CONJUNTOS *Definición: Se entiende por conjunto (denotado A, B, C, etc) a una colección, agrupación o reunión de objetos llamadas elementos denotado (a, b, c, x, y,... etc) y que pueden ser determinados por: a) Por Extensión: Cuando se nombran todos sus elementos. Ejemplo: A = { Peter, Juan} b) Por Comprensión: Cuando se enuncia una propiedad que caracteriza a todos los elementos de dicho conjunto.
CONJUNTO DE CONJUNTOS: Es el conjunto que tiene como elementos a otros conjuntos se le denomina también : familia, colección o clase de conjuntos. Ejemplo: A = { φ, {3}, {a,b}, {1,2}} REPRESENTANCION GRAFICA DE CONJUNTOS DIAGRAMAS DE VENN -EULER: Se usan figuras geométricas: Ejemplos:
.x
.1 .5 .3 .2 .4 .6
.z .y
Ejemplo: A = {x/x es numero par} *RELACIONES ENTRE CONJUNTOS. Relación De Pertenencia: Vincula un elemento con un conjunto , se representa por “∈”. Ejemplo: A={3,5,7} 3∈A, 5∈A, 7∈A. La no pertenencia se representa por “∉” así para A, 9∉ A Relación de Inclusión: Se da entre conjuntos y se denota por “⊂”. “A ⊂ B” y se lee: A esta incluido en B. Ejemplo: P={1,2,3,4} Q={0,1,2,3,4,5} ⇒ P ⊂ Q La negación de A ⊂B se escribe A⊄B. PROPIEDADES: I) A ⊂ A....... P. Reflexiva II) Si A⊂B y B⊂A ⇒ A=B P. antisimetrica III) Si A⊂B y B⊂C ⇒ A⊂C P. Transitiva. IV). ∀A, φ ⊂ A. Nota: A ⊂ B ⇔ x∈A ⇒ x∈ B IGUALDAD DE CONJUNTOS: A=B AB BA Propiedades : A = A P. Reflexiva A = B ⇒ B = A P. Simétrica A = B y B =C ⇒ A = C P. Transitiva CONJUNTOS DISJUNTOS: Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen ningún elemento en común. Conjuntos comparables : A y B son comparables si: A ⊂ B ó B ⊂ A. Conjuntos Equivalentes: Dos conjuntos no vacíos A y B son equivalentes o coordinables, si existe una correspondencia biunívoca (Uno a uno) entre todos sus elementos. Se denota “A ≡ B”. Ejemplo: A = {1,2} B = {a, b} son equivalentes, en efecto: 1↔a 1↔b 2↔b ó 2↔a NOTA: -) A ≡ B → A = B -) A ≡ B → A = B
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DIAGRAMAS LINEALES: Ejemplo: Si A ⊂ B, escribe B mas arriba que A y se le une por segmento.
A B CLASES DE CONJUNTOS: CONJUNTO NULO O VACIO: Es el conjunto que no tiene elementos. Se le denota por: φ = { x/x ≠ x} Ejemplo: 2 A = { x ∈ R/x + 4 = 0} es vacio. 2 En efecto x + 4 = 0 no tiene solución en R. Osea A = φ. CONJUNTO UNITARIO: Es aquel conjunto que tiene uno y solo un elemento. 2 Ejemplo : p = {x∈ N/x - 9 = 0} es unitario 2 En efecto: x - 9 = 0 2 x =9 x = ± 3, 3∈N -3 ∉ N Osea: p = {3} CONJUNTO UNIVERSAL (U) : Es un conjunto fijo del cual se toman otros conjunto. Los mas importantes son: N, Z, Q, I, R CONJUNTO FINITO: Aquellos conjuntos cuyos elementos se pueden contar. CONJUNTO INFINITO: Aquellos conjuntos cuyo conteo no es terminable. SUBCONJUNTO PROPIO: Decimos que A es subconjunto propio de B denotado A ⊂ B cuando todo elemento de A esta en B pero no todo elemento de B esta en A. SUBCONJUNTO IMPROPIO: Si todo elemento de A esta en B y viceversa. Se denota A ⊆ B.
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Ejemplo: N = {a,e, i,o,u} M = {x/x es una vocal} → M ⊆ N ó N ⊆ M. CONJUNTO POTENCIA: Dado un conjunto A, se denomina conjunto potencia o conjunto de partes de A, al conjunto de todos los subconjuntos del conjunto A. Se denota: P(A). Osea: P(A) = { x/x ⊂ A} Ejemplo: El conjunto A = {a,b} → P(A) = {φ, {a}, {b}, {a,b} } OPERACIONES CON CONJUNTOS *
PROPIEDADES A-=A -A= A-A = (A - B) ⊂ A (A ⊂ B) ⇔ A - B = (A - B) =A∩B-(A U B)-C = (A -C)U (B-C) (A ∩ B) - C = (A - C) ∩ (B - C) A ⊂ B ⇒ (A - C) ⊂ (B - C) A ⊂ B = (A U B) - B = A - (A ∩ B) * DIFERENCIA SIMETRICA A ∆ B = {x/x ∈ (A - B) v x ∈ (B - A)}
UNION:{x/x ∈ A v x ∈ B}
A
A
B
U
U Propiedades: -A U A = A P. Idempotente -A U B = B U A P. Conmutativa -A U (B UC) = (A U B) U CP. Asociativa -AUφ=A P. Elemento Neutro -AUU=U Conjunto Universal - A U A’ = U - A ⊂ (A U B) , B ⊂ (A U B) ∀, A y B - Si: A ⊂ B ⇔ A U B = B. - A U ( A ∩ C) = A Absorción - A ⊂ B y C ⊂ D ⇒ (A U C) ⊂ (B U D)
A ∆ B = (A U B) - (A ∩ B) A ∆ B = (A - B) U (B - A) PROPIEDADES - A ∆ B = (A - B) U (B - A) - (A ∆ B) ∆ C = A ∆ (B ∆ C) Asociativa -A∆B=B∆A Commutativa -A∆φ=A -A∆A=φ - A ∩ (B ∆ C) = (A ∩ B) ∆ (A ∩ C) Distributiva COMPLEMENTO C B A= B - A = {x/x ∈ B ∧ x ∉ A} c Si : B = U ⇒ C A = A’ = A = A
*INTERSECCION: A ∩ B = {x/x ∈ A ∧ x ∈ B}
A Ac
A
B
B U
Propiedades -A∩A =A Idempotencia -A∩B=B∩A Commutativa - A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C Asociativa -A∩φ=φ - A ∩ A’ = φ -A ∩U=A Elemento Neutro - A ⊂ C y B ⊂ D ⇒ (A ∩ B) ⊂ (C ∩ D) - Si A ⊂ B ⇒ (A ∩C) ⊂ ( B⊂ C) ; ∀ C -B⊂C⇔B∩C=B Nota: A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C) A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C) A ∩ (A U B) = A A U (A ∩ B) = A
U
PROPIEDADES - U’ = φ - φ’ = U - A U A’ = U - A ∩ A’ = φ - (A’)’ = A - (A U B)’ = A’ ∩ B’ - (A ∩ B)’ = A’ U B’ * Número de elementos de un conjunto o cardinal de un conjunto n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) n(A U B) = n(A) + n(B), si A ∩ B = φ n(A - B) = n(A) - n(A ∩ B) n(A U B) = n(A - B) + n(A ∩ B) + n(B-A) m
Nota: n[P(A)] = 2 , m numero de elementos de A.
* DIFERENCIA A - B = {x/x ∈ A ∧ x ∉ B}
A
B U
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8.- Hallar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: Si: I.- A = x2 −1/ x ∈ Z ∧ −1 ≤ x ≤ 1 Entonces: n(A) = 3
{
1.- Dado el conjunto “A”
{
}
A = 4,5, {4,3} ,1{{2,3, 4} , 2} , {7}
Indicar el valor de verdad de cada proposición: *{4,3} ⊂ A
*{4,1,2}∈A
*{4,{7}} ⊂ A *{2,3,4}∈A
( ( ( (
) ) ) )
}
II.- Si: n(A) = 2 y n(B) = 3, entonces el número máximo de elementos de P(A) ∪ P(B) es 12. III.- Si: A ∩ B = φ, entonces A = φ ∧ B = φ
*{4,3}∈A
() () ()
*{2} ⊂ A
*{7}∈A
A) VFF B) FVF C) VVF D) FFF
E) FFV
9.-En un salón de clases: 3/5 de los alumnos usa reloj, 1/3 de los alumnos sólo usa anteojos y los 2/5 usa anteojos y reloj. ¿Qué fracción de los alumnos no usa anteojos ni reloj?
Indicar el número de proposiciones falsas: a) 3/25 b) 2/25 c) 1/15 d) 4/25 e) 1/5 a) 6 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3 10.-Sí
A = {1,a, 2, b} B = {3,c, 4,d}
2.- Dados los conjuntos unitarios: A = {( n + m ) , ( n + p ) ,8}
C = {a,3}
B = {( m + p ) ,10}
U = {1, 2,3,a, b,c,d, 4}
Hallar: ( m + n − p ) a) 3 d) 3
Hallar: n ( A − C) ' ∪ ( B − C)
b) 8 e) 4
c) 7
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
3.- Hallar: ( b + c − a ) , sabiendo que los conjuntos A, B y C son conjuntos iguales. A = {a + 2,3 − a} B = {a − 1,6 − a} C = {1, b + c} a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 {
2 , 6 ,1 2 , 2 0 , ...,1 1 0
E
F 6 4 G
4.- Diga ud. Cuántos subconjuntos propios tiene: C =
11.- El siguiente gráfico indica cantidades de elementos por zonas:
}
7 5
U
9 6
3 8
¿Cuántos elementos tendrá la expresión: ( E − F ) ' ∩ ( G '− E ) ? a) 8 b) 7 c) 28 d) 24 e) 30
a) 1023 b) 1024 c) 1025 d) 9 e) 10
5.-Si los siguientes conjuntos son unitarios e iguales, calcule: a + b + c. A = {( 2a + b ) ; c} B = {( 2c − 7 ) ; ( 5b + 2 )}
12.- Si “n” significa numero de elementos siendo A y B dos conjuntos tales que n(AUB) = 30, n(A – B) =12 y n(B – A) = 8, Hallar 5n(A) – 4n(B) a) 38 b) 60 c) 48 d) 70 e) 100 13.- Dados los conjuntos tales que
A) 7 B) 8
C) 11 D) 15 E) 17
6.- Según el conjunto: A = {a, {b, c} , d } Cuantas afirmaciones son incorrectas. I.
{b, c} ⊂ A
C) 4 D) 1
n(A∆B)
a) 141 b) 99 c) 123 d) 136 e) 130 14.- Si A y B son dos conjuntos no disjuntos y decimos
II. {b, c} ∈ A
nP(AUB) = 256, (n(A)– n(B)) = 1 numero de elementos de “B”
III. {{b, c}}∈ A IV. c ∈ A V. {c} ⊂ A VI. {c} ∈ A A) 2 B) 3
n(A) + n(B) = 166 y n(AUB) = 148 calcular
n( A ∩ B) = 3 ,Hallar el
a) 2 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 E) 5
7.- Si el conjunto A presenta 2 elementos más que el conjunto B; además A presenta 192 subconjuntos más que B. Hallar: n ( A ∪ B ) ; si A y B son conjuntos disjuntos. A) 18 B) 16 C) 14 D) 12 E) 10
y tú los primeros…!!!
15.- En una cuidad el60% de los habitantes comen pescado, el 50% comen carne, el 40% de los que comen carne también comen pescado ¿Qué porcentaje de los habitantes no comen pescado ni carne? a) 10% b)20% c) 30% d)5% e)15% 16.- 10 alumnos rinden un examen que consta de 3 partes,
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el numero de alumnos que aprobaron la primera, segunda y tercera parte fueron 6; 6 y 5 respectivamente, ninguno aprobó solo la segunda parte, 2 aprobaron las tres partes, 1 aprobó solo la primera parte y 5 aprobaron las dos primeras partes ¿Cuantos aprobaron solo dos partes?
A = {1, 2, {1, 2} , 3} B = { {2,1} , {1, 3} , 3} Halle: [(A − B) ∩ B] U (B - A) a) { 1,3} d) B
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 17.- Entre 140 personas habían 90 hombres y 91 personas diestras, si el número de zurdas es 12 ¿Cuantos hombres diestros habían?
5.
a) 18 b) 20 c) 24 d) 22 e) 16
Hallar el número de elementos de A∩B es: 2
a) 2 d) 3 6.
7.
19.- La región sombreada está representada por:
8. b) (C-B)’ ∪(A-C) d) (A-C)∪(B-A)
1. Sea de A ={{a}, {a, b}, {b} }. Cuales de las siguientes proposiciones son verdaderas : I) {a} ⊂ A II) {a} ∈ A III) { {a} } ⊂ A IV) {a, b} ⊂ A V) { {a} }, {b} } ⊂ A a) II, III y IV d) III, IV y VI
b) I y III e) N.A.
a) {r, t} d) {t}
c) {r}
b) {s, t} e) {r, s, t}
Se tiene 2 conjuntos A y B tales que: n(A) - n(B) = 3 n[ P(A U B)] = 2048 n[P(A ∩ B)] = 16 Hallar el numero de elementos de B . b) 5 e) 2
c) 6
Teniendo los conjuntos: 3 2 A = {x ∈ N/x - 2x - 5x + 6 = 0} 2 B = {x ∈N/ 2x - 7x + 3 = 0} C = {2, 3} Si además : D = (A - B) U C, entonces el numero de elementos de P(D) es: b) 6 e) 9
c) 7
Sean A y B dos conjuntos tales que: n(A U B) = 24, n(A - B) = 10, n(B -A)=6 Hallar : 5 n(A) - 4n(B) a) 30 d) 31
b) 34 e) 29
c) 32
10. En un grupo de 41 alumnos, 15 no estudian ni trabajan, 28 no estudian y 25 no trabajan , se pide ¿Cuántos trabajan y estudian? c) Todas
2.
Dado el conjunto A= { 1, {2}, {1,2}. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera? a) φ ∈ A b) {2} ∉ A c) {1} ∈ A d) 2 ∉ A e) 1 ⊂ A
3.
Sean A y B dos conjuntos contenidos en un mismo universo. Si A ⊂ B’. ¿Cuál es la proposición falsa? a) A = A - B b) B = B - A c) B ⊂ A’ d) A’ = B’ e) (A - B) U ( B - A) = A U B
4.
c) 0
C = {r,s,x, y}
a) 5 d) 8 9.
b) 4 e) 1
Si: A = {r, s, t} B ={r, t, v, x} Hallar: A ∩ (B U C)
a) 4 d) 8
a) (A - C) ∪ (B-C) c) (A∪B) – C e) (A ∪ B) – (A ∩B∩C)
c) A
A = {x ∈ Z/(x - x - 6) (x - 4) = 0 } B = {x ∈ R/ -1 ≤ x ≤ 2}
a) 61 b) 72 c) 57 d) 53 e) 54 18.- De 60 personas se sabe: • 6 hombres tienen 20 años. • 18 hombres no tienen 21 años. • 22 hombres no tienen 20 años. • Tantas mujeres tienen 20 años como hombres tienen 21 años. ¿Cuántas mujeres no tienen 20 años?
b) { {1,2} } e) { {1,3} }
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
11. De 55 alumnos de la Academia “Lehninger” se obtuvo la siguiente información. 32 alumnos estudian el curso A 22 alumnos estudian el curso B 45 alumnos estudian el curso C 10 alumnos estudian los tres cursos. ¿Cuántos alumnos estudian simultáneamente dos cursos? a) 15 d) 20
b) 48 e) 24
c) 22
12. Determinar el conjunto:
Si:
y tú los primeros…!!!
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A = {x ∈ N/x - 2x - 5x + 6 = 0} Por extensión: 3
a) {1, -2} d) {3}
2
b) {1, 3} e) {1, -2,3}
a) 30% d) 20% c) { φ }
13. Si: A = {a, φ, {φ} } y B = { {φ}, { {φ} } } cuales de las siguientes proposiciones son verdaderas? I) (A U B) - (A ∩ B) ={a, φ, {{φ}} } II) n[P(A)] = 8 III) P(A) ∩ P(B) = {φ, {{φ}} } 14. Si: A =φ. Entonces P[P(A)] Tiene: a) 16 elementos c) 2 elementos e) N.A.
b) 8 elementos d) 4 elementos
15. Si los conjuntos A = {3a + b - 9; 4a} y B={5a + 2b; 4} son unitarios. El valor de: b + a es: a) 7 d) -1
b) -2 e) 0
c) 5
16. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I) A = B ⇒ A ⊂ B ∧ B ⊂ A C C II) Si A ⊂ B ⇒ B ⊂ A III) A ∆ B = (A U B) - (A’ ∩ B) IV) A U ( (B – A) = (A U B) a) VFFV d) VVFV
b) VVVF e) N.A.
c) FVVF
17. En cierto Instituto de Administración se requiere que todo estudiante del último ciclo curse matemáticas, contabilidad o economía. Si de 600 des estos estudiantes, 400 cursan matemáticas, 300 contabilidad 250 economía, 240 economía y matemáticas, 90 contabilidad y matemáticas, y 50 contabilidad y economía. Cuantos cursan las tres materias?. a) 30 d) 25
b) 35 e) 24
c) 60
18. Si A es un conjunto de 8n elementos, B un conjunto de 5n elementos, 4 tiene 2n -1 elementos comunes. Hallar la suma de los números de elementos de (A ∩ B) ∩(A - B) y (A U B) ∩ (A - B) a) 6n d) n + 2
b) 6n + 1 e) 2n
c) 6n + 2
19. En una encuesta a 150 jóvenes acerca de tres bebidas gaseosas A, B y C resultó que 46 bebidas A, 36 bebían B, 28 bebían C, 20 bebían A y B, 18 bebían A y C, 16 bebían B y C y 10 bebían las tres. ¿Cuántas beben A o B? a) 60 d) 55
b) 4 e) 62
c) 88
20. El 65% de la población de una ciudad no ve el canal A de TV. y el 45% no ve el canal B. Si el 50% ve el canal A o el canal B, pero no ambos ¿Cuál es el porcentaje de la población que ve ambos canales?.
y tú los primeros…!!!
b) 40% e) 10%
c) 50%
21. En un avión que transporta 100 personas, 50 no fuman y 30 no beben si hay 10 personas que solamente beben. ¿Cuántas personas ni fuman ni beben o fuman y beben? a) 20 c) 40 E) 60
B) 30 d) 50
22. A una fiesta asistieron 80 parejas, 60 hombres usan anteojos, hay tantas personas con anteojo, como mujeres que no lo usan. ¿Cuantas mujeres no usan anteojos? a) 80 c) 30 e) 60
b) 25 d) 70
23. En una oficina trabajan solo mujeres , de ellas los 2/3 son morenas, 1/5 tienen ojos azules y 1/6 son morenas de ojos azules. ¿Qué fracción no son ni morenas ni tienen ojos azules? a) 2/9 d) 7/30
b) 3/10 e) 7/25
c) 8/17
24. De 3750 personas consultadas acerca de sus preferencias por los productos A, B y C s eobtuvo el sgte resultado : El numero de personas que prefieren los tres productos es un 1/6 de B y 1/7 de los que prefieren solo C, 1/3 de los prefieren B y C , 1/5 de los que prefieren A y C e igual a la mitad de los que prefieren A y B. ¿Cuántos prefieren solo A? a) 600 d) 800
b) 900 e) 700
c) 850
25. En un grupo de personas se sabe que 19 hablan alemán, 23 hablan francés, 25 hablan castellano, 5 hablan alemán y francés , 7 hablan francés y castellano y de los que hablan castellano ninguno habla alemán. ¿Cuántas personas forman el grupo? a) 58 d) 55
b) 59 e) 60
c) 54
26. El 30% de una población ve el canal A, el 35% ve el canal B, si el 20% de los que ven el canal A, también ven el canal B. ¿Que porcentaje de la población no ve el canal A ni el B? a) 30% d) 29%
b) 15% e) 41%
c) 31%
27. En un momento de una fiesta se observo que el numero de varones que no bailan era igual al numero de personas que estaban bailando y ademas el numero de damas era 4 veces al numero de varones que estaban bailando. Si en total asistieron 504 personas. ¿Cuántas personas no bailan? a) 360 d) 300
b) 320 e) 280
c) 380
28. Hallar: m + n + a, si los conjntos siguientes son unitarios.
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2
A = {a + 1, 3a - 1} B = {3m + n, m - n + 8} a) 4 d) 8
b) 6 e) 9
a) 15 d) 21
b) A ∆ B e) φ
37. Sean A y B dos conjuntos contenidos en el universo. Si: (A - B) U (B - A) = A U B ¿Cuál de las siguientes proposiciones es falsa?.
c) A U B
30. En un colegio 100 alumnos han rendido 3 exámenes. DE ellos 40 aprobaron el 1ro, 39 el 2do y 48 el 3ero. Aprobaron 10 de los tres exámenes, 21 no aprobaron examen alguno, 9 aprobaron los dos primeros, pero no el tercero, 19 no aprobaron los dos primeros exámenes pero si el tercero. Calcúlese cuantos alumnos aprobaron por lo menos 2 exámenes. a) 25 d) 28
b) 26 e) 29
32. Se tiene dos conjuntos A y B tales que n(AUB) =3, n(A - B) =12 y n(B - A)=10. Hallar n(A) + n(B). b) 38 e) 37
c) 36
33. De un aula de 40 personas de la Academia “Bryce”, se asbe que 15 de ellas no postulan ni a Ciencias Físicas, ni Biomédicas, 10 personas postulan a Físicas y 3 a Físicas asi como Biomédicas. ¿Cuántos de ellas postulan a solo una de estas areas? a) 15 d) 22
b) 17 e) 27
a) A = A - B b) B = B - A c) A ∩ B ≠ φ d) B ⊂ A’ e) (A U B) ⊂ (A ∩ B)’ 38. Si: A = {2x/x ∈ N ∧ x < 15} B = {3x/x ∈ N ∧ x < 10} C= {5x /x ∈ N ∧ x < 6} ¿Cuántos elementos tiene? ¨[(A U C) ∩ B] ? a) 5 d) 6
b) 32 e) 512
c) 19
a) {3, 9, 10 } b) {4, 5, 6, 7} d) {1,2,3,9,10} e) {9,3,10,1}
b) 280 e) 400
c) {3,6,2,9}
40. Sean los elementos: A ={1,2,3,4} B = {2,4,6} y C = {2,3,4} Hallar el # de elementos que tiene E si: E = [(A - B) U (A - C)] U [(B - C) U (B - A)] a) 5 b) 3 c) 4 d) 2 e) N.A. 41. Si: U = {x/x ∈ N ∧ x < 10} A = {y/y ∈ N ∧ y ≤ 5} B = {1,3,5,7,8} C = {2n/n ∈ N ∧ n < 5} ; y M = (C’ - B’) (A - C)’ Entonces la suma de los elementos de M es: a) 36 c) 32 e) 25
c) 256
b) 29 d) 18
42. Si:
35. En el cumpleaños de Sandrita, el 48% de los asistentes toman y el 40% fuman, además el 25% de los que toman fuman, si no toman ni fuman 144 personas . Hallar el total de personas asistentes. a) 720 d) 850
c) 4
39. Si: U ={x/x ∈ N ∧ x ≤ 10} y: A ∩ B = {3, 9} A ∩ B = {9, 10} (C U B)’ = {1,2}; ademas: (A U B U C)’ = φ Hallar el conjunto A.
34. Si n[P(A)] = 128, n[P(B)] =16 y n[P(A∩B)]=8 Hallar: n[P( A U B)] a) 128 d) 1024
b) 3 e) N.A.
c) 27
31. En un avion transcontinental viajan 5 muchachos, 5 niños latinoamericanos, 9 hombres, 7 muchachos extranjeros, 14 latinoamericanos, 6 latinoamericanos hombres, 7 mujeres extranjeras. Determinar el numero de personas que viajan en el avión. a) 15 b) 27 c) 30 d) 33 e) 18
a) 22 d) 25
c) 190
c) 7
29. Siendo A∆B = (A - B) U (B - A) Hallar el equivalente de: [(A ∆ B)] ∆ (A - B) ] ∆ A a) A - B d) A ∩ B
b) 17 e) 23
c) 600
36. De 50 personas se sabe que: 5 mujeres tienen 17 años 16 mujeres no tienen 17 años 14 mujeres no tienen 18 años 10 hombres no tienen 17 ni 18 años ¿Cuántos hombres tienen 17 o 18 años?
y tú los primeros…!!!
U = {seres humanos} H = {hombres} S = {personas solteras} B = {personas blancas} Luego : “Las mujeres blancas casadas” será: a) B ∩ S’ c) (H U S)’ ∩ B e) N.A.
b) H’ ∩ B’ ∩ S’ d) H’ U S’ U B’
43. La región sombreada en el diagrama:
Representa a la preparación: a) (A - B) ∩ (C U D)
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b) (B - A) U [(C U D) - (C ∩ D)] c) A y B son correctas d) (B - A) U (C - D) U (D - C) e) B y D son correctas. 44. El circulo A contiene a las letras a, b, c, d, e, f. El circulo B contiene a las letras b, d, f, g, h. Las letras del rectángulo C que no están en A son h, j, k y las letras de C que no están en B son a, j, k. ¿Qué letras están en la figura sombreada? a) a, b, d, f, h c) a,d, f, h e) a, b, c, f, h
b) b, d, f, h d) j, k, f, h
45. ¿Qué expresión representa la parte sombreada de la figura? b) (A ∩ B) - C d) (A - B) ∩ C’
a) (B - A) - C c) (A - B) - C e) Alternativas C y D
46. ¿Qué expresión representa la parte sombreada de la figura? b) C ∩ (A ∩ B)’ d) A ∩ B ∩ C
a) (A U B) - C c) (A ∩ B) - C e) (A ∩ B) ∩ C’
47. ¿Qué expresión representa la parte sombreada de la figura?
NUMERACIÓN Parte de la Aritmética que se encarga de estudiar a los números en su formación, escritura y lectura para lo cual el hombre ha ideado los sistemas de numeraciones, el cual es un conjunto de reglas, principios y convenios, que sirven para formar a los numerales y operar con ellos. NUMERO: Es un ente matemático que nos permite cuantificar los elementos de la naturaleza, el cual nos da la idea de cantidad. NUMERAL: Es la representación gráfica geométrica de un número. Actualmente se usa el sistema de escritura Indo – Arábico. Ejemplo: 5 = cinco = five = PRINCIPALES PRINCIPIOS DEL SISTEMA POSICIONAL DE NUMERACION Principio del Orden Toda cifra de un numeral posee un orden, el cual se lee de derecha a izquierda, enumerándoseles empezando del orden cero. No debemos confundir el ORDEN con el LUGAR que ocupa la cifra. Al indicar lugar nos referimos a su ubicación enumerándolas de izquierda a derecha, empezando del primer lugar. Ejemplo: En el siguiente numeral 5847, se observa:
a) (A ∩ B ∩ C) - C’ b) [(A ∩ B) - C] U [(B ∩ C) - A] c) (A ∩ B ∩ C)’ ∩ A d) B - [(B - A) U (B - C)] e) [B - (A U C)]’ 48. En el grafico La parte sombreada corresponde a: a) B ∩ A c) (A - B) ∩ C e) A ∩ B ∩ C. C
Así: -
La cifra 4 es de orden uno y ocupa el 3er lugar. La cifra 8 es de orden dos y ocupa el 2do lugar.
C
b) A U B C d) (A ∩ B) ∩ C
49. A, B y C son 3 conjuntos tales que satisfacen las condiciones siguientes: 1° A esta contenido en B y B esta contenido en C. 2° Si x es un elemento de C entonces x también es un elemento de A. Decir: ¿Cuál de los siguientes enunciados es verdadero? a) B no esta contenido en A. b) C honesta contenido en B. c) A = B, pero C no es igual a B. d) La intersección de A con B es el conjunto C. e) La reunión de A con B tiene elementos que no pertenecen a C.
Principio de la Base Se denomina Base de un Sistema de Numeración, a todo número entero mayor que uno, la cual nos indica la cantidad de unidades mínimas necesarias de un cierto orden para poder formar una unidad del orden inmediato superior. La base también nos indica el número de símbolos (llamados cifras), con que cuenta el sistema para poder formar los numerales en ella. Ejemplo: Representar 21 unidades simples: Base 10
∴ 21 Base 8
∴ 21 = 25(8) Base 5
y tú los primeros…!!!
Pag. 15
-
aa abba7
-
abccba 5
-
∴ 21 =
41 ( 5 )
Base 3
∴ 21 = Luego:
.
aba
.
abcba 9
Valor Absoluto y Valor Relativo de una cifra: El valor absoluto de una cifra es el valor que tiene por su figura que representa. El valor relativo de una cifra es el valor absoluto con las unidades de orden al cual pertenece. VA = 1 3 VR = 7.10 VA = 9
210(3)
21 = 25(8) = 41(5) = 210(3)
1
5 7 8 9 4 1
VR = 9.10 VA = 7 5 VR = 1.10
De donde, afirmamos que: “En una igualdad de dos numerales, a mayor numeral aparente le corresponde menor base y viceversa”. PRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACION Base
Nombre
Cifras – Dígitos – Guarismos
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Binario Ternario Cuaternario Quinario Senario Heptanario Octonario Nonario Décuplo Undecimal Duodedimal
0; 1 0; 1; 2 0; 1; 2; 3 0; 1; 2; 3; 4 0; 1; 2; 3; 4; 5 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; (10) 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; (10); (11)
Por convención, cuando la cifra es mayor que 9 se utilizan letras griegas para su representación: α = 10; β = 11; γ = 12; δ = 13;. . . . . Ejemplo:
2(10)3(11)(13) = 2 3(13)
Descomposición Polinómica de un Numeral La descomposición polinómica de un numeral es la sumatoria de los valores relativos de sus cifras. La descomposición polinómica nos permite hallar el equivalente en el sistema decimal. Ejemplos: 1 * 42 = 4.10 + 2 = 12 2 1 * 278(9) = 2.9 + 7.9 + 8 = 233 3 2 1 * 4232(5) = 4.5 + 2.5 + 3.5 + 2 = 567 4 3 2 1 * 27364(x) = 2x + 7x + 3x + 6x + 4 Casos Particulares 1. Cuando el numeral tiene todas sus cifras iguales.
aaa ....... aaa
2.
Observación: Toda cifra que forma parte de un numeral es un número entero menor que la base. Así en el sistema de base “n”, se pueden utilizar “n” cifras diferentes las cuales son: Máxima ↓ 0; 1; 2; 3; 4;. . . . . . .; (n-1)
(n)
=
(
a nk − 1 n −1
)
Para bases sucesivas: - Si a ≠ 1 entonces N=
ab
k veces
=
a k .n +
ab ab
b ( a k − 1) a −1
ab ( n )
Significativas Conclusión:
Representación Literal de los Numerales Cuando no se conocen las cifras del numeral éstas se pueden representar mediante letras. • a b = 1 0 ; 1 1 ; 1 2 ; 1 3 ;......... 9 9 • •
m np xyzw
= 1 0 0 9 ; 1 0 1 9 ; 1 0 2 9 ;......... ....... 8 8 8
9 7
-
Si a = 1 entonces N = n + b . k
3.
Descomposición polinómica por bloques
Cifra < Base
= 1000
7
; 1001
7
; 1002
7
;.........
9
.... 6 6 6 6
abcdef abcdef abcdef
(n)
= ab
(n)
= abc ( n ) . n 3 + def
(n)
(n)
= abcd
(n)
(n)
= ab
(n)
(n)
. n 4 + cd
(n)
(n)
. n + ef
. n 2 + ef
(n)
2
. n + cdef 4
(n)
7
Numerales Capicúa: Son aquellos en las cuales las cifras equidistantes son iguales:
y tú los primeros…!!!
ab cd ef
Cambio de Bases: * Caso 1: de Base “n” a Base 10. Procedimiento: Descomposición polinómica
Pag. 16
*
1x(n)
Caso 2: de Base 10 a Base “n” Procedimiento: Divisiones sucesivas.
a0
= a . b . c .... k . n
b0
Ejemplo: Representar 867 en el sistema octonario.
c0
867 8 3 108 8 4 13 8 5 1
k 0( n ) B) Numeral formado sólo por cifras máximas.
∴ 867 = 1543(8)
( n − 1)( n − 1)( n − 1)......( n − 1) ( n ) = n k − 1
Casos especiales de cambio de base: k • Primer caso: de Base “n” a Base “n ”, k ∈ N. Procedimiento: - El numeral se descompone en bloques de k cifras a partir del orden cero. - Cada bloque se descompone polinómicamente y el resultado es la cifra en la nueva base. Ejemplo: Expresar 101112202122(3) en el sistema de numeración de base 9. Resolución: 2 Como la nueva base es 9 = 3 , cada bloque tiene que ser dos cifras.
C) Triángulo Aritmético (Triángulo de Tartaglia) 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 • • • • • • Luego: * * * * *
1(n) = 11(n) = 121(n) = 1331(n) = 14641(n) =
10 11 12 20 21 22 1.3 + 0 1.3 + 1 1.3 + 2 2.3 + 0 2.3 + 1 2.3 + 2 3 4 5 6 7 8
= (n+1)0 = (n+1)1 = (n+1)2 = (n+1)3 = (n+1)4
1 n+1 n2 + 2n + 1 n3 + 3n2 + 3n + 1 n4 + 4n3 + 6n2 + 4n + 1
∴ 101112202122(3) = 345678(9) k
* Segundo caso: de Base “n ” a Base “n”, k∈N. Procedimiento: - Cada cifra del numeral se convierte al sistema de base “n” mediante las divisiones sucesivas. - Cada conversión debe tener “k” cifras, de no ser así se completa con ceros a su izquierda. Ejemplo: Expresar 6452(8) en el sistema de numeración de base 2. Resolución: 3 Como 8 = 2 , cada conversión debe tener tres cifras. 6
4
6 2 0 3 1
4 2 02 2 0 1
2 1
110
100
5 5 2 12 0
y
z
hallar
x
8
xy ( ) + yz ( 9
a) 140 d) 132
11)
b) 135 e) 130
c) 168
2.-Si: N= 14.135 + 21.34 + 27.132 + 5.13 + 17 ¿Cuál será la suma de cifras del numeral N al expresarlo en base 13?
2
2 1
2 2 0 1
101
a) 20 d) 23 3.- Si
010
∴ 6452(8) = 110100101010(2) PROPIEDADES ADICIONALES: A) Numeral expresado en bases sucesivas
= a + b + c + .......... + x + n
1a
3x( ) + z1( ) =14( ) + y1( ) ,
1.- Si se cumple que :
1b 1c
b) 21 e) 24
c) 22
ANITALAVALATINA( )
, Es el menor numero capicúa
s
posible , siendo que a letra diferente le corresponde un valor diferente , hallar Dando la respuesta en base
ISLA ( ) 7
10 a) 1000 d) 1009
b) 1007 e) 1006
c) 1008
4.- Hallar un número de tres cifras que cumpla las condiciones siguientes - La primera cifra es el doble de la tercera - La segunda cifra es el triple de la primera. Dar como respuesta la suma de las cifras del número
a) 8
y tú los primeros…!!!
b) 9
c) 10
Pag. 17
d) 11 e) 12 5.- Hallar un número de 4 cifras que empiece en 2, tal que si ese 2 se coloca al final de ese numero se obtiene otro numero que excede en 1755 al original, dar como respuesta la suma de las cuatro cifras a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15 6.- Hallar el mayor valor de “n” si:
ab( ) = ba( ) n
a) 30 d) 38
b) 37 e) 42
7
c) 36
7.- Una persona vive en el jirón Lima numero “xyz” si” x” se multiplica por 13 se suma “y” luego todo se multiplica por 13 y se suma “z” obtenemos 770, cual es la dirección de dicha persona. a) 473 b) 472 c) 570 d) 737 e) 370 8.-Al convertir el numero 146(n) a la base (n + 2) se obtiene un numero de tres cifras , si se suman dichas tres cifras con su respectiva base se obtiene 14 hallar ”n” a) 8 b) 9 c) 14 d) 7 e) 6 9.- Si
b) 5 e) 2
www( ) 7
c) 4
19 n
24 veces a) 10 d) 13
b) 11 e) 14
14.- Hallar “x”
c) 12
= 526
1818
18 18(x)
22 (x)
a) 30 d) 15
b) 20 e) 25
c) 40
15.-Hallar: a + b + x + y; si se cumple:
= aba
171717
17
17 17
40 veces
(xy)
a) 14 d) 13
b) 15 e) 12
c) 16
6502 = 1214
1a
b) 7 e) 5
c) 9
1a
1a
1a
1a
1a (k)
Hallar: (a + k), a ≠ 0
11.- Si:
ab
12 11 113
a) 12 b) 14 c) 16 d) 13 e) 15
= ba
146
17.- Hallar “n” en:
0,0102(n) = 0,0432
Además: bab = xyzw 5 . Hallar: b+x+y+z+w a) 10 d) 16
b) 12 e) 18
c) 14
12.- Sí el número:
nn
1n
= 828 1n
1n
"n" veces
a) 7 d) 11
c) 9
1331 ( a ) = 1000 (b ) , además:
1a
14 veces
= 171(8)
18.- Señale la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: • ( ) En el sistema de base “n” existen “n – 1” cifras significativas
• • a) VVV d) FVF
( ) Dado ab1b2 .........bn , el valor relativo de “a” tiene “n” cifras ( ) abcd n = a.n 3 + b.n 2 + c.n + d b) VFF e) VFV
c) FFV
19.- Señale la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones •
3 2 ( ) 0,abcdn = a.n + b.n + c.n + d 4
•
( ) abcdn = ab.n + cd
•
( ) Si ab=3.(b+a) entonces ab tiene 3 soluciones
n
1a (b)
Calcular el valor de "b". b) 9
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 eE) 8
•
1n
b) 8 e) 6
1a 1a
a) 8
= 558 9 19 . .
16.- Si:
= ab2 , hallar “a + b”
a) 6 d) 11
12.- Sí:
19
5
a) 6 d) 3 10.- Si
241919
Además: 10 < xy < 20
21x3( ) = 1110( ) , hallar (x + y) y
d) 11 e) 12 13.-Calcular “n” si se cumple que:
c) 10
y tú los primeros…!!!
a) VVV
2
b) VFF
c) FFF
Pag. 18
d) VVF
e) FVV CONTEO DE CIFRAS Y TIPOS DE IMPRENTA
20.- Hallar el menor valor posible de m + n
1331(m) = 1000(n)
a) 6 d) 7
b) 5 e) 8
12.- ¿Cuántas cifras se han utilizado para siguiente sucesión?: 1, 2 , 3 , 4 , … 4987 a) 18841 b)18481 c)18148 d)18814
c) 9
13,-Cuantas cifras se emplean para escribir la siguiente serie: 30, 31, 32, 33,……,2238
21.- Hallar (a + c), si:
accca
2a (c)
escribir la
= accca
a) 7845 b) 7786 c) 8956 d) 7789 a) 4 d) 7
b) 5 e) 8
c) 6
CASOS ESPECIALES 1.- El numero 1111011011 del sistema binario expresado en el sistema de base 8 es. a)1733 b) 3371 c) 2733 d) 2633 e) 1633 2.- El mayor numero de cuatro cifras del sistema nonario, escrito en el sistema de base tres es. Dar como respuesta la suma de sus cifras en dicha base. a) 13 b)14 c) 15 d) 16 e) 17 3.- si 242424…24(9) de 40 cifras expresado en base tres ¿Cuantos ceros tendrá el numero en dicha base? a) 20 b) 40 c) 25 d) 10 e) 30
14.- Para numerar un libro de 1xy paginas sean empleado 297 tipos de imprenta ¿Cuantos tipos de imprenta se emplearon para numerar un libro de xy1 paginas? a) 720 b) 824 c) 940 d) 945 e) 955 15.- Para enumerar la primera cuarta parte de las páginas de un libro se emplearon 342 cifras. ¿Cuántas cifras se emplearon para enumerar todo el libro? a) 1522 b) 1692 c) 1592 d) 1614 e) 1624 16.- Si un libro tiene 960 paginas. ¿Cuántas cifras se emplearon para enumerar sus páginas? a) 1585 b) 1185 c) 1385 d) 1285
4.- Al convertir el numero 434343…43(8), que tiene 41 cifras a la base 2. Cuantas cifras 1 resultan entre su escritura. a) 40 b) 21 c) 60 d) 61 e) 31
17.- Hallar el mayor valor de “n” si:
5.- Calcular a + b + c + d, en
18.- Si:
n
MNP
101 (n )
a) 9 b) 8 ¿Cuántos
números
(a + 2)(b − 1) a (b + 2) 2
de
la
7
a) 30 b) 37 c) 36 d) 38 e) 42
21ab01(3) = c5d (9) 6.-
ab( ) = ba( )
= MNP
Hallar:
n 2 −1
c) 16 d) 10 e) 6
forma:
existen en el sistema de
numeración duodecimal? a) 24 b) 35 c) 60 d) 30 e) 45 7.- ¿Cuántos numerales pares de 4 cifras del sistema decimal, comienzan en cifra impar? a) 2500 b) 2600 c)2700 d) 2800 e)2900 8.- Cuantos números de cuatro cifras existen de manera que sus cifras centrales sumen 12 y sus cifras extremas sumen 10 ? a)45 b) 50 c) 63 d) 56 e) 48 9.- ¿Cuántos números de la forma a(a + 2)b(3 − b) existen en el sistema octal? a) 56 b) 28 c) 25 d) 81 e) 64
01. Se sabe que los numerales:
30 a ( 4 ) ; 2bc ( a ) y bb ( c ) Están bien escritos y a; b y c son cifras diferentes. Hallar: (a + b + c) a) 1 c) 6
02. Si:
b) 3 d) 7
e)4
12 (m ) X m10 ( n ) + 210 ( m ) = 2n 2c ( 5)
Hallar: m + n 10.- ¿Cuántos números de la forma a(2b)(3a)b
12
existen?
a) 42 b) 25 c) 8 d) 14 e) 84 11.- ¿Cuántas cifras se han utilizado en hacer todos los
a b números de la forma a b ? 2 3 (15)
a) 1 c) 5
b) 3 d) 7
e)9
03. Un número de tres cifras de la base “n” termina en cifra máxima y además es el menor posible. Si dicho número se escribe en base 10 como 89. ¿Cuál es el valor de “n”?
a) 170 b) 140 c) 126 d) 190 e) 220
y tú los primeros…!!!
Pag. 19
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 04. Si se cumple que:
c) 15
n (n + 1)(n + 2 )(n + 3 )(n + 4 ) = abb (6 )
Calcular el valor de: (a + b) a) 3 c) 5
e)7
05. Si: aa00 = bb0 + aa0 Donde: “0” = cero
ab
al expresarlo en el sistema quinario.
a) 23(5) d) 33(5)
e) 17
12. Corregir el siguiente numeral: 5 (-2)8895(7) Y dar como respuesta la suma de sus cifras a) 18 b) 32 c) 41 d) 28 e) 21 13.
b) 4 d) 6
Determinar
d) 16
e) 12
b) 44(5) e) 41(5)
c) 34(5)
Exprese N en base 6 y de cómo respuesta la suma de 2 4 3 sus cifras, si: N = 15 + 5 x 6 + 3 x 6 + 11x 6 a) 10 b) 19 c) 22 d) 15 e) 18
14. Si: abab (n) a) 13 c) 11
= 555 . Calcule: a + b + n. b) 12 d) 10
e)6
15. Si: xy 0 xy ( n ) = ( 2 a − 1)( a − 3)( a + 1) Además “a” es par. Calcule:“a + x + y”
06. ¿Cómo se escribe en base 8 el mayor número capicúa de cuatro cifras del sistema quinario? a) 2143(8) d) 500(8)
b) 1000(8) e) 342(8)
16. Si: abc 2 ( 5 ) a) 8 c) 13
ab(a + b)(15) = b(16)b (19)
e) 13
= nnn (8) Hallar: (a + b + c + n) b) 10 d) 14
e) 15
17. Calcule la suma de cifra al expresar en el sistema ternario el numeral capicúa siguiente:
400803(a) = 30034342(19) Calcular: (a + b) b) 12 d) 14
b) 10 d) 12
c) 1160(8)
07. Si se cumple que:
a) 10 c) 13
a) 9 c) 11
b (3a − 1)(2b)3c + 4 3 (9) e) 16
a) 10 c) 12
b) 11 d) 13
e) 15
08. Calcular : (a + n) si:
a 64 ( n ) = a 20 ( 8 ) a) 9 c) 11
b) 10 d) 12
e) 14
09. ¿En qué sistema de numeración se cumple que el mayor número de 3 cifras es igual a 215 veces la menor cifra significativa que existe en el sistema decimal? a) Quinario b) Senario c) Heotanario d) Octal e)Nonario
b) 8 d) 12
19. Calcule el mínimo valor
M, Si: M = a + b + c + k
Además: abc ( k ) es la suma de cifras de F. representado en el sistema heptanario donde:
F = 5 x 7 5 + 35 x 7 3 - 15 x 7 2 + 60 a) 6 c) 8
10. Hallar el máximo valor de “n” Si: 18 = 81 18 18 . “n” veces . . 18(m) a) 7 c) 9
18. ¿Cuántos numerales del sistema decimal que terminan en 2, se representan con 4 cifras tanto en el sistema de base 4 como en el de base 5? a) 11 b) 12 c) 13 d) 18 e) 5
b) 7 d) 9
e)10
20. Sabiendo que: an ( m ) = bc ( n ) ; m < 5; además el menor numeral de la base “m” cuya suma de cifras es 3
47 se expresa en la “b ” como: Además:
XYZ =
xyzw....
aq
aq
e)6
. 11. Si:
aa .... a
. .
= 1xyz
aq
"kcifras " ( 2 )
Calcule: a + x + y + z + k
Calcule: “k + q”
a) 13
a) 138
b) 14
y tú los primeros…!!!
(n)
b) 139
c) 149
Pag. 20
d) 159
e) 169
08. Si: (n − 1)(n − 1)....(n − 1)(n − 1)
TAREA DOMICILIARIA n230 (m) ; p21 (n) ; n3m (6) ; a2aa (p) Están bien escritos Hallar: “m + n + p” b) 10 d) 14
e)9
02. Si el siguiente numeral:
(m − p)(m + n)(2m + 1)(m + 4)(2m + p)(10 + n) Es capicúa. Calcule: m.n.p. a) 20 c) 35
b) 15 d) 45
"kcifras"
( n)
Hallar: “n + k + b + c”
01. Si los siguientes numerales
a) 8 c) 12
= (n − 5)bco
a) 12 c) 14
b) 13 d) 15
e) 16
09. Determine el valor de “n” Si se cumple:
aba = 2n5 ba ba ba (n)
e) 30 a) 4 c) 6
b) 5 d) 7
e) 8
03. Hallar: “a + b + m” Si:
25 ab ( n ) = mno 2 ( 7 )
a) 6 c) 8
b) 7 d) 9
10. Si: xxyz (7) = 12
16
1(12)
e) 10
1(20) . .
04. Sabiendo que:
.
abc (8 ) = 3000 ( a ) = 1423 ( b )1044 ( c )
1n
¿Cómo se escribe: 40 ( a ) + ab ( c ) en base 10? a) 57 c) 72
b) 61 d) 56
e) 83
05. Una persona caritativa reparte S/.3000 entre cierto número de mendigos entregándolos: S/ 1; S/ 7; S/ 49;… con la condición que no exista más de 6 personas por cada grupo. Determinar el total de personas beneficiadas. a) 8 d) 12
b) 10 e) Más de 12
c) 11
k6 Donde: “n” es máximo Determinar: “x + y + z + k” a) 12 c) 16
b) 14 d) 18
e) 20
NOTAS: _______________________________________________ _______________________________________________
06. Si se cumple:
_______________________________________________
mmm + mo = 1331(12( m ) ) − 363
_______________________________________________ _______________________________________________
2
Hallar: “m – 1”
_______________________________________________ a) 63 c) 35
b) 48 d) 80
e) 99
_______________________________________________ _______________________________________________
07. Si: 101111(2) =
abc ( 4 )
_______________________________________________ _______________________________________________
Halle: a + b + c a) 8 c) 6
_______________________________________________ b) 7 d) 5
_______________________________________________ e) 4
y tú los primeros…!!!
Pag. 21
Dado: a)
CUATRO OPERACIONES Concepto: Parte de la Aritmética que comprende el estudio de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación y división; en el conjunto de los números naturales y luego por extensión en el conjunto de números enteros. Una operación aritmética será: • Directa o de composición: cuando señalados dos números cualesquiera, se obtiene un tercer número como único resultado de dicha operación. • Inversa o de descomposición; cuando conocido el resultado de una operación directa y uno de los números que intervino en dicha operación, se halla el otro número. • 1. Adición (+) Es una operación directa, en la cual para dos números cualesquiera llamados sumandos, se obtiene un tercer número llamado suma o suma total.
a + b = S Donde: *a y b: Sumandos *S : Suma Suma de los términos de una progresión aritmética: + a n a .n Sn = 1 2
ó
Sn =
[
n a + ( n − 1 ).r 2 1
]
Suma de los términos de una progresión geométrica:
Sn =
a 1 1 − r n ó 1− r
a − a n .r Sn = 1 1− r
2. Sustracción (–) Es una operación inversa a la adición en la cual para dos números llamados minuendo y sustraendo se obtiene un tercer número llamado diferencia tal que si: M–S=D
⇒
S+D=M
Donde: *M: Minuendo *S: Sustraendo *D: Diferencia TEOREMA Si: a > c:
ac − ca = xy ⇒ x + y = 9 ∧ a − c = x + 1
abc− cba = mnp → m+p=9 ∧ n=9; a–c=m+1 En general:
y tú los primeros…!!!
abc(n)−cba(n)=xyz(n), se cumple que:
x+z =n–1;
b) y=n–1;
c) a–c=x+1
3. Multiplicación (x) Es una operación directa, en la cual para dos números llamados multiplicando y multiplicador, se obtiene un tercer número llamado producto, el cual es igual a sumar tantas veces el multiplicando como lo indique el multiplicador. axb aa a ....a P " b " sumandos
Donde: * a : Multiplicando * b : Multiplicador * P: Producto Observaciones: * Una multiplicación se considera como una adición abreviada, donde los términos: multiplicando y multiplicador, son llamados factores. * Algoritmo de la Multiplicación: 2 7 3 x 5 8 2 1 13 6 15 8
8 5 3
4 ⇒ ⇒ 4 ⇒
273x8 273x5
Productos Parciales (Producto Total)
4. División () Es una operación inversa a la multiplicación, en la cual, para dos números llamados dividendo y divisor (este último diferente de cero), se encuentra un tercer número llamado cociente, de modo que el producto del divisor y el cociente sea el dividendo. D÷d=q Donde: * D : Dividendo * d : divisor (d ≠ 0) * q : cociente
⇒
dxq=D
En conclusión: Cuatro Operaciones Aritmética
* Adición (+) *Multiplicación (x)
Directas
* Sustracción (-) Inversas * División (÷)
EXTENSIÓN DE LOS NÚMEROS NATURALES (N) En el conjunto de números naturales, al sumar o multiplicar números naturales, se obtiene otro número natural, debido a esto, las operaciones de adición y multiplicación se encuentran bien definidas; en cambio al restar o dividir dos números naturales, el resultado no es siempre otro número natural, la sustracción y la división están parcialmente definidas en los naturales. Para que la sustracción pueda estar bien definida, se extienden los números naturales a otro conjunto de números, llamados números enteros, formado por: +
Enteros positivos: 1, 2, 3, (Z ) Enteros negativos: -1, -2, -3,. . . (Z ) Cero o Neutro Aditivo: 0
Números Enteros (Z)
Pag. 22
Cuando el producto del divisor por el cociente
Z = {..., −3,−2,−1, 0, 1, 2,3 ....}
q e x c . ) es mayor al dividendo. El número de unidades que excede dicho producto al dividendo, es llamado residuo por exceso ( r e x c . ). (cociente por exceso:
∴ COMPLEMENTO ARITMÉTICO (C.A.) Se llama así, a lo que le falta a un número para ser igual a la unidad del orden inmediato superior. * Representación: Sea:
N ( n)
[ ]
C.A. N(n) = nk − N(n) Ejemplos: * C.A (24) =
* *
*
10 2 − 24 = 76
C.A4300(6) 64 4300(6) 1300(6) Método Práctico: A la primera cifra significativa de menor orden, se le resta de la base y a las demás cifras de la izquierda se le resta de la máxima cifra de la base. Estas diferencias obtenidas serán las cifras correspondientes en el C.A. del número. Si hay ceros después de la última cifra significativa, éstos quedan en el C.A. Ejemplos:
*
9 9 9 10 C . A 2 3 4 6 6 6 7 C.A 145000( 7 )
D=dxq Donde: D, d, q ∈ Z y d ≠ 0 II. División Inexacta Es la división entera en la que el producto del divisor por el cociente es diferente al dividendo. D=dxq d≠0
2.1. División Inexacta por Defecto Cuando el producto del divisor por el cociente (cociente por defecto: q) es menor al dividendo. El número de unidades que le falta a dicho producto para ser igual al dividendo, se le llama residuo por defecto (r). dxq
2.
r + rexc = d
3.
q exc = q + 1
ALGORITMO DE LA DIVISIÓN D r
d q <>
⇒
Llamado Algoritmo de Euclides.
D=dxq+r
= 522000 ( 7 )
División Exacta Se cumple que el dividendo es igual al producto del divisor por el cociente.
y
D=dx qexc. −rexc.
= 7654
DIVISIÓN ENTERA Es un caso particular de la división, en la que todos los términos son números enteros. Donde conocido un número (Dividendo), al ser dividido por otro (divisor) se obtenga un tercer número (Cociente) tal que su producto con el divisor sea igual o se acerque lo más posible al dividendo.
Donde: D, d, q ∈ Z
⇒
Propiedades de la División Inexacta 1. 0 < Residuo < d ⇒ Residuo mínimo = 1 Residuo máximo = d – 1
C.A 132(9) 93 132(9) 757(9)
*
I.
dxq exc.> D
un número de “k” cifras, entonces:
D=dxq + r
2.2. División Inexacta por Exceso
y tú los primeros…!!!
1.- Sabiendo que:
C.A .(a+2)(b+3)(c+4)=(a+1)(b−2)(2c) Hallar “a + b + c” a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25 2.- En una multiplicación si al multiplicando se le aumenta 5 unidades, el producto aumenta en 200. Si al multiplicador se le aumenta 7 unidades, el producto aumenta en 91. calcule la suma de cifras del producto inicial. A) 7
B) 13 C) 17 D) 11 E) 14
3.- Se realiza una división inexacta por defecto y por exceso, se observa que el residuo por exceso es 1/8 del residuo por defecto .Hallar la suma de las cifras del divisor sabiendo que al sumarle 72 al dividendo el cociente aumenta en 2 y el nuevo residuo es 2. a) 8 b) 9 c) 10 d) 14 e) 12 4- La suma de dos números uno de ellos de tres cifras y el otro de dos cifras es 686 si el complementó aritmético de uno de ellos es cinco veces el complementó aritmético del otro. Hallar la suma de las cifras del mayor a) 16 b) 15 c) 17 d) 25 e) 20 5.- La suma de los términos de una sustracción es 64. además el producto del sustraendo por la diferencia es el sextuplo del minuendo. Indicar la diferencia del sustraendo y la diferencia.
Pag. 23
a) 20 b) 13 c) 18 d) 17 e) 16
a)1243 b) 1230 c) 1211 d) 1188 e) 1318
6.- Hallar un número de 4 cifras que sea igual al triple de su complemento aritmético. Dar como respuesta la suma de sus cifras.
17.- La suma de los términos de una división inexacta es 276, si la diferencia del divisor menos el cociente es 8 y además el cociente es 6 veces el resto, Determinar el dividendo.
a) 8 b) 12 c) 10 d) 14 e) 18 7.- Si el C.A. ( abca ) = (b + 2)dd 7
a) 202 b) 262 c) 152 d) 242 e) 322 (7)
18.- La suma de los términos de una resta es 15684 y si restamos la diferencia del sustraendo nos da 4788. Hallar la suma de las cifras dela diferencia.
a) 15 b) 18 c) 16 d) 14 e) 21 8.- Calcule el mayor número de 3 cifras tal que al ser dividido por defecto y exceso se obtiene 8 y 5 de residuos respectivamente. a) 996 b) 952 c) 823 d) 987
a) 11 b) 20 c) 15 d) 13 e) 17 19.- El óctuplo de un numero, mas 2 es igual al quíntuplo de la suma del numero con 7. Hallar el número.
e) 998 a) 13 b) 9 c) 11 d) 10 e) 12
9.- En una división inexacta se observa que el divisor es 4 veces más que el residuo y si al residuo se le disminuye 17 éste sería mínimo. Halle la suma de cifras del dividendo si el cociente es los 5/3 del residuo.
20.-Un examen de admisión consta de 140 preguntas y dura 3 horas. Si un postulante dedica 60 minutos para leer y responder 40 preguntas y de cada 10 acierta 5. ¿Cuántas no acertó o dejó de responder?
a) 15 b) 18 c) 10 d) 12 e) 13
(
a) 60 B) 80
)
10.- Si: CA abc8 − cba 8 = 2nm8 . Calcule el residuo al dividir
amnc entre ac a) 8 b) 4 c) 9 d) 6 e) 10 11.- En una división entera, donde el dividendo está comprendido entre 450 y 500, el divisor es 47; si el residuo por defecto excede al residuo por exceso en 23, hallar el dividendo. a) 458 b) 467c) 471 d) 483e) 491 12.- El resto por exceso de una división es el triple del resto por defecto; da el divisor, si el cociente es 15 y la suma del dividendo con el divisor es 520. a) 21 b) 28 c) 40 d) 32
e) 36
13.- Al dividir 593 entre a9b el cociente por exceso es el doble del cociente por defecto; calcular el residuo por exceso, siendo el residuo por defecto 1c8 . a) 197 b) 233 c) 163 d) 217e) 182 14.- En una división entera donde el dividendo está comprendido entre 600 y 700, el divisor es 87. si el residuo por defecto es mayor que el residuo por exceso en 23 unidades. ¿Cuál es el dividendo? a) 609 b) 664 c) 641 d) 696 e) 625 15.- Se divide el C.A. de un número de 3 cifras entre dicho número obteniéndose 5 de cociente y un residuo máximo, hallar el número. a) 241 b) 176 c) 256 d) 143e) 121 16.- En una división al resto le faltan 42 unidades para ser máximo, y si le restamos 23 el resto seria mínimo, Hallar el dividendo si el cociente es los 3/4 del resto.
y tú los primeros…!!!
C) 120 D) 48 E) N.A.
21.- En uno de sus recorridos, un ómnibus recaudó S/. 144 en pasajes. El pasaje es único e igual a S/.4 sin importar el lugar donde suba o baje el pasajero. Llego al paradero final con 8 pasajeros. ¿Con cuántos salió del paradero inicial, si durante el trayecto, por cada dos pasajeros que bajaban subía uno? a) 14 B) 8 C) 22 D) 28 E) N.A. 22.- Conchita ha comprado 1092 plumones a S/. 6 c/u. Por cada docena le regalaron uno. ¿A qué precio debe vender el ejemplar, si desea ganar S/. 1440, regalando 2 plumones por cada docena? a) S/.6 b) S/.7 c) S/.9d)S/.11e) S/.8 23.- Un frutero debía vender 600 naranjas a razón de 3 por un sol y otras 600 a 4 por un sol. Las vendió todas a 7 por 2 soles. ¿gano o perdió cuánto? a) Ganó S/8 c) Perdió S/. 6.50 e) No ganó ni perdió
b) Perdió S/.7.15 d) Ganó S/.3.50
24.- Hallar el menor número cuyo complemento aritmético sea igual al producto de las cifras de las unidades y centenas de dicho número. a) 191 b) 919 c) 991 d) 891 e) 989 25.- Si en una operación de resta al minuendo se le agrega 3 unidades en las decenas y al sustraendo sele agrega unidades en las centenas que pasa con la diferencia. a) Aumenta 20 c) Disminuye 470 e) Disminuye 47
b) Disminuye 20 d) Aumenta 470
26.- Al dividir dos números, una persona que lo hace por exceso da por respuesta el resto, otra persona revisa el resultado y asegura que el primero se excedió en 18 unidades al calcular el resto. Si las dos operaciones están bien hechas, calcular el dividendo si en la segunda
Pag. 24
operación el cociente es el triple del divisor y al resto le faltan 24 unidades para igualarse al divisor. a) 1 806 b) 2 706 c) 1 904 d) 3 512 e) 4 198 27.- En una división inexacta realizada por defecto y por exceso, al resto por exceso le faltan “n” unidades para ser igual al otro resto; al resto por defecto le faltan “2n” unidades para ser igual al divisor, mientras que al divisor le faltan “3n” unidades para ser igual al cociente. Si al cociente le faltan 1410 unidades para ser igual al dividendo, hallar “n”. a) 4 b) 5
01.
Halla: las tres últimas cifras del resultado de sumar: 1+12 + 12312 + … + 123 +1231 +123123 60 sumandos a) 712 c) 720
b) 718 d) 721
e) 790
c) 6 d) 7 e) 8
28.- En una división entera inexacta, cuyo dividendo es 5355 se cumple que el divisor dista tanto del cociente como del resto. Hallar la suma del cociente, resto y divisor.
02.
Halla la suma consecutivos.
45
(n)
; 47
(n)
de
; 50
(n)
los
siguientes
; ; 423
impares
(n)
a) 64 b) 75 c) 196 d) 162 e) 148 29.- Determinar el menor numero entero tal que multiplicado por 33, nos da un producto formado por solo cifras “N°7”. Dar la suma de sus cifras. a) 22 b) 23 c) 24 d) 25 e) 26 30.- Si:
[
a) 20 237 c) 26 243
03.
]
C.A. (a + 1)(b + 3)(c + 2)(d + 2)13 =
(4a + 1)(8b )(2c + 1)(d + 3)13
a) 168 c) 360
04. b) 14
c) 16 d) 13
31.- Si:
abc − cba = 8 × dd d
e) 20
e) 32 123
Determina la suma de cifras de la suma de todos los números de 21 cifras, cuya suma de cifra sea 188.
Halle a + b + c + d. a) 10
b) 24 635 d) 29 529
Si:
b) 197 d) 289
e) 468
ab − ba = m(n − 4)
Calcula:
mn + nm .
a) 132 c) 121
b) 187 d) 143
e) 165
Calcule: a + c + d a) 20
b) 15
c) 17 d) 12
e) 13
05.
32.- Al multiplicar un número por 321, obtuvo como suma de productos parciales 74472; calcular la suma de las cifras del número: a) 4
b) 7c) 11d) 13
Si: cab − bac = bd6 Halla el valor de: b+c×d. a) 40 c) 52
e) 9 06.
33.-¿Cuál es el número comprendido entre 200 y 300 tal que leído al revés, resulta el doble del número que la sigue al original? Indicar la suma de sus cifras.
b) 31 d) 73
e) 66
Si: abc − cba = mn7 ; además; 2 2 2 a + c + n = 98. Halla: “a+c” a) 5 c) 7
b) 6 d) 8
e) 9
a) 16 b) 12 c) 11 d) 19 e) 14 07.
Si:
C .A .
(dbc ) =
Halla: a – b × c 2
2
b) 45 d) 94
Si se cumple que:
C .A .
)( 4c )
2
a) 14 c) 72 08.
7 a ( 2b 9
[
[ cba
(8 )
]=
e) 13
a c b (8 )
]
C.A. (2a)(2b)(2 c) (12) = xyz (12) Calcula: a) 1 332
y tú los primeros…!!!
xyz + yzx + zxy. b) 1 443
Pag. 25
c) 1 554 09.
d) 1 665
b) 267 d) 536
a)
c)
10 n − 9n + 10 27
n +1 − 9n − 10 b) 10
10 n − 9n − 10 27
n +1 + 9n − 10 d) 10
18.
Reconstruir la siguiente división y dar como respuesta la suma de las cifras del cociente.
3 * * * -
19.
Halla la suma de las cifras de un número de 4 cifras que cumple la siguiente condición: “las dos primeras cifras son iguales a las dos ultimas, y su complemento aritmético es igual al número formado por las dos últimas cifras, aumentado en 4”. a) 57 c) 12
12.
Determina el mayor número entero posible que cumple con la condición siguiente: “El complemento aritmético de dicho número es igual al producto de las cifras de dicho número y diferente de cero”. Dar como respuesta el complemento aritmético de la suma de las cifras del número pedido. a) 81 b) 82 c) 83 d) 94 e) 76
27
27 11.
17.
27
n +1 − 9n + 10 e) 10
b) 43 d) 88
e) 34
PU , se
Calcula: C+P+U, si al dividir entre obtiene 15 de cociente y 2 de resto. a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20
e) 454
Si n es un número entero positivo, el valor de la suma: 3 + 3 3 + 3 3 3 + 3 3 3 3 + + 333 33 n c ifra s Resulta:
CPU
16.
Se divide el número 927 entre 22. ¿Cuál es el producto de la cantidad máxima en que puede aumentarse el dividendo, de manera que el cociente no varíe, por el nuevo resto que se generará?
a) 378 c) 195
10.
e) 1 887
* * * * * * * 5 * * 4 * * * * * * * * 6 - - - -
262 ***
a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15
Halla el número de dos cifras, en base 8, que cumple la condición siguiente: “El complemento del complemento aritmético de dicho número, en base 8, es 6”. a) 54(8) b) 37 (8) c)
76 (8) d) 20.
Al dividir un número de tres cifras entre otro de dos cifras, se obtienen 11 de cociente y 25 de residuo. Se les toma el complemento aritmético y se les vuelve a dividir, esta vez se obtiene 7 de cociente y 19 de residuo. Halla la suma de las cifras del dividendo y el divisor. a) 20 b) 31 c) 28 d) 13 e) 29
57(8)
e) 77(8)
Si se cumple que:
FSC = 9 × JF + SC + 95
J + 2F + 3S + 4C = 60 . Halla el resultado de: J+F×S–C. a) 47 d) 19
b) 52 e) 27
c) 35
TAREA DOMICILIARIA 13.
14.
15.
Se tiene un número de 4 cifras significativas, cuya suma de cifras es 24 ¿Cuál es la suma de cifras de su complemento aritmético? a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17
01.
60 2 × 111 111 × 10 + 3 60 cifras Dar como respuesta la suma de las cifras del complemento aritmético.
La suma de 4 términos de una división entera inexacta es igual a 873. Halla el dividendo si el cociente es 23 y el resto la mitad del divisor. a) 456 b) 465 c) 799 d) 421 e) 424 En una división inexacta al resto le faltan 35 unidades para ser máximo y le sobran 29 unidades para ser mínimo. ¿Cuál es el valor del dividendo si el cociente es 23?
a) 1495 d) 1346
b) 1550 e) 1548
a) 463 c) 558 02.
b) 692 d) 601
03.
e) 596
Halla: C×P×U, si:
CPU = UPC + 6XY CPU = 1049 − UPC
a) 54 c) 63
c) 1501
y tú los primeros…!!!
Dado el número adjunto:
b) 36 d) 126
e) 56
Sabiendo que:
Pag. 26
E × DEJE = 21856 T × DEJE = 38248 Calcula:
TE × DEJE
a) 488 924 c) 404 336 04.
DIVISIBILIDAD
b) 489 289 d) 489 245
e) 489 841
Halla el valor de: (C+P+U), Si:
CPU × 452 = 576 a) 13 c) 12 05.
b) 10 d) 14
La suma de dos números es 74 y su cociente, 9, dando de resto 4. ¿Cuál es el número menor? a) 6 c) 7
06.
b) 8 e) 9
(
09.
10.
)
b) 21 d) 17
e) 18
La suma de todos los números de “n” cifras, cuyo producto de cifras es 5, termina en 42. Calcula el valor de “n” sabiendo que es un número de 2 cifras. a) 16 c) 20
08.
e) 5
Si: C .A . abc = (a + 3)(2b)(c − 2) Calcula el valor de: a+b×c. a) 9 c) 15
07.
e) 15
b) 18 d) 22
e) 17
¡Caminante! Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto y los números pueden mostrar. ¡Oh milagro! Cuan larga fue su vida, cuya sexta parte constituyó su hermosa infancia. Había transcurrido además una duodécima parte de su vida, cuando de vello cubrióse su barbilla y la séptima parte de su existencia transcurrió en un matrimonio estéril. Pasó un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento de su precioso primogénito, que entregó, su cuerpo, su hermosa existencia a la Tierra, que duró tan sólo la mitad de la de su padre. Y con profunda pena descendió a la sepultura, habiendo sobrevivido 4 años al deceso de su hijo. Dime: ¿Cuántos años había vivido Diofanto cuando le llegó la muerte? a) 89 b) 84 c) 96 d) 104 e) 82
Un número es tal que al multiplicarlo por 2, por 3 y por 4 da 3 números cuyo producto es 81 000. ¿Cuál es el número? a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18 La cabeza de un pescado mide 20 cm; la cola mide tanto como la cabeza más medio cuerpo; y el cuerpo tanto como la cabeza y la cola juntas. ¿Cuál es la longitud del pescado? a) 160 cm c) 120 cm
b) 140 cm d) 190 cm
e) 130 cm
y tú los primeros…!!!
1. DIVISIBILIDAD DE NUMEROS Un número entero es divisible entre otro positivo (Módulo), cuando al dividir el primero entre el segundo el cociente es entero y el residuo cero. A B 0 K
A =K B
Donde:
Entonces
A: número entero B: número entero positivo (Módulo) K: número entero A es divisible entre B B es divisor de A B divide a A
2. MULTIPLICIDAD DE NUMEROS Un número entero es múltiplo de otro positivo (Módulo), cuando es el resultado de multiplicar dicho entero positivo por un entero cualquiera. A: número entero A=BxK B: número entero positivo (Módulo) K: número entero
A es múltiplo de B B es sub múltiplo de A B es factor a A
Entonces:
NOTA: Podemos observar entonces que la multiplicidad es la expresión del teorema fundamental de la división por lo tanto la Divisibilidad y la Multiplicidad de números son conceptos equivalentes en el conjunto de los enteros, con la restricción hecha sobre el módulo. Así: Si: A es divisible entre B B es divisor de A A es múltiplo B, entonces: B divide a A B es sub múltiplo de A B es factor a A 3. NOTACION Y REPRESENTACION GENERAL A = mB
3.1.
A= B
A es múltiplo B =
mB = B = B x K 3.2. Si A no es múltiplo de B (o no es divisible, que es lo mismo), entonces por el Teorema Fundamental de la división entera: División Entera por defecto: A = B x K + rd División Entera por exceso: A = B x (K + 1) - re
∴ Si: A = B + rd = B - re NOTA: “Si un número entero no es divisible entre cierto módulo, entonces se puede expresar de dos formas respecto a múltiplos de él, como un múltiplo del módulo más cierto resto o como múltiplo del módulo menos cierto resto, la suma de los restos debe ser igual al módulo empleado”.
Pag. 27
Observación: *Ejercicios:
La cantidad de números que son n , en la secuencia consecutiva desde 1 hasta el número N, está dada por:
Hallar: m + n ; si: 10363mn = 125
N n
Cant. de #s = Parte entera de:
3mn = 125 ⇒ 3mn = 375
Solución:
⇒ m=7 ∧ n=5 ∴ m + n = 12
4. PRINCIPIOS OPERATIVOS
n + n + n +.....+ n = n
4.1. Adición:
6.3. Criterio de Divisibilidad entre 3 ó 9
m
*
• •
Ejercicio:
Hallar: “X”, si: 13X 52 = 9
5. TEOREMA DE ARQUIMEDES - EUCLIDES “Si un módulo divide al producto de dos enteros y no tiene divisores comunes (aparte de la unidad) con uno de ellos, entonces divide al otro número”. Ejemplos:
= n
abcd = 9 ⇔ a + b + c + d = 9
4.3. Multiplicación: n . K = n 4.4. Potenciación: n
abcd = 3 ⇔ a + b + c + d = 3
4.2. Sustracción: n - n = n
Solución: 1 + 3 + X + 5 + 2 = 9
⇒
11 + X = 9 X=7
9xA= 7 → A= 7
13 x B = 5 → B = 5
Observación: Si en el producto de los dos enteros, uno de los factores admite divisores comunes con el módulo (aparte de la unidad), entonces para poder usar el teorema, primero se deberá simplificar tales elementos comunes, tanto en el factor como en el módulo. 6. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Definición: Son ciertas reglas prácticas que aplicadas a las cifras de un numeral permitirán determinar su divisibilidad respecto a cierto módulo.
6.4. Criterio de Divisibilidad entre 11 Un numeral es divisible entre 11 si empezando de derecha a izquierda, la diferencia entre la suma de sus cifras de orden impar y la suma de sus cifras de orden par es divisible entre 11. +−+−+
⇔
abcde = 11
a - b + c - d + e = 11
* Ejercicio: ¿Cuál es el valor de “X” para que el numeral 4 X 17 sea divisible entre 11? −+−+
Solución:
4 X17 = 11
Entonces: - 4 + X - 1 + 7 = 11
6.1. Criterios de Divisibilidad entre potencias de 2:
abcde = 2 ⇔
abcde = 4
e = 0, 2
⇔
e = 00, 4
abcde = 8 ⇔ *
e = 000, 8
Ejercicios: ¿Qué valor debe asignarse a “X” para que el numeral 21327X sea divisible entre 8?
21327X = 8
Solución:
6.5. Criterio de Divisibilidad entre 7 Un numeral es divisible entre 7 si al multiplicar cada una de sus cifras (a partir de la derecha) por 1; 3; 2; -1; -3; -2; 1; 3; . . . . y luego de efectuar, la suma algebraica resultante es divisible entre 7. 12 3 12 3 1
X=2
2 3 12 3 1
Resolución: 6.2. Criterios de Divisibilidad entre potencias de 5.
abcde = 5
⇔
abcde = 25
a bcd e fg = 7 ⇔ a - 2b - 3c - d + 2e + 3f + g = 7 + + * Ejercicio: ¿Cuál es el valor de “a” si el numeral 13a372 es divisible entre 7?
⇒ 27X = 8 ⇒
⇒ X + 2 = 11 ⇒ X=9
13a372 = 7 - +
Entonces: - 2 - 9 - a + 6 + 21 + 2 = 7
e = 0, 5
⇒ 18 - a = 7 a=4
⇔ e = 00, 25
abcde = 125 ⇔ e = 000, 125
y tú los primeros…!!!
6.6. Criterio de Divisibilidad entre 13: Un numeral es divisible entre 13 si al multiplicar a cada una de sus cifras (a partir de la derecha) por:
Pag. 28
1; -3; -4; -1; 3; 4; 1; -3; -4; . . . . y luego efectuar, la suma algebraica resultante es divisible entre 13.
En general:
14 314 31
N=a±r
abc def g = 13 ⇔ a - + 4b + 3c - d - 4e - 3f + g = 13 + - +
N=b ±r
*Ejercicio: ¿Qué valor debe tomar “b” en el numeral 128b306 si es divisible entre 13. 14 314 31
⇒
N=c ±r
N = mcm(a, b, c) ± r
8.2. Si con respecto al módulo “n”, los números
, n + a
n + b y n + c se multiplican; entonces:
Resolución: 128 b30 6 = 13
+ - +
n + a n + b n + c = n + a . b . c
Entonces: 1 + 8 + 24 - b - 12 - 0 + 6 = 13
⇒ 27 - b = 13 ∴ b=1
8.3. Para un numeral escrito en base “n”:
n+ e
6.7. Criterio de Divisibilidad entre 33 y 99 Se descomponen el numeral de derecha a izquierda en bloques de 2 cifras y la suma de ellos
abcde ( n) =
n 2 + de ( n )
n3 + cde(n)
es 33 o 99
abcdef ⇔ ab + cd + ef = 33
abcdef ⇔ ab + cd + ef = 99 * Ejercicio: ¿Cuál es el valor de “a+b” si el numeral 13ab54
es 99 ?
1- Si a la izquierda de una cifra se escribe su quíntuplo, entonces el número así formado es múltiplo de: a) 5 b) 7 c) 9 d) 13 e) 17 2.- El número de la forma: abc (2 a )(2b )(2c )(7 ) es siempre
Resolución: 13ab54 : 13 + ab + 54 = 99
divisible entre: a) 23 b) 25 c) 49 d) 7 e) 9
ab = 99 - 67
ab = 99 + 32 ∴ a+b=5 7. DIVISIBILIDAD APLICADA NEWTON 7.1. Primer Caso
AL
BINOMIO
DE
k n+ r = n + r k
3.- La suma a00b(5 ) + b00c(5 ) + c00a (5 ) Siempre es I. Múltiplo de 2 y 7 II. Múltiplo de 2 y 9 III. Múltiplo de 7 y 11 IV. Múltiplo de 9 y 5 a) I y III b) II y IV c) I y II d) I, II, III e) I, II, IV 4.- Cuantos números de 4 cifras son múltiplos de 49? a) 146 b) 176 c) 184 d) 164 e) 189
7.2. Segunda Caso k k n+ r , si " k" es par n− r = k n− r , si " k" es impar.
8. PROPIEDADES 8.1. Si un número es múltiplo de varios módulos, entonces es múltiplo del mcm de dichos módulos; es decir: Si:
5.-Cuantos números son múltiplos de 17 en primeros enteros positivos? a) 175 b) 176 c) 177 d) 178 e) 180
los 3000
6¿Cuántos números de 3 cifras son múltiplos de 7 pero no de 5? a) 104 b) 103 c) 101 d) 102 e) 100 7.- Cuantos números naturales comprendidos entre 5000 y 8000 son múltiplos de 11 pero no de 13? a) 271 b) 262 c) 249 d) 252 e) 274
N=a
N=b
N=c
⇒
N = mcm(a, b, c)
y tú los primeros…!!!
8.- De los 1800 primeros números naturales, calcular respectivamente:
a) Cuantos son múltiplos de 3 y 5 pero no de 2 ?
Pag. 29
b) Cuantos son múltiplos de 3 y 5 pero no de 9 ? Dar como resultado la suma de ambos resultados. a) 160 b) 170 c) 140 d) 130 e) 150
24.- Hallar el valor de la cifra “x” si el número 2x6x8 es divisible entre 13. a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8
9.- Cuantos múltiplos de 6 terminados en 2 existen entre 120 y 1236? a) 18 b) 19 c) 36 d) 37 e) 38
25.- Si el número 8xyx5y es divisible entre 88, dar el valor numérico de x . y. a) 5 b) 2 c) 9 d) 3 e) 8
10.- Hallar el residuo de dividir 424 a) 1 b) 2 c) 9 d) 8 e) 4
421
entre 9
11.- Hallar la diferencia de los residuos de dividir 45
276
÷ 11
o
26.- Hallar “x” si se cumple: 513 x ( 8 ) + 13 x 5 ( 8 ) = 8 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 o
27.- Sabiendo que: a 4 3 2 1 a = 1 3 . Hallar el valor de “a”. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
a) 1 b) 10 c) 8 d) 9 e) 7 12.- Hallar el residuo de dividir el numero N entre 17, 63 siendo N=191 a) 4 b) 13 c) 8 d) 9 e) 6 13.- Hallar el residuo de dividir 43 4365 entre 8 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
o
28.- Si se cumple: mnn58n = 72 . Hallar: “2m + 3n” a) 12 b) 16 c) 17 d) 19 e) 20 o
8.- Dar (a + b) en: a 23 aba = 45 a) 15 b) 12 c) 10 d) 9 e) 8 o
o
14.- el residuo por exceso de dividir N entre 7 es, siendo N ≈ 38
29.- Dar (n + m). si: 2n5n8 = 9 8m3670 = 11 a) 7 b) 8 c) 19 d) 10 e) 11
28
o
30.- Dar a.b en: 4 ab 58 a = 56 a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20
a) 4 b) 3 c) 5 d) 2 e) 6
15.- Si A ≈ 13+ 5 y B 2 6 A xB entre 13 es: a) 1 b) 2 c) 12 d) 11 e) 4
≈ 13− 2 ,
El residuo de dividir
16.- Se convierte el numero 21234 al sistema de base 5 ¿Cual será la cifra de las unidades en dicha base ? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 17.- Hallar el residuo de dividir la siguiente expresión entre 8: 2n n E = 3 + 3 +3, Siendo “n” un numero impar de la forma 2k + 1 a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 7 18.-Al convertir el numero 398 cifra de primer orden es a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 9
ab1
al sistema un decimal la
19.- ¿Cuántos números de 4 cifras que son múltiplos de 7 terminan en 1? a) 125 b) 1286 c) 1280 d) 128 e) 129 20.- Si abcd es un número de 4 cifras, la suma de los números: abcd + dcba siempre es múltiplo de: a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13 o
21.- Sabiendo que el numeral 4abc = 23+ 8 , ¿Cuál es el menor número que se le debe sumar a abc 4 para que sea o 23 ? a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 22.-Dar el valor de a + b, si: a) 4 b) 5 c) 7 d) 8 e) 9
o
5a 07a = 9 (I)
01. En los 860 primeros números enteros positivos: ¿Cuántos son múltiplos de 7? ¿Cuántos son múltiplos de 11? a) 120 y 78 b) 122 y 72 c) 120 y 74 d) 122 y 78 e) 122 y 74 02. En un club se parrandean 200 personas y se observa que de las mujeres la séptima parte posee vestido blanco, 3/5 son casadas y la tercera parte están bailando. Para tal efecto, ¿cuántos varones no bailan? a) 60 b) 45 c) 35 d) 92 e) 55 03. Los docentes del C.P.U. han trasladado a un grupo entre 600 y 700 jóvenes de visita a la Lomas de Lachay y observan que si los agrupan de 5 en 5; de 7 en 7; de 9 en 9 siempre sobran 3 ¿Cuántos jóvenes fueron de visita? a) 615 b) 693 c) 633 d) 630 e) 657
o
04. Si: 462n (8) × 20n6 (8) = 8 , entonces el valor de “n” es: a) 0
b) 4
c) 3
d) 5
e) 8
05. Calcula la suma de los valores de “a” de modo que el capicúa exacta. a) 10
a77a
al ser dividido entre 4 la división es b) 12
c) 6
d) 8
e) 20
23.-Calcular la suma de todos los valores de “w” si el numeral 4ww8 es divisible entre 7: a) 2 b) 9 c) 7 d) 10 e) 11
y tú los primeros…!!!
06. ¿Cuántos números naturales de tres cifras son múltiplos de 7 pero no de 5? a) 108 b) 102 c) 114 d) 154 e) 110
Pag. 30
07. ¿Cuántos números múltiplos de 5 pares de cuatro cifras existen? a) 910 b) 930 c) 950 d) 900 e) 90
º
08. Halla: “x + y”; si: 3x5yx3y(x + y) = 11 a) 9 b) 5 c) 7 d) 6 e) 8 2000 09. Halla el residuo de dividir: 2005 por 7. a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 o
10. Si 24n = 99 + 45 . ¿Cuál será el residuo que se obtiene al dividir “n” entre 33? a) 28 b) 31 c) 19 d) 13 e) 6 o o 11. Si: (X + 2)Y89 = 9 y X8X0 = 8 ; Donde: “0” = cero. Entonces: “X×Y” es: a) 15 b) 14 c) 12 d) 16 e) 24
12. El numeral CPU(2C)(2P)(2U) i.
3
ii. 7
(7 )
iii. 5
siempre es múltiplo de:
iv. 11
v. 23
¿Qué proposiciones son verdaderas? a) Sólo v b) i, ii c) i, iii, v d) ii, iii, iv, v e) Todas son verdaderas 13. Determina un numeral capicúa de cuatro cifras, que al ser dividido entre 63, da como resta 2. Dar como respuesta el producto de sus cifras diferentes. a) 27 b) 18 c) 15 d) 36 e) 24 14. En una caja se tiene de 600 a 650 caniquitas; si se cuentan de 7 en 7 sobran 5; pero si se cuentan de 4 en 4 ó de 5 en 5; sobraría una bolita. Halla la cantidad de bolitas que hay en la caja y dar como respuesta la suma de cifras de dicha cantidad. a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 15. Halla: “C”; si: 1492UNJFSC ( 9 ) = 235 a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 3
16. Con tres dígitos distintos y diferentes de cero se forman todos los números posibles de tres cifras distintas. Para tal efecto, la suma de todos estos números de tres cifras es múltiplo de: a) 37 b) 39 c) 32 d) 35 e) 38
NUMEROS PRIMOS NUMERO PRIMO O PRIMO ABSOLUTO Es aquél número que tiene únicamente dos divisores: La unidad y él mismo. Ejemplo: Números primos menores que 100 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 Observación: Al número 1 no se le considera número primo, por tener sólo 1 divisor que sería él mismo. NUMERO COMPUESTO Es aquél número que tiene más de dos divisores. Ejemplo: Son números compuestos: 4; 6; 8; 9; 10; 12;…
NÚMEROS PRIMOS RELATIVOS COPRIMOS O PRIMOS ENTRE SÍ (PESI) Son dos ó más números que tienen como único divisor común a la unidad. Ejemplo: Dado los números: 20; 18 y 15, se tiene: Número Divisores 20 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 10 ; 20 18 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18 15 1 ; 3 ; 5 ; 15 Se observa que el único divisor común de los tres números es la unidad (1); por lo tanto son PESI.
NÚMEROS PRIMOS ENTRE SÍ DOS A DOS (PESI 2 a 2) Dado un conjunto de tres o más números, diremos que son PESI 2 a 2; cuando al agruparlos de dos en dos resultan ser PESI, respectivamente. Ejemplo: Los números 8; 9 y 25 son PESI 2 a 2; puesto que: • 8 y 9 son PESI • 8 y 25 son PESI • 9 y 25 son PESI
18. Un docente del C.P.U. nació en el siglo XX en una año, tal que, dividido por 9 y 11 los restos son 4 y 6, respectivamente. ¿Cuál es el resto por exceso que resulta al dividir dicho año de nacimiento por 7? a) 2 b) 3 c) 6 d) 4 e) 5
REGLA PARA DETERMINAR SI UN NÚMERO ES PRIMO Para saber si un número dado es primo o no, se deben seguir los siguientes pasos: a) Extraer la raíz cuadrada, aproximadamente por defecto. b) Enumerar los números primos menores a esta aproximación. c) Aplicar las condiciones de divisibilidad del número por cada uno de estos números primos. Si en ninguno de los casos es divisible, se dice que el número es primo.
19. ¿Cuál es la suma de los “n” primeros números naturales divisibles por 5, sin incluir el cero?
Ejemplo 1: ¿Es 139 número primo? Solución:
17. Si se cumple que:
CPU = CP + PU + UC . Halla: C–P+U.
a) 1
b) 0
a) 2 ,5 n 2 − n c) 2 ,5 n 2 + 1
c) 2
d) 6
e) 3
a) b)
b) 2 ,5 n 2 − 1
d)
2 ,5 2 n 2 + n
139 ≈ 11,... Números primos menores que 11,…
p = {2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11}
e) 2,5 n 2 + n
y tú los primeros…!!!
Pag. 31
Luego: 139 ≠ 2 , 3 , 5 , 7 , 11 es decir, 139 no es 0
c)
0
0
0
Se definen:
0
1. Cantidad de divisores de un número N
divisible por 2; 3; 5; 7 y 11.
∴
139 es un número primo. Ejemplo 2: ¿Es 371 número primo? Solución: a) b)
( + 1)( + 1)( + 1)...
D(N) =
Ejemplo 2: Calcula la cantidad de divisores de
371 ≈ 19,...
2. Suma de los divisores de un número N
p = {2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19} 0
c)
Pero;
371 = 7
∴371 no es primo
SD(N)
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMETICA (TEOREMA DE GAUSS) Todo número entero mayor que uno, se puede descomponer como el producto de factores primos diferentes entre sí elevados a ciertos exponentes enteros positivos; dicha descomposición es única y se le llama: “Descomposición Canónica”.
2 2 3
360 =
3. Suma de la inversas de los divisores de un número N
1
3 2 3 5
2 6 18 10 30 90
32 .
SD( N ) N
=
5
N D( N )
PD(N) =
Ejemplo 5: Determina el producto de todos los divisores de 480. CANTIDAD DE FORMAS DE EXPRESAR UN NUMERO “N” COMO EL PRODUCTO DE DOS FACTORES: F(N) …( ) … (3 ) … (9 ) …5( ) …5(3 ) …5(9 )
4 8 12 24 36 72 20 40 60 120 180 360
Ejemplo 1: Halla todos los divisores de 1800, luego determina: a) b) c) d) e) f)
SID(N)
4. Producto de los divisores de un número N
2 3.
TABLA DE DIVISORES DE UN NÚMERO Indicar todos los divisores de 360. Solución: 3 2 360 = 2 . 3 . 5
1 3 9 5 15 45
A +1 − 1 B +1 C +1 − 1 . . ... A −1 B −1 C −1
Ejemplo 4: Halla la suma de las inversas de todos los divisores de 360.
2
3 5
=
Ejemplo 3: Encuentra la suma de los divisores de 1260.
Ejemplo: Descomponer canónicamente el número 360. Solución: 360 180 90 45 15 5 1
Divisores pares: Divisores primos: Divisores compuestos: Divisores con 3 dígitos: Divisores múltiplos de 5: Divisores cuadrados perfectos:
F(N) =
D( N ) ; Si D ( N ) es par 2 1 + D( N ) ; Si D(N) es impar 2
PROPIEDADES P.1 La serie de los números primos es ilimitada. P.2 Varios números consecutivos siempre serán primos entre sí. P.3 La cantidad de divisores de un número N, es igual al número de divisores primos de N.(Dp), más el número de divisores compuestos de N.(Dc) y más 1; es decir: D(N) = Dp + Dc + 1
ESTUDIO DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO Sea “N” un número compuesto, con descomposición canónica:
P.4 Si “p” es un número primo mayor que 3, entonces: 0
P= 0
Donde: • A, B, C <> Factores o divisores primos
, , <> Exponentes enteros
6± 1
Lo contrario no siempre se cumple; por ejemplo:
N = A .B .C ...
•
12 6 .
• 25 =
6 + 1 ; pero 25 no es primo
• 25 =
6− 1 ; pero 35 no es primo
0
positivos.
y tú los primeros…!!!
Pag. 32
INDICADOR DE UN NÚMERO “N” O FUNCION DE EULER: O(N) Sirve para determinar cuantos números menores que un número dado “N”, son primos relativos (PESI) con él. Si: Entonces: O(N) =
A .B .C ...
N=
1 1 1 N .1 − .1 − .1 − ... A B C
Ejemplo: Determinar ¿cuántos números menores y PESI con 12 existen? Solución Nº 1: • Números menores que : 12 = {1, 2, 3, 4,…11} • PESI con 12 = {1, 5, 7, 11} • Rpta. Cantidad de números = 4 Solución Nº 2: 2 1 12 = 2 .3 O(12)
Entonces:
=
O(12)
Rpta:
1 1 121 − 1 − 2 3
Si “p” es un número primo, entonces: O (p) = p - 1
O(5) O(97)
= 97 – 1 = 96
n
O(10 ) = 4 . 10
3.- Para el número 2160, determinar: (i) Cuántos de sus divisores son múltiplos de 2? (ii) Cuántos de sus divisores son múltiplos de 3? (iii) Cuántos de sus divisores son múltiplos de 12? (iv) Cuántos de sus divisores son múltiplos de 15? Dar la suma de todos los resultados. a) 72 d) 95
b) 90 e) 200
c) 124
4.- ¿Cuántos de los divisores de 396000 son divisibles por 3 pero no por 5? b) 36 e) 48
c) 18
5.-Determinar el valor de “n”, si: n N = 15.18 , tiene 144 divisores. b) 4 e) 7
c) 5
6. Determinar el valor de “a” en, si el numero 2 tiene 70 divisores. a) 13 d) 21
b) 17 e) 10
2a
a + 2
+4
,
c) 6
7.- Cuantos divisores comunes tienen los números 180, 240, 3000. a) 12 d) 18
b) 6 e) 36 2
= N +1
3
c) 24
4
n
a)6 d) 12
b) 8 e) 5
c) 10
9.- Hallar la suma de las cifras de un numero N, sabiendo que admite solo dos divisores primos .Su numero de divisores es 6 y la suma de sus divisores es 28.
0
a( ) =p+1 TEOREMA DE WILSON Si “p” es un número primo, entonces: 0
(p - 1)
c) 176
8. Si 10 x 10 x 10 x 10 x…. X 10 Tiene 1369 divisores, cuantos términos tiene la serie.
0
TEOREMA DE FERMAT P-1
b) 177 e) 175
n-1
TEOREMA DE EULER Si: “a” y “N” son primos relativos (a > 1), entonces:
a
a) 180 d) 194
=5–1=4
∈ Z+, entonces:
O(N)
c) 216
2.- Determinar la cantidad de divisores compuestos de: 3. 2 N = 24 21
a) 3 d) 6
Ejemplos:
Sea: n
b) 120 e) 293
a) 24 d) 72
OBSERVACIONES
2)
a) 20 d) 288
=4
Ejemplo 6: ¿Cuántos números naturales no mayores que 180 son primos con él?
1)
1.-¿Cuántos divisores tiene el número: 4 3 N = 12 .15 ?
!+1= p y tú los primeros…!!!
a)5 d) 9
b) 3 e) 7
10.-Se tiene el número 2 a x 5 x divisores es 720. Hallar “a”. a) 2 b) 1 d) 3 e) 5
c) 6
7
y la suma de sus c) 4
Pag. 33
11.-Hallar el valor de “a” si se sabe que el número N = 189 a tiene 133 divisores. a) 6 b) 9 c) 15 d) 22 e) 7 12.- ¿Cuántos divisores de 900 son múltiplos de 2 ó de 3 pero no de los 2 juntos? a) 10 b) 11 c) 13 d) 14 e) 12 13.- Si: aba tiene 3 divisores. ¿Cuántos divisores tiene bab ?
a) 2 d) 6
b) 4 e) 10
c) 5
a) 128
b) 129
14.- Dados: N1 = 14 x 30 y N2 = 21 x 15 Donde la suma de los números de sus divisores es 96. Hallar “n” a) 3 b) 2 c) 8 d) 5 e) 4
c) 125
d) 126
e) 127
02. Hallar el residuo de dividir el cuadrado del producto de los 1000 primeros números primos, entre 8. a) 0
n
b) 3
c) 2
d) 4
e) 6
n
15.- Calcular “P” si: M = 180 x 12P x 452 tiene 88 divisores divisibles por 8 pero no por 5. a) 3 b) 5 c) 4 d) 2 e) 1 16.- ¿Cuántos divisores impares tiene 37800? a) 36 b) 48 d) 72 e) 24
c) 52
17.- ¿Cuántos divisores de 113400 terminan en 1; 3; 7 ó 9? a) 10 b) 13 c) 12 d) 15 e) 17 18.- ¿Cuántos de los divisores de 396000 son divisibles por 3 pero no por 5? a) 24 b) 36 c) 18 d) 72 e) 48 19.- Para el número 980. Determinar divisores múltiplos de 2. a) 3048 b) 2072 d) 1036 e) 2052
la suma de sus c) 1026
21.-Determinar un número de 3 cifras que sea igual a la mitad de la suma de sus divisores. Dar como respuesta la suma de sus cifras. a) 17 b) 18 c) 19 d) 20 e) 21 n
22.-Sabiendo que A = 12 . 30 tiene doble cantidad de n divisores que B = 12 . 30; hallar el valor de “n”. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 k+2
k
23.- Si el número: N = 13 – 13 ; tiene 75 divisores compuestos; indicar el valor de “k”. b) 4 e) 7
y tú los primeros…!!!
03. Si el producto de los 120 primeros números primos, se expresa en el sistema duodecimal. ¿Cuál será su última cifra? a) 4 b) 6 c) 9 d) 10 e) 11 04. ¿Cuántos divisores tiene:
N = 912 − 910 ? a) 210
b) 84
c) 130
c) 5
d) 98
e) 90
05. Si: a, b y c son números primos absolutos tal que: a + b + c = 14. Calcular el número de divisores que posee:
N = a2 + b2 + c 2 a) 27 06. Si:
b) 12 a
b
6 x18
a) 15
c) 8
d) 10
e) 20
tiene 77 divisores. Hallar el valor de: “a.b”.
b) 12
c) 10
d) 6
e) 8
07. ¿Cuántos números positivos de 3 cifras tienen exactamente 3 divisores? a) 6
b) 7
c) 4
d) 5
e) 6
08. Calcule la suma de todos los números primos absolutos de la forma:
20.-Determinar el producto de los divisores múltiplos de 3 del número: 180. 9 18 6 12 18 9 a) 2 . 3 . 5 b) 2 . 3 . 5 12 12 6 12 18 6 c) 2 . 3 . 5 d) 2 . 3 . 5 6 18 12 e) 2 . 3 . 5
a) 3 d) 6
01. Hallar la suma de los 10 primeros números primos absolutos.
a) 346
b) 438
3bc (5) .
c) 348
d) 243
e) 345
09. Sea: N = 13 500 Hallar: * Cantidad de divisores impares. * Cantidad de divisores que son múltiplos de 5 pero no de 25. a) 20 y 16 d) 76 y 16 10. El
b) 16 y 12 e) 76 y 20
número
5100.....00( 9)
c) 20 y 76
tiene
40
divisores
compuestos. ¿Cuántos de ellos son múltiplos de 6? a) 18
b) 27
c) 10
d) 20
e) 4
11. ¿Cuántos números menores que 500 son PESI con él? a) 150
b) 152
c) 200
d) 208
e) 125
Pag. 34
12. Si: “a” es el número de divisores de 150 que son múltiplo de 3, y “b” es el número de divisores de 210 coprimos con 7. Hallar “a + b” a) 6
b) 7
c) 14
d) 11
e) 15
13. Calcular las dos últimas cifras que se obtienen en el 319
desarrollo de: 9 a) 21 b) 45
c) 37
d) 31
e) 89
14. El popular “Don Puño” agrupaba sus 360 monedas en grupos de “n”; luego en grupos de “n – 24” y al final en grupos de “n + 24”, obteniendo siempre grupos exactos. Hallar la suma de cifras de “n”. a) 3
b) 6
c) 9
d) 4
e) 12
15. Se construye la tabla de los divisores de un número, y se observa que es de 3 filas por 3 columnas y que la suma de los divisores de la diagonal que contiene a 1 es 463. Hallar dicho número. a) 441
b) 144
c) 121
d) 961
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
a
03. Hallar “a”, si 36 .10 tiene 12 divisores que son múltiplos de 2 pero no de 5. a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
04. Si: N = a . na posee sólo dos divisores; calcular la suma de valores que toma “n”. a) 15
b) 17
c) 21
d) 26
e) 30
05. Si: N = 2 . 3 . 7 tiene 40 divisores múltiplos de 9 y 30 divisores múltiplos de 2. Hallar: 2a + 3b a
a) 18
b
b) 19
c) 20
d) 21
e) 22
06. Entre dos ciudades hay 588 Km; un vehículo va de una a otra y en el regreso aumentó su velocidad en 49 Km/h, notando que en ambos casos empleó un número entero de horas. ¿Cuántas horas duró el viaje completo, sabiendo que fue mayor que 10 horas? a) 15
b) 12
c) 16
d) 17
e) 18
e) 169 07. Si a, b y c son primos absolutos. ¿Cuántos múltiplos
16. ¿Cuántos polígonos regulares de lados enteros en metros; existen cuyo perímetro sea 60 metros? a) 8
b) 10
c) 12
d) 15
e) 18
17. Si la suma de los divisores del número “N” está dado por: SD(N)=(1+2+...+32)(1+3+9+27)(1+5+...+625) ¿Cuántos de los divisores de N terminan en tres ceros? a) 32
b) 40
c) 48
d) 24
e) 22
de
a3 . b2
a) 56
son divisores de b) 48
N = a5 . b5 . c 5 ?
c) 60
d) 72
e) 80
MINIMO COMUN MULTIPLO – MAXIMO COMUN DIVISOR
18. Si el cuadrado de “N” tiene 15 divisores. ¿Cuántos divisores tiene N? a) 5 d) 8
1. MAXIMO COMUN DIVISOR (M.C.D.)
b) 14 c) 6 e) Hay dos respuestas
Se denomina así al mayor de los divisores comunes de 2 o más números enteros positivos.
ab
19. Si el número ( 50 ! ) se convierte al sistema heptal termina en 320 ceros. Hallar a + b a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
20. “N” es un número de cuatro cifras que termina en un cero y dos ceros cuando se representa en los sistemas de base 77 y 6 respectivamente; además se sabe que tiene 48 divisores, de los cuales 43 son compuestos. Calcular la suma de cifras del mayor número “N”: a) 9
b) 18
c) 27
d) 24
e) 28
TAREA DOMICILIARIA 01. ¿De cuántas formas se puede expresar el número 27 como la suma de dos números primos? a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
02. ¿Cuántos números de la forma: que posean 6 divisores?
e) 6
abab existen tales
y tú los primeros…!!!
Ejemplo: Sean los números 8 y 12. Números 8 12
Divisores 1; 2; 4; 8 1; 2; 3; 4; 6; 12
⇒ Divisores Comunes: 1; 2; 4 El Mayor ∴ MCD (8;12) = 4 Observación: * El número de divisores comunes de un conjunto de números, es igual al número de divisores del MCD de dichos números. * El MCD está contenido en los números. 1.1 Formas Prácticas para determinar el MCD 1.1.1 Descomposición Simultánea Ejemplo: Calcular el MCD de: 42; 48 y 54 Solución:
Pag. 35
42 - 48 - 54 2 21 - 24 - 27 3 7 - 8 - 9 PESI ∴ MCD (42; 48; 54) = 2 x 3 = 6
⇒ Divisores Comunes: 24; 48; 72 El Menor ∴ MCM (8; 12) = 24 Observación:
1.1.2 Descomposición Canónica: Ejemplo: Sean los números:
A = 2 6. 3 5. 5 4
*
B = 2 4. 5 3. 7 2 4
⇒ MCD (A;B) = 2 x 5
3
Explicación: “Se toman los factores primos comunes, elevados a sus menores exponentes”. 1.1.3 Divisiones Sucesivas o Algoritmo de Euclides. Caso General: Calcular el MCD de A y B; donde A > B. q1 q2 q3 q4 Cocientes A B r 1 r2 r3 MCD r1 r2 r3 0 Residuos Ejemplo: Calcular el MCD de: 60 y 36 1 1 2 60 36 24 12 MCD 24 12 0 ∴ MCD (60; 36) = 12 1.2 Propiedades * P.1. Si: A, B y C son PESI. ⇒ MCD (A, B, C) = 1 0
*
*
*
*
*
P.2. Si: A = B , se cumple que: MCD (A, B) = B P.3. Si: MCD (A, B, C) = d, entonces: A=d α B=d β son PESI C=d γ P.4. Si: MCD (A; B) = X MCD (C; E) = Z Entonces: MCD (A; B; C; E) = MCD (X; Z) P.5. Dados los números: m A = x -1 n B = x -1 p C = x -1 MCD (m, n, p) Se cumple que MCD (A; B; C) = x -1
2. MINIMO COMUN MULTIPLO (M.C.M.) Se denomina así al menor de los múltiplos en común de 2 ó más números enteros positivos.
Los múltiplos comunes de un conjunto de números son iguales a los múltiplos del MCM de dichos números. El MCM contiene a los números.
2.1 Formas Prácticas para determinar el MCM 2.1.1 Descomposición Simultánea Ejemplo: Calcular el MCM de 20 y 15. Solución: 20 - 15 4 5 - 15 5 1 - 3 3 1 - 1 ∴ MCM (20; 15) = 4 x 5 x 3 = 60 2.1.2 Descomposición Canónica: Ejemplo: Sean los números:
A = 2 6. 3 5. 5 4 B = 2 4. 5 3. 7 2 ⇒ MCM (A;B) = 2 6 x 3 5 x 5 4 x 7 2 Explicación: “Se toman los factores primos comunes y no comunes, elevados a sus mayores exponentes”. 2.2 Propiedades: P.1 Si: A y B son PESI ⇒ MCM (A; B) = A.B 0
P.2 Si: A = B ; Se cumple que: MCM (A, B) = A 0
P.3 Si: N = A ± r 0
N= B ±r 0
N= C ±r 0
Entonces: N = MCM ( A, B, C) ± r III. Propiedad fundamental: Para dos números A y B; si: MCD (A, B) = d MCM (A, B) = m Se cumple: m = d. α. β
A. B = m. d
Donde α y β son PESI.
Ejemplo: Números 8 12
Múltiplos 8; 16; 24; 32; 40; 48; . . . . . 12; 24; 36; 48; 60; 72;. . . .
y tú los primeros…!!!
Pag. 36
1.-El producto de dos números es 3402 y su MCD es 9, diga cuántos pares de números cumplen dichas condiciones.
12.- La suma de dos números es 2400 , determinar el mayor de ellos sabiendo que los cocientes obtenidos al calcular el MCD por el método de divisiones sucesivas son 3, 1, 3 y 5.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4e) 5 2.- Sabiendo que: MCD ( 35a;5b ) = 70
MCM ( 42a;6b ) = 504
Hallar: a × b
a) b)
1869 b) 1768 988 e) 789
c) 3768
13.- Al obtener el MCD de dos números por el algoritmo de Euclides se obtuvo como primer cociente 3 y primer residuo 272, el segundo cociente es 5 y el segundo residuo es 119, hallar la suma de las cifras del mayor.
a) 168 b) 24 c) 84 d) 12 e) 316 3.- La suma de dos números es 180 y el cuadrado de su MCM es igual al cubo de su MCD; hallar el mayor de los números. a) 108 b) 144 c) 124 d) 132 e) 158 4.- El producto de dos números es 150 y el MCD de los mismos es 5. Hallar la suma de dichos números. a) 10 b) 25 c) 75 d) 50 e) 90 5.- La relación entre dos números es como 14 es a 10. Si el MCD de ellos es 8, hallar la suma de las cifras del mayor.
a) 5 b) 8 c)7 d) 11 e)10 14.- Se halló el MCD de 2 números mediante el algoritmo de Euclides y se obtuvo 10 como resultado, siendo los cocientes 5, 1,2 y 3. El mayor de ellos es: a)
570
b)580 c) 100 d) 630 e) 645
15.- Hallar dos números cuyo MCD es 17; y aplicar el algoritmo de Euclides, se obtuvo por cocientes sucesivos: 2;1;1;1 y 2. Dar la suma de ambos. a) 493 b) 340 c) 680 d) 483 e)542 16.- Al aplicar el algoritmo de Euclides para hallar el MCD de 2 números, se obtuvo como cocientes sucesivos; 2;4;1 y 2. Si dichos números difieren en 204 ¿Cuántos suman?
a) 10 b) 12 c) 18 d) 11 e) 14 7.- La diferencia de los cuadrados de dos números es 700 y el MCD de los mismos es 10. Hallar la diferencia de dichos números. a) 40 b) 23 c) 30 d) 10 e) 35 7.- Se desea dividir tres barras de acero de longitudes 165, 225 y 345cm en trozos exactamente iguales. Cual es el menor número de trozos que se puede obtener. a) 48 b) 49 c) 47 d) 46 e) 50 8.- Se tiene que llenar cuatro cilindros de capacidades 72, 24, 56 y 120 galones respectivamente. Cual es la capacidad del balde que puede usarse para llenar exactamente, si esta comprendido entre 2 y 8 galones. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 9.- Tres ciclistas parten al mismo tiempo de la misma línea de una pista circular. En cada vuelta tardan respectivamente 20, 35 y 50 segundos ¿Cuantas vueltas habrá dado cada un de los ciclistas respectivamente, hasta el momento que pasan los tres al mismo tiempo por la línea de partida? a) 40, 35 y 25 b) 35, 20 y 14 c) 70, 5 y 10 d) 10, 7 y 15 e) 50, 20 y 35 10.- El MCD de 36k, 54k y 90k es 1620 hallar el menor número de los tres mencionados a) 3240 b) 3600 c) 3480 d) 3120 e) 3220
a) 270 b) 504 c)540 d) 570 e) 620 b) 17.- Hallar la suma de dos números enteros de MCM = 22400y tales que en el calculo del mcd mediante divisiones sucesivas se obtiene 2, 5 y 3 sucesivamente como cocientes. a)
2040
b) 2250 c) 2240 d) 2050 e)2010
18.- La suma de dos números es 1200 determinar el mayor de ellos sabiendo que los cocientes obtenidos al calcular el MCD por el método de divisiones sucesivas son 3, 1, 3 y 5. a)
918 b) 948
c) 884 d) 984 e) 988
19.- En la determinación del MCD de dos números por el algoritmo de euclides los residuos sucesivos son L, 24 y 12, los tres primeros cocientes son 3, 5 y 4. Determinar las diferencia de los números. a)
1326
b) 1236 c) 2136 d) 536 e) 736
20.- Si el MCD de 10A y 15B es 625 y el MCM de 14A y 21B es 31500, entonces AxB es. a)
562500 b) 93700 c) 93750 e) 112500 e) 87350
21.- La suma de dos números es a su diferencia como 8 es a 3, el MCM de los números es 55 veces su MCD.-Hallar la suma de dichos números sabiendo que son los mayores posibles y que tienen dos cifras. a) 132 b) 144 c) 156 d) 127 e) 151
11.- En la determinación del MCD de dos números PESI se encontraron como cocientes sucesivos a 2, 3, , 11 y 5, Hallar la suma de las cifras del mayor. a) 13 b) 11 c) 7 d)9 e)6
y tú los primeros…!!!
Pag. 37
01. Si: MCD
A 2 6 , A, A = 26 .Hallar 7 3 5
la suma de
cifras del menor A posible. a) 15 d) 10
b) 18 e) 12
c) 9 a) 452 d) 343
02. Si los cocientes sucesivos obtenidos en la determinación del MCD de A y B mediante el algoritmo de Euclides, han sido 14; 1; 1; 1; y 2 respectivamente y si ambos números son primos entre sí, ¿Cuál es la suma de éstos? a) 125 d) 135
b) 130 e) 120
03. Hallar MCM (A,B) si: MCM (2A; 4B) = 800 MCM
c) 117
b) 5 000 e) 4 000
c) 2 000
05. La suma del MCM y el MCD de dos números es igual a 4968. De los números, el menor es la tercera parte del mayor. Hallar los números y dar como respuesta la suma de cifras del número mayor. a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18
06. Hallar 2 números tales que el MCM y el MCD son 252 y 12 respectivamente. a) 12 y 48 b) 36 y 84 c) 12 y 258 d) 870 y 120 e) 48 y 28 12
07. El MCM de: 2 – 1 y 2 – 1 es: Dar como respuesta la suma de cifras de uno de sus factores primos. a) 9 d) 12
b) 10 e) 14
b) 2 100 e) 700
c) 1 400
a) 20 d) 25
b) 22 e) 27
c) 24
12. Se quiere plantar a lo largo de las orillas de un terreno rectangular, cierto número de rosales, igualmente espaciados, de manera que la distancia de un rosal al siguiente sea, como mínimo 1 m y como máximo 2 m y que haya un rosal en cada ángulo del terreno. La longitud de este es 14,84 m y la anchura 10,60 m. ¿Cuántos rosales son necesarios? a) 45 d) 48
b) 46 e) 49
c) 47
13. La distancia entre dos línea de una vereda es 1,20 m. Si se empieza a caminar pisando la raya con velocidad de 3m/s y 75 cm de longitud de paso. ¿Cuánto tiempo se debe caminar hasta pisar la raya por 34ava vez; si se empezó a caminar con la derecha? a) 60s d) 63
b) 62 e) 66
c) 65
c) 13
08. Se han colocado postes igualmente espaciados en el contorno de un campo triangular cuyos lados miden 210, 270 y 300 m respectivamente. Sabiendo que hay postes en cada vértice y que la distancia entre poste y poste está comprendida entre 10 y 20 m. Calcular cuántos postes se colocaron. a) 50 b) 51 c) 52 d) 48 e) 60
09. En una avenida que posee cuadras de 100m cada una, se desea plantar árboles de manera que en
y tú los primeros…!!!
c) 236
11. ¿Cuántas cajas cúbicas como máximo se podrán utilizar para empaquetar 24 500 barras de jabón cuyas dimensiones son 20 cm, 14 cm, y 10 cm, de modo que todas estén completamente llenas?
04. ¿Cuántos múltiplos comunes de 4 dígitos tienen los números 24, 50 y 60? a) 13 b) 12 c) 15 d) 16 e) 18
9
b) 217 e) 324
10. Cuatro barcos de una empresa naviera salen al mismo tiempo del Callao y se sabe que el 1ro. de ellos tarda 25 días en regresar y permanece anclado 3 días el 2do. 45 y 5 días; el 3ro. 32 y 3 días y el 4to. 60 y 10 días respectivamente. ¿Cada cuánto tiempo zarpan los 4 barcos a la vez? a) 350 d d) 1 715
y
B 4 A; = 2500 2
a) 2600 d) 1 200
cada cuadra la distancia entre árbol y árbol sea la misma (un número entero de metros) y el número de árboles diferente; al cabo de 9 cuadras ¿Cuántos árboles se habrán plantado? (a ambos lados de la avenida).
14. Hallar la suma de dos números; uno de 20 divisores y otro de 12 divisores, sabiendo que el MCM es 720. a) 90 d) 768
b) 250 e) 330
c) 25
15. Si MCM (A, B) = 2A y MCD (A, B) = A/3. Hallar el valor de “A” sabiendo además que A - B = 168. a) 540 d) 505
b) 504 e) 506
c) 545
Pag. 38
16. Un número entero de 3 cifras y su complemento aritmético tienen como MCD a 200. ¿Cuántos números cumplen con esta condición? a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
17. Al calcular el MCD de un numeral de 210 cifras todas ellas 4 de la base 9 y otro de 180 cifras todas ellas también 4 de la base 9. Calcular la suma de cifras del MCD de dichos números. Dar como respuesta en la base 10. a) 81 b) 144 c) 24 d) 120 e) 150
18. Si MCD
5B 3 A, =8 2
y MCD
A 2B , = 2. 4 7
Hallar la suma de cifras del mayor B posible de 3 cifras. a) 20 d) 21
b) 25 e) 18
c) 23
19. Al calcular el MCD de A y B mediante el algoritmo de Euclides, los dos primeros residuos fueron 54 y 36, si la suma de los cocientes es 10. Hallar el máximo valor posible de A. a) 810 d) 774
b) 667 e) 711
c) 846
TAREA DOMICILIARIA
01. Si
A 5A 6A MCD ; ; = 30 . Hallar el valor de A. 3 7 9
Dar como respuesta la suma de sus cifras a) 12 d) 9
b) 18 e) 10
MCD (A, B) = 44, MCD (B, C) = 33 y A+ B + C = 275, Hallar MCM (A, B, C). a) 393 b) 350 d) 398 e) 396
c) 14
a) 2 d) 84
b) 31 e) 54
(
c) 18
)
04. Si se sabe que MCD 3a 3, N = 19 . Hallar cuántos valores puede tomar N si es mayor que 200 pero menor que 500. a) 15 d) 18
b) 12 e) 17
c) 10
05. El MCM de dos números es 288 veces el MCD, el mayor de estos números tiene 7 divisores. Determinar la diferencia de estos números. a) 40 d) 45
b) 43 e) 48
c) 46
06. Al encontrar el MCD de dos números mediante el algoritmo de Euclides, se obtuvo como cocientes sucesivos 3, 1, 4 y 2. Hallar los números si la diferencia es 310. Dar como respuesta la suma de cifras de ambos números. a) 6 d) 8
b) 7 e) 11
R + 2 2
07. Si: MCD (A,B) =
c) 5
, MCD(C,D) =
2R − 5 3
y
MCD (A,B,C,D) = 9. Calcular R si es un entero mayor que 120 pero menor que 130. a) 120 b) 112 c) 128 d) 152 e) 124
08. La diferencia entre 2 números es 44 y la diferencia entre el MCM y el MCD es 500. ¿Cuál es el mayor de dichos números? a) 82 b) 48 c) 56 d) 72 e) 42 09. Tres números son como A, 21 y 32 de menor a mayor. El MCD de los 3 es 78 y el de los menores es 546. Hallar la suma de las cifras del segundo. a) 21 b) 18 c) 12 d) 15 e) 20
02. Si
c) 375
03. El producto de dos números enteros positivos es 360. La suma de los cocientes obtenidos al dividir cada uno de ellos por su MCD es 7, y el producto de estos cocientes es 10. Entonces el valor de la diferencia de estos números es:
y tú los primeros…!!!
10. 3 ciclistas parten simultáneamente de un mismo punto con velocidades de 10, 15 y 16 m/s. El primero deja en el camino una señal cada 7 segundos, el segundo cada 16 segundos y el tercero cada 20 segundos; ¿Qué distancia debe recorrer el primer ciclista para encontrar las señales de los otros dos juntos? a) 6 720m b) 1 440 c) 900 d) 960 e) 920
Pag. 39
ECUACIONES EXPONENCIALES Son aquellas en las que la incógnita esta como exponente y también como base y exponente a la vez.
2.
PROPIEDAD 1. Si: am = an m = n
x
3.
4.
x
Hallar “x” en: 83
1
2
( 2)
Por exponente negativo: xx = (-2)(-2) Por analogía: x = -2
6.
7.
b) 2 e) 6
Resolver: x x 3
11.
y tú los primeros…!!!
c) 9
b) 2 e) 5/2
c) 3/2
9
n
Hallar “x” en: (nx) x nn
b) nn+1 n e) n
Resolver: x x
x2 2
a) 2 d) -2
1 2
b) 5 e) 1/5
4
d) n
n
c) 1
Resolver: 3x-1 + 3x-2 = 108
n
10.
c) 19/9
b) -1 e) 3
a) nn-1
Ejemplo: Resolver:
c) 8
Resolver: 2x+5 + 2x+4 + 2x+3 = 28
a) 2/3 d) 4 9.
(n 2) veces
Resolver: 2x . 23x-5 . 25x-9 = 25
a) 3 d) 7
8.
c) 3
b) 2 e) -2
a) -2 d) 2
ax = bx a = b ⇔ a > 0 ∧ b > 0 Además: Si: x = 0 ⇒ a b
(5n)x = (n + 2)x De la ecuación se deduce: 5n = n + 2 Efectuando operaciones:
x
29
Resolver: 8 . 8 . 8 ........ 8 4 . 4 ....... 4
a) 1 d) 3
xx
3
c) 4
b) 4 e) 3/4
a) 4 d) -8
Ejemplo:
3.
b) 2 e) 3
n veces
5.
Resolver: x-x = 4 Expresar el exponente negativo y el 4 como potencia de 2: 1 22 xx Efectuando operaciones: 1 xx 22 El 22 también se puede expresar (-2)2:
c) -3
Resolver: 814x-1 = 9x+5
a) 2 d) -1
8 5
xx = aa x = a
b) 3 e) -1
a) 1 d) 5
a 0, 1, -1
;
Ejemplo: Resolver: 25x-1 = 1252-x Después de expresar 25 y 125 como potenicas de 5, tenemos: (52)x-1 = (53)2-x Efectuando operaciones en los exponentes: 52x-2 = 56-3x Bases iguales, exponentes iguales: 2x – 2 = 6 – 3x Resolvemos y obtenemos que:
Si:
x 3 x Hallar “x” en: 25 225
a) 1 d) 4
Ejm.: • 3x + 3x+1 + 3x+2 = 39 • x-x = 4
2.
1.
Resolver: x x
4 b) 4 e) -4
18
6
c) n
c)
2
3
Pag. 40
a) 2 6 d) 3
2
b) e)
18
a) 1 d) 4
3
c)
Resolver: x x
a) d)
13.
15 15
20
3
3
5
b)
15
e) 5
Resolver: x
x 22
x
Calcular: E
5
5
5
15
c)
5
5
23.
24.
a) 1/4
b) -1/4
d) -1/2
e) 1 / 2
c) (5/2)5/2
b) 5/2 e) 5-1
4x 4 Calcular el valor de “x” en: 0,5256
a) 3/2 d) 2/5
c) 1/2
4-x
b) 2/3 e) -3/2
Hallar “x” en: x x
6
c) -2/3
2
2
Resolver: x + 2 = 6x
b) 7/2 e) 1
1 x
Resolver: 3
2x
26.
x4
9
2
81 x
c) 6
27.
Resolver: 125x-3 = 252x+1
x b) 1/3 e) 81
Hallar (x . y)6 si: 3x a) 30 d) 84
b) -3 e) 1
1
81
4x
a) 3 d) 1/81
24
2
e)
Si: x 81
c) 2 2
2
b)
Hallar: M
c) 1/2
b) 4 e) 10
a) -2 d) -11
4
d) 3 2
b) 1/3 e) 2
Hallar “x” en: 27
a)
c) 3/2
x 4x 2
a) 2 d) 8 17.
Si: 4x – 4x-1 = 24
a) 5 d) 55
x
a) 1/4 d) 1/16 16.
c) 3
Calcular el valor de: N = (2x)2x
2
a) 4 d) 2
15.
b) 2 e) 5
Resolver: (2x)x = 212 a) 1 d) 4
25. 14.
c) 3
3 22.
12.
b) 2 e) 5
x3
. 2y
c) 1/9 y2
108
b) 72 e) 42
c) 36
c) -10 28.
Hallar la suma de valores de “n”: 64(2n-5)n – 729(3n)n-5 = 0
18.
bn .
Hallar “n” si:
4
a) 12 d) 10
19.
b) 24 e) 9
Hallar “x” en:
3
9x
5
a) 1 d) 4 20.
bn b27
12527
a) 4 d) 7 c) 36 29.
x 1
b) 2 e) 2/3
b) -1/3 e) 1/7
De la igualdad: x ( x 1) Calcular: x a) 2 d) 7
c) 3
Resolver: 32x-1 . 3x-2 . 33x+7 = 27
a) -1/2 d) 1/5
b) 5 e) 8
30. c) -1/6
2
c) 6
2x 1
1 x b) 4 e) 10
c) 5
2 Resolver: x x x 13 x 2 12
a) {-4; +3} d) {0; 4}
b) {4; -3} e) {4; 3}
c) {4}
s 21.
x+4
Resolver: 3
x+2
+3
x
+ 3 = 273
y tú los primeros…!!!
Pag. 41
9.
Calcular a y b en la ecuación exponencial:
a bb a = 2 2 ;
1.
Calcular
10.
x2 + 5 3
4
2
5 2
c)3
b) −
5 2
c)
1 8
3
c) 1 y 1 2 4
− 3 x
x +1
14.
12
15. n
= 0 , 0625
c) 255 17.
4
b) 1 2
, calcular “xy”
1
x
2
12
En la siguiente ecuación: x
( ) el valor de “x” es:
− 256 = 60 4
x
b) 24 e) 3
c) 27
Si los enteros m y n satisfacen la siguiente relación:
(
m+n
)( m
2
m+n
6
)
n
= 18
La suma de las soluciones de:
( )
( )
y
c) 1 16
b) -6 e) -5
c) -3
El valor de “b – a” de modo que se cumpla la ecuación 64b − 8a + b = 56 × 26 a es: a) 0 b) 1 d) -1 e) -2
−1
4 y
e)
es: a) -4 d) -7 16.
Resolver la ecuación exponencial
=
3
x
6
3
64 22 x + 1 = 65 2 x
c) 5
b) 562 e) N.A
3
12
c)
n −1
indicar el valor de “n + a” a) 4 b) 3 d) 6 e) N.A.
x 2 x − 0 , 25
2 3
6
3
=
∞ 6 x
Entonces también satisfacen: a) m = 2n b) 2m + n = 0 c) m + n = 0 d) m + n = 0 e) N.A
c) 3
a n + 3 = (2 a ) = (4 a )
1 3
2 )
c) 8
a) 18 d) 9
4n
= 1 ,5
Dadas las condiciones
4 x
12 8 4 (1 + 3
8
Hallar “x” en:
d) 13.
b) -2 e) N.A.
x
k
b) 4 e) 32
a) 2 b)
x +1
4
=
∞ 10 + x 10 + x x 10 + x
x0,5
d)
12.
k k + 1
e)
k
Calcular x2, si:
16
Después de resolver:
k
a) 2 d) 16
2 5
= 0,5 “x” toma la forma de Luego de resolver : x donde “n” es igual a: a) -4 b) -7 c) -10 d) – 12 e) -16 Resolver la ecuación exponencial
a) 1 4
kk
k
c)
x x x
e) N.A.
a) 652 d) 256
b) kk+1
3
b) 1 4
a) 2 d) -3
8.
d)
2 2
Resolver: x 2 x =
2
Resolver:
e) 4
2
7.
e)
a) kk
4 x + 2 + 4 x + 4 + 4 x + 5 − 81 = 0 −1 indicar: x + x
d)
6.
6
11.
16
5.
2
b) 2 e) 5
a) 1
4.
x = 81
2 d) − 5 3.
d) 5
dar como respuesta “a.b” c) 4
k k +1 k x x = k k
Resolver:
a)
b) 3
a partir de:
a) 1 d) 4 2.
a) 2
c) 2
Si: 34(z −1) =
1 ( 3)w
hallar el valor de: “z” a) 2 d) 1
∧ 5 w − 3 = 25 z
b) 3/2 e)5/8
c)1/2
e) N.A.
y tú los primeros…!!!
Pag. 42
LEYES DE EXPONENTES
4.
División
am an
Son definiciones y teoremas que estudian a los exponentes a través de operaciones de potenciación y radicación.
II)
EXPONENTES IGUALES 5. Multiplicación n
6.
la base es ______________ el exponente es ______________ la potencia ______________
División
an
a n bn b
DEFINICIONES 1. Exponente Natural
xn x . x . .......... ...... x
;xRnZ
+
III)
([ a]m )n P a mnp
Ejm.: 5 • b =b.b.b.b.b
• • • •
4
1 2 3 • (-3) = Exponente Cero
Ejm.: 0 • 4 =1 0 • (-3) = 1
6
0
-2 = 0 (-2) =
31. Reducir: M
152 . 25 . 49
Exponente Negativo x n
1
•
a)
+
xn
32
•
(-4) =
•
1 2
1
2
3
1 9
b)
1 2
c)
1 9
e) 5 2n 4 2n 3
32. Simplificar: N
-3
4
352 . 452
1 3 1 d) 5
; ; x R – {0} n Z
Ejm.:
2n 4
33.
a) 2 d) 1/2
•
b) 3 e) 1/5
c) 1/3
31 25 8
TEOREMAS I)
2 3
(3 ) = 3 = 729 2.2.5 2 2 5 x = {(x ) } 2 3 4 {(2 ) } = 2.3.5 x =
; xR–{0}
0
x =1
3.
; b0
EXPONENTE DE EXPONENTE
n veces
2.
n
Ejm.: 4 4 4 4 • x y z = (xyz) 3 3 3 • (2b) = 2 . b 2 2 2 • mnp = 4 • (3x) =
a: base, a R n: exponente n Z P: potencia P R
n
a =P
•
n
a . b = (ab)
POTENCIACIÓN
Ejm.: 2 • 4 = 16,
am n ; a 0
34. Calcular: F 32
BASES IGUALES 1. Multiplicación m
a) 1 d) 4 n
b) 2 e) 5
c) 3
m+n
a .a =a Ejm.: 4 2 6 • 2 .2 =2 n+4 n 4 • x =x .x 4 3 • 3 .3 = a+c • x =
y tú los primeros…!!!
35. Efectuar: M
x 4 . x 6 . x8 . x10 ........ x 40 x . x3 . x 5 . x 7 ....... x37
Pag. 43
60
54
a) x 63 d) x
57
b) x 51 e) x
36. Simplificar: 1 1 2 N
1
2
c) x
1 1 3
3
a) 287 d) 123
E
1
1 1 4
4
b) 281 e) 435
c) 235
37. Halle el exponente final de “x”.
"b" veces
(x a )bc . (xbc ) a . x ac . x ac ...... x ac
b) 1 e) 4
38. Si: x
xx
2
a) 2 2
e)
39. Si: b a 5 a b ba 1
a) 30 d) 35
b) B e) E
44. Reducir: E
xm n mn x2m 2n xm n mn x2mn
50
2(m+n-mn)
c) x
b) 81 e) 729
c) 1/81
2 a 2 . 4 a 2b 8 a 2 . 16b 2
c) 4 a) 1 d) 1/2
2
1 2
47. Reducir: T
b) 32 e) 33
c) 34
54
a) 6 41 d) 7
c) C
a) 1 b) x m+n-mn d) x e) No se puede
46. Calcular: P
7 60 40. Calcular: E 7 2 . 7 50 . 49 42 77
n
a) A d) D
c) 2
b) 1/2
Calcular: R a
Reducir: S A
n 45. Si: n = 1/9. Hallar: E n 2
x
4
E
DE BC
a) 243 d) 1
xx Calcular: P x x
d)
1
ED
5 n
((x3a )b )c a) 0 d) 3
A
43. Conociendo que: CD A ; CB
c) 7
c) 4
36 . 10 2 . 27 64 . 5
a) 6 d) 15
b) 9 e) 5
48. Simplificar: E 55
b) 7 e) 1
b) 2 e) 1/4
c) 3
2n 3 2n 2 2n 1 2n 2
a) 1/2 d) 4/5
b) 3/2 e) 7/6
c) 5/2
m
41. Si: 2 = 3 ; reducir: L
52 . 2n 2n 1 32 . 2n
a) 3/4 d) 2/9 42. Si: x
3m 3 22 . 3m 1
b) 4/3 e) 7/5
c) 6/5
1 3 x
a) 1 d) 4
b) 21 e) 24
1 x x 1 x x c) 15
y tú los primeros…!!!
c) 3
x2 . x 4 . x 6 . x 8 . x10 x . x3 . x 5 . x 7 . x 9
5
1 x 1 x W x x
2 1
b) 2 e) 5
50. Efectuar: M
Hallar el valor de:
a) 18 d) 20
49. Calcular: A 27
9 4
a) x 10 d) x
b) x 9 e) x
51. Simplificar: 1
1 A 3 3
1
c) 2x
1
1 2 2
1
( 1)2003
Pag. 44
a) 15 d) 30
b) 20 e) 32
52. Simplificar: T
(b
a
a
c) 25
(a )
)
(b a ) b c
b) b/a e) 1
Si: x x = 4 1 + 1 x2 256 .x Hallar: E = x
b c
b c a
a) 1/ab d) a/b
8.
c) ab
a) 3 d) 4 9. 1.
a b
b a
x + x x a + xb
c) 256
El equivalente reducido de:
a aa aa −a
; Para a ≠ 0
a) 1/ a
-1
-2
a) x -4 d) x
-3
b) x -5 e) x
c) x
x
b) 2 e) 3
2aa aa a a aa + a a
Si a + b = ab Simplifique:
x
d) a
b)
a
c) a
a
e) a − a
a
10. Simplificar la expresión: 2.
Sabiendo que: a = 2 : b = 3 Calcular b
a +1
ab
+ ba
a
b +1
a) 13 d) 16
3.
b) 14 e) 17
3 n +1 + 2 2 n +1
Efectuar: W =
3 +2 n
a) 1 d) 2
4.
2 n +3
c) 15
3 n −1 = 2 2 n
Si
b) 0 e) N.A.
c) n
b) 10
Hallar:
1 + ( xy )− n
Sabiendo que:
c)
a) 3 d) 5
b−1 a
x
a−1 b
x
c)
b
e) N.A.
b) -2 e) 4
c) 2
3
halle el valor de: a) 10 d) 10/3
b x+y b) ab e) 2
c) b/a
2
2
81 ÷ 3 81 ÷ 3 81 ÷ ... b) 3 e) N.A.
c) 3/10
15. Sea:
F ( x) =
3
x . 3 4 x .4 5 x ...14 15 x
13 60
Hallar F ( 9 a) 1 d) 81
8 + 8m
8m−1 + m−1 8 b) 4 e) 6
a −1
m −1 m
Reducir:
b)
x
14. Proporcionar el equivalente de:
3
3a −1b 2 x + a.b 2 y
a) 1 d) a/b
7.
a
5. 5. 5...∞ . 2
b x−y = a
S=
a −1
a) 1 d) 3
b) 1/3 e) 3
a
E = 5 10 x + 5 10 x + 5 10 x + ...∞ radicales
y = 2 − 31
6.
a
c) xy ab
Calcular:
Si: x = 2 + 31 a) 2 d) 4
xa .b y
13. Siendo: x = 3 + 2 3 + 2 3 + 2 3 + ...∞ radicales.
c) 15
xn + y −n + n x−n + y n n
b
y
11. Simplificar: E = xb . xb . xb ...∞ 12.
d)
e) N.A. n
a xb a
b) x ab y e) 1
a) xy d) x / y
a)
6n + 10n + 15n Efectuar: k = n 2−n + 3−n + 5−n a) 6 d) 30
5.
E = a −2 − b −2
) b) 3 e) 27
c) 9
c) 8
y tú los primeros…!!!
Pag. 45
Ejm.: 3
•
3
•
LEYES DE EXPONENTES 2
5 .
4
• II)
2.3 3 4
8 .
3
3
2.
3
25 32
RAÍZ DE UNA DIVISIÓN n
n x
n
y
RADICACIÓN n
3
;
y
y0
Ejm.:
a b
n: es el índice; n N ∧ n ≥ 2 a: es el radicando b: es la raíz enésima
3
•
Ejm.: •
x
3
el índice es ______________ el radicando ______________ la raíz cúbica ______________
3
3
10
•
125 5 ,
81
2x 3
•
3
81 3 27 3 3
2
16
DEFINICIONES 4. n
x y yn x
; nN n2
III)
RAÍZ DE RAÍZ m n p
(x R, además, cuando n es par, x 0) Ejm.: 2
•
3
•
4
• 5.
25 5 5 25
3
•
8 2
2
120
m.n.p
x
2
3 5 4
•
16 2
1 n ( x) n x
4 5 6
•
2
x
1 024
CASOS ESPECIALES ; n0
•
m
xr .
n
ys .
p
zt
m.n.p
xr.n.p . y s.p . z t
Ejm.: • • • 6.
41 / 2 1/3 27 = 1/4 81 =
2
4 2
Ejm.: •
m n n ( x) n ( x ) m x m
S a b c m
xa
n
xb
p
xc
3
x2
3
x2
3
x2
; n0
m.n.p
x ( an b)p c
Ejm.: Ejm.: • • •
3
( 27 ) 2 / 3 ( 27 ) 2 ( 3) 2 9 -3/2 25 = 4/3 64 =
•
m
TEOREMAS I) RAÍZ DE UNA MULTIPLICACIÓN INDICADA n
xy
n
x .
n
x x x
•
xa
n
xb
p
xc
mnp
x ( an b)p c
Ejm.:
y
y tú los primeros…!!!
Pag. 46
• •
3
x
2
x
5
x
4
x
6
6
x
7
a) x -4 d) x
x
•
9
b) x -7 e) x
c) x
7 n 3n
60. Calcular: S n
7 n 3 n
a) 7 d) 1/7
b) 3 e) 1/3
c) 21
2
53. Reducir: N a)
12
3 2
a
.
4
a3 .
a 47
a5 46/12
b) a
12 11 a3 a 11 d) a
M
c)
a) 0,2 d) 0,8
b) 0,4 e) 1,4 6 56
47
e) a
62. Reducir: R
54. Reducir: 3 4
7 22 .
24
7
a) 0 d) 4
3 24
2
2 10n 6n 61. Simplificar: T n 2 2 25n 15n
7 2
3
24
8
b) 1 e) N.A.
72
73 7
c) 2
56
73
a) 1 d)
c) 0,6
6 56 56
b) 2
5
6
c) 3
e) 6
a
63. Si: a = a + 1 1 2a 55. Reducir: R a 1 2 a
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5 a b
56. Calcular: S
c) 3
72a 21 a b
a) 1 d) 7
Calcular el valor de: E a a a) a b) a a+1 -a d) a e) a
a b
a b x Reducir: N a x
7 a b
b) 10 e) 2
a) x d) –x
1
b) 1 e) 4
a)
3
d) 2
3
22
2 3
4
65. Reducir: W x . a) 1/x d) x
c) 2
b)
2
23 3
3
27
5
8
c)
3
45 factores
59. Efectuar: A
x .
x ..........
3
x
x . x .......... x
x 3 x 1
12
x .
20
x .......... ...
ab
x a b .
c) 2/x
bc
xb c .
ac
xc a
c) 2x
67. Indique el exponente final de “x” al reducir: n
x n 1
20
x .
b) x e) 0
E
3
4
6
c) x/2
b) 0 e) x
a) 1 d) 3x
240
e) 1
3
a
b) 2x e) x/4
66. Simplificar: P 58. Calcular: I
b
a b x b x
c) 3,5
3 1 3 3 57. Calcular: T 64 ( 32) 5
a) 0 d) 3
( a 1)( a 1) a-1 c) a
1 1 1 a b ab
64. Sabiendo que:
72b
aa
20
xn 2
n
20
a) n d) n
n
b) n +1
x2n 3 .......
– 20
n
x19n 20
c)
n20 20 n20
e) 1
44 factores
y tú los primeros…!!!
Pag. 47
6
68. Reducir: R
4
4 . 5
4
4 .
a) 2 d) 1/4
3
4 .
20
4
x
4
b) 1/2 e) 1
69. Reducir: M
5 3
15
5 5
a) 4 d) 1
10
x
5
60
5 .
1 2 b) 4
2
c) 2
6
=
a) 2
c) 4
52
2
60
d) 2
5
4
c)
verdad
de
las
siguientes
(x x )3 = x x ; x ≠ 0 2
III. (
6
1 4
125
(x )
x x
e) 2
−2−1
5 7 .4 125
5
b)
d) 25
e) 5
x 2x = 2 . Halle: x + 1 2
a) 2 c) 2
2
b) 4 d) 1
e) 9
1 2
1 1 ) =( ) 4 2 3 2 3 (x ) = x2
IV. a) VVVV d) FVFF
08. Halle el valor de E,
b) VVFV e) FFVF
c) VVFF
1
1 4n n = 4, calcule 4
02. Si :
07. Si
4
−1
5 6. 5 5
c) 0 a) 1
II. (
9
06. Simplifique:
b) 2 e) 3
01. Indique el valor de proposiciones: 2 2 I. ( x + 3) = x + 9
5
− 4 −4
a) 2 c) 5
b) 3 d) 7
16
n
n
si
a 2 b = a 2 c + bc 2
x x x E = a+b b−c c−a a−b a x b x c x a
3
b+c b
c+a c
a+b
y
c 2
4
a) x 2 c) x
b) x d) x
-1
e) x
e) 8 09. Siendo: x, y
∈ Z + ∧ ( y − x) ≥ 2
03. Calcular: 2−1
−1 −(1 ) −3−1 −16 2 1 1 2 1 1 + + 125 81 2 4 −1
a) 1 c) 4
b) 2 d6
e) 9
xx+y.yy +yx+y.xx M= Simplificar: x2y.yx +y2x.xy x−y
a) x c)
b) y
y x
d)
x y
e)
1 x
04. Calcular: 10. Simplificar:
10
81
310
3 3 729
a) 3 c) 1/3
311
33
b) 9 d) 27
e) 81
3 3+1 3 3 3 33
( )
a) 3
05. Resolver:
c) 3
y tú los primeros…!!!
b)
3
3
3
d) 9
3
e) 81
3
Pag. 48
a
c) a
-a
d) a
e)a
11. Calcular aproximadamente:
E = 2 3 2 3 2∞
6
a) c)
3
b)
6
d)
3
12
4
2
18. Si a y b
e)
2
a
12
∈ Z + , hallar
b a
E = 3a – b
a +1
=
2 15
2
a) 40 c) 30
b) 10 d) 50
e) 20
12= x x x....
12. Si:
xx−
entonces halle el valor de: 19. Resolver: a) 2 c) 3
x + x + x +... a) 2 c) 4
b) 3 d) 6
e) 9
32m − 32n
13. Si: m +n = 5mn, simplificar: a) 2 c) 4
n
2m − m 2n
b) 1 d)1/4
20.
e) ½
3
M=
4 34
x
+
x
4 5
x x
5
+
x
6
x
++
100
x
101
x
x + 4 5 x + 5 6 x +...+100101 x
a) 1 c) -1
b) 0 d) ½
( x − 1)
15. Resolver:
16
17 d) ½
16. Simplificar:
a
a
3
2003
c) 7
d)
7
n
b)
c)
a
d) a
01. Realizar: E a > 0 y b >0 a) a c) a/b
[
b) b 2 d) (b/a)
n
2004 2005
e) 7
02. Si: n = 2, el valor de: S = a) 2 b) 4 c) 8 d) 16
17. Simplificar:
-1
a) a
aa
a
+aa
a a −a a
b)
a
a a.
e)
= a ( a ( ab −1 ) −4 ) −1
6
a
a
a
03. Luego de efectuar:
a
a
a
]
−1 / 2
;
e) b/a
2003
n
b) 49
aa
a
a)
7n 7n 7n 7n
a) 7
2aa
aa
TAREA DOMICILIARIA
e) ¼
2n
n
a
a a a
1
2 = 2
(2 x−2)
b) 16
n
≠
e) 6
e) ¼
a) 17 c) 1
= x +2
b) 4 d) 5
R = Calcular: si: a>0 y a
14. Reducir:
x −1
Se obtiene: a) 2 c) 6
24
m
x +1
n
nn
n +1 +1 es: e) 32
m 5 3 m 2 m −1
. b) 4 d) 8
El valor de “ x – 11” es: e) 10
a
y tú los primeros…!!!
Pag. 49
x +1 y −2 3 = 9 y+2 y +1 16 = 4
04. Luego de resolver: el valor de xy +1 es: a) Cuadrado perfecto c) Múltiplo de 3 17 e) Negativo
3
05. Resolver:
x
4
x
P(x,y)
2 ; x ∈ ℜ+ 2
=
b) ( 4 0 9 6 ) -1 d) 2
-1
e) 1094
x3x+5
xx 1−xx x2x x3x−1 x2x−1 M= x x 5
b)
7
77
-1
d) 7
e)
5
7
POLINOMIOS–GRADOS–POLINOMIOS ESPECIALES Se caracterizan fundamentalmente porque la incógnita se encuentra como base y su criterio de solución establece el empleo de algunas propiedades: NOTACION POLINÓMICA Permite diferenciar constantes de variables. Se tiene:
P (x , y ) = 8m . x 4 . y3
3
5
POLINOMIO. – Es aquella expresión racional entera que consta de uno, dos o más términos. Ejemplos:
Q(x) =1+x2 −3x5 +5x7 → Polinomio de 4 términos.
R (x) = 6x6 + x5 y 2 Q(x) = 7x2
→ Binomio → Monomio
REPRESENTACIÓN GENERAL DE UN POLINOMIO DE UNA VARIABLE
Ejemplo:
W(x) = 3x + 5x3 + 7x2 +11
Grado (W) = 3; Coeficiente principal = 5; Coeficiente de término cuadrático = 7; Coeficiente de término lineal = 3; y Término independiente = 11. DEFINICIÓN. – En todo polinomio cuyo coeficiente principal es la unidad se denomina “polinomio mónico”. Ejemplos: 4 2 * P(x)= 5 x + x + 3 x + 7 . Gdo (P) = 4; coeficiente principal = 1 → P(x) es mónico. 2
5
* Q(x) = 3x – x + 2. Grado (Q) = 5; coeficiente principal = – 1 → Q(x) no es mónico. VALOR NUMÉRICO. – Es aquel valor que se obtiene al reemplazar las variables por constantes. 2 Ejemplo: P(x)= x +3, halla: P (1), T (-2) 2 Solución: x = 1; P (1) = 1 +3 = 4 2 x = -2; P (-2) = (-2) + 3 = 7
Donde: x, y → Variables. 4, 3 → Exponentes. 8m → Coeficientes. EXPRESIÓN ALGEBRAICA. – Es aquel conjunto de números y letras relacionados por las operaciones aritméticas de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación o una combinación de ellas en un número limitado de veces. Ejemplos: 3
2/5
Donde: X→Variable. a 0 ; a 1 ; a 2 ; … ; a n → Coeficientes. Grado de P(x) → Gdo(P) = n; n∈N. a0→Coeficiente principal. an→ Término independiente.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS: • Revisar y estudiar las expresiones algebraicas en el campo real, aplicándolas en la solución de problemas. • Identificar y diferenciar los diversos tipos de polinomios especiales con el fin de resolver problemas diversos.
+ x + x – E. A. Racional
4
6xy + x y - 12y E.A. Irracional
P(x)=a0xn +a1xn−1+a2xn−2+...+an−1x+an, (a≠0)
7
POLINOMIOS
P(x,y) = 1
6
2x + x 4 y E.A. Racional fraccionar
3
P(x,y) =
06. Si se cumple que: x = 7 , hallar:
c)
3
+
d) Múltiplo de
5
7
-7
x y
b) Impar
a) 4 0 9 6 c) 2
a) 7
5
=
6
2
x + x Entera
y tú los primeros…!!!
VALORES NUMÉRICOS NOTABLES Si P(x) es un polinomio, se cumple: P(0) = Término independiente y P(1) = Suma de coeficientes. Ejemplo: P ( x+ 3 ) = 5 x+ 1 6 . Calcular T. independiente + ∑coefic. Solución: Se pide: P (0) + P (1). P (0): I. x+3=0 II. x = – 3
Pag. 50
P (1):
III. Reemplazando: P (– 3+3)= 5(–3)+16 ⇒ P (0)=1. I. x+3=1. II. x = – 2 III. Reemplazando: P (–2+3)=5(– 2) + 16 ⇒ P (1)=6. Nos piden: P (0) + P (1) = 1 + 6 = 7.
“x” está ordenado descendentemente. “y” está ordenado ascendentemente.
POLINOMIO CONSTANTE: P (x) = m ; (m≠0). Su grado por definición es cero. Ejemplo: P(x) = 10 ⇒ P (1)=10; P (236)=10, P(n+3)=10. NOTITA: Si P(x) = 0 es un polinomio cuyo grado no está definido.
3. POLINOMIO COMPLETO Un polinomio es completo respecto a una de sus variables si dicha variable aparece en todos los términos desde el mayor exponente hasta el término independiente inclusive. 4 3 2 Ejemplo: P ( x) = x + x - 2 x - 9 + 7 x PROPIEDAD: Si P(x) es un polinomio completo se cumple que su número de términos es igual al número de su grado aumentado en uno, es decir: # Términos = Gdo. (P) + 1
GRADOS
5
GRADO. – Es una característica de las expresiones algebraicas racionales enteras relacionadas con los exponentes de sus variables. Hay dos tipos de grados y son: 1. GRADO DE MONOMIOS El grado o grado absoluto de un monomio se halla sumando todos los exponentes de todas sus variables y el grado relativo de una variable está dado por el exponente de dicha variable. Ejemplo: 5 9 M(x,y) = 2 6 x y → G . A ( M ) = 5 + 9 = 1 4 . GR. (x) = 5. GR. (y) = 9. Sólo en monomios se cumple que el grado absoluto siempre es igual a la suma de todos sus grados relativos.
4
3
4. POLINOMIOS IDÉNTICOS Dos polinomios son idénticos si y solo sí sus términos semejantes en ambos miembros son iguales. 2 2 Ejemplo: ax + bx + c ≡ 7x + 4x – 6 ⇒ a=7 ∧ b=4 ∧ c=– 6 NOTA: Si dos polinomios son idénticos entonces tienen el mismo valor numérico para cualquier valor de su variable, es decir: Si: P(x) ≡ Q(x) ⇒ P(a) = Q(a); ∀a∈R. 5. POLINOMIO IDENTICAMENTE NULO Un polinomio reducido es idénticamente nulo si todos sus coeficientes son iguales a cero, es decir, si: 2 ax + bx + c ≡ 0 ⇒ a=b=c=0. Ejemplo: (a – 2 ) x + ( b + 3 ) x + ( c – 7 ) ≡ 0 a–2 = 0 ⇒ a=2; b+3 = 0 ⇒ b=–3; c–7 = 0 ⇒ c=7. 5
2. GRADO DE POLINOMIOS El grado o grado absoluto de un polinomio está dado por el mayor grado de todos sus términos o monomios y el grado relativo de una variable está dado por el mayor exponente de dicha variable en todo el polinomio. Ejemplo: P(x,y) =
3
3x y
7
5
+ 5x y
6
+
4
7x y
2
Ejemplo: P(x) = x + x + 6 x + x + 3 x+ 8 Gdo. (P) = 5 ⇒ # términos = 5 + 1 = 6.
3
NOTA: Si un polinomio de grado “n” se anula para más valores de “n” diferentes entre sí, entonces dicho polinomio es idénticamente nulo. S i : P ( x) ≡ 0 ⇒ P ( a ) = P ( b ) = P ( c ) = 0 ; donde a, b ∧ c son constantes numéricos.
8
G.A(T1)=3+7=10 ; G.A(T2)=5+6=11 ; G.A(T3)=4+8=12. Entonces: G.A(P) = 12. Asimismo: GR. (x) = 5; GR. (y) = 8.
POLINOMIOS ESPECIALES
1. POLINOMIO HOMOGÉNEO Es aquel en el cual todos sus términos tienen el mismo grado absoluto. 7 4 4 2 6 4 8 Ejemplo: P(x,y) = x y - 5 x y + 2 x y - z y Es un polinomio de grado 8, a este grado también se le llama grado de homogeneidad.
2. POLINOMIO ORDENADO Un polinomio es ordenado respecto a una variable si los exponentes de ella aumentan o disminuyen. 9 2 6 3 4 5 Ejemplo: P(x,y) = 5 x y + 7 x y + 8 x y
y tú los primeros…!!!
1.
Si F(x) ≡ a) 5 d) 11
4x − 2 3x − 4
Calcular F(2)+F(1)
b) 0
c) 1 e) 2
2.
Si P(x)≡5x +10, reducir: P(x+1)+P(x+2) a) 10x + 1 b) 35x –1 c) 10x d) 10x + 35 e) 5(2x + 6)
3.
Si: F(x) ≡ x +2; H(x) ≡ x–2. Proporcionar el equivalente de: F[H(x)]+H[F(x)].
Pag. 51
a) 2x d) x/2 4.
b) 4x e) 2x/4
c) x
En cuanto difieren los coeficientes “n”y “k”para que con cualquier valor de “x”se verifica que: 27+ 8x ≡ n(x+4) +k(2x+3). a) 12 b) 10 c) 5 d) 25 e) 13
2 5. Sea: F(x ) ≡ x + 2F(x ) ∀ x ∈ R , tal que: F (x) > 2, calcular el valor númerico de 2000–F
1999 2 − 1 a) 0 d) 2 6.
7.
8.
9.
(a + b 2 ) 6 x a−b − ab4 x a+b + (b − a )x
.
puede reducirse a monomio, ese monomio es: 3 4 a) x b)2x c) ax 2 d) –3x e) 5x
encontrar el equivalente
P[p(x)] a) x d) 3
b)2x
Luego: 2m + n es: a) 16 d) 19
c) 15
15. Si H ( H ( x )) = 4x − 3; H ( x ) = ax + b ∧ a > 0 Señalar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. La suma de coeficientes de H ( 2 x − 1) es 1. II.
H ( 5 ) = 17
III.
El término independiente de H ( 3x − 1) es -3 b) FFF e) FVV
c) VFF
de:
P ( x ) = 2 x2 − 15 ∧ Q ( x, y ) = 2 x + 3 y − 2
c)x -1
Si: P[P[P(x)]] ≡ 27x + 52 calcular el valor de P(-2) a) 4 b)45 c)2 d) – 4 e)-2
c) -2
Se cumple que al sumatoria de coeficientes y el término independiente suman 200, según ello establecer el valor de verdad de cada una de las proposiciones: I. El término independiente del polinomio es 129. II. La suma de sus coeficientes es 71. III. P ( 2 ) = 63 + 4
E = F( (F(F(F(n )))))
a) VVV d) VFF
2000 veces b)4/3 e)14
(
b) -15 e) 7
3
Calcular el valor de:
c)1/7
)
− ( x − 1) ≡ x + 9 x + 18 A ( x ) + ax + b 2
a) -5 d) 1
P ( x − 2 ) = ( x + 2 ) − 3 ( x − 1) + mx + 5
ax + b ax ; {a;b}∈ N F ≡ ax − b b
12. Dada la siguiente identidad:
Halle el término independiente del polinomio. H (t ) si H (t ) = Q ( P (3) ,3t − 1)
17. En el polinomio:
10. Calcular el valor de “n” siendo P(x)≡nx + 3; se verifica: P(x) + P(2x)+P(3x) ≡ 30x - n a) 1 b)3 c)5 d) 7 e)9
7
b) 14 e) N.A.
16. Sean los polinomios.
e) 4
a) 7 d) 3/4
GRx − GRy = 5
a) VVV d) FVF
3x + 4 Si: P(x ) = ; 2x − 3
donde A ( x ) = ao x5 + a1 x 4 + ..... + a5 ∧ ao ≠ 0 Determinar: a +
) )
13. Si la expresión:
Se tiene
Si: F(x) = ax + bx + c y además: 2 F(x - 1) = x – x +1 Hallar (a + b + c) a) 1 b)2 c)3 d) – 4 e)4
( 2 x + 5)
( (
3 7 4 +1 2 3 7 4 −1 d) 2 b)
P( x, y) = 35 x n +3ym + 2 + x n + 2 ym −3
c) 1/2
2
7
) )
14. Del polinomio de grado 11:
b) 1 e) 1/7
Dados: Q (x) ≡ 2x + 3 …………......... (I) Q[F(x) + G(x)] ≡ 4x + 3 ……(II) Q[F(x) – G(x)] ≡ 7 ………..…(III) Calcular el valor de: K = F(G(F(G(……F(G(1))…… )))) a) 18 b) 15 c) 1 d) 2 e) 7
11. Si:
( (
2 7 4 +1 3 2 7 4 −1 c) 3 e) 4325 a)
b 6
y tú los primeros…!!!
b) VFV e) FFV
c) VVF
−1
18. Si: f K ( x ) = x ( x − 2 ) ; f ( x ) = ( x + 2 ) x −1 Determinar el valor de K f (1/ 2) a) 2 b) 4 d) 8 e) 15
c) 3
19. En el polinomio: P ( x ) = (1 + 2 x ) + (1 + 3 x ) n
n
La suma de coeficientes excede en 23 al término independiente, según ello establecer el valor de no verdad de las siguientes proposiciones:
Pag. 52
I.
El polinomio P ( x ) es de grado 2.
II.
La suma de sus coeficientes es 25.
III.
El término cuadrático de P ( x ) es 12x 2
a) VVV d) FVV
b) VFV e) VVF
Halle “n” si se cumple que el termino independiente es el doble de la suma de coeficientes. a) 2 c) 3
c) FFV
20. Calcular la suma de coeficientes del siguiente polinomio completo. P (x ) = c x a + x b + a x b + x c + b x a + x c + abc a)6 b)9 c)12 d)15 e) 18
(
) (
)
(
)
b) 4 d) -1
03. Hallar el coeficiente del monomio m n 3m + 2n 5m - n P ( x ; y) = 9 ( - 1 / 3 ) x y Si su grado es 10 y el grado relativo respecto a “x” es 7. a) 3 c) 1
21. Si el polinomio P(x,y) es idénticamente nulo, hallar
e) 1
b) -3 d) 9
e) -9
mn 2
a) 15 d) 225
2
2
2
P(x;y)= (10-m)x y + nxy + 5x y – 2xy b)30 c) 125 e)N.A.
22. Halle el valor de:
a 33 +
2 a 99
;
04. La diferencia entre la suma de los grados relativos de todos los términos de 2 polinomios completos P(x) y P(y) es igual a -255, además la diferencia entre los grados relativos es 10,según esto. Halle Ud. la suma de los grados relativos de ambos polinomios (GA(x) < GA (y) ).
si el polinomio:
6
P( x) = (a3 + b − c − 10)xa + (c − b + 9)xa Es idénticamente nulo. a) 2 b) 1 d) 4 e) 3
9
c) 0
23. Dado el polinomio homogéneo
P(x,y,z) = a b x a
a +5
+ abyb
b + a + 230
+ ba z16a
2 +5
Calcular el producto de los coeficientes. a) 72421 b) 63089 c) 530 d) 62208 e) 2232 24. Se
conoce
que
el
a) 25 c) 50
b) 60 d) 40
05. Determinar: E = m + n + p Si el polinomio m+ 2 n m+1 2 2 p q q P(x; y) = 5 x y + 2x y + x y + x 1 5 y es homogéneo de grado 7. a) 5 c) 8
b) 7 d) 15
homogéneo; ordenado y completo respecto de x e y, según esto, cuánto vale a + 2b + 3c a) 14 b) 11 c) 13 d) 10 e) 12
E = a −b c − b
06. Calcular : a partir del polinomio: P ( x) = a ( x+ 2 ) ( x - 1 ) + ( x+ b ) ( x+ 1 ) + 3 x+ c Sabiendo que es idénticamente nulo a) c)
3
2
b) 2
2
d) 1/2
07. Si: x + 2x 3
)
x + 1 = x2 − 1
Calcular: E a) 1 c) 4
=
2
2 e) 2
[
]
− 1 ≡ (x + 1) Ax2 + B(x − 1)
Calcular: A.B
01. Sabiendo que
(
e) 18
polinomio
4 x a + 3x b y c + x c y b + y a es
P
e) 10
a) 1 c) 3
P(0 ) + P(2 ) P(1) b) 2 d) 0
b) 2 d) 4
e) 5
08. Sabiendo que: 2 P(x) = x + ax + bx + ab e) -1
Hallar:
P(a)P(b)P( 0)
a) ab b) ab(a+b) c) 2ab(a+b) d) 2ab 02. Dado el polinomio 2 n 2n P(x-1) = ( 2 x- 3 ) + (3x-2) - 32(x-2)
y tú los primeros…!!!
e) 2
09. Sean los polinomios 2 P(x) = 3x -q(a) x + 3
Pag. 53
-
2
q(x) = 2x - 1 Determine el valor de “a” sabiendo que P (1) = 2 a) 1 c) 3
b) 2 d) 5/2
P(x) = ( a x + b ) ( x - 1 ) + c ( x + x + 1 ) e s 2 idéntico a Q ( x) = 2 x + 5 x - 1 Calcular: a + b –c a) 1 b) -1 c) 0 d) 2 e) 3 e) 7/2
10. Hallar el grado de homogeneidad de a + b b b a + 6 b + 4 P(x; y)= 8 x y + 3 x y Sabiendo que el GR (x) es menor en 2 unidades que el GR (y). a) 21 c) 23
b) 22 d) 24
b) 16 d) 24
13. Sea: f(x)=
b) 157 d) 237
a)
P(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e ; es tal que: P(0)= 0; P(-1)= 6; P(x)= P(1-x) Calcular (2c - b)
a) 24 c) 16
e) 247
b) 32 d) 18
2
M(x) = 3Bxm
e)
x x −1
+2mn
2
+ Axm
+2mn+n2
Calcule: J=AC+BD a) 20 c) 30
b) 18 d) 40
01
e) 25
e) ± 5
2
n
02.
b) −
2
2 3
2
2
b) x + h 2 2 2 d) x - h e) (x+h)
Sabiendo que: 3 2 3 4 x – 1 2 x + 9 x + 2 ≡ p ( x+ m ) + q ( x+ n ) Calcular: S =
e) −
2
S i : P ( x+ h ) = x + xh + h . Calcular: P(x) a) x - xh + h 2 2 c) x + xh + h
1 3 1 d) − 2
2
− D + 2Cxm
TAREA DOMICILIARIA
1 5 . Siendo: F ( x + 1 ) = x - 1 Hallar; “n” Si F(3) = - 7/ 8
1 3 1 c) 2
+2mn+n
Sabiendo además que m y n son mayores que uno.
2
a)
e) 28
L(x) =(9−m)x49 +m2 −(3+n)x43 +n2 −mnx40
14. Calcular “k”, si el polinomio 2 2n P ( x) = ( 3 k x – 2 k ) + x + 1 2 x Se cumple que P(1) – P(0) = 1 b) ± 2 d) ± 4
e) 5
20. Siendo L(x) ≡M(x), donde
d) x
a) ± 1 c) ± 3
b) 8 d) 6
19. Calcular la sumatoria de los coeficientes del desarrollo del siguiente polinomio 2 2m 2 P(x-1) = ( 3 m x - 4 m ) + ( 3 x - 4 ) - x + 4 ; m ∈ Z Sabiendo que es el cuádruplo de su termino independiente.
b) x-1
c) 0
e) 10
18. El polinomio
1 D = f ( f ( f ( x) ) ) + f ( f ( x) ) f ( ) x
x −1 x
− abx13y27 es
b) 4 d) 8
a) 4 c) 10
x .Calcule x − 1
a +8
homogéneo.
e) 36
y
b
y + bxa yb
a) 2 c) 6
12. Calcular la suma de coeficientes del polinomio homogéneo: a +b n2 −2 4 n2 P(x;y) = 8a x y + 6 (a-b) x + (20b-5) x 2n−6 a) 148 c) 227
a+3 8
P(x; y) = axa
e) 25
11. Si la expresión: a + b b + c a + c M(x; y; z) = x y z ; es de grado 18 y los grados relativos respecto a x;y, z son tres números consecutivos (en ese orden). Calcular “abc” a) 12 c) 18
17. Hallar (a+b) si el polinomio
a) 2 c) 4
−6mnpq b) 3 d) 12
e) 24
16. Sabiendo que el polinomio
y tú los primeros…!!!
Pag. 54
03.
Si:
x a−b y b+a z a+bwb−a
Calcule el grado de:
a) 1 c) 3
a) -3 c)-6
es de grado 16.
x
a
y
b
w
b
z
a
e) 5
04. Sea : 8 14 2 P(x-2) = 6 4 ( x- 2 ) – a ( x - 2 ) + ( x - 2 ) – 54 si la suma de coeficientes de P(x)es igual al termino independiente aumentado en 64. Determine P(2) b) -46 d) -50
e) -52
05. Señale el coeficiente del monomio a a – b 2a + b S(x; y ) = (2 )(5)(a + b)x y ,si es de noveno grado y de octavo grado relativo a “y”. a) 50 c) 150
e) -1
PRODUCTOS NOTABLES
b) 2 d) 4
a) -44 c) -48
b) -5 d) -9
b) 100 d) 200
OBJETIVO ESPECÍFICO: Reconocer y aplicar los diferentes casos de productos notables en la simplificación y reducción de expresiones algebraicas. PRODUCTOS NOTABLES Los productos notables, también denominada identidades algebraicas, son un conjunto de fórmulas que permiten calcular los productos sin necesidad de aplicar los criterios generales de la multiplicación algebraica. Los principales son: 01. Cuadrado de un binomio o Trinomio cuadrado perfecto:
• (a + b ) = a 2
e) 250
2
+ 2 ab + b 2
• (a − b ) = a 2 − 2ab + b 2 2
• (− a + b) = (a − b) = (b − a)
06. Dados los polinomios 2 A(x ; y) = 2x + y B( t ) = 3t + 1 ; encuentre el valor numérico de la expresión : A (2 ; B ( - 1 ) ) a) 3 c)7
b) 6 d)9
2
2
• (− a − b) = (a + b) = (b + a) 2
e) 10
07. Obtener el valor de “ a ” f(g(x)) ≡ g ( f ( x) ) p a r a f ( x) = a x - 2 ; g ( x) = x - b ; b ≠ 0 a) a =0 c) a =2
2
2
2
02. Identidades de Legendre:
(
• (a + b ) + ( a − b ) = 2 a 2 + b 2 2
2
• (a + b ) − (a − b ) = 4 ab 2
)
2
b) a =1 d) a =3
e) a =5
03. Cubo de un binomio:
• (a + b
08. Si f(3x+1)=x Determine : f ( - 1 / 3 ) + f ( - x)
− 3x − 7 3x + 7 b) 9 9 3x + 7 − 3x + 7 3x − 7 c) d) e) 8 8 8
( A + 1) x
+ 3x + 2B 2
+ Bx + 3 B
a) 8 c) 10
+ 3a 2 b + 3 ab
= a
3
• (a − b ) = a
+ b
3
− 3a 2 b + 3 ab
= a
3
− b 3 − 3 a b ( a − b ).
• (a + b
1 K
≡
b) 7 d) 12
e) 14
10. Determine el valor de “k” si la expresión ; b2 5
b2+20 5
P(x; y) = xa +a+k −2x ya+1 +3y 2
3
3
2
+ b
+ 3 a b ( a + b ). − b3
2
04. Suma por diferencia o diferencia de cuadrados:
09. Hallar A + B + K; si 2
= a
3
a)
Ax
)3
nos representa un polinomio homogéneo .donde además : a
y tú los primeros…!!!
)( a
− b
)
= a
2
− b
2
05. Producto de binomios con término común:
• ( x + a )( x + b ) = x 2 + ( a + b ) x + ab
(x + a)(x +b)(x +c) = x +(a +b + c) x2 +(ab + ac +bc) x + abc
. 3
Pag. 55
3
06. Producto de binomios con igual variable:
(
)(
)
• axn +b cxn + d =acx2n +(ad +bc)xn +bd 07. Suma de cubos:
(
• (a + b ) a
2
− ab + b
Diferencia de cubos:
(
2
)=
1.
a
+ b
3
Efectuar:
)
• ( a − b ) a 2 + ab + b 2 = a 3 − b 3
2
a) 5 8 c) 5 – 1 6 e) 5 – 1 2.
08. Cuadrado de un trinomio:
•(a+b+c) =a2 +b2 +c2 +2(ab+ac+bc) 2
3.
2
4
Si se cumple: x + y = 6 ; xy =7 ; 3 3 Hallar x + y a) 20 b) 40 d)80 e)90
a) 6 d)7
• (a + b + c) = a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3a2c + 3b2a + 3
3b2c + 3c2a + 3c2b + 6abc
4.
b) 5
Si a + b = ab = 5 ; cacular:
a) 1/2 d)2/3
10. Identidades trinómicas o de Argand: 2
2
2n
n
2
2
2n
n
4
2 2
4n
3
3
7.
b) 3
8.
Sí a + b + c = 0; Calcular:
(
2 abc 2 a + ac + bc + ab
)( b + c )
a) 2 b) 3 d) –3 e) 4 Si: x + y + z = 0 ; calcular el valor de:
c) –2
( x + y − 2 z )3 + ( y + z − 2 x )3 + ( x + z − 2 y )3
2
3) a 2 + b 2 + c 2 = 2 a 4 + b 4 + c 4
a) 9 d) -81
2
9.
5) a 4 + b 4 + c 4 = 2 a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 6 ) (ab + ac + bc )2 = (ab )2 + (ac )2 + (bc )2
xyz b) 3 e) 81
c) 27
Si: a + b + c = 0; que valor asume: b c a + b a + c b + c a + + + + b a b + c a + c a + b c a) 45 b) 9 c) 36 d) 6 e) 12
10.
y tú los primeros…!!!
c)- 5
e) -2
H=
1) a 3 + b 3 + c 3 = 3abc
c) 24
1 1 = 5 ; Calcular: x x x
a) 2 d) 1
Si : a + b + c = 0, se cumple que :
4 ) a 2 + b 2 + c 2 = 4 a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2
b) 25 e) 23
Si: x +
12. Identidades condicionales:
2) a 2 + b 2 + c 2 = − 2(ab + ac + bc)
c) 1/3
Si x + x −1 = 3 . Calcular el valor de: a) 36 d) 26
6.
1) (a−b) +(b−c) +(c−a) =3(a−b)(b−c)(c−a) 2) (a+b+c)(ab+ac+bc) =(a+b)(a+c)(b+c)
b) 1 e)1/5
M = x2 + x −2 + x3 + x −3
+1
11. Identidades auxiliares:
3
5.
+ b4
2n
c) 3
e)4
3
( )( ) • (a + ab + b )(a − ab + b ) = a + a b • (a + a + 1)(a − a + 1) = a + a
a3 + b3 a2 + b2
a 2 + b2 + 5 a 3 + b 3 + 10
a+b+c) =a3 +b3 +c3 +3(a+b)(a+c)(b+c) ( • 3 3 3 =a +b +c +3(a+b+c)(ab+ac+bc)−3abc
• a2 + a +1 a2 − a +1 = a4 + a2 +1
c) 60
Si : a + b = 2 ; ab = 3 Calcular el valor de:
M = 09. Cubo de un trinomio:
8
E = 24(5 + 1)(5 + 1)(5 + 1) 4 b) 5 – 1 16 d) 5 – 1
3
Si: a + b + c = 3 con a ≠ 0; b ≠ 1∧ c ≠ 2
Pag. 56
a3 + ( b − 1) + ( c − 2 ) 3
Calcular el valor de: a) 3 d) 12 11.
3
a ( b − 1)( c − 2 )
b) 6 e) 15
Hallar: a) 3 d) 15
c) 9
Encontrar el valor de: x -x 4x -4x “R” = a – a si: a + a = 34 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e)N.A.
19.
12.
Si:
b) 6
x+
5
5 5
c) 4
e) 17
Si se sabe que:
Hallar:
ab = 2 a + b2
S = (x + y )(x + z )( y + z )
G=5 x +
a) 0 d) 1
1 =1 x 1
x5 b) 2 e) 5
c) 3
Que valor se obtiene para: E=
8 8 a b + b a
a) 23 d)39 13.
b) 25 e)95
7
b) 2 3
d)
5
e) 2 2
x+ 2 8
a) c)
d) 5 21. Si:
2
c) 4
Simplificar:
(ax + by )2 + (ay − bx )2
xy−1 + yx−1 = 2
2
b) a +b
c) ab
23.
4
Si se sabe que:
b) 4 e) 1/2
E= a) 7 d) 9
c) 0 24.
18.
(x + y + z)10
x10 + y10 + z10
b) 3 e) 2
Si: x + y + z = 3
c) 1
;
3
3
3
x +y +z =9
y tú los primeros…!!!
25.
a
c) 61
= 3(a − b )
( ) 2 (a2b2 )
4 a8 + b8
c) 8
A partir de: a + b + c = 0. Indicar el valor de:
a) -5 d) -6
Calcular el valor de:
b2
3n + 16 x 2 y + 9 y 2 el
b) 6 e) 5
M
x2 + y2 + z2 = xy + xz + yz M=9
−
Calcular el valor de:
Si se sabe que:
a) 4 d) 5
a2 b
a −c b−c + d−b d−a
c) 17
Hallar “n” sí nx + 3 trinomio cuadrado perfecto. a) 15 b) 16 d) 12 e) 21
e) a b
Sabiendo que: 2 (a + b + c + d) = 4(a + b)(c + d) Calcular el valor de:
y
b) 16 e) 19
d) abxy
a) 2 d)1
5
2
e)
a) 20 d) 18
xy
2
c)
x2n
x 2 + y2
17.
x9 a
2 ( 3xn + yn ) x M= +
22.
16.
x9
+4
b) 4
x+ y
b) 3
2 2
a
el valor de la expresión
Calcular el valor de:
e) 5
a) a
3
2x
x y + = 60 . Hallar el valor de y x
E =3
15.
x9 =7 a
es:
a)
a) 1 d) 2
+
x9 4
Si: x + 2 = 23 2 x
Si:
a
Sabiendo que:
c) 47
Calcular el valor de “N” ; N =
14.
20.
Siendo:
a 5 b5 c5 abc(ab ac bc) b) -4 c) -2 e) -3
3
3
xy = 100 − 10 + 1 3
x 2 + y 2 = 1 + 10 Calcular el valor de:
(x − y )4 − (x + y )4 Pag. 57
a) 44 d) –100 26.
b) 88 e) –88
c) 50
Calcular el V.N. de:M = x – y Si se sabe que:
x=
07.- Si
......................(1) n2 −1 −1 1 ..............................(2) n2 −1
a) d)
01.-
±5 ±6
Si
4
b) e)
c)
±4
4
1 = 2 x
x −
±3
5
2
;
hallar x + x
a) 18
b) 24
d) 20
e) 16
Calcular el valor de:
P =
a) 1 d) 4
c) 6
b) 2
4
(a
+ b) 5 a + b5
5
c) 3
a 3 − b3 a 3 + b3 a − b a + b 09.- Simplificar: M = a 4 + a 2b2 + b4 a) 1 b) a + b -1 d) (a-b) e) N.A
-2
c) a-b
c) 22
a+b+c 2
p =
10.- Si se cumple que:
S = p2 +(p−a)2 +(p−b )2 +(p−c)2
3
Sabiendo que: 1= x (4-x) ;
Calcular P = x +
2
-2
a) (a+b+c) 2 2 2 d) a b c a) 16 d) 26
)2
e) 5
Calcular: 02.-3 x
2
a2 b − a = b − 1 3 b 3 a
08.- Sabiendo que:
x + y = 322...........................(3) 4
2
y x + y = 27
Calcular S = 3 ( ax + by ) 2 + ( ay − bx a) 4 b) 5 d) 7 e) 8
n2 − n2 −1
y=
a2 + b2 = 8
b) 18
-2
-2
b) a + b + c -2 -2 -2 e) a b c
2
2
2
c) a + b + c
c) 24
e) 52 11.- Luego de simplificar: 3 3 2 2 S = (a + b + c) (a-b + c) - 6b[(a + c) -b ]
03.- Después de efectuar:
M=(m+ m2 −n2)( m+n− m−n)2 2
a) 2n
2
b ) 4n
c) n
d) 2n
3
Se obtiene : e) m-n
3
a) 8a 2 d) 3 a b
3
b) 8c
c) 8 a b c
e) 8b
12.- Determinar el valor numérico de: 04.- Simplificar :
a −b + a 2b 2 2 2 a −b 6
S=
2
a) a 2 2 d) a + b
6
2
2
2
J= 2
b) b
2
c) a b
e) a - b
05.- ¿Cuál es el valor de: 2 2 2 ; 2 2 2 R =(x- 2 y) + ( y - 2 z) + ( z - 2 x) Si : x + y + z = 5 xy + xz + yz = 9 a) -11 d) -8
06.- Simplificar: 2
a) 3a d) 2a
b) -10 e) -7
S=
a +8 3
a − 2a + 4 2
+ 3
b) 2a 2 e) 8a
c) -9
1 [(x 2
Para: x = a) 0 d) 8
a −8
4
5
3
;
y=
5
9 5
b) 9 e) 24
c)8
13.- Calcular 2 2 M = (x + y + z + w) + (x + y - z - w) 2 2 - 2 (x- y) – 2 (z - w) Siendo xy + z w = p a) 3p d) -4p
3
4
+ y) - ( x – y) + 8 xy ( x - y) ( x+ y) ]
b) 4p e) N.A.
c) 8p
a + 2a + 4 2
c) 4a
y tú los primeros…!!!
14.- Efectuar 2 2 P = (a + a – 4) – (a – 2)(a – 1)( a + 2)(a + 3)
Pag. 58
a) 2 d) 5
b) 3 e) 8
3 x − 1 9 x + 3 x + 1 = 728 a) 25 b) 36 c) 16
c) 4
15.- Siendo 2 (a + 2x + b) (a – 2x + b) = (a – b) Hallar el equivalente de:
E=
(x + a )(x + b ) − x (x + a ) + (x + b ) ab 3
a) 2 d) 0 16.-
22.- Simplificar:
b) 5 e) 1
A =
Evaluar
a b = = x y a) 2 d) 5 Si
(a
+ x )( b + y )( c + z ) xyz
c = 2 − 2 z
2
(a
3
c) 1
Para a =
)(
+ b3 + c3 a2 + b2 + c2 abc ( ab + bc + ac ) 5 +
3−
2
(ax + by)2 + (ay − bx)2
b) 4ab
b
)
24.-
2b
e)
Si a
+ 2 = 23 2a
;
a) c) -6
3
b)
2a
Calcular el valor de:
6
2
5
c)
d)
2 2
e)
3 2
b 2 a + a 2b = 2 aa+b +ba+b = −3
25.- Calcular el valor numérico de:
E =(ab) −(ab) a
Calcular el valor numérico de: a) 0
b) 1
d) 9
e)
c)
±5
b
±6
Simplificar : a b 2 + + a b S = a 3+ b
a b 2 − b a 2 3 b − a
() ()
a) 2 d) 3
2
2 a 2 b − 4 − b a 2 a 3 b 3 − b a
() ()
b) 4 e) 4ab
2
c) 6
(a+1)(a−1)(a4 +a2 +1)(a6 −a3 +1)(a6 +a3 +1)
20.- Reducir:
a)
e) a + b
a 2 a + b 2b = 17
18.- Sabiendo que :
S=
]
6b
a + 8 2a
M =
c = 5 −2 3
19.-
d) 8ab
c)
d)
2
b) -7 e) -3
c) 6ab
8b
b)
b = 2 + 3−2 5 a) -8 d) -4
)[
+ y2 (a + b)4 − (a − b)4
S= −b+ 4ab+ 16a4+8a2b2+b4 a)
b) 4 e) 3
(x
e) 9
23.- Hallar el valor numérico de:
2
17.- Hallar el valor numérico de:
N =
a) 2ab
c) 8
E=
d) 4
b)
d) 1
a18 + 1
)
( )(
) ( )( )
Para a = 2; a) 10
b = 3; b) 8
c = 6; c) 9
d=5 d) 11
e) 7
DIVISIONES ALGEBRAICAS
Definición.- Es la operación algebraica que tiene por finalidad una expresión llamada cociente y como consecuencia el resto. Notación D → Dividendo d → divisor Q, q → Cociente R, r → Residuo Dividendo
9 a +1
a9 −1
(
3 N = a+c −b 2 •d +3 b+d 5d −4c +3 c −a d −b
c)
a9 +1
D
d
Divisor
R
q
Cociente
e) -1 Resto
21.- Calcular:
2
x
si:
y tú los primeros…!!!
Pag. 59
Propiedades de la División Algebraica En toda división de polinomios el grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor.
[ q ]o = [ D ]o − [ d ]o En toda división de polinomios el grado del resto es igual al grado del divisor menos uno.
[ R ]o = [ d ]o − 1 Observación: Siempre el [ D ] > [ d ] o
o
Para la división algebraica hay que tener presente: 1. Conociendo el grado de cualquier polinomio con una variable, se le puede dar la forma del mismo, es decir: Grado 1 2 3 . . .
Forma ax+b 2 ax +bx+c 3 2 ax +bx +cx+d . . .
2. Para la solución de problemas hay que tener presente el algoritmo de la división: D = dq + R Para la división de polinomios se utilizan los siguientes métodos: 1. Método Clásico a)Los polinomios dividendo y divisor deben ser dos polinomios completos y ordenados en forma descendente. b)El polinomio dividendo y divisor se colocan en línea horizontal, con las líneas de separación respectivas. (ver esquema en el ejemplo) c)Se comienza a dividir el primer término del dividendo entre el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y así se obtiene el primer término del cociente. d)El primer término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y cada producto se coloca debajo de cada término semejante con signo cambiado. e)Se divide el primer término del resto obtenido entre el primer término del divisor y así se obtiene un segundo término del cociente. f)Se procede como el paso número 4 y así se continua la operación hasta que se llegue a la última columna del dividendo. Ejemplo: Hallar el cociente y el resto de: x 4 + 4x 2 + 8x − 4 x2 + x + 1 Solución: Completando el dividendo, el esquema sería: 4 3 2 2 x +ox +4x +8x-4 x +x+1 4 3 2 2 - x - x -x X -x+4 3 2 / - x +3x +8x 3 2 x +x +x 2 / 4x +9x-4 2 -4x -4x-4 / 5x-8
El procedimiento es análogo al anterior, con la única diferencia que para este método trabajaremos con los coeficientes del dividendo y divisor. 3. Metodo de Horner: 1.El polinomio dividendo y divisor deben estar completos y ordenados en forma decreciente 2.Se trabaja solamente con los coeficientes del dividendo y divisor 3.Los coeficientes del dividendo se escriben en línea horizontal con su propio signo 4.Los coeficientes del divisor, se escriben en línea vertical a la izquierda del primer coeficiente del dividendo, teniendo en cuenta que el primer coeficiente del divisor no cambia de signo cambiándosele de signo a los coeficientes que continúan. 5.Se comienza a dividir el primer coeficiente del dividendo entre el primer coeficiente del divisor, de esta manera se obtiene el primer coeficiente del cociente. 6.Este coeficiente multiplica a los coeficientes del divisor a partir del segundo, y el resultado se escribe dejando una columna en línea horizontal 7.Se suma o se resta la segunda columna y se divide entre el primer coeficiente del divisor y así se obtiene el segundo coeficiente del cociente 8.Se procede como el paso numero “6” y asi sucesivamente hasta que el ultimo producto coincida con el ultimo coeficiente del dividendo. Método de Ruffini La regla de Ruffini es una consecuencia del método de Horner, por lotanto, presenta el mismo procedimiento. Este método es limitado debido a que solamente se emplea para divisores de grado uno, pero es muy útil para un método importante de factorización. La regla de Ruffini presenta tres casos: PRIMER CASO: Cuando el divisor es de la forma x+b. Ejemplo: Hallar el cociente y el resto de: 5x 4 − x3 + 7x 2 − 9 x +1 Solución: Completando el dividendo e igualando el divisor a cero, el esquema sería: divisor = 0 x+1 =0 x = -1 5 -1 7 0 -9 -1 -5 6 -13 13 5 -6 13 -13 4 3
2
q(x)= 5x -6x +13x-13 R(x)= 4 SEGUNDO CASO Cuando el divisor sea de la forma ax+b. Ejemplo: Hallar el cociente y el resto de:
⇒ q(x) = x -x+4 R(x) = 5x-8 2
2. Método de Coeficientes Separados
y tú los primeros…!!!
Pag. 60
6 x 4 + 25 x 3 + 17 x 2 − 24 x − 12 2x + 5
Solución: -5 2 ÷2 3
6 6 3
25 -15 10 5
17 -25 -8 -4
-24 20 -4 -2
-12 10 1.
Hallar el resto al dividir
-2
4 2 5x - 20x - x + 3 x+2
2
q(x)= 3x -5x – 4x-2 R(x)= -2
a)5 d)7
TERCER CASO n Cuando el divisor sea de la forma ax +b, para aplicar este caso los exponentes del dividendo respecto a la variable tienen que ser múltiplos del exponente del divisor Ejemplo: Hallar el cociente y el resto de: 6 x 40 − 31x 30 + 47 x 20 − 56 x10 + 57 2x
10
Aplicando el segundo caso: 7 6 -31 2 21 6 -10 ÷2 3 -5
47 -35 12 6
-56 42 -14 -7
Calcular el resto de dividir: (x + a ) 7 - x 7 - a 7 x + 2a 7 7 7 a) 110a b) 126a c) 116a 7 7 d) 113a e) 111a
3.
Hallar el resto de dividir:
5 x 7 - 4 x 6 + 5 x 4 - 3 x 3 + 2 x 2 - 5x + 7 x2 + 2 a) -39x + 55 b) 39x + 55 c) 9x + 55 d) -39x - 55 e) 3x + 55 4.
57 -49 5.
8
Al formar el cociente y el resto se reemplaza “y” por x obtiene: 30 20 10 q(x)= 3x -5x +6x -7 R(x)= 8
10
2
c) x +1
Calcular el residuo al dividir:
[x( x 2 - 1 )(x + 4 )(x + 5 )(x + 6 ) + 7 0 ] 2 x 2 + 5x - 3 a)49 d)46 6.
TEOREMA DEL RESTO O DE DESCARTES
b)48 e)45
c)47
Calcular el valor de “m” si el resto de la siguiente 2 división es cero: 3x + mx + 5 .
x+2
Finalidad: Tiene como finalidad hallar el residuo de una división, sin efectuar la operación. Hay que tener en cuenta que el divisor para esta parte es generalmente de la forma ax+b.
a) -7/2 d) -5/2 7.
Procedimiento: 1. Se iguala el divisor a cero. div=0 ax+b=0 8. 2. Se despeja la variable “x”. ax+b=-b b x=− a
b) 7/2 e) N.A.
c) 5/2
Al dividir P(x) = x29 + 8x28 + 16a27 entre x − a el residuo es 0. Cuál es el valor de “a”. a) – 4 b) 8 c) 1 d) 4 e) 2 Hallar el resto de dividir:
( x − 1 )( x − 2 )( x − 3 )( x − 4 )( x − 5 )( x − 6 )
entre
x 2 − 7 x + 11
a) 1 d) 4 9.
10.
y tú los primeros…!!!
Calcular el resto en: x 367 - 2 x 2 - x + 1 a) x-2 b) x+2 d) x+1 e) N.A
y se
3. Se reemplaza el valor de “x” en el polinomio o dividendo, y el valor numérico obtenido viene a ser el residuo de la división. b Dividendo P ( x ) = P − = R Residuo a
c)3
2.
−7
Solución: Para este caso, lo primero que se hace es un cambio de variable y luego se aplica el primer caso o segundo caso. 10 Haciendo que x = y, la división sería: 6 y 4 − 31y 3 + 47 y 2 − 56 y + 57 2y − 7
b)2 e)N.A.
b) 2 e) 5
c) 3
Halle el residuo de dividir: (x − 2)2013 + (x − 1)2012 + 7 (x − 2)(x − 1) a) 3 b) 2x - 1 c) 3x + 2 d) 2x - 4 e) 2x + 4.
Calcular el resto en:
Pag. 61
(x
+ 2
(x
)2 n
a) 3x -191 b) 2x - 3 c) 3x + 191 d) 2x + 3 11.
+ 3
+ 3 x − 192
)( x
+ 1)
c)
e) N.A.
e)
Calcular “a . b” si la división es exacta.
x 4 + 2x 3 − 3x 2 + ax − b x 2 + 2x − 5 b) 20 e) N.A.
a) 40 d) 4 12.
Calcular m y n si la división es exacta.
19.
2x 3 + x 2 + 3 Calcular: U + N + I a) 26 d) 27
1
3
c) 14
9
d
b
e -2
p
f h
4
-3
a) -10 d) -7
4
17.
Dividir 2x cociente. a)
b)
+ 5x
-b
a
8a
c
n
b
d
n
y tú los primeros…!!!
2x
2
− 5
2
2
c) − 3 2 d)16
40 + n )x + 5 En la siguiente división ( 2 x ,
x −1
500
el
+ x ( x + 1)( x − 2 )( x − 3) − x 2 x − 2x + 2
resto
en:
2
b) -2x+13 d) 3x+15
25.
Un polinomio de tercer grado cuyo primer coeficiente es 1 es divisible por (x–2) y (x–1) y al ser dividido por ( x –3) da resto 20. Hallar P(0). a) 14 b) –14 c) 7 d) –7 e) 8
26.
Un polinomio de cuarto grado es divisible entre (x + 2) tiene raiz cuadrada exacta. Al dividirlo entre (x-2) y (x+1) los restos obtenidos son iguales a 16. Calcular la suma de los coeficientes. a)36 b)37 c)38 d)39 e)40
27.
Un polinomio de tercer grado, cuyo primer coeficiente
c) 12
2x 2 + 2x − 2
+ 3
Al dividir un polinomio P(x) entre (x+3) se obtuvo por residuo -5 y un cociente cuya suma de coeficientes es iguál a 3. Encontrar el residuo de dividir P(x) entre(x 1) a)5 b)6 c)7 d)8 e)9
c) -8
5
3
24.
2 − x + 13 entre 2 x − 1 e indicar el
x2 + x −1
4
b)2
a) 0 c) -4x-12 e)N.A.
-3
Determinar el resto a) 11 b) 13 d) 10 e) 21
2x
Determine
Para efectuar una división según 5 el método de Ruffini se planteó el siguiente esquema.
2 x= 2a
−
23.
e) -1
4
5
Encontrar el valor de "k" para que el polinomio: 3 3 3 x + y + z +(k - 9)xyz sea divisible entre x+y+z a)1 b)3 c)6 d)√5 e)4
-7
5 b) -9
c) 34
Indicar el coeficiente del término de primer grado del cociente de:
( x − 1)
3+a + b +c +m n+p−2 -7
16.
3x − 1
22.
n
Determinar el valor de:
4
Hallar "ab " si el polinomio: 100 2 x +ax+b es divisible entre (x+1) a) 9900 b) 8100 c) 9800 d) 8900 e) N.A
c
g
1
21.
c) 24
1
4
−
Determinar el resto para que la suma de coeficientes del cociente sea 93. a) 13 b) 9 c) 18 d) 7 e) 6
. Es : 5x 2 − 3x + 7
a
x
e)N.A. 20.
b) 25 e) N.A.
2
4
+
x +
En el esquema de Horner mostrado
m
x2
4 2 Dividir: 27x − 6x + x + 15 . Dar como respuesta la
a) − 8 2
b) 18 e) N.A.
El residuo de: 8x 5 + 4x 3 + Ux 2 + Nx + I
d)
2 2 2 4x + 4x − 4
Calcular “a + b” si la división deja por resto 2x – 9;
a) 17 d) 15
−
1
c) 26
5x 2 − x − 2
15.
+
2x
5x 4 − 11x 3 + 15x 2 + ax − b
14.
2
x
suma de coeficientes del cociente: a) 32 b) 33 d) 35 e) N.A.
c) 30
x 4 − 3x 3 + mx − 2n . x 2 − 2x + 4 Dar como respuesta: m + n a) 16 b) 18 d) 28 e) N.A. 13.
18.
x2
Pag. 62
es la unidad es divisible por (x – 2) y por (x + 1) y al dividirlo por ( x –3) da de resto 20. ¿Qué resto daría al dividir dicho polinomio por x + 3? a) 18 b) -10 c) 12 d) -2 e) 0 28.
Al dividir un polinomio P(x) separadamente por (x –1) y (x –2) se obtiene como resto 6 y 18 respectivamente. Determinar el resto que se obtendrá al dividir P(x) entre (x –1).(x –2) a) 3x-12 b) 2x-12 c) 6x -12 d) x -6 e) 12x – 6
03. Calcula el resto de dividir: a)x+10
b)x+11
d)x+13
e)x+14
30.
31.
32.
Al dividir un polinomio P(x) separadamente entre (x-a) y (x-b) los restos obtenidos son: (2b + a) y (2a + b) 2 respectivamente. Hallar el residuo de dividir entre x (a+b)x + ab a) -x + 2(a+b) b) x + 2(a+b) c) -x + 2(a-b) d) x - 2(a+b) 2 e) -x + 2(a +b) Cuál es la suma de coeficientes de un polinomio P(x) si se sabe que es de tercer grado, cuyo primer coeficiente es la unidad y es divisible entre (x-2)(x+1) y carece de término cuadrático. a)2 b)-5 c)-4 d)8 e)-3
P(x) = x3 + m(a −1) sea divisible entre (x–a+1). 2
b)–a
2
c) –(a–1) 2
d)a –1
e)–(a+1)
05. Determina m, n y p, para que el polinomio:
P(x ) = x 5 + x 4 − 9 x 3 + mx 2 + nx + p sea divisible entre ( x+ 2 ) ( x – 2 ) ( x+ 3 ) , luego ( m + n + p ) es: << a)3 d)7
b)2 e)Ninguna
c)8
06. Calcula el residuo de dividir:
(x +2x+2) −4(x +2x+3) +2x +4x+5 entre 2
Un polinomio entero en "x" de tercer grado se anula para x=7 y para x=-3 y al dividirlo entre x-10 da como residuo 39 si el primer coeficicente del polinomio es 3. Hallar el resto de dividirlo entrex-8. a)52 b)-55 c)-4 d)8 e)7 07. Hallar la suma de coeficientes de un polinomio de tercer grado divisible entre x2 + x − 2 talque al dividirlo entre x – 2 y x – 3 se obtiene residuos 8 y 20 Respectivamente. a) 4 b) – 6 c) -4 d) 6 e) 0
c)x+12
04. ¿Cuál debe ser el valor de “m” para que el polinomio:
a)–1 29.
3(x +3)3 +2(x +2)2 +6 . (x +3)(x +2)
82
41
2
2
2
x +2x+2. a)–1 d) 2
b)–2 e) 3
c)–3
07.- Encuentre un polinomio de variable X, de grado 3 y de coeficientes enteros, tal que al dividirlos entre x 1; x + 2 y entre x-4, si obtenga el mismo resto igual a 10 y que se anule para x = -1 .Calcular el término independiente. a) 6 b) -2 c) 2 d) 5 e) 10
08. Determina “k” de manera que la expresión:
(x + y + kz)3 − 27x 3 − 27 y 3 − 27z 3 , sea
divisible por (x+y). a)–9 d) 9 01. Hallar la suma de los coeficientes del cociente en la división:
3x 4 − 13x3 + 3x 2 − 8 x + 13 x2 − 5x + 3 a) 5 d) 3
b) 9 e)4
c) 12
xn+1 − (n +1)x + n , es igual a 210. x2 − 2x +1 b)20 e) 99
09. Halla el resto de la división:
a) 26x+31 d) 8x+21
c)3
( x + 2 )6 + 2 x 3 + ( x + 3 )( x + 1 )
b)2x+31 e)17x+24
6
c)15x+13
10. Un polinomio
02. Calcula el valor de “n” de manera que la suma de coeficientes del cociente de dividir:
a) 22 d) – 88
b)2 e)6
c) 55
y tú los primeros…!!!
P(x) = x 3 − 2x 2 −15x − ax 2 + 2 ax +15 a se anula para los valores x = valor de x que también lo anula es : a)0 d)-3
b)-1 e)4
a ∧ x =5.
Otro
c)2
11. Hallar “m+n” para que el polinomio: 4 3 2 2 6x +4x -5x -10x+m sea divisible por 3x +2x+n
Pag. 63
a)21 d)-20
b)-21 e)23
c)20
PROPIEDAD.– El cociente:
12. Hallar la suma de los coeficientes del dividendo y divisor en el esquema: 2 a -b c -d e m 6 -4 -n 0 0 -3 2 2 0 -1 -4 3 a) 1 d)-2
b)-1 e)3
c)0
− a n − aq
m
x x
p
es notable, si:
m n = = Número de términos del C.N. p q
EJEMPLOS 01. Determina
x
el
− y x − y
62
término
50
en
el
desarrollo
de:
62
COCIENTES NOTABLES DEFINICION. –
Son
cocientes especiales
exacta entre divisores binomio de la forma:
de división
xn ± an x±a
x 5 n +3 − a 5(n + 6 ) x n −1 − a n + 2
,
en las cuales es posible deducir el cociente, sin necesidad de efectuar la operación donde: “x” y “a” serán las bases: y n∈n. En donde observaremos, se presentarán varios casos:
01.- Hallar “n” en el C. N. a) 8
b) 5
c) 3
d) 2
e) 1
02.- Hallar el número de términos de C.N n
n
1. x –a x-a
n-1
X =∈ n
+x
n- 2
a+x
n- 3 2
a +x
n- 4 3
a +…+a
n- 1
x 4 n + 12 − y 4 n − 3 x n −8 − y n −9
,n
“n” terminos n
n
2. x –a x +a
= Xn-1 - xn- 2a + xn- 3a2 - … - an- 1,
n par
a) 14
b) 13
c) 12
d) 15
e) 16
“n” terminos n
n
3. x + a x +a
=
n-1
X. -x
n- 2
a+x
n- 3 2
n-1
a -…+a ,
03.- Hallar el cociente de:
n impar
A =
“n” terminos
4.
x
+ a x − a n
a)
n
no
es
c o c ie n te
n o ta b le
.
b) c)
EJEMPLOS
x 34 − x 33 + x 32 − x 31 + + 1 x 34 + x 33 + x 32 + x 31 + + 1 x 34 + x 32 + x 30 + x 28 + + 1
d) x 01. Desarrolla los siguientes cocientes notables. A=
x 8 − 256 x + 2
;
B=
y
+ 32 ; y + 2 5
CÁLCULO DEL TÉRMINO GENERAL n−k k −1 En general: k
t =x
.a
n∈Ν; 1 ≤ k ≤ n, donde “k” es el lugar pedido y “n” es el exponente de las bases en el numerador. SIGNOS DE LOS TERMINOS Cuando el divisor es de la forma (x – a) → Todos los términos son positivos. Cuando el divisor es de la forma (x+a) → Si “k” es impar los términos son ( + ) y si “k” es par, (– )
y tú los primeros…!!!
e)
x 68 + x 66 + x 64 + x 2 + 1 x 34 + x 33 + x 32 + + x + 1
x
34
− x
34
+ x +1
32
+ x
30
− x
28
+ + 1
17
04.- Hallar el número de términos del producto M x N, si:
M = x 20 n + x 19 n + x 18 n + + x n + 1 N = x 20 n − x 19 n + x 18 n − − x n + 1 a) 24
d) 20
c) 22
d) 21
e) 23
05.- H a l l a r ( m + n ) ; s i e l t 2 5 d e l d e s a r r o l l o d e :
x129 m − a 86 n x 3m − a 2 n a) 13
b) 14
Es x c) 11
270
d) 12
a
288
e) 10
Pag. 64
15.- Calcular el número de términos del desarrollo
x9 − yb xc − y3
06.- Hallar el término central del desarrollo del C.N 6a −3
x
− y
8a +3
x a −1 − y a + 1 9
15
3
a) x y
9
b) x y
a) 14 15
c) xy
d) x
9
y
e) N.A.
xa − yb x3 − y4
a 40 − b 20 a2 − b
x
−y x − y5
3m
b) 15
a) 84
b) 85
e) 10
c) 80
c) 50
d) 30
17.- En la división
w
a
, los grados de los
− v
términos de su cociente disminuyen de 2 en 2. Si el cuarto término es de grado 21. ¿Cuantos términos tiene el cociente? a) 12 b) 10 c) 14 d) 16 e) 20
e) 35
)(
(
−1
xa
09.- Calcular el número de términos enteros en el C.N.
x 75 − x − 30 x 5 − x −2
+ c −1
p − 40
el termino central del C.N.
c) 12
d) 13
Es el noveno e igual a x a) 9/8 b) 3/2 c) 3
e) 15
x a − y 128
) sabiendo que 2 + 72
+ yb
xa + yb 40 c
b) 10
e) 74
b
18.- Determinar: R = a + p b
a) 5
e) N. A.
d) 79
− v
ab
w
tiene grado absoluto 185. Hallar “m” b) 60
d) 12
t 6 .t 9 = x 12 y 28 t7
; Si
15m
a) 40
c) 17
x 4 c y 27
16.- Halle “a + b” en el C. N. de:
07.- Que lugar ocupa el término en el cual la diferencia de exponentes de “a” y “b” es 11 en el desarrollo de
a) 5 b) 6 c)7 d) 8 08.- Si el décimo termino del desarrollo del C.N.
siendo uno de sus términos
y
Donde b ν c d) 8/9 e) 2/3
3
10.- Si el cociente de
x8 − ya
es exacto
2
19.- Siendo
Indique el número de términos. a) 9
b) 13
c) 8
x 6 y 4 uno de los términos x m − yn
notable de
d) 19
e) 17
;
x 2 + y2
a) 288
b) 289
c) 323
del cociente
Hallar
m(m + n)
d) 188
e) 128
11.- Reducir
( x + 30 )31 + ( x + 30 )30 + ( x + 30 )29 + + 1 ( x + 30 )30 + ( x + 30 )28 + ( x + 30 )26 + + 1 a) x + 31 28 d) x + 30
12.- Si
b) x - 30 29 e) x - 30
x a − 4b − y 4b −c x− y 7
20.- Calcular:
ab + ba a −b
L=
c) x + 30 a
x3 x2
es un C. N. y a - c = 4b
b2
−3 −1
a) 1
a
− y3
− y2
a) 5
−y n x − ym b) 3
xa −1 se cumple: x −1 b) 30
−1
, el quinto término es c) 6
d) 3
x165 y 60 e) 19
TAREA DOMICILIARIA 01.-
Que lugar ocupa en el desarrollo del C. N
x 160 − y 280
100 m 200
es x c) 4
236
y
. Hallar “m”
d) 2
e) 0
14.- Se desea saber el número de términos del C. N de:
a) 15
b2
4
13.- Sabiendo que un término del desarrollo de
x
−3
b) 4
además: t 5 = x y dar el valor de “b” a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 73n +135
si en el C. N de dividir
t15 t20 t25 = x c) 17
d) 18
x4−y7 a) 31
b) 32
, el término que tiene c) 33
d) 34
G. A = 252 e) 35
02.- Encontrar el número de términos de:
30
+a56b56 +a49b64 +, sabiendo que es el
e) 20
desarrollo del cociente notable a) 15 b) 16 c) 14 d) 18
y tú los primeros…!!!
e) N. A.
Pag. 65
03.- Calcular: a) 0,8
99 − 98 + 97 − − 9 2 + 9 −1 8
7
b) 0,1
2
c) 0,9
d) 1
x +y a
notable de
x+ y
b
Calcular ab a) 100 b) 200
c) 300
06.- En el siguiente C. N
x y
d) 400
x 5n − y 20 x2 − ym
a) 141 d) 131
x n − yn x 2 − y2
e) 500
, observa que
a) 83 d) 86 7.
n2 − m2 b) 8
c) 12
d) 9
e) -6
2
c) 85
Hallar el grado absoluto del T15 En el C.N.
x m − yn x 2 − y3
b
b) 40 e) 48
c) 42
Hallar a + b + c. Sí el termino central del cociente notable:
3 a − 40
3 + y b −114 xa + yb 40
Es el noveno y es igual a: x a) 11 b) 48 d) 54 e) 59
x 27 − y18 x3 − y2 15 6
12
a) x y 15 5 d) x y 2.
b) x .y 15 6 e)15.x y
9. 6 15
c) x y
x 500 − a 400 85
328
a) –x .a 90 324 c)-x .a 90 e) x .a 3.
85
x5 + a 4 328
b) x .a
90
p
c) 65
a 2m+6 − b m+3 a m−1 − b m−3 b) 4
b) 52 e) 55
c) 16
e) 30
(
8xy x 2 + y 2 para x = 3; y = 2 a) 1 d) 4
c) 53
Si el cociente es notable. Hallar el grado absoluto del término central de su desarrollo.
y tú los primeros…!!!
)
2 b) 2 e) 5
c) 3
11. Dado el cociente notable: x a − y12 ; El término de lugar “K” x b − yc De su desarrollo tiene grado absoluto 11 y además se cumple que: a + c = 20 3 3 a +c = 5840 Calcular “K” a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 10 p
5.
40
por valor x y a) 59 d) 54
(x + y)100 − (x − y)100
¿Cuántos terminos posee el siguiente cociente notable?
a) 2 d) 32
c) 53
10. Cuál es el valor numerico del término central de:
Calcular (a + b), sabiendo que el término de lugar 12 del cociente notable es:
b) 62 e) 50
c
es el noveno término y tiene
x m + yn
324
xa − yb es : x 2 y 23 2 3 x −y
4.
+y
d) x .a
a) 60 d) 63
y
Determinar (m + n + p) sabiendo que el término central del Cociente Notable generado por 3 3 m −114 n −40
x
Calcular el término de lugar 82 en el desarrollo del cociente notable.
b
; Sí el término 7 tiene la forma: x .y
x
Hallar el término cuarto en:
82
Es: x y
b) 84 e) N.A.
a) 36 d) 44 8.
1.
c) 126
6. Calcular “n” si se sabe que el penúltimo término del desarrollo de:
es: un término del cociente. Calcular
a) 6
b) 121 e) 136
− x 4 y 10
es
2
x3 + ym
e) 9
04.- Sabiendo que uno de los términos del desarrollo
8 10
x m + y 675
9 + 9 + 9 +9 + 9 +1 9
28
16
2(p-6)
12. Si: x y ; x y Son términos equidistantes en el cociente notable de la división
Pag. 66
x m − yn x 4 − y7
.Calcular (m + n + p)
a) 235 d) 255
13. Si:
b) 225 e) 265
xm − 8 x−2
c) 245
es una división Notable Exacta. Calcule
PROPIEDADES Solamente se pueden factorizar las expresiones compuestas (no primas). El máximo número de factores primos que puede tener una expresión estará dado por su grado. Las expresiones de primer grado, llamadas también expresiones lineales, necesariamente son primos.
el valor numérico de:
METODOS DE FACTORIZACION
m 39 − m 38 + m 37 − ... − m 2 + m − 1 m 35 − m 30 + m 25 − .... − m10 + m 5 − 1 a) 62 d) 60
b) 63 e) 64
14. Simplificando
G=
x
4 m −1
+x
c) 61
la 4m−2
+x
4 m −3
expresión:
+ ......... + x + x + x + 1 3
METODO DE FACTOR COMUN Factor común monomio.- Es el monomio que está contenido en todos los términos del polinomio considerado. El factor común se extrae de cada término, elevado a su menor exponente.
2
x 2m −1 + x 2m −2 + x 2m −3 + ......... + x 3 + x 2 + x + 1 obtenemos a) x 2m − 1
b) x 2m + 1 c) x 2m − 2
d) x 3m − 1
e) x 2 m − 3
;
Ejemplo (1): Factorizar
OBJETIVOS ESPECÍFICOS: Identificar la factorización como una operación inversa de la multiplicación y manejar adecuadamente los métodos para factorizar expresiones algebraicas con rapidez y seguridad. FACTORIZACION DE POLINOMIOS Factorizar es el proceso que consiste en transformar una expresión algebraica racional y entera en un producto indicado de factores primos en el campo R.
Solución: Extraemos:
xy 2 x 4 y + 1
.
)
FACTORIZAD A
Factor común polinomio.- Cuando existe un polinomio contenido en todos los términos del polinomio considerado. Ejemplo (2): Factorizar x(a −1) + (a −1). Solución: Extraemos el factor común (a-1)
x ( a − 1 ) + ( a − 1 ) = ( a − 1 )( x + 1 )
Factor común por agrupación de términos.- Se agrupan los términos de 2 en 2, de 3 en 3, etc. considerando alguna característica común.
4
4
4
4
Ejemplo (3): Factorizar x a + x y + z a + z y Solución: Agrupando en la forma indicada:
DO
FACTO RES
2
(
xy 2 → x 5 y 3 + xy 2 =
x 2 − y 2 = ( x + y )( x − y ) T E R M IN O S
+ xy
3
EXPRESION
FACTORIZACION
F A C T O R IZ A N
x5y
x 4 ( a + y ) + z 4 ( a + y ) ⇒ ( a + y )( x 4 + z 4 ) METODO DE LAS IDENTIDADES
FACTOR.- El factor de una expresión es aquél que la divide exactamente. Ejemplo:
En este caso utilizaremos los productos notables.
*a.b.c = X
Diferencia de cuadrados:
⇒ a, b y c son factores de X.
2
* y(y+1)=y +y
⇒ y y (y+1) son factores de y +y. 2
Ejemplo ( 4 ): Factorizar Factor primo.- Es aquel que no se puede descomponer en otros factores (diferentes de uno). Ejemplo: (5) (7), donde 5 y 7 son factores primos.
POLINOMIO PRIMO. – Es un polinomio de grado diferente de cero divisible sólo entre sí y entre cualquier constante. 2 Por ejemplo: x +1 es un polinomio de segundo grado divisible sólo entre sí mismo. Si en una multiplicación indicada, uno de los factores tiene las características de un polinomio cero, dicho factor se denomina factor primo.
y tú los primeros…!!!
Solución:
a 2 − b 2 = ( a + b )( a − b )
( x − 1) 2 − ( y − 1) 2
⇒ [ ( x − 1 ) + ( y − 1 ) ][ ( x − 1 ) − ( y − 1 ) ] ⇒ ( x + y − 2 )( x − y )
METODO DEL ASPA Método del aspa simple.- Se utiliza para factorizar trinomios de la forma.
ax
2 m
+ bx
m
y
n
+ cy
2 n
.
Pag. 67
Ejemplo (5):Factorizar a 2 + b 2 + 3 a + 3 b + 2 ab − 28
término independiente divididos por los divisores del coeficiente del término de mayor grado. Ejemplo:
Solución:
• x3 − x + 6
( a + b ) 2 + 3 ( a + b ) − 2 8 = ( a + b + 7 )( a + b − 4 )
• 7x + 2x − 3, posibles ceros: ..........................................
⇓ a + b a + b
+ -
⇓
7 4
Método del aspa doble.- Se utiliza para factorizar polinomio de la forma: A x 2 + B xy + C y 2 + D x + E y + F
+
x x
Ejemplo ( 8 ) : Factorizar:
x3 + 3x− 4
Solución: Posibles “ceros”:
± 1, ± 2, ± 4 .
Se anula para x = 1⇒ (x-1) es factor. El otro factor se obtiene al dividir por Ruffini entre (x-1)
7 x
+
8 y
+ 12
1
⇓ 4
+
4y
Los factores son: (x+4y+4)(x-y +3). Caso particular.– Se emplea para factorizar polinomios de 4n 3n 2n n la forma: Ax +Bx +Cx +Dx +E. 4
3
2
METODO DE LOS ARTIFICIOS.- En este caso, mediante sumas y restas trataremos de formar trinomio cuadrado perfecto para exponentes pares o suma o diferencia de cubos para exponentes impares. También se pueden hacer cambios de variables.
Ejemplo (7): Factorizar x +7x +17x +26x+12.
Ejemplo (9): Factorizar 4 x
Solución: Se descompone primero los extremos y obtenemos u 2 término parcial en x .
Solución: Formando TCP
x 4 + 11 x x x
3
+ 37 x
2
+ 3 9 x + 12 4 3
2 2
2
2
+
11
x 3
+
37
x 2 5 x 6 x
4 x 8 ⇓ 4 2x
+
+ 81 y
8
4
y 4 ⇓ y 2
81 9
Falta: 2 ( 2 x 4 )( 9 y 2 ) = 36 x 4 y 2 .
2
El término parcial es 4x + 3x = 7x , para obtener el 2 2 2 2 2 término central 37x a 7x le falta: 37x – 7x = 30x , el cual será descompuesto en dos factores adecuados en el centro del esquema para obtener el segundo y cuarto término.
x 4 x 2 x 2
2 + x + 4) .
La expresión factorizada es: ( x − 1 ) ( x
+ 3
- y
0 3 -4 1 1 4 1 4 0 Segundo grado
1
⇓
, posibles ceros: ........................................
4
1
Ejemplo (6): Factorizar x 2 + 3 xy − 4 y 2 + ⇓
5
+
39
x
+
12 4 3
Sumando y restando
36 x 4 y 2
4 x 8 + 81 y 4 + 36 x 4 y ⇒ ( 2
2
− 36 x
4
2
y
T. C. P.
x
+
4
9
y
2
D IF E R E N C IA
2
)
DE
−
( 6 x
2
y )
2
CUADRADOS
⇒ ( 2 x + 9 y + 6 x y)( 2 x 4 + 9 y 2 − 6 x 2 y ) 4
2
2
Comprobemos los términos que faltan: 3 3 3 5x + 6x = 11x ; 24x + 15x = 39x 2 2 Los factores son: (x +5x+4) (x +6x+3). DIVISORES BINOMICOS.- Se utiliza para factorizar polinomios de cualquier grado siempre que tenga por lo menos un factor de primer grado. Regla: Se calcula los valores de las variables que anulen al polinomio para obtener factores binomios (ceros del polinomio). Ejemplo, si se anula para: * x = 3, entonces (x - 3) es factor * x= - ¼, entonces (4x + 1) es factor Se divide por Ruffini al polinomio entre el factor o factores binomios obtenidos, para obtener el factor que falta. Regla para obtener los posibles “ceros”: Si el coeficiente del término de mayor grado es la unidad, los posibles “ceros” son los divisores del término independiente. Si el coeficiente del término de mayor grado es diferente de la unidad, los posibles “ceros” serán, los divisores del
y tú los primeros…!!!
01.- Luego de factorizar
m12 − m8 n 4 − m 4 n 8 + n12 Indicar el número de factores primos a) 4
b) 3
c) 2
d) 1
e) N.A.
02.- Factorizar
P ( a ) = ( a + 1 )( 2 a + 1 )( 3 a + 1 ) + ( a + 1 ) 2 + a + a Indique la suma de los factores primos
a) 4 (a + 3) d) 2 (3a + 1)
b) 3 (2a + 1) e) N. A.
2
c) 2 (3a + 2)
Pag. 68
03.- Un factor de la expresión
F (x , a , b ) = 3 x 3 + 4 abx
2
2
a) x +2ab e) N. A.
b) x - 2ab
a) 5
− 12 a 2 b 2 x − 16 a 3 b 3 c) 3x - 4ab
( )(
)(
) ( )(
)
04.- Calcular la suma de los factores a) 6x + 3
2
b) 6x
2
c) 4 x
05.- Factorizar el polinomio
( )
2
d) 2x 3
(
P x, y = x 3 + 28 y 3 + 3 xy x + y
2
e) 5x
) (
(
( )
14.-
indique
el
2
b) (a + 2) e) N. A.
c) (a - 2)
Factorizar:
(
)
G m ,n = 4m
+ 4 mn
4
2
− n
+ 1
4
Señale luego el número de factores algebraicos
e) 5 06.- Calcular el valor numérico de un factor primo de: P x , y = x 2 y − 1 xy 2 − 1 + xy 3 xy + x + y + 3 −1 −1 −1 Para x = ab a + b ; y = a +b a) 7 b) 1 c) 3 d) 5 e) 2
)
e) 9
Luego de factorizar:
a) (a + 1) d) (a - 1)
E indique el número de factores lineales a) 4 b) 3 c) 2 d) 1
(
d) 8
R a = a4 − a3 − 6a2 + 4a + 8 ; factor primo que no pertenece a R(a)
M(x) = x −1 x − 4 x −10 + x −1 x − 3 +1− x 2
c) 6
d) x 3ab 13.-
2
b) 7
)
a) 5 15.-
)
b) 7
c) 3
d) 2
e) 4
Al factorizar M
(x ) =
a
4
− 4b
2
x 2 + 2 a
+ 2 b 3 x + a
4
− b
4
4
Dar como respuesta la suma de los términos independiente de los factores primos
07.- Factorice
()
2
P x = x 2 + x + 1 x 2 − x + 1 + 7 x 2 − 385 Y halle la suma de los factores primos lineales a) 6x + 4 b) 6x c) 4x + 6 d) 2x e)4x + 5
a) 2b
16.-
)=
x
+ x
7
6
a) x +1 3 d) x + 1
+ x
6
5
+ x
4
5
+ x
3
+ x
2
+ x + 1
4
b) x + 1 e) N. A.
( )
(
)
R x = 8 x a + bx 2 − 2 + d 2 cx 1 2 4x d Entonces un factor del polinomio propuesto es: a) 2x + 3 b) 3x + 1 c) 2x + 1 2 3 d) 3x + 1 e)4x + 3 10.
Factorizar el polinomio 6 4 2
()
c) 0
) (
() (
d) 4
)
e) 2 a
(
)
b) x + y + 1 e) N. A.
)(
c) x + y - 1
)
2
2
a) x – x + 2 2 d) x + x + 1
4
2
b) x - 2x + 1 c) x + 2 x – 1 4 3 e) x + x – 1
18.- En cuantos factores primos puede descomponerse el siguiente polinomio. F (a ) = a 2 a 4 + 8 a 2 + 87 + 9 a 4 − 1
(
a) 1
Señale la suma de los términos independientes de los factores primos. b) 2
(
2
d) 3ab
17.- Factorizar e indicar un factor primo de: P x = x + 1 x − 1 x 2 + 1 x 4 + 1 − x 4 2 x 2 + 1
P a = a + 4 a + 3a − 2 a − 1
a) 3
Luego de factorizar
a) x + y d) x - y
c) x + 1
09.- Al factorizar un polinomio en el campo de los números enteros, mediante el procedimiento del aspa simple se realizo lo siguiente:
c) 4b
M x , y = x + y 3 + 3 xy 1 − x − y − 1 Señale un factor lineal
08.- Señale un factor primo luego de factorizar:
P (x
b) 2b
)
b) 2
c) 3
(
)
d) 4
e) 5
19.- Factorizar:
Q ( x ) = ( x + 4 )( x + 1 )( x − 2 )( x − 5 ) + 3 4
e) N. A.
Indicar el término independiente de un factor primo a) 10
11.- Uno de los factores de:
( )
b) 12
F m = 3 m 2 − 4 m − 19 3 m 2 − 4 m + 60
20.-
Al factorizar
( ) = (ac
F x a) 3m + 1 d) m + 3
12.-
b) 3m – 2 e) 3m + 2
c) 3m – 5
Factorizar
(
c) 13
d) -11
e) N. A.
(
)2
2
)
P a,b,c = a6 + b2 + bc + c2 a4 + bc3 + b2c2 + b3ca2 + b3c3
− xbd
)2
+ x bc + ad
E igualar a cero uno de sus factores primos, “x” toma por valor: a) −
a b
2
d) F. Datos
b) −
b a
3
c) c
2
d
e) N. A.
Señale la suma de los coeficientes de los términos de sus factores primos.
y tú los primeros…!!!
Pag. 69
TAREA DOMICILIARIA 01.-
02.-
4.
Dar un factor primo luego de factorizar,
a) z - x b) a - z c) x - y d) a - y e) 1 - a Indicar uno de los factores de
(1 + ab )2 − (a + b )2
5.
c) b + a
( )
G m = m 10 + m 8 + 1 Indicar un factor cuadrático. 2
3
b) m - m -1 e) N. A.
2
c) m - m +1
6.
04.- Factorizar el polinomio:
( )
2
(
(
Al factorizar un polinomio en el campo de los enteros mediante el procedimiento del aspa simple se realizó lo siguiente: a 2 8x + bx - (2+d)
)
P x = x 2 + x − 1 + 2 x + 1 2 ; y dar como respuesta el valor de un factor primo para x =1
a) 5 05.-
b) 10
Factorice:
() (
Q n = 3n − 4
c) 8
)4
d) 2
2
cx 2 4x
+ 4 9 n 2 − 24 n + 16 + 16
c) 3n − 6n − 4 2
e) 9 n
2
b) 3 n
2
+ 6n + 4
d) 9 n
2
− 30 n + 28
1 d
Entonces un factor del polinomio es. 2 2 a) (2x + 1) b) x + 1 d) 2x +5 e) N.A.
e) 7
7.
Dar a continuación un factor primo a) n + 2
)
Factorizar: abx 2 − a 2 + b 2 x + ab a) (x + a) (x - b) b) (bx + b)(ax + a) c) (x + b)(x - a) d) (ax + b)(bx + a) e) (ax - b)(bx - a)
03.- Al factorizar
2
(3x + 2y) (x + y) b) (2x + 3y)(x + y) c) (x + y)(2x + 3x + 2yx) d) (3x + 2y)(2x + 3y) e) N.A.
b) b - a e) 1 - a
a) m + m - 1 2 d) m - m +1
6x 2 + 13xy + 6 y 2
a)
ax + ay − axy − xz − yz + xyz
a) ab d) a - b
Factorizar:
8.
+ 30 n − 28
Factorizar 64a factores primos a) 2 d) 6
2
c) x - 1
7 b 7 − ab13 .E indicar el número de
12
b) 4 e) 7
8 4
c) 5
4 b8 + b12 .Indicar
−a b −a Factorizar: a suma de los factores primos. a) b)
la
a + b + a 2 + b2 + a 4 + b4 2b + a 2 + b 2 + a 4 + b 4
2a + a 2 + b 2 + a 4 + b 4 2 2 4 4 d) ab + a b + a b c) 1.
Factorizar y dar como respuesta uno de los factores de: 13x10 y 5 − 26 x7 y8 + 39 x11 y 9
2.
10 10
7 5
a) x y
b) 13x y
c) ( x + y ) e) ( x − y )
d) 13xy10
e) N.A. 9.
Señale el número de factores primos de:
F(m, n, p) = 8m2n5p4 +12mn10p4 +6m2p5 +9mn5p5 a) 7 d) 4 3.
b) 6 e) 3
Uno de los factores de: 3 a) x + 4 2 b) x + 2x + 4 3 c) x − x + 4 3 d) x − 2x + 4 3 e) x − x − 4
c) 5 10.
Factorizar: ( x − 3)( x − 2) ( x − 1) + ( x − 1)( x − 2 ) − ( x − 1) y dar como respuesta el número de factores primos. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
y tú los primeros…!!!
11.
(
)4
x 6 − x 2 − 8x − 16
es:
( 2 − b 2 )2 − 8(a − b)4
Factorizar a+b −2a indicar el número de factores. a) 6 b) 8 d) 12 e) 24
c) 16
Factorizar:
18x 2 − 9xy − 20 y 2 + 46 y + 24x − 24 Pag. 70
(x + y + 1)(2x + 9y + 4) b) (x + y + 2)(x − y − 4) c) (6x − 5y − 4)(3x − 4y + 7) d) (6x − 5y + 4)(3x − 4y + 6) e) (6x + 5y − 4)(3x − 4y + 6) a)
12.
19.
a) c) e)
Factorizar:
20.
(x + 10)
Factorizar:
(
(x 3 − 1)
)
(2x + 5) c) (yx − 1)
c) 3
a)
e) 21.
(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 1
( ) (x 2 + 4x + 5)2 (x 2 + 5x + 4)2
Señale
( (
) )
factor
22.
de:
En 2 x + x − 16 x + 8 x − 1 , dar como respuesta el número de factores primos. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
c)
x2 + x + 2
(x + 10)
24.
(x ) = x 4 + 5x 3 + 9x 2 + 11x + 6 b) d)
e) ( x + 4 )
x2 −1
(x + 12)
F(x ) = x 4 + 7 x 3 + 19x 2 + 36x + 18 .
(x 2 + 3x + 2) (x 2 + 2x + 6) (x 2 − 2x + 6)
Indicar un factor.
c) e)
(yx + 1)
(x + y2 )
b) d)
(x 2 − 2x − 6) (x 2 + 2x − 6)
y tú los primeros…!!!
x 3 − 11x 2 + 31x − 21 e indicar un factor
(
b) x − 9 d)
)
(x − 1)
e)
(x 2 − 1)
Factorizar: 3 2 P(x) ≡ x -4x +x+6 e indicar correcto (C) o incorrecto(I) I. Un factor primo es x-1 II. La suma de los factores primos es 3x-4 III. P(x) posee tres factores primos. A) CCI B) ICC C) CIC D) IIC E) CCC
( )
5 + 4x 4 − 10x 2 − x + 6
Factorizar: Px =x .Indicar uno de sus factores. a)
(x + 2)
d)
(x + 12)
x 2 + 4 e) (x + 15) b)
(x + 20)
c)
Luego de factorizar: 12 x + 16 x + 7 x + 1 a) 2x + 1 b) 2x – 1 3
c) 2x 2 + 1 e) 3x + 2
2
d) 2x 2 − 1
Luego de factorizar: 2 x 5 − x 4 − 10 x 3 + 5 x 2 + 8 x − 4 , un factor lineal es: a) 2 b) x – 1 c) x + 3 d) 2x e) 5x - 6
25.
Factorizar:
a)
Factorizar: primo.
2
Factorizar: E indicar un factor. a)
23.
d) x –1
3
(x 2 + y)
(x + 13) c) (x + 10)
2 2 b) x + 4 x + 4 2 2 d) x + 5x + 5
un
4
d)
a)
x11 + x10 + x 9 + x 8 + ..... + x 2 + x + 1 2 2 a) 3x + x + 3 b) 2x + x + 2 x2 − x +1 c) e) x
b)
c) 8
Factorizar:
e)
18.
d)
indicar uno de sus factores primos.
c)
17.
(x 2 + 2)
(x − 1)2
el número de factores primos. a) 1 b) 2 d) 4 e) 5
2 2 a) x + 5x − 5
16.
b)
2 2 F(x; y ) = y x 4 + 1 − 2 yx 2 + (y + 1) (x + 1) x
el número total de factores. a) 2 b) 4 d) 16 e) 32
15.
(x + 1)2
6x 2 − 20 y 2 − 14z 2 + 7 xy + 38yz − 17 xz Indicar
6 5 4 2 13. Factorizar: x + 4x − 21x − 20x − 4 . Indicar
14.
( ) = x 4 − 8x 2 − 12x − 5 Indicar uno
Factorizar: F x de sus factores.
26.
Luego de factorizar: 12x5 − 8x4 − 13x3 + 9x2 + x − 1 el número de factores primos es: a) (x –1) b) 2(x +2) c) ( 2x − 1)2 d) ( x +10) e) ( x − 9 )
27.
Luego de factorizar se obtiene:
L = 30x3 − 19x 2 + 1 a) 2 ( 5x + 1)( 2x − 1)
2
(
)
b) 5x 2 − 1 ( x + 2 )
Pag. 71
c) ( x + 5 )
2
( x − 3)
d) ( x − 9 )
2
( x + 6)
a) 1 d) 4
e) N.A. 28.
Luego de factorizar:
( x2 − x − 2)( x2 − x − 12) + 24 . Dar
5.
b) 2 e) 5
Si el M.C.D. de los polinomios
M ( x ) = 48 x n − 2 y m +1 z n N ( x ) = 36 x n y m
como respuesta un factor primo. a) x + 2 b) x + 4 2 2 c) x – x - 8 d) x – x + 6 2 e) x – x - 6 29.
( a + b + 3)
Factorizar:
2
P ( x ) = 72 x n −1 y m −1
+ 7 a + 7 b + 31 .
Dar
) (
es 12 x a) 0 d) -4
como
respuesta un factor primo. a) ab8 b) ab5 c) a + b + 8 d) a + b - 8 e) a + b - 5 30. Indicar el número de factores primos de: 2 P( x ) = x 2 + 7 x + 5 + 3 x 2 + 1 + 21x + 2 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
(
6.
6a.b 2 ; el M.C.M. de dichas expresiones es: 3 3 2 3 3 3 a) 720a b c b) 720a .b c 3 2 2 3 3 2 c) 720a .b c d) 360 a b c 3 3 3 e) 360 a b c Es
7.
Al hallar el MCM de:
P( x) = x 3 + x 2 − x − 1 Q( x) = x 4 − 1
20 y 7 x 7 z 16 ; 35x10 y 64 z 9 es: 10 y 3 z 6 x 7 3 6 7 c) 5 y z x a)
Indique la suma de los factores primos lineales. a) 0 b) x c) 1 b) d)
5 yz 6 x 7 y5 z 4 x6
d) 8.
2x
e)
2
Hallar la suma de coeficientes del MCD de:
P(x) = x 4 − 11x 2 − 18 x − 8
e) N.A
Q(x) = x 4 − 1
¿Cuál es el M.C.D. de P(x); Q(x) y R(x)?
P(x ) = 6 x (x + 1) (x − 1) 3
2
3
a) -8 d) 3
Q(x ) = 8 x(x + 1) (x + 2) 2
R(x ) = 12 x 2 (x + 1) (x + 3) x2 + x +1 (x − 1) x 2 + 1 2
2
( ) c) (x + 1)(x − 1) d) x(x − 1) b)
c) 3
72 a m −1.b m −1.c n − 2 .
10 y 3 z 6 x19 ;
a)
b) 2 e) 8
30 a n −1.b m − 2 ;
M.C.D. Y M.C.M.
2.
y 3 , entonces m 2 − n 2 es:
Si el M.C.D de:
)
El M.C.D. de:
2
48a n +1.b m − 2 .c n ;
FACTORIZACION 1.
c) 3
2
9.
b) -9 e) 4
c) 2
Halle el MCM de:
P( x) = x 4 + 2 x 2 − 3 Q( x) = x 3 − 6 x 2 + 11x − 6 e indique el grado. a) 2 d) 8
b) 4 e) 3
c) 6
2
e) 3.
2 x ( x + 1)
2
P(x) = ( x + 1)( x − 2 )( x + 2 )( x + 5) − 13
Q(x) = x 4 + 4x3 + 4x 2 − 3x − 6
Hallar el MCD de los polinomios :
P(x; y) = x 2 + xy − 6 y 2 a) x + 2y d) x + y 4.
10. Hallar la sumatoria de coeficientes del MCD de:
F(x; y) = x 2 − xy − 2y 2 b) x - 3y c) x - 2y e) x - y
Determinar el grado del M.C.M. de los polinomios:
A(x ) = x 2 − 15x + 36
B( x ) = x 2 − 9
y tú los primeros…!!!
a) 7 d) 6 11. Sean:
b) 8 e) 5
c) 9
2
P1(x) = Ax + 2x – B 2 P2(x) = Ax – 4x + B Si (x - 1) es el MCD de P1∧ P2, hallar el cociente B/A. a) -1 b) -3 c) 2 d) 3 e) 4
Pag. 72
2
12. Se tienen dos polinomios cuyo MCD es: x + 2x – 3, si uno de los polinomios es: 4 3 2 P(x) = 2x + 3x – 2x + Ax + B entonces “A + B” es: a) 33 b) -3 c) 12 d) -6 e) 1
(
)
2
13. El producto de dos polinomios es: x + 1 − 4 x y el cociente del MCM entre el MCD de ambos es:
(x
a)
2
6
1.
8 − 48 a) 1
6
)
2.
+ 1 − 4 x 2 . El MCD es:
(x + 1)(x 3 − 1) (
b) ( x − 1 ) x
(
)
+1
)
c) ( x + 1 ) x + x + 1 d) x 2 − x + 1 x 2 + x + 1 e) ( x 2 + x + 1 )( x 2 − 1 )
(
2
)(
b)
c)
3+ 2
e)
6+ 2
3− 2
d) 6 −
2
Hallar la raíz cuadrada de: 11+ 72
2
3
Transformar en radicales simples
a) 3+ 2
b) 3
c) 3- 2
d) 4+ 2
e) 4 - 2
)
3.
Transformar en radicales simples a:
2x + 2 x 2 − 1
x − 18 x + 81 y 2 el cociente de su M.C.M y su M.C.D. es x − 6 x + 9 4
14. El producto de dos polinomios es
2
a)
2x − 3
x − 2
b)
. Determinar el M.C.D. de dichos polinomios.
x2 − 9 c) x − 1 e) (x + 1)(x + 3) a)
b) d)
c) x + 1 e) 0
x +1 x+3 4.
R ( x ) = 1 + x + .... + x
a)
x−2 + x−3
c)
x − 3
e)
2x + 1 − x
11
b) 18 e) 13
c) 25 5.
16. Si:
A≡ x −x 5
C ≡ x5 − x 4 + x3 − x 2 + x − 1 La simplificación de:
MCM ( A; C ) , posee: MCD (B; C )
6.
P(x ) = 6 x + 4 x + 5 x + mx + n 3
7− 2
b) 7 + 2
c)
7 -1
d) 1
e)
7 +1
Reducir a su forma más simple.
a) 1 d) 4
2
R(x ) = 2mx 3 + 2nx 2 + px − q
,
7.
admiten como M.C.D. a 2 x 2 + 2 x + 1 . Hallar un divisor de R(x)
e)
a)
M= 6+ 6++ 6+ 4
c)
2x + 1 + x
b) 5 divisores d) 12 divisores
17. Si los polinomios
a)
d)
x + 3
p = 6 + 2 10 + 2 8 − 2 7
3
a) 6 divisores c) 3 divisores e) 18 divisores
b)
2
Reducir:
2
B ≡ x + x − x −1 4
x + x −1
2 2x − 5 + 2 x − 5x + 6
5
Q ( x ) = 1 + x + .... + x 7 a) 26 d) 15
d)
Hallar la raíz cuadrada de:
15. Halle el grado del M.C.M. de los siguientes polinomios:
P ( x ) = 1 + x + .... + x
+ x −1
1 2
b) x − 3 x 2 + 2x − 1 2 2 x + x + 1 d) 3x − 1 2x + 1 Radicación
8.
b) 2 e) 5
Efectuar: a) 0 d) 3
13 − 7 − 5 − 7
c) 3
4 3+
b) 1 e) 4
7
c) 2
Calcular:
15 − 10 2 2 3+ 2 2 a) 1/2
y tú los primeros…!!!
6+4 2 +7− 2
− +
11 − 2 10 9−4 2 b) 1/3
+ +
13 + 4 10 12 + 8 2 c) 1/4
Pag. 73
d) 1/5 9.
e) 1/8
Efectuar:
12
3 +
(
2 6
a) 1 d) 4
4
3 −
2
3 −
2
)4
3 +
b)3 e) 5
c) 2
24 + 40 + 60
3+ 3+ 2
a)
a) 1 d) 4
2
10. Hallar la raíz cuadrada de: 10 +
4 16 + 6 7 13 − 7 − 32 −10 7 3 + 7
m 5 2 3 7 3 a . b. c 5
2. Racionalizar:
c)2 3 + 2 +1
e) 1
3
1
d) 42
e) 2 3 + 7 + 5
a+ b b) ab 2 2 d) a b e) N.A
12 dar como respuesta el 3+ 5 −2 2 denominador resultante: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
3. Al racionalizar:
12. Transformar:
16 + 2 20 + 2 28 + 2 35 5+ 2
b) 2+ 5 − 7
c)4 - 5 + 2
d)2+ 5 + 7
e)5- 2 + 3
4. Racionalizar: P =
FR1 .FR2 2 3.FR1 .FR2 c) 2 a)
13. Transformar en radicales simples
3 a) 1 + 3 c)
3 –1
e)
2 –1
10+ 6 3 d)
2 +1
5. Racionalizar:
b) 3
d) 6
e) 2+ 5
6. Racionalizar:
c) 2- 5
72 –32 5 b) 2+ 5
c) 3+ 5
d) 4
12 5 + 12 − 3 b) 2 e) 5 2 3 2 − 2 3
c) 3
+
4
−
3 2 + 2 3
1 3 3 + 3 2
c) 3
7. El denominador racionalizado de: 2
a + b + a +b
es:
a) a+b d) a/b
e) 3- 5 16. Reducir:
8. Racionalizar:
R = 3 5 − 2 6 3 5 + 2 6 49 + 20 6 b) 2 e) 5
indicar el denominador
Indicar el denominador. a) 1 b) 2 d) 4 e) 5
15. Hallar la raíz cúbica de:
a) 2 - 5
10 − 6 + 5 − 3 3 FR1 .FR 2 b) 5 FR1 .FR2 d) 7
racionalizado. a) 1 d) 4
3 38 − 17 5 a) 1
3
e) N. A.
b) 1– 3
14. Transformar:
a) 1 d) 4
indicar el denominador
3
resultante. a) a + b 2 2 c) a + b
b) 4+2 3 + 2
a)1
c) m
abc
d) abc
24 + 2 60 + 2 84 + 2 35
a) 3 +
7
3
3 2 4 a) m a . b . c b) a
e) 2 + 3 + 5 11. Transformar:
c) 3
Racionalización 1. Racionalizar e indicar el denominador:
b) 1 + 3 + 2 d) 4
c) 5
b) 2 e) 5
c) 3
17. Calcular:
y tú los primeros…!!!
a)
( 4a − 1)( 3 − 1)
b) ab -1 e) b 8a − 2 12a + 4a + 3 + 1
( 2a + 1)( 3 ) e) ( a − 3)( 2 + 1) c)
c) a–b
b) d)
( 4a )( 3 + 1)
( 2a + 2)( 2 − 2)
Pag. 74
;
9. Hallar el verdadero valor de: x +7 E= x + 9 − 2 ; para : x = -7. a)
2 4
2 2
b)
d) 2 2
c)
Determine el valor de P y dar como respuesta: P +1 E= P −1 a) 1 b) 4 c) 5 d) 3 e) 2
2 6.
e) 2
10. Calcular el verdadero valor de: E =
3
x −2
x − 4 − 2 ; para : x = 8
a) 2/3 b) 4/5 c) 1/3 d) 1/6 e) -1/3 11. ¿Cuál es el denominador que se obtiene al racionalizar:
7.
1 3
1 + 2 + 23 4 ? a) 13 d) 23
8.
b) 17 e) 29
c) 19
12. Señale el denominador final, luego de racionalizar y simplificar en:
35
j= a) 6 d) 3
1 2 87
9 a) 8 d) incalculable
9.
9 − 9 97 + ... + 1 8
b) 9 c) 10 e) no se racionaliza
Binomio de Newton 1.
2.
3.
4.
5.
Efectuar y dar el resultado obtenido en: 42! 39! E= + 41! 38! a) 81 b) 82 c) 83 d) 84 e) 85 Efectuar: 3!+ 2!+ 1! 6! a) 120 d) 2/120
b) 1 c) 1/120 e) 1/60
Si: (x + 1)! = 6 Determine el valor de “x” a) 4 b) 2 d) 8 e) 5 Si: x(x - 1)! = 12 . 11 . 10! Entonces el valor de x es: a) 10 b) 11 d) 13 e) 14
c) 38
De las siguiente proposiciones I.
C1n = n
II.
C04 = 1
(
)
III.
C55
=1
(
)
IV.
C17 + C27 = C28
(
)
(
)
+ C37
V. ( ) Indicar cuáles son verdaderas (V) y que otras falsas (F). a) VVVV b) FFFF c) VFFV d) VFVF e) FVFV
c) 4
13. Averiguar el denominador racional de la expresión:
9
c) 2
Al efectuar: C28 se obtiene a) 84 b) 28 d) 18 e) 48
C47
3+ 5 2
b) 7 e) 1
Hallar “n” en la expresión: 22(n !+1) 1 n!+5 − = (n !−5) (n !−5) a) 6 b) 3 d) 4 e) 5
Si: n + 1 = 17 n El valor de n es: a) 16 d) 14
b) 15 e) 18
c) 17
10. Si la suma combinatoria n n − 1 ; donde n ∈ N, n ≥ 3 al simplificar se S = + 2 2 obtiene siempre: a) Un número primo b) Un cuadrado perfecto c) Un número impar d) Un número par e) Un múltiplo de 4 11. Si:
C2x + C3x = C px +1 El valor de “p” es: a) 4 b) 2 d) 8 e) 5
c) 3
12. En el desarrollo de c) 12
Siendo P un número natural y: 2 P – P = 3!
y tú los primeros…!!!
c) 3
( x + a )31 , se puede afirmar:
I. Que tiene 32 términos II. Todos sus términos son positivos 30 III. El segundo término es 31x a 32 IV. El último término es a Son verdaderas: a) I y II b) I, II y III c) Todas d) II y III e) Sólo III
Pag. 75
22. Si el único término central del desarrollo de: 13. En el desarrollo de
(x + y)
30
a b
el t5 contiene a x y .
Determine el valor de (a + b). a) 28 b) 29 d) 31 e) 32
3
( x + 2 )6
3
a) 160x 3 c) 130x 3 e) 170x
2
+
b) 150x 3 d) 140x
n
. Es de 6to grado, entonces el coeficiente de
x
2
+
1 x
2n
: Entonces tu coeficiente es: b) C 34nn
a) C 24nn − p
(
3
absoluto 21 en el desarrollo de x + y a) 5to d) 7mo
b) 4to e) 9no
3
)
2 9
c) 6to
16. Indique el t13 del desarrollo de:
c)
3
C 24nn + p
d) 1
3
9
42 15 x b) C12
18 c) C12 42 x
42 12 x d) C12
1 expansión de: x + 4 x a) 84 b) 240 d) 34 e) N. A
(4 x + 3 x )
17. En el siguiente binomio:
( x3 y + x 2 y 3 ) 10
a) x y 5 -10 c) x y 3 13 e) x y
23
t . Calcular: 10 t15 4 2 b) x y 5 10 d) x y
a) 40 d) 45
a) 495 c) 470 e) N.A.
12
19. Halle el término independiente de “x” a) 7/18 c) 9/7 e) N.A.
2
− 3 x 1
9
b) 18/7 d) 1
20. Hallar la relación entre r y n para que los coeficientes de los términos de lugares 3r y (r+2) de (1 + x )3n sean iguales. a) 1/2 b) 3/4 c) 4/3 d) 5/2 e) N.A. 21. En la expresión: n , la suma de todos los coeficientes es 1 x
x
+
3
x
c) 44
56
b) 490 d) 300
3 x 2
b) 42 e) N. A.
48
26. Teniendo en cuenta el desarrollo de la expresión:
18. Hallar el término independiente de “x” e “y” en el desarrollo de: 2x3 y4 + y2 4x6
c) 48
25. Hallar el número de términos irracionales en el desarrollo de:
10 10 x e) C10
e) N. A.
24. Hallar el término independiente de “x” si existe en la
42
42 18 x a) C12
4
c) 10
23. Si: x p se encuentra en el desarrollo de:
15. Calcular el lugar que ocupa el término de grado
1 x+ x
y x
dicho término central es: a) 3 b) 6 d) 20 e) 70
c) 30
14. Calcular el término central en el desarrollo de
x
igual a 128. Hallar el término que contiene a: x5 5 a) 35 b) 35x 5 c) 34x d) x e) x
y tú los primeros…!!!
1 x+ 3 x ¿Cuál de las proposiciones, al determinar su valor es verdadero? I. El numero de términos irracionales es 40 II. El numero de términos fraccionarios es 4 III. El término independiente de “x” ocupa el décimo tercer lugar. a) FVF b) VFV c) FFF d) VVV e) N. A. n
1 27. Determinar el valor de “n” en: 3 2 + sabiendo 3 3 que en el desarrollo del binomio la relación entre el séptimo termino contado de izquierda a derecha y el séptimo contado desde el final es igual a: 1/6. a) 2 b) 3 c) 9 d) 6 e) N. A. n
3 2 y 7 x 28. En el desarrollo del binomio: existen + 5 y x dos términos consecutivos el primero independiente de “x” y el segundo independiente de “y” calcular “n”. a) 50 b) 60 c) 70 d) 80 e) N. A. 3 2 x − 2 x
n
29. Si el único término central del desarrollo de es 1120 x4. Determine el séptimo término de dicho desarrollo.
Pag. 76
a) 1500 x– 8 c) 2500 x– 3 e) 180 x– 2
d) a2 + b2 + c2
1792 x– 6 1580 x–8
b) d)
3.
30. Si el décimo término del desarrollo del binomio (xp + xq)n es x18, entonces el valor de (q+n) es: a) 9 b) 11 c)12 d) 15 e) 18 n
van disminuyendo de 8 en 8, el término de lugar 13 es independiente de x, entonces el número de términos de su desarrollo es: a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17 x2 +
IV) Al resolver: x 2 ( x − 5) − 3 x( x − 5) = 5 x( x − 5) solo se obtiene un único valor para “x” y es 8. a) VVFF b) VVVV c) VFVF d) VVFV e) VVVF
1
2x ; si el 32. A qué exponente se debe elevar el binomio término de lugar 11 de su expansión es de grado 20.
4. a) – 15 d) 20
b)– 5 e) 25
c)
mx + ny + pz = s. Indicar: x + y +z
( 2a + b + 3c) 7 a) 3300 c) 660 e) N. A.
c)
(3 x + 2 y 3 − z 2 + w)5 a) 52 d) 55
b) 53 e) 56
c) 54
6.
a) 30 d) 13
Luego de resolver: q
a) a +b 2 2 d) a +b 2.
=
qx pb
−
px qa
+
b2 a+b−c
q
x−a
b)
ab
−
ac
c2 a+b−c
=
x−c bc
c) c2
y tú los primeros…!!!
4 8+4 3 c) 20
Al resolver un problema que se reduce a una ecuación de 2do grado, un postulante a la UNA-PUNO comete un error en el término independiente de la ecuación y obtiene por raíces 5 y 3, otro postulante al resolver la
x
x −b
7 − 2 10 b) 5 e) 10
+
8.
ab
; halle
1
Un profesor de la academia GALENO dicta una ecuación de segundo grado a sus alumnos; uno de estos se equivoca al escribir en el término independiente y obtiene como soluciones a 8 y 2. Otro alumno se equivoca en el término de primer grado y obtiene como solución -7 y -3. ¿Cuál fue la ecuación dictada? a) x2 + 10x + 16 = 0 b) x2 − 10x + 16= 0 2 c) x + 10x + 21= 0 d) x2 −10x + 21= 0 e) N. A.
b) a – b c) ab e) N.A.
Halle el valor de “x” en: a)
p
=
7.
Ecuaciones
p
Calcular la solución de la ecuación:
11 − 2 x
x 6 en : (1 + 2x − x 2 ) 5 b) 30 c) 40 e) N. A.
a) 20 d) 50
La ecuación:
1
37. Calcular el coeficiente de:
+
s(a + c) ma
x + x - 2 = 4 ; se tiene: a)2 raíces reales. b)Una raíz real y una imaginaria c)2 raíces imaginarias. d)Una raíz real solamente. e)Una raíz imaginaria solamente.
( 2 + 3x 3 + x 4 ) 4 b) 214 c) 215 e) 217
36. Cuantos términos tiene en su desarrollo:
pa
d)
b) 3360 d) 6600
a) 216 d) 224
qx
s(a − c) ma + nb
e) s ( a + c ) nb
5.
−
m a + nb
m a + nb + pc
35. Hallar el cociente de: x 10 en:
qb
b) s ( a + b )
a) s ( a + b + c )
34. Hallar el cociente de a 3 .b 3 .c en el desarrollo de:
px
x y z = = , a b c
Resolver:
10
33. En la expansión de (4x3 + 3y2)n; la suma de los grados absolutos de todos los términos de su expansión es 275, determine el valor de “n” a) 9 b)10 c) 11 d) 12 e)13
1.
De las siguientes proposiciones, marcar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: 5x − 2 7 x − 1 x − 1 = + I) Al resolver: podemos asegurar 3 6 2 que la ecuación es indeterminada. II) Si se resuelve: x − x2 − 21 = 7 . Se demuestra que la ecuación es. Incompatible o no tiene raíces. x−3 1 III) La igualdad se verifica solo = (2 x − 5)( x − 4) x − 4 para x = 2, ó x = 4
31. Los exponentes de “x” en el desarrollo del binomio m 1 x − 3 m x
e) N.A.
Pag. 77
misma ecuación comete un error en el coeficiente del término de primer grado y obtiene por raíces –7 y –1. Hallar la ecuación correcta. 2 a) x + 7 b) x – x + 7 2 2 c) x + x + 7 d) x + x – 7 2 e) x - x – 7 9.
En la ecuación: 2x2 − (m − 1)x + (m + 1) = 0 Que valor positivo debe darse a “m” para que las raíces difieran en uno. a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11
10. Hallar “k” si las raíces de: (4 − k )x2 + 2kx + 2 = 0; son iguales. a) 2y – 4 b) –2 y – 4 c) 2 y 4 d) 2 e) 4 11. Determinar los valores de “k” para los cuales la 2 ecuación: (4–14x +2kx+2=0) tendrá raíces iguales indicar el producto de sus raíces. a) 2 b) 6 c) –8 d) 8 e) –6 12. Para que valores de “m” la ecuación: 2
x − 2x (1 + 3m ) + 7(3 + 2m ) = 0
Tendrá raíces iguales: a) 5 ; 2 b) 1 ; 3/5 c) 4 ; 1 d) 2 ; -10/9 e) 3 ; -1 13. Si: p y q son raíces de la ecuación: x 2 + 2bx + 2c = 0 ; entonces el valor de:
1 1 + 2 es: 2 p q 4b 2 − c a) 4c 2 b2 − c c) 4c 2
b 2 − 4c b) c2 b2 − c 4b 2 − c d) e) 2 c c2 2
14. Calcular “m” en la ecuación 2x − (m − 1)x + (m + 1) = 0 si la diferencia de sus raíces es 1 a) m = 11 ; m = –1 b) m = 1; m = –1 c) m = 12; m = 4 d) m = –12; m = –4 e) m = 0; m = 14
17. Hallar la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación:
3x 2 + 10 x + 3 = 0 a) 81/9 d) 9/81 18. Resolver:
b) 82/9 c) 83/9 e) 9/82
x2 + x2 + 9 = 21 a) ±4
b) ± 27
c) ±4 y ± 27
d) 3
e) ±4 ó ± 27
19. Encontrar los valores de “m” que hacen que la ecuación: 2x − mx + m − 2 = 0 Tenga raíces iguales a) 17 b) 18 d) 19 e) N.A. 2
c) 16
20. En la ecuación cuadrática. 2
ax + bx + c = 0
Afirmamos: I) Si la suma de raíces es igual a su producto entonces: b+c=0 II) Si una raíz es la negativa de la otra entonces: b = 0 2 III) Si una raíz es el doble de la otra entonces 2b = 9ac a) Las tres afirmaciones son verdaderas b) Sólo I y II son verdaderas c) Sólo I y III son verdaderas d) Sólo II y III son verdaderas e) Sólo II es verdadera 21. Hallar “n” para que las raíces de la ecuación sean simétricas: 2
x + 3x n − 1 = 5x + 2 n +1
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
22. Calcular “a” de: ax 2 − (a − 5 )x + 1 = 0 Si: x1x 2 = x1 − x 2 a) a = 12 ; a = 2 b) a = 12 ; a = -2 c) a = 12 ; a = -3 d) a = -12 ; a = 2 e) N.A. 23. Si α + β son las raíces de: x Hallar el valor de: α
2
2
+ px + q = 0
+ 2 αβ + β 2
15. Calcular “a + b” de tal manera que las ecuaciones sean equivalentes.
a)
p2 − q
b)
p2 + q
(7 a − 2)x2 − (5a − 3)x + 1 = 0 8bx2 − (4b + 2)x + 2 = 0
c)
p 2 + 3q
d)
p2
a) 5 d) 1
b) 3 e) 0
c) 2
16. Hallar k si las raíces de la ecuación:
( 2k + 2) x2 + ( 4 − 4k ) x + k − 2 = 0 Son recíprocas a) -1 d) -3
b) 1 e) -4
e) N.A.
2 2 24. 3k x − 6kx − (k + 2) = 0 , k ≠ 0 si la suma de las raíces es igual al doble de su producto, Hallar “k”. a) 1 b) 1/2 c) -1/2 d) 2 e) -2
25. Si: x1 .x2 son raices de la ecuación x2 + px + q = 0 ; c) 3
y tú los primeros…!!!
(
)(
)
calcular. x1 − 1 x2 − 1 − 1 a) q – p b) q + p d) 0 e) p
c) 1
Pag. 78
y determine T= x + y a) 3 b)2 d) 4 e)7
26. Si los cuadrados de las raíces r1 y r2 de la ecuación
x2 + x + c = 0 suman 9, entonces el valor de C es: a) -5 d) 5
b) -4 e) -5
c) 4
27. Cual es la ecuación que dio origen a las raíces: x1 = 3 y x2 = 5 si la ecuación es de cuarto grado bicuadrática. a) x 4 − 34 x 2 + 225 = 0 b) x 4 + 34 x 2 + 225 = 0 c) x 4 − 34 x 2 − 225 = 0 d) x 4 + 30 x 2 − 225 = 0 e) N.A. 28. Cuál es el coeficiente del término de segundo grado del polinomio mónico bicuadrático que dio origen a las raíces. 1 1 x= ; x= 4 3 a)
25 144
d) 25
b) −
25 144
c) −25
3.
4.
c)IyIII
Si: x>7; y <-3 Entonces: x(x-y) será: a) siempre positivo b) siempre negativo c) entero negativo d) siempre entero positivo e) no se puede determinar
8.
Sean x; y números enteros. Al resolver el sistema 3x – 4y > 10 x + 2y < – 12 y>–6 Determine T = x + y a) – 5 b) – 8 c) – 10 d) 0 e) 2
9.
Resuelva el sistema lineal de: x + y + z ≤ 6 x + y ≥ 3 in e c u a c io n e s x + z ≥ 5 x + z ≥ 4 x + z ∈ Z+
Indique el valor de T = x y z. a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14 x+y
–5 ≤ 4 – x ≤ +8 3 11. Si: , hallar la suma de valores enteros de “x”. a) –20 b) –33 c)–55 d) –66 e) –10
12. Si: –10 ≤ 3 – 3x ≤ – 2 ∧ a ≤ x ≤ b hallar “a”. a) 5/3 b) 13/3 c) 1/3 d) 1/2 e) 2 2
Si: -2
0 Indique el intervalo de variación de: x( x + 6 ) + 10 x+3
a)]0;+∞[ d)]-2;5[
b)[2;+∞] c)]5;9[ e)]1;+∞[
5.
Hallar los valores de “m” para los cuales “x” es un número positivo, si x=m-2. a)m>2 b)m<2 c)m>-2 d)m≤2 e)m<-2
6.
Indique el número de soluciones naturales del sistema: x + 2y < 5 x–y<3 a) 1 b)2 c) 3 d) 4 e)5
7.
0
10. Determine el valor de E= 2 , en el siguiente sistema de inecuaciones lineales. z – 1 < x + y < z +1 z–7
e) N.A.
Desigualdades 1. Para los reales afirmamos: 2 I. Si a>0⇒a >0 II. Si: a
c)
Resolver en Z, .el siguiente sistema: 3 x + 2 y < 20 2x − y < 2 3x − y > 3
y tú los primeros…!!!
x ∈ 1; 5
13. Si: a) d)
2; 36 ]
1; 25
, hallar el intervalo para: 2 y = x + 2x – 3 b) e)
0; 32
c)
0; 36
–1; 32
14. Si: –3 ≤ x + 1 ≤ 3 hallar el intervalo para: 2 z = 3 + 4x – x a) [ –29; +7 ] b) [ –6; 6 ] c) [ 0; 15 ] –30; –7 ] 0; 15 [ d) e) 1 –3 ≤ ≤ 3, ∀x ≠ 2 x–2 15. Si: , indicar el conjunto 2 solución para x . a) IR d)
0; ∞
b) e)
0; 49 9
c)
0; 25 9
0; ∞
16. Si: x ∈ [ –1; 1] , hallar el intervalo para: y=
1 x 2 + 2x + 2 e indicar el mínimo valor de “y”.
a) 1/5 d) 1/3
b) 1 e) 1/4
c) 2/5
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