla, koristzeći se analizom stabilnosti ali u inverznom postupku. Ovaj način rada, sa korištenjem inverznog postupka analize stabilnosti, kako bi se dobili otporni parametri tla, naziva se povratna analiza (Chandler, 1977). Povratna analiza vrši se u uslovima kada je već došlo do značajnog pomjeranja klizne mase, odnosno za uslove koji su doveli do klizanja. U takvom slučaju  vrijednost F s  = 1,0 (stanje početka  nestabilnosti) i predstavlja jedinu poznatu vrijednost, a otporni parametri tla se računaju na osnovu nje. Za korektnu povratnu analizu, odnosno za dobijanje realnih vrijednosti smičućih  otpornosti tla, od izuzetnog je značaja tačno reprodukovanje uslova na padini odnosno kosini u trenutku loma (geometrija kliznog tijela, raspored pornih pritisaka i td.) Dobijene vrijednosti parametara otpornosti tla na smicanje, korištenjem  povratne analize, predstavljaju tada relevantne vrijednosti na osnovu kojih se izvode dalji proračuni u procesu projektovanja sanacionih radova.

5.8. 5.8. Prog resivn i lom Kod korištenja metoda granične ravnoteže, za odreĎivanje faktora sigurnosti, pretpostavlja se da mu je ista vrijednost za sve tačke klizne ravnine. Ovim metodama nije moguće  definisati proces nastanka i razvoja loma kosine, već se podrazumjeva da se na kliznoj ravnini simultano dešava  porast napona smicanja do vrijednosti čvrstoće na smicanje, što je veoma rijetko. Za pravilno shvatanje procesa loma neophodno je poznavanje stvarnog naponskodeformacionog stanja na kosini. Na osnovu izvedenih naponsko-deformacionih analiza utvrĎeno  je da postoji značajna promjena veličine napona smicanja duž klizne ravnine. Posljedica toga je pojava da mobilisani naponi smicanja dostižu smičuću čvrstoću  tla u pojedinim dijelovima klizne ravnine (ranije nego u ostalim), u kojima nastupa lom. Lom se nastavlja progresivno širiti u manje napregnute dijelove tijela kosine sve dok ne doĎe do kretanja cjelokupne klizne mase po tako formiranoj kliznoj ravnini. Ova saznanja, vezana za progresivni lom, imaju izuzetan značaj  za razumjevanje procesa klizanja, prije svega u prekonsolidovanim glinama, kod kojih je jasno definisana vršna i rezidualna čvrstoća na smicanje.

Slika 39 Naponsko-deformacijska zavisnost prekonsolidovanih glina Kako se može  primjetiti, u pojedinim dijelovima klizne ravnine, nakon dostizanja vršne vrijednosti čvrstoće,  sa daljim razvojem deformacija ta čvstoća  opada na rezidualni nivo vrijednosti. Posljedica ovoga je da se u trenutku loma na kliznoj ravnini javlja prosječna vrijednost smičućih otpornosti, vrijednost izmeĎu vršne i rezidualne.

Skempton (1964.) uvodi tzv. rezidualni faktor pomoću  kojeg se definiše  onaj dio klizne ravnine, duž kojeg je smičuća čvrstoća opala na rezidualnu vrijednost.

Veličina rezidualnog faktora R se kreće od 0,1  – 1,0. Za R = 0, čitava klizna ravnina ima ima vršnu čvrstoću, Za R = 1,0, čitava klizna ravnina ima rezidualnu čvrstoću. Bishop i saradnici (1971.) definišu indekst krhkosti I B, kojim se daje sniženje vršne čvrstoće gline na njenu rezidualnu vrijednost.

Problem progresivnog loma može se uspješno rješavati  primjenom metode konačnih elemenata (Loo i Lee, 1973.)

5.9. Seizmička analiza stabilnosti kosine Kod analize stabilnosti kosina u područjima  koja su označena  kao zemljotresno osjetljiva (trusna područja)  neophodno je u analizu uvesti i djejstvo seizmičke  sile od zemljotresa. UvoĎenje  tih sila zahtijeva dinamičku  analizu stabilnosti, kod pristupa rješavanja  problema stabilnosti kosina. S obzirom da su dineamičke  analize veoma kompleksne, one se veoma rijetko obavljaju. U tom slučaju  koristimo se tzv. kvazistatičkim  ili pseudostatičkim  analizama stabilnosti kosina, kod kojih se djejstvo zemljotresa opisuje kroz horizontalnu silu, koja djeluju u težištu  klizne mase i ima intenzitet:

Slika 40 Seizmička analiza stabilnosti

Koeficijent seizmičnosti   predstavlja odnos horizontalnog ubrzanja tla pri zemljotresu i ubrzanja zemljine teže, a odreĎuje se na osnovu geofizičkih mjerenja na lokalitetu. U SAD-u se najčešće koriste vrijednosti  = 0,10  – 0,15, dok se u Japanu kreću od 0,15  – 0,25, a na našem području se uzimaju vrijednosti od 0,05  – 0,10.

Iz datog izraza vidimo da se dinamički  uticaj zemljotresa ne uvodi direktno na otporne parametre tla i porne pritiske. Ti uticaji mogu da budu značajni odnosno značajno utiču na ove ulazne parametre čime se značajno utiče  i na analizu stabilnosti kosina prilikom zemljotresa.

5.10. Trodim enzionalana analiza stabilno sti ko sin e U prikazanim metodama analize stabilnosti kosina problem se svodio na ravninski problem, gdje se analizirao jedan karakterističan popriječni  presjek,a dobijeni faktor sigurnosti se uzimao kao mjerodavan za čitavo klizno tijelo. Zbog nepravilnog oblika kliznog tijela analiza stabilnosti predstavlja prostorni problem, pa prethodni pristupi daju samo približno rješenje. S druge strane, prostorne analize otvaraju druge numeričke teškoće, pa se sa razvojem ovog pristupa nije daleko otišlo. U literaturi se sreću trodimenzionalna rješenja za kosine koje se mogu aproksimirati pravilnim geometrijskim tijelima, ali još nije definisan opšti postupak za proizvoljan oblik kliznog tijela. U geotehničkoj  praksi se trodimenzionalna analiza obavlja aproksimativno, kroz analizu nekoliko paralelnih popriječnih  presjeka i usvajanjem ponderisanog faktora sigurnosti ovih presjeka (Lambe i Whitman, 1969.)

Istraživanja  Skemptona i Hutchinsona (1969.) su pokazala da zanemarivanje prostornog uticaja u analizi stabilnosti dovodi do rješenja  koja su na strani sigurnosti, ali i to da ta greška ne prelazi vrijednost od 10%.

Slika 41 Aproksimativna trodimenzionalna analiza stabilnosti s tri popriječna presjeka

5.11. Ocjena metoda granične ravnoteže za analizu stabilnosti kosina Brojene komparativene analize su potvrdile da ove metode daju rezultate visoke tačnosti. Kod tačnih metoda (zadovoljeni svi uslovi ravnoteže)  dobijaju se gotovo identični rezultati, sa odstupanjima od  6%. Kod približnih  metoda (ne zadovoljavaju sve uslove ravnoteže)  ova odstupanja su nešto veća.Pri tome treba naglastiti da metode koje zadovoljavaju uslove ravnoteže  momenata daju tačnije metode od onih koje zadovoljavaju ravnoteže sila. Sve više se primjenjuju tačne metode (razvoj računara odnosno tehnologije računanja). Sve ovo ukazuje na činjenicu da proračun stabilnosti kosina metodama granične ravnoteže danas ima veoma visok nivo (visok stepen razvoja) tako da dalja usavršavanja imaju samo akademsku dimenziju ali ne i praktičnu.

Tačnost  rezultata analize mnogo više  zavisi od korektnog definisanja klizne ravnine i utvrĎivanja  realnih ulaznih parametara (otpornih parametara, ambijentalnih uslova i geometrijskih karakteristika) nego od izbora metode analize. Osiguranje od grešaka može  da se izvrši na više načina  od kojih su: proračun ručnim kalkulatorom, korištenjem nomograma stabilnosti ili korištenjem drugog softverskog paketa.

Dalji razvoj analiza stabilnosti treba da počiva na metodi konačnih elemenata, jer se s njom mogu odrediti stvarna pomjeranja, analiziraju viskozni efekti, progresivni lom i sl., što je od velikog značaja za inženjersko rauĎivanje o stabilnosti padine ili kosine.