Sistem Persamaan Linear Homogen 3P x 3V Metode OBE Ogin Sugianto
[email protected] penma2b.wordpress.com Majalengka, 12 November 2016
Sistem Persamaan Linear (SPL) Homogen yang akan dibahas kali ini yaitu: 1. SPL Homogen 3 persamaan dan 2 variabel 2. SPL Homogen 3 persamaan dan 3 variabel 3. SPL Homogen 2 persamaan dan 3 variabel Masih dengan metode…operasi baris elementer (OBE). Masing-masing SPL Homogen tersebut dibahas dengan tiga cara. Hasilnya… artikel ini cukup panjang. Jadi, selamat membaca!
Solusi SPL Homogen Secara umum SPL Homogen Amn mempunyai solusi:
dengan m = persamaan dan n = variabel
m > n mempunyai solusi trivial yaitu nilai
m = n mempunyai solusi trivial jika nilai det A ≠ 0 (nol).
m = n mempunyai solusi non trivial jika nilai det A = 0 (nol).
m < n mempunyai solusi non trivial.
.
SPL Homogen 3 Persamaan dan 2 Variabel
Ubah SPLH diatas menjadi matriks 3×2 dengan elemen a-f, yaitu:
SPL Homogen ini hanya mempunyai solusi trivial yaitu Contoh: Tentukan solusi dari SPL Homogen berikut ini!
SPL Homogen ini dapat diselesaikan dengan tiga cara. Cara 1
.
Ubah elemen (c, e) dan (b, f) menjadi nol. Ubah elemen a dan d menjadi angka satu.
1. Ubah SPL Homogen menjadi matriks.
2. Ubah elemen c dan e menjadi nol menggunakan elemen a.
3. Ubah elemen b dan f menjadi nol menggunakan elemen d.
4. Ubah elemen a dan d menjadi satu dengan cara:
5. Himpunan Penyelesaian
Cara 2
Ubah elemen (c, e) dan (b, d) menjadi nol. Ubah elemen a dan f menjadi angka satu.
1. Ubah SPL Homogen menjadi matriks.
2. Ubah elemen c dan e menjadi nol menggunakan elemen a.
3. Ubah elemen b dan d menjadi nol menggunakan elemen f.
4. Ubah elemen a dan f menjadi satu dengan cara:
5. Himpunan Penyelesaian
Cara 3
Ubah elemen (a, e) – (b, d) menjadi nol. Ubah elemen c dan f menjadi angka satu.
1. Ubah SPL Homogen menjadi matriks.
2. Ubah elemen b dan d menjadi nol menggunakan elemen f.
3. Ubah elemen a dan e menjadi nol menggunakan elemen c.
4. Ubah elemen c dan f menjadi satu dengan cara:
5. Himpunan Penyelesaian
SPL Homogen 3 Persamaan dan 3 Variabel
Dalam proses perhitungan dengan OBE, koefisien a11-a33 diganti dengan abjad a-i. Sehingga menjadi matriks:
Karena solusi dapat diketahui dari nilai determinan… Maka penyelesaian SPL Homogen 3 Persamaan dan 3 Variabel menggunakan bantuandeterminan matriks 3×3 metode OBE matriks segitiga atas dan bawah.
Solusi Trivial
Kali ini cara yang dijelaskan untuk solusi trivial hanya menggunakan determinan matriks segitiga atas.
Contoh: Tentukan solusi dari SPL Homogen berikut!
1. Ubah SPL Homogen diatas menjadi matriks.
2. Ubah elemen d dan g menjadi nol menggunakan kunci elemen a.
3. Ubah elemen h menjadi nol menggunakan kunci elemen e.
Karena det A dan det B ≠ 0, maka solusi SPL Homogen A dan B adalah trivial ( ). Sebenarnya langkah penyelesaian kedua SPL Homogen ini bisa saja cukup sampai disini. Namun, langkah penyelesaian akan dilanjutkan hingga terbentuk matriks identitas. 4. Ubah elemen i menjadi satu dengan cara:
5. Ubah elemen c dan f menjadi nol menggunakan kunci elemen i.
6. Ubah elemen b menjadi nol menggunakan kunci elemen e.
7. Ubah elemen a dan e menjadi satu dengan cara:
8. Himpunan Penyelesaian (HP)
Solusi Non Trivial Cara Matriks Segitiga Atas Cara ini terdiri dari dua bagian penyelesaian: 1. Menghitung determinan 2. Variabel acuan:
Variabel Variabel
sebagai acuan. sebagai acuan.
Paham dengan variabel acuan? Sebenarnya dalam materi SPL Homogen tidak ada yang namanya “Variabel Acuan”. Istilah ini sengaja saya perkenalkan untuk memudahkan penyelesaian SPL Homogen. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut.
Contoh: Tentukan solusi dari SPL Homogen berikut!
Variabel Acuan = Variabel
sebagai acuan, maka variabel
dan
diubah menjadi angka satu.
Langkah 1-3 menghitung nilai determinan. Langkah 4-8 mencari solusi dengan variabel acuan = 1. Ubah SPL Homogen diatas menjadi matriks.
.
2. Ubah elemen d dan g menjadi nol menggunakan kunci elemen a.
3. Ubah elemen h menjadi nol menggunakan kunci elemen e.
Det C Det D 4. Ubah elemen c menjadi nol menggunakan elemen f.
5. Ubah elemen a dan f menjadi angka satu dengan cara:
6. Menentukan nilai
7. Parameter: misalkan
dan
.
, maka
Karena kebetulan penyebut kedua solusi adalah 7 maka nilai variabel dikali dengan 7.
8. Himpunan Penyelesaian
Variabel Acuan = Variabel
sebagai acuan, maka variabel
dan
diubah menjadi angka satu.
Langkah 1-3 menghitung nilai determinan (lihat variabel acuan = Langkah 4-8 mencari solusi dengan variabel acuan =
.
4. Ubah elemen b menjadi nol menggunakan kunci elemen e.
).
5. Ubah elemen a dan e menjadi angka satu dengan cara:
6. Menentukan nilai
dan
7. Parameter: misalkan
8. Himpunan Penyelesaian
.
, maka
Solusi Non Trivial Cara Matriks Segitiga Bawah Cara ini terdiri dari dua bagian penyelesaian: 1. Menghitung determinan 2. Variabel acuan:
Variabel Variabel
sebagai acuan. sebagai acuan.
Dari contoh soal yang sama… Tentukan nilai variabel dari SPL Homogen berikut!
Variabel Acuan = Variabel
sebagai acuan, maka variabel
dan
diubah menjadi angka satu.
Langkah 1-3 menghitung nilai determinan. Langkah 4-8 mencari solusi dengan variabel acuan =
.
1. Ubah SPL Homogen diatas menjadi matriks.
2. Ubah elemen c dan f menjadi nol menggunakan kunci elemen i.
3. Ubah elemen b menjadi nol menggunakan kunci elemen e.
Det C Det C 4. Ubah elemen h menjadi nol menggunakan kunci elemen e.
5. Ubah elemen e dan i menjadi angka satu dengan cara:
6. Menentukan nilai
dan
7. Parameter: misalkan
8. Himpunan Penyelesaian
.
, maka
Variabel Acuan = Variabel
sebagai acuan, maka variabel
dan
diubah menjadi angka satu.
Pembahasan sebagai variabel acuan sudah dijelaskan pada contoh SPL Homogen cara matriks segitiga atas. Tapi, sebagai contoh tambahan akan saya jelaskan lagi dengan cara matriks segitiga bawah. Langkah 1-3 menghitung nilai determinan (lihat variabel acuan Langkah 4-8 mencari solusi dengan variabel acuan
.
4. Ubah elemen g menjadi nol menggunakan kunci elemen a.
).
5. Ubah elemen d dan i menjadi angka satu dengan cara:
6. Menentukan nilai
dan
7. Parameter: misalkan
.
, maka
8. Himpunan Penyelesaian
Solusi non trivial dari SPL Homogen C dan D menggunakan matriks segitiga atas dan bawah serta variabel acuan menghasilkan himpunan penyelesaian yang sama.
SPL Homogen 2 Persamaan dan 3 Variabel
Ubah SPL Homogen diatas menjadi matriks 2×3 dengan elemen a-f, yaitu:
SPL Homogen ini dapat diselesaikan dengan cara tiga variabel acuan. Dan hanya mempunyai solusi non trivial. Contoh: Tentukan solusi dari SPL homogen berikut!
Penyelesaian menggunakan tiga variabel acuan, yaitu:
1. Ubah SPL Homogen menjadi matriks.
2. Ubah elemen pertama menjadi nol untuk masing-masing variabel acuan.
3. Ubah elemen kedua menjadi nol untuk masing-masing variabel acuan.
4. Ubah elemen ketiga dan keempat menjadi satu.
5. Mencari nilai
.
6. Himpunan Penyelesaian
SPLH 2 Persamaan dan 3 Variabel dijawab dengan 3 variabel acuan, hasilnya HP sama juga kan… Baca juga
SPL 3 Variabel Metode OBE
SPL 4 Variabel Metode OBE
3 Langkah Determinan Matriks 3×3 Metode OBE
4 Langkah Determinan Matriks 4×4 Metode OBE
