Rotacional y Divergencia

Universidad Metropolitana

Departamento de Matemática para Ingeniería Matemáticas V.

Rotacional   Def: El rotacional del campo vectorial F (x, y, z)  P(x, y, z),Q(x,y, z),R(x, y, z) denotado por rot F es

  R Q   P R  ˆ  Q P  ˆ  ˆi    k rot F       j    z x   y z   x y 

siempre que existan las derivadas indicadas.

Regla nemotécnica para recordar, usar el operador  “nabla”  rot F    F 

i  x P

j  y Q



 ˆ  ˆ  ˆ i j k x y z

k  R Q  ˆ  P R  ˆ  Q P  ˆ   i    k       j   z  z x   y z   x y  R

   Teorema: Si F es conservativo entonces rot F  0 

Teorema: Si F es un campo vectorial definido en TODO R3 cuyas componentes tienen derivadas    parciales continuas y rot F  0 entonces F es un campo vectorial conservativo. 

Interpretación física: Si el campo vectorial F representa, la velocidad de un fluido en movimiento, se puede imaginar al rotacional de F como la circulación del fluido. El rotacional da información acerca   de los movimientos giratorios, es decir, mide la tendencia del fluido a formar remolinos. Si rot ( F )  0 en P y colocáramos una rueda de paleta en P ésta giraría en la dirección del movimiento y alrededor de   su eje. Si rot ( F )  0 en P, no hay remolinos en P y la rueda de paleta se movería con el fluido, pero no giraría. Divergencia   Def: La divergencia del campo vectorial F (x, y, z)  P(x, y, z),Q(x,y, z),R(x, y, z) denotado por div F es

 P Q R div F    x y z

  siempre que existan las derivadas indicadas. ( div F    F )

Interpretación física: La divergencia en un punto P es la razón de flujo neto hacia el exterior (interior) en P.  F (x, y, z)  x , y ,0   rot F  0 ,0 ,0 ; div F  2

 F (x, y, z)  y ,-x ,0   rot F  0 ,0 ,-2 ; div F  0

 F (x, y, z)   x ,- y ,0   rot F  0 ,0 ,0 ; div F   2 Nancy Andrades