DIVERGENCIA ROTACIONAL, INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Y FÍSICA Divergencia de un campo vectorial Sea F un campo vectorial definido en un conjunto abierto Ω ⊆ Rny consideremos sus coordenadas F = (F1, F2, . . . ,Fn). Supongamos que F es diferenciable en un punto a ∈ Ω, lo que sabemos equivale a que todos los campos escalares Fk, con k = 1, 2, . . . , n, sean diferenciables en el punto a. De hecho cada vector gradiente ∇Fk(a) es la k-ésima fila de la matriz jacobiana de F en a. Pues bien, la traza de dicha matriz es, por definición, la divergencia del campo F en el punto a, y se denota por div F(a). Así pues, se tendrá: F F F n div F(a) = ∂ 1(a) + ∂ 2(a) + . . . + ∂ n (a) = ∑ ∂Fk (a). k=1 ∂xk ∂x1∂x2∂xn Cuando el campo vectorial F es diferenciable en todo punto de Ω tenemos una función div F : Ω → R que en cada punto x ∈ Ω toma el valor divF(x) de la divergencia en dicho punto. Tenemos entonces la siguiente igualdad entre funciones, válida en todo punto de Ω: F F F n k div F = ∂ 1+∂ 2 +. . . + ∂ n= ∑ ∂F k=1 ∂xk ∂x1 ∂x2 ∂xn (
Para un campo vectorial plano (x, y) 7→ F(x, y) = P(x, y), Q(x, y) en un punto (x0,y0), tendremos P Q div F(x0, y0) = ∂ (x0, y0) + ∂ (x0, y0) ∂x ∂y
, que sea diferenciable
Cuando F sea diferenciable en un abierto Ω ⊆ R2podremos escribir P Q (en Ω) div F = ∂ + ∂ ∂y ∂x Análogamente, si F = P i + Q j + R k es un campo vectorial en el espacio, diferenciable en un punto (x0,y0, z0), tendremos P Q R div F(x0,y0, z0) = ∂ (x0, y0, z0) + ∂ (x0, y0, z0) + ∂ (x0, y0, z0), ∂x ∂y ∂z y cuando F sea diferenciable en un abierto Ω ⊆ R3podremos escribir P Q R div F = ∂ + ∂ + ∂ (en Ω) ∂y ∂z ∂x Vector simbólico “nabla”. introducir el simbolismo ∇=
Para operar con las nociones que estamos estudiando es útil ( ∂
, ∂ ,...,∂ ∂x1 ∂x2 ∂xn
n
=
∂
∑ ∂x
k=1
ek k
y manejar ∇ como si se tratase de un vector de Rn. Por ejemplo, si f es un campo escalar definido en un abierto Ω ⊆ Rny diferenciable en un punto a ∈ Ω, al multiplicar simbólicamente el “vector” ∇ por el escalar f (a) se obtiene la expresión correcta del vector gradiente: f f n ∂f (∂f (a), ∂ (a), . . . , ∂ (a) = ∑ ∇ f (a) = (a) ek k=1 ∂xk ∂x1 ∂x2 ∂xn Cuando f es diferenciable en todo punto de Ω podemos hacer el mismo cálculo simbólico con el “escalar variable” f , que multiplicado por ∇ nos da f f n ∂f (∂f , ∂ , . . . , = ∑ ∇f = ek, ∂ k=1 ∂x ∂x1 ∂x2 ∂xn k Si ahora F = (F1, F2, · · · , Fn) es un campo vectorial definido en el abierto Ω y diferenciable en el punto a ∈ Ω, cuando calculamos simbólicamente el producto escalar del “vector” ∇ por el vector F(a) = (F1(a), F2(a), . . . , Fn(a)) obtenemos: F F ∂F1 ∇ . F(a) = ∂x1 (a) + ∂ 2 a) + . . . + ∂ n (a) = div F(a). ( ∂x2∂xn Esto explica que frecuentemente se denote por ∇ . F(a) a la divergencia del campo F en el punto a. Cuando F es diferenciable en Ω, tenemos igualmente F F ∂F1 ∇ . F = ∂x1 + ∂ 2 . . . + ∂ n = div F (en Ω) + ∂x2∂xn Con las debidas precauciones, este cálculo simbólico con el “vector” ∇ resulta útil. Destacamos como siempre los dos casos particulares que nos interesan: En el caso n = 2 tenemos ∇ = ( ∂,∂ ∂x ∂y
= ∂i+ ∂x
∂ ∂y
Interpretación Geométrica De La Derivada Uno de los problemas históricos que dieron origen al cálculo infinitesimal es muy antiguo, data del gran científico griego Arquímedes (287 – 212 a.C.) es el llamado: problema de las tangentes y que se describe a continuación. Dada una curva cuya ecuación referida al plano cartesiano viene dada por y = f (x) (fig. 9.5.).
fig. 9.5. Sea P un punto fijo de la curva y sea Q un punto móvil de la curva y próximo a P. La recta que pasa por P y Q se denomina: recta secante. Cuando el punto Q se mueve hacia P sobre la curva, adoptando las posiciones sucesivas: Q1, Q2, Q3, ..., Qn, ..., entonces, la posición límite (si existe) de la secante, se denomina: la recta tangente a la curva en P. Ahora, si las coordenadas de los puntos P y Q son respectivamente: , denotada por
(Ver fig. 9.6.), entonces, la pendiente de la recta secante viene dada por:
,
fig. 9.6. En consecuencia, la recta tangente a la curva en P (si no es vertical), es la recta cuya pendiente
viene dada por:
De esta forma, la ecuación de la recta tangente a la curva en
es:
(Punto – Pendiente) En los ejercicios 8, 9 y 10 de la sección 9.10. se ilustra la interpretación geométrica de la derivada. Interpretación Física De La Derivada Velocidad promedia y velocidad instantánea Si se conduce un vehículo de una ciudad A a otra B, separadas entre si 100 Km., en un tiempo de 2 horas, la velocidad promedio es de 50 Km./h. Esto es, la velocidad promedio es la distancia entre las ciudades, dividida entre el tiempo empleado. Pero, durante el viaje, el velocímetro con frecuencia marcó lecturas diferentes de 50 Km./h. Inicialmente marco 0; a veces subió hasta 60 y al final volvió a marcar 0. Surge entonces la siguiente pregunta: ¿Qué es lo que en realidad marca el velocímetro? No marca la velocidad promedia, sino la llamada velocidad instantánea. Considere un ejemplo mas preciso. Sea P un objeto que cae al vacío. Los experimentos demuestran que si un objeto, parte del reposo en caida libre, la posición S del objeto, como función del tiempo viene dada por:
: S en pies t en segundos Asi, en el primer segundo, cae 16 pies. en el segundo segundo, cae 16(2)2 = 64 pies. En el intervalo de t =1 seg a t =2 seg, P cae (64 – 16) pies. Asi que su velocidad promedio será:
En el intervalo de t =1 seg a t =1.5 seg, P cae (16(1.5)2 – 16) pies. Su velocidad promedio será de:
En forma similar, en los intervalos de tiempo: de t =1 seg a t =1.1 seg, y de t =1 seg a t =1.01 seg, P caerá respectivamente: (16(1.1)2 – 16) pies y (16(1.01)2 – 16) pies. Sus velocidades promedio serán respectivamente:
Lo que se ha hecho hasta ahora, es calcular la velocidad promedia sobre los intervalos de tiempo cada vez mas cortos pero próximos a 1 seg. Cuanto mas nos aproximamos a t = 1 seg, mejor será la aproximación a la velocidad (instantánea) en el instante t = 1 seg. Los números: 48, 40, 33.6, 32.16 de las velocidades promedias, hacen "sospechar" que la velocidad instantánea es de 32 pies/seg. El ejemplo anterior nos permite definir de una manera mas precisa los conceptos de velocidad promedia y de velocidad instantánea. Supóngase que un objeto P se mueve a lo largo del eje coordenado, de tal forma que su posición S en cada instante t es una función S = f (t).
En el instante t = c, el objeto está en f (c). En el instante próximo t = c + h, el objeto está en f (c + h) (Ver fig. 9.7.) Por lo tanto, la velocidad promedia durante este intervalo es:
Se define la velocidad instantánea V en el instante t = c asi:
fig. 9.7. En el ejercicio 11 de la sección 9.10. se ilustra la interpretación física de la derivada.
