Serie simple Ejemplos: 1. Hallar Hallar la media media aritmétic aritmética a de los los siguie siguientes ntes valores: valores: 5, 7, 8, 10, 15.
∑
x
= 5 + 7 + 8 + 10 + 15 = 5 n=5 x
= ! ".
(.
#i las las notas notas de un alum alumno no en las las distin distintas tas asign asignatu aturas ras de un curso durante una evaluaci$n %ueron: 7& 5& ',5& (,7& 5, ',". ',". Hallar Hallar la nota nota media media de la evaluac evaluaci$n i$n.. )*es )*esp. p. 5,5'''... a medi media a de ' elem elemen ento tos s se sa-e sa-e ue ue es 10. #a-ie #a-iend ndo o ue cinco de ellos son: 8, 1", 1(, 5 / !, allar el elemento ue %alta. )*esp. 1(
Datos agupados Ejemplo: media aritmética para datos agrupados en tablas tipo A La si$uiente ta%la de frecuencia muestra el n9mero de pre$untas de 81 encuestados so%re un est est &ue consta de solo seis pre$untas.
Datos sin agrupar
Preguntas uenas
Personas
1
15
2
13
3
8
4
1
5
21
5
Ejemplo: la media aritmética para datos no agrupados El profesor de la materia de estadística desea conocer el promedio de las notas finales de los 10 alumnos de la clase. Las notas de los alumnos son: 3,2
3,1
2,4
4,0
3,5
3,0
3,5
3,8
4,2
4,0
¿Cul es el promedio de notas de los alumnos de la clase!
SOLUCIÓN
"plicando la f#rmula f#rmula para datos no no a$rupados tenemos: tenemos: Ca%e anotar &ue en el e'emplo estamos (a%lando (a%lando de una po%laci#n po%laci#n correspondiente a todos los alumnos de la clase )10 alumnos en total*. El promedio de las notas es de 3,4+. odifi&uemos la primera nota por 0,0 - calculemos nueamente la media aritm/tica. En este caso la media pasa de 3,4+ a 3,15. Esta ariaci#n notoria se de%i# a &ue la media aritm/tica es sensi%le a los alores etremos cuand cuando o trata tratamos mos con con pocos pocos datos. datos. El 0,0 es una nota atípic atípica a comparada con las dems, &ue estn u%icadas entre 3,0 - 4,2.
Ejemplo " Ejemplo ilustrativo: Calcular la mediana de las si$uientes calificaciones del curso de Estadística ealuadas so%re die: 10, 8, , 4, , +, 10, -
Solución:
SOLUCIÓN PASO 1: 1: ;ealiar la sumatoria del producto resultante de las clases por su frecuenci frecuencia a a%soluta. a%soluta.
Ni
Lm
Ls
!
"c
1
40,0
48,1
3
44,1
2
48,1
5,1
8
52,1
3
5,1
4,1
11
0,1
4
4,1
+2,1
32
8,1
5
+2,1
80,1
21
+,1
80,1
88,1
18
84,1
+
88,1
,1
14
2,1
8
,1
104,0
1
100,1
1* e ordena los datos de menor a ma-or:
2* e aplica la ecuaci#n:
La mediana es el alor de 5 )&uinto dato*, es decir, d8 En Excel Excel se se calcula así:
6nsertar la funci#n E76"")"1:61* - lue$o en "ceptar
SOLUCIÓN Las marcas de clase representan a los interalos de clase, por e'emplo, suponemos &ue la marca de clase para el primer interalo )44,1* se repite 3 eces, al desconocer los 3 alores eactos &ue estn dentro de dic(o interalo. PASO 1: ;ealiar la sumatoria del producto resultante entre las marcas de clase por su frecuencia a%soluta. PASO 2 : 7iidir la sumatoria so%re el n9mero total de datos. 4.1. Ejemplo: comparati!a entre el c"lculo de la media aritmética para datos no agrupados # datos agrupados en tablas tipo B Calcular la media aritm/tica a los si$uientes datos sin a$rupar a$rupndolos en una ta%la de frecuencia tipo = )supon$a &ue los datos son po%lacionales*: 4+,8
23,1
12,4
35,4
44,0
2,2
18,
11,0
32,0
12,4
4,4
41,4
18,
21,0
2,3
11,1
21,4
30,
12,8
43,1
18,1
38,1
1,8
12,4
33,
40,
15,2
33,2
48,2
3+,0
;ecordemos &ue el primer paso es calcular la sumatoria del producto entre clase - frecuencia, empleando la si$uiente funci#n:
SU"*P&O'UC#O: Calcula la suma de los productos entre datos. (ormato: A"<;>7AC>)matri1?matri2?matri3?@* Categor)a: atemticas - tri$onom/tricas "ctiemos esta funci#n desde la celda =11, considerando al campo matri 1 como las clases - matri 2 como las frecuencias. "l pulsar en "ceptar, tendremos el alor de la sumatoria. ecesitamos a(ora diidir el resultado de la sumatoria so%re los 11 datos incluidos en el e'ercicio. odifi&uemos la f#rmula actual a$re$uemos: 7onde C es la celda &ue muestra el total de los datos. El resultado final es 3,3+31.
+,-. P*&* '*#OS */&UP*'OS EN #*L*S 'E (&ECUENCI*
Ejemplo ilustrativo: 7ados los si$uientes 20 n9meros:
SOLUCIÓN Calculemos la media para los datos sin a$rupar: Lue$o constru-amos la ta%la tipo = - calculemos su media aritm/tica con el fin de comparar am%os resultados:
Ni
Lm
Ls
!
"c
1
11,00
1+,41
8
14,21
2
1+,41
23,81
20,1
1, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 2, 2, 2, , , 4, 4, 4 ,4, 5, 5, 5 - 5 1* "$rupar los datos en ta%la de frecuencia.
Solución:
f
1
1
2
3
3
2
4
4
5
8 2
3
23,81
30,21
2
2+,01
4
30,21
3,1
5
33,41
otal 20
5
3,1
43,01
4
3,81
43,01
4,40
5
4,21
#otal
%$ 2* Calcular la mediana.
Solución: Calculando la posici#n de la mediana se o%tiene:
PASO 1: ;ealiar la sumatoria del producto resultante entre las marcas de clase por su frecuencia a%soluta. PASO 2 : 7iidir la sumatoria so%re el n9mero total de datos.
P&O"E'IO:
(ormato: <;>E76>)n9mero1?n9mero2?@* Categor)a: Estadísticas En una (o'a nuea, copie los si$uientes datos a partir de la celda =2: A%i&u/monos en la celda = - actiemos la enta de funciones, seleccionando la funci#n P&O"E'IO: En la primera casilla )n9mero 1*, seleccionamos el con'unto de datos:
Como la posici#n de la mediana es 10,5, su alor es el promedio de los datos d/cimo - und/cimo.
f
fa
1
1
1
2
3
4
3
2
4
4
10
5
8
18
2
20
otal 20 e o%sera &ue el d/cimo dato es 4 - el und/cimo es 5, por lo tanto:
Media aritmética
