Departamento de Matemáticas
1º de Bachillerato
RELACIÓN Tema 3: Logaritmos y Exponenciales. Ecuaciones y Sistemas. Reflexión:
Gran parte de la vitalidad de una amistad reside en el respeto de las diferencias, no sólo en el disfrute de las semejanzas.
LOGARITMOS 1. Calcula, aplicando sólo la definición de logaritmo: a)
log 3
1 27
e)
log 1 64
i)
log
1 1.000
m)
log
j)
log 0,001
n)
ln e
k)
log 0,00001
ñ)
ln e 2
l)
log
o)
ln e 3 e
2
1 9
b)
log 5
1 5
f)
log
c)
log 3 2433
g)
log 1 27
1 27
9
d)
h)
log 4 0,0625
log 10.0000
8
2 2
1 81
3
2. Calcula el valor de “x” en cada una de las siguientes expresiones, aplicando sólo la definición de logaritmo: a)
log 5 x 3
c)
log x 8 3
e)
log
1
x 3
3 8 2
g)
log x
h)
log 0,1 x 6
3
b)
log 1 x 3
d)
log 3 x 1
f)
log 1 a 2 x a
5
3. Calcula, utilizando la definición de logaritmo y las propiedades de los logaritmos: a)
log 3 5 log 3 6
b)
log 2 30 log 2 15
c)
log 4 x 5
d)
1 27
log 1 3
4. Halla el valor de las siguientes expresiones, utilizando la definición de logaritmo y las propiedades de los logaritmos: a)
log 7 log
1 7
c)
log 0,00001 log 3 3 log 2 2 5 log 4
1 16
1 1 1 d) log 0,001 log 6 log 1 log 3 9 3 3 36 8 2 2
1 b) log 1.000 log 0,001 log 1.000
5. Toma logaritmos decimales en las siguientes igualdades y desarrolla la expresión resultante todo lo que se pueda: a)
P 10 x y z 3
3
100 x 2 b) Q x y
c)
R
3
2 x2 y5 3 z3
10 x 2 y 3 e) T 3 z2 2 x2 f) U y
1 x3 d) S x y 2 z 3 2
3
6. Escribe la siguiente expresión de forma que no aparezca ningún logaritmo, quitando los logaritmos: a)
log A 3 log 2 2 log 3 log x
b)
log B 3 log 2 3 log x 2 log y 4 log z
c)
log C 3 log 2 4 log x 3 log y 2 log z
d)
log D logx 2 y logx 2 y
Gema Isabel Marín Caballero
2 x 20 3 log 3 2 f) log F log x log y log z log t 1 1 g) log G log x log y log z 2 2 h) log H log 4 log 3 log r log 3 e)
log E 3 logx 10 log
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7. Sabiendo que el logaritmo decimal de 2 es aproximadamente 0,301, que el logaritmo decimal de 3 es aproximadamente 0,477 y que el logaritmo decimal de 5 es aproximadamente 0,698, calcula, sin utilizar la calculadora, los siguientes logaritmos:
1 6
a)
log 3 4
c)
log 5,4
e)
log 270
g)
log 3
b)
log 250
d)
log 18
f)
log 45
h)
log 81
8. Halla con la calculadora los siguientes logaritmos y exprésalos redondeándolos a las milésimas: a)
b)
log 3 20
7 5
log 1 4
c)
log
2
3
d)
log
5
1 7
e)
log
3
2
9. Halla el valor de “t” en cada una de las siguientes expresiones, tomando logaritmos neperianos, y utilizando la definición de logaritmo y las propiedades de los logaritmos: a)
1,025t 2,45
b)
2.500 2.000 1,03t
c)
1,025t 2
d)
0,03 120 100 1 12
12t
ECUACIONES LOGARÍTMICAS 10. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas: 5
1)
log 2 x 3 4
16)
log x
2)
logx 5 logx 2 1
17)
log x 1 log 3x 5
3)
log x log11 x log 2 x 2
18)
log3x 5 log 2
4)
log x 9 2
19)
log 2 logx 3
5)
log x 12 log x 3 2
20)
x
6)
log x logx 1 log 6
21)
log 2 x log 2 x 1 2
7)
log x logx 3 1
22)
log3x 1 log2 x 3 1 log 5
8)
logx 2 log 5 1 logx 3
23)
log 7 x 2 log 7 x 2 1 log 7 2 x 7
9)
logx 1 logx 1 3 log 2 logx 2
24)
log 2 log 11 x 2 2 log 5 x
10)
2 log x 3 log 2 logx 6
25)
logx 1 2 log 2 log4 x 1 logx 1
11)
2 log x 1 logx 0,9
26)
3 log x log 2 x 2 x 2 0
12)
2 log x logx 16 2
27)
1 1 log x 1 log5 x log5 x 2 2
13)
4 log 5 x 2 log 5 x 2 log 5 8
28)
1 log x 2 log 3x 1 log 2 2
14)
log x 2 15x 2
29)
log 1.250 2 2 log 2 2 x
15)
log 9 5 27 2 x 1
30)
2 log x 9 log x 10 0
Gema Isabel Marín Caballero
2
8 0,4 2
1 logx 1 2
1 log2 x 2
5x 9 log 2 log 125 3
2 x
2
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SISTEMAS DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS 11. Resuelve los siguientes sistemas logarítmicos: a)
log x log y 2 x y 20
g)
log 7 x log 7 y 4 x y 1
m)
log x y log 2 y 3 log 2 x 2 log 2 y 2 3
b)
log x log y 3 x y 133
h)
2 log x log y 5 log x y 4
n)
log x log 5 3 log 5 log x 3 log y 2 log 2 4
ñ)
log x log y log 56 log 20 log x log y 1 log 20
log x log y 5 c) 1 x y 10
i)
log x 3 log y 5 x2 d) log 3 y
x 2 y 2 11 j) log x log y 1
e)
log x log y 3 2 log x 2 log y 1
k)
f)
2 log x 3 log y 5 3 log x log y 2
l)
log x log y 2 x 6y 1
log 2 x y 5 x o) log 1 1 y 2
log x log y log 2 x2 y2 5
x y log 2 x y log 4 log 3 x y log 531.441
p)
1 log y 9 x 2 log x y 9 2
q)
log x y 18 2 1 log y x 3 2
ECUACIONES EXPONENCIALES 12. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales: 1)
3 x 4 3
13)
0,25 x 128 x3
2)
10 3x 1
14)
4 x 3
3)
2
2 15) 3
1 8
x 1
x
1 4) 4 8
16)
2
1 2x
x2 2
x 5 x 15
4 9
25)
3 x 31x 4
26)
2 x1 2 x 2 x1 7
27)
2 x1 2 x2 2 x3 2 x4 960
28)
232 x 3 2 x1 1 0
1 x
x 5
1 8 x 5 4
5)
3 x 5 1
17)
2 x 4 0
29)
4 x 12 2 x 32 0
6)
8 x 2 4 x 2
18)
4 x 2 x 12
30)
4x 9 2x 8 0
7)
4 x 16 x 4
19)
2x 4x 0
31)
3 x 3 x1 3 x2 13
8)
2 x 3 x 52 x 150
20)
4 x 3 x1
32)
32 x5 3 3 x2 18 0
9)
10
21)
5x 2
33)
5 x1 30 5 x 125 0
22)
5 x1 3
34)
9 x1 28 3 x 3 0
23)
3
35)
2 x1 2 x2 72
36)
132 x 6 13 x 5 0
10)
3
x 1
7 11) 3 12)
6
10 x
2
1 3 7 x 3
x 2 3 x
2
4 x 2
3 7
36
3
3 x 7
2x
Gema Isabel Marín Caballero
128 4 2 x
1 24) 3 3 x
x 3
1 27
x
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SISTEMAS DE ECUACIONES EXPONENCIALES 13. Resuelve los siguientes sistemas exponenciales:
2 x 2 y 10 a) 2 x y 4
243 g) 3y 2 x 2 y
2 x 2 y 5 1 b) 2 x y 4
h)
3x
m)
3 x 9 8 38 2 x 1 2 y 1 2 6
10 3 0 x y 5 x y 2
5 x y
n)
5 x 2 4 y 3 3 5 x 1 4 y 2 1
c)
2 x 2 y 1 8 3 x y 3
i)
3 2 x y 12 2 2 x 2 y 7
ñ)
5 3 x 3 5 y 60 4 3 x 1 2 5 y 1 286
d)
2x 5y 9 2 x 2 5 y 1 9
j)
2 3 x 3 y 2 5 3 x 3 y 27
o)
3 5 x 2 6 y 1 807 15 5 x 1 6 y 339
e)
2x 5y 9 2 x 2 5 y 1 41
k)
2 2 x 2 2 y 80 2 2 x y 1.024
p)
2 3 x 1 3 y l) 9 2 x y 2
2 2 x y 32 f) 3 x2 y 3
5 16 4 2 y 10 0
5 x 1 2 42 y
3
x2
e 2 x 2e y 1 q) 2 x e ey 0
SISTEMAS DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES 14. Halla la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones: a)
log x log y 1 2 x y 8
d)
log 8 x y 1
g)
log x y logx y log 44 e x e y e11
b)
log 5 x log 5 y log 5 2
e)
log 2 x y log y 1 1
h)
log 2 3 y 1 x 3 2 x 2 3 y 6
c)
10 2 x y 100 log 2 x y 0
f)
log x y log x y log 33 ln x ln y ln 8 i) x y 11 2 2 2 e x y e 2
3 x y 27
Gema Isabel Marín Caballero
5 x y 1
2
5 x 2 y 1
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