DIVERGENCIA Y ROTACIONAL ROTACIONAL Para cada una de las operaciones de divergencia y rotacional, usamos el operador del gradiente:
¯ =i ∇
∂ ∂x
∂
∂
+ j ∂y + k ∂z
Para funciones de una varialbe, el cálculo de la derivada se puede pensar como una operación o un proceso; esto es, dada una función y=f(x), su derivada el el resultado de operar d sobre y el operador derivada dx . De manera análoga, podemos escribir el gradiente como:
¯ f = i ∂ + j ∂ f = i ∂f + j ∂f ∇ ∂x ∂y ∂x ∂y para funciones de dos variables, y
¯ f = i ∂ + j ∂ + k ∂ f = i ∂f + j ∂f + k ∂f ∇ ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z para para tres tres variable ariables. s. En términ términos os de operado operadores, res, el graiden graidente te de f se obtiene al tomar el operador ∇ y aplicarlo a f . Divergencia
La divergencia de un campo vectorial es un campo escalar, y se define como el flujo del campo vectorial por unidad de volumen: 1 ∆V
¯ =∇ ¯ · F ¯ = lim div F
∆→0
s
¯ · dS ¯ F
donde S es una superficie cerrada que se reduce a un punto en el límite. Esta definición está directamente relacionada con el concepto de flujo del campo. Como en el caso del flujo, si la divergencia en un punto es positiva, se dice que el campo posee manan manantia tiales. les. Si la diverg divergenci enciaa es negativ negativa, a, se dice que tiene tiene sumidero sumideros. s. El ejemplo ejemplo más cara caracte cterí ríst stico ico lo dan las las cargas cargas eléct eléctric ricas, as, que que dan dan la diver divergen genci ciaa del campo campo eléct eléctri rico co,, siendo las cargas positivas manantiales y las negativas sumideros del campo eléctrico.
¯ por medio del producto punto de ∇ ¯ y F ¯ Definimos la divergencia de un campo vectorial F ¯ = F 1i + F 2 j + F 3k, la divergencia de F ¯ es el campo escalar Si F ¯ =∇ ¯ · F ¯ = ∂F + ∂F + ∂F div F ∂x ∂y ∂z 1
¯ = (F 1, De manera análoga, si F
3
, F n), es un campo vectorial en
¯= div F
n
i =1
Rotacional
2
Rn,
su divergencia es
∂F i ∂xi
Para Para calcula calcularr el rotacio rotacional nal,, la segunda segunda operación operación básica básica realiza realizada da sobre sobre campos campos vectovecto¯ ¯ riales, tomamos el producto cruz de ∇ y F
En el cálculo vectorial, el rotacional o rotor es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto. El que el rotacional de un campo alrededor de un punto sea distinto de cero no implica que las líneas de campo giren alrededor de ese punto. Por ejemplo, el campo de velocidades de un fluido que circula por una tubería (conocido como perfil de Poiseuille) posee un rotacional no nulo en todas partes, salvo el eje central, pese a que la corriente fluye en línea recta. La idea es que si colocamos una rueda de paletas infinitamente pequeña en el interior del campo vectorial, esta rueda girará, aunque el campo tenga siempre la misma dirección, debido a la diferente magnitud del campo a un lado y a otro de la rueda. Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto:
¯ =∇ ¯ × F ¯= rot F
i
j
k
∂ ∂x
∂ ∂x
∂ ∂x
=
F 1 F 2 F 3
∂F 3 ∂F 2 − ∂y ∂z
i+
∂F 1 ∂F 3 − ∂z ∂x
j +
∂F 2 ∂F 1 − ∂x ∂y
k
¯ , que se obtiene calculando el rotacional de un campo vec F en cada Al campo vectorial, J ¯ =∇ ¯ × F ¯ , se conoce como las fuentes vectoriales de F ¯ (siendo las fuentes escapunto, J lares las que se obtienen mediante la divergencia). Un campo cuyo rotacional es nulo en todos los puntos del espacio se denomina irrotacional o se dice que carece de fuentes vectorial. Ejercicios:
Determinar la divergencia y el rotacional de las siguientes funciones vectoriales:
¯ (x¯ ) = a) F
x x2 + y 2
,x
2
y
+ y2
,1
¯ =∇ ¯ · F ¯= divF
1 2x2 1 2 y2 + +0 − − x2 + y 2 (x2 + y 2)2 x2 + y 2 (x2 + y 2)2 2 2x2 + 2 y 2 ¯ divF = 2 − x + y 2 (x2 + y 2)2
¯ =∇ ¯ × F ¯ = 0 − 0, 0 − 0, − rotF
¯ (x¯ ) = ln(x2 + y 2), xy, ln( y 2 + z 2) b) F
2xy 2xy + 2 (x 2 + y 2 ) (x2 + y 2)2 ¯ = (0, 0, 0) rotF
2x 2z + + x x2 + y 2 y2 + z 2 2y 2y ¯ =∇ ¯ × F ¯= − 0, 0 − 0, y − 2 rotF x + y2 y2 + z 2 2y 2y ¯= 0 − 2 rotF , , y x + y2 y2 + z 2 ¯ =∇ ¯ · F ¯= divF
¯ (x¯ ) = c) F
m 5
(x2 + y2) 2
3xy, 2 y 2 − x2
¯ =∇ ¯ · F ¯ =m divF
3y 5
(x2 + y 2)
−
15x2 y
(x2 + y 2)
2
¯ =m divF
¯ =∇ ¯ × F ¯ = m 0 − 0, 0 − 0, − rotF
2x 5
(x2 + y 2)
2
−
5
(x2 + y 2)
2
7y 5
(x2 +
7
(x2 + y 2)
2
5
2
−x
7 2
15x2 y + 5 y 2 y 2 − x2
3y 5
−
2
(x2 + y 2)
(x2 + y 2)
y 2) 2
5y 2y
7
(x 2 + y 2 )
−
2x − 3 y (x2 +
−
−
2
y 2) 2
5x 2 y 2 − x2
¯ = m 0, 0, − rotF
4y
+
7
2
2
15x2 y
+
7
(x2 + y 2)
15x2 y − 5x 2 y 2 − x2
(x2 + y 2)
7 2
2
