MOVIMIENTO ROTACIOANAL Y EQUILIBRIO
SNNA-ESPOL Ing. Diana Gallegos Zurita
Movimiento Rotacional
El movimie imien nto de cualquie alquierr objeto bjeto pue puede ser des descrito a trav través de la combinación de movim imie ien nto de tras traslac lació ión n del del centro tro masa del objeto y un movim imien iento to de ro rotac tación ión alre alrede dedo dorr de dich dicho centro de masa. asa. Por ejemplo, ejemplo, mira el buzo saltando en el agua que vimos en el capítulo anterior
Cuerpo Rigido
Un cuerpo rígido rígido es un objeto bjeto que que conserva rva su form forma a global global,, lo que que signific ignifica a que que las partíc partícu ulas que que lo compon ponen el cuerpo rígido rígido tien tienen la mism isma pos posició ición n relati relativ va entre sí, cuando ando este rue rueda y gira ira.
Ejemplo: Una pelo pelota ta en la pis piscina ina es un cuerpo rpo rígi rígido do;; pue puesto que que la form forma a de la pelota es constante a medida que rue rueda y se traslada.
Centro de Masa El concepto de centro de masas desempeñarán un papel cada vez más central en este capítulo, como el movimiento de rotación se define esencialmente como la rotación de un cuerpo alrededor de su centro de masa.
Momento de Inercia ¿Qué puede hacer un cuerpo más difícil de girar? 1. En primer lugar, será difícil dar una vuelta si el objeto tiene una gran masa: Hacer girar una moneda es mucho más fácil de hacer girar un bloque de plomo. 2 . La La di d istr ibución bución de la masa asa de un cuerpo tiene un gran efecto sobre la rotación. En gener g enera al, un cuerp cuerpo g ir ar ámás f ácil cilment mente si su masa asa se se conce concentr ntra a cer cer ca del eje de rot r otaci ación ón.. Representa la resistencia de un objeto a ser girado.
Energia en el movimiento rotacional. Un cuerpo rígido en rotación es una masa en movimiento, así que tiene energía cinética que podemos expresar en términos de la rapidez angular del cuerpo y una nueva cantidad llamada momento de inercia,
La cantidad entre paréntesis, que se obtiene multiplicando la masa de cada partícula por el cuadrado de su distancia al eje de rotación y sumando los productos, se denota con I y es el momento de inercia del cuerpo para este eje de rotación: Unidades (kg.m2)
Ejemplo 1. Un ingeniero está diseñando una pieza mecánica formada por tres conectores circulares gruesos unidos por puntales ligeros moldeados (figura ). a) ¿Qué momento de inercia tiene este cuerpo alrededor de un eje que pasa por el centro del disco A y es perpendicular al plano del diagrama? b) ¿Qué momento de inercia tiene alrededor de un eje que pasa por el centro de los discos B y C? c) Si el cuerpo gira sobre el eje que pasa por A y es perpendicular al plano del diag rama, con rapidez angular ω=4.0 rad/ s, ¿qué energía cinética tiene?
Momentos de inercia “I”
M: es la masa del cuerpo rígido, R: radio de cuerpos redondos, L: es la longitud en una varilla.
El momento de inercia depende de la forma y la masa del cuerpo rígido, así como sobre su eje de rotación, y que para la mayoría de los objetos, el momento de inercia es un múltiplo de MR2.
Cable que se desenrolla I 2. Un cable ligero, flexible y que no se estira está enrollado varias vueltas en el tambor, un cilindro sólido con masa de 50 kg y 0.120 m de diámetro, que gira sobre un eje fijo horizontal montado en cojinetes sin fricción. Una fuerza constante de magnitud de 9.0 N se hala del extremo libre del cable a lo largo de una distancia de 2.0 m. El cable no resbala y hace girar el cilindro cuando desenrolla. Si el cilindro estaba inicialmente en reposo, calcule su rapidez angular final y la rapidez final del cable.
3. Enrollamos un cable ligero y flexible en un cilindro sólido de masa M y radio R. El cilindro gira con fricción despreciable sobre un eje horizontal estacionario. Atamos el extremo libre del cable a un bloque de masa m y soltamos el objeto sin velocidad inicial a una distancia h sobre el piso. Conforme el bloque cae, el cable se desenrolla sin estirarse ni resbalar, haciendo girar al cilindro. Calcule la rapidez del bloque que cae y la rapidez angular del cilindro, justo cuando el bloque golpea el piso.
Energía potencial gravitacional de un cuerpo extendido Si la aceleración de la gravedad g es la misma en todos los puntos del cuerpo, la energía potencial gravitacional sería la misma si toda la masa estuviera concentrada en el centro de masa del cuerpo.
Teorema de ejes paralelos Hay una relación simple entre el momento de inercia I cm de un cuerpo de masa M alrededor de un eje que pasa por el centro de masa y el momento de inercia I P alrededor de cualquier otro eje paralelo al original pero desplazado una distancia d. Esta relación, llamada teorema de los ejesparalelos, dice que
Donde M es la masa total del cuerpo y d es la distancia entre los dos ejes. Ejemplo:
4. Una pieza de un acoplamiento mecánico (figura) tiene una masa de 3.6 kg. Medimos su momento de inercia alrededor de un eje que pasa a 0.15 m de su centro de masa y obtenemos I P = 0.132 kg.m2. Calcule el momento de inercia Icm alrededor de un eje paralelo que pasa por el centro de masa.
Dirección de la velocidad y aceleración angular La dirección de la velocidad angular se la obtiene con la regla de la mano derecha.
La dirección de la aceleración angular esta dada por el cambio de magnitud de la velocidad angular: Si aumenta la magnitud de velocidad angular la aceleración tiene la misma dirección que esta. Si disminuye la magnitud de la velocidad angular la aceleración angular tiene dirección contraria a esta.
Dinámica Rotacional Torque o torca (Momento de Fuerza o Torsión)
Si una fuerza neta se aplica al centro de masa de un objeto, no hará que el objeto gire. Sin embargo, si una fuerza neta se aplica a un punto que no sea el centro de masa, esta afectará la rotación del objeto. Los físicos llaman al efecto de la f uerza que produce el movimiento de rotación “torque”.
Tres formas de calcular toque
En general, para una fuerza de magnitud F cuya línea de acción está a una distancia perpendicular l del punto O, la torca es Fl. El Torque es el producto de la distancia desde el eje de rotación hasta la fuerza aplicada (r) y la componente de la fuerza aplicada que es perpendicular al brazo de palanca. Magnitud del torque
Fl rFsen F tan r
θ es el ángulo formado entre el
vector de la fuerza aplicada y la palanca (r).
El Torque como un vector ☺
Si una fuerza actúa en un punto que tiene un vector de posición r con respecto a un origen O, como en la figura, la torca T de la fuerza con respecto a O es la cantidad vectorial
.
Nota: Usaremos un punto ( ) para representar un vector que apunta hacia af uera de la página y una cruz (x) para representar un vector que apunta hacia adentro de la página.
Torque Máximo Con el fin de maximizar el torque, es necesario: 1. Maximizar el valor de la fuerza, F, que se aplica a la palanca. 2. Maximizar la distancia, r, desde el eje de rotación al punto de la palanca al que se aplica la fuerza. 3. Aplicar la fuerza en una dirección perpendicular a la palanca. ¿Cuál de estas tres fuerzas de igual magnitud tiene mayor probabilidad de aflojar el tornillo apretado?
Ejemplo: ♠
Un Estudiante ejerce una Fuerza de 50 N sobre una palanca a una distancia de 0,4 m de su eje de rotación. El Estudiante ala con una fuerza que forma un ángulo de 60º por encima de la Palanca. ¿Cual es el torque de torsión que experimentado la palanca?
Fl rFsen F tan r
Ejercicio: Un plomero aficionado, que no puede aflojar una junta, ensarta un tramo de tubo en el mango de su llave de tuercasy aplica todo su peso de 900 N al extremo del tubo parándose sobre él. La distancia del centro de la junta al punto donde actúa el peso es de 0.80 m, y el mango y el tubo forman un ángulo de 19° con la horizontal (figura). Calcule la magnitud y la dirección de la torca que el plomero aplica en torno al centro de la junta. ♠ ♠
rFsen
Primera Ley de Newton
Si el torque neto que actúa sobre un objeto rígido es cero, se hará girar con una velocidad angular constante. La aplicación mas importante de esta ley en este contexto rotacional, es el concepto de equilibrio. Si el torque que actúa sobre un objeto rígido es cero, significa que el objeto no está girando en otras palabras esta en equilibrio.
Ejemplo: ♥
¿Cuál es el peso de la masa m en términos de M? Para que el sistema este en equilibrio.
Tres masas están suspendidas de una regla de un metro como se muestra en la figura. ¿Que masa debe colgarse a la derecha para que el sistema este en equilibrio estático? ♥♥
Segunda ley de Newton
El verdadero desafío implicado en la rotación de la segunda ley de Newton es, clasif icar el valor correcto para el momento de la inercia . Una equivalencia de la segunda ley de Newton en rotación esta dada por el producto del momento de inercia y su aceleración angular.
a tangencial: existe cuando varia el modulo de la velocidad tangencial.
Momento de inercia de una sola partícula
Consideremos una partícula de masa mque está atado por una cuerda de menor masa y longitud r al punto O: El torque produce la aceleración angular de la partícula Ƭ=rF, y se dirige hacia fuera de la página. A partir de la versión lineal de la Segunda Ley de Newton, sabemos que F = ma o F = mαr. Ƭ = rF
Ejemplo: 1. Un registro de masa M y radio R es libre de girar alrededor de un eje a través de su centro. Una fuerza tangencial F se aplica al registro. ¿Qué hay que hacer para maximizar la aceleración angular? (A) Hacer F y M tan grande como sea posible y R lo más pequeño posible (B) Hacer M tan grande como sea posible y F y R lo más pequeño posible. (C) Hacer F lo más grande posible y M y R lo más pequeño posible. (D) Hacer R lo más grande posible y F y M tan pequeño como sea posible. (E) Hacer F, M, Ry lo másgrande posible.
2. Se enrolla un cable varias veces en un cilindro sólido uniforme de 50kg con diámetro de 0.120 m, que puede girar sobre su eje. Se ala del cable con una fuerza de 9.0 N. Suponiendo que el cable se desenrolla sin estirarse ni resbalar, ¿qué aceleración angular tiene?
Abrir la puerta: momento de fuerza en acción 3. Un estudiante abre una puerta uniforme de 12 kg aplicando una fuerza constante de 40 N a una distancia perpendicular de 0.90 m de las bisagras (figura). Si la puerta tiene 2.0 m de altura y 1.0 m de ancho, ¿que magnitud tendrá su aceleración angular? (Suponga que la puerta gira libremente sobre sus bisagras.)
Rodar sin resbalar
El punto de la rueda que toca la superficie debe estar instantáneamente en reposo para que no resbale.
Traslación y rotación: Relación de energía
Un objeto, tal como la pelota de la piscina, que está girando a medida que viaja a través del espacio, tendrá tanto energía cinética de rotacional y de traslación:
k
1 2
2
1
Mv cm Iw
2
2
En esta fórmula, M es la masa total del cuerpo rígido y Vcm la velocidad de su centro de masa.
Consideraciones Importantes
En un objeto rodando por un plano inclinado se acelerará más lentamente que un objeto que se desliza por una pendiente sin fricción. 1
1
2
2
k Mv cm2 Iw 2
1
k Mv cm2 0 2
Objetos rodantes la velocidad se incrementa más lentamente debido a que sólo una parte de la energía cinética que gana, se convierte en movimiento de traslación, mientras que el resto se convierte en un movimiento de rotación.
Ejercicio: 1. Un yoyo se enrollando una cuerda varias veces alrededor de un cilindro sólido de masa M y radio R (figura). Se sostiene el extremo de la cuerda fijo mientras se suelta el cilindro desde el reposo. La cuerda se desenrolla sin resbalar ni estirarse conforme el cilindro cae y gira. Use consideraciones de energía para calcular la rapidez Vcm del centro de masa del cilindro sólido después de caer una distancia h.
2. En la demostración de una conferencia de física, un profesor “pone a competir” diversos cuerpos rígidos redondos, soltándolos del reposo desde arriba de un plano inclinado (figura). ¿Qué forma debe tener un cuerpo para llegar a la base primero?
R. Vemos que el orden de llegada es: cualquier esfera sólida, cualquier cilindro sólido, cualquier esfera hueca de pared delgada y cualquier cilindro hueco de pared delgada.
Ejemplo: 3. Una cilindro solido de masa M y radio R se libera del reposo y rueda de la parte superior de un plano inclinado de altura h, sin deslizamiento. ¿Cuál es la Vcm en la parte inferior de la pendiente?
R.
Traslación y rotación: Dinámica
Analizar los movimientos traslacional y rotacional combinados de un cuerpo rígido desde la perspectiva de la dinámica. Traslacional
Rotacional
Ejemplos: 1. Un yoyo se enrolla varias veces alrededor de un cilindro sólido de masa M y radio R de la figura. Se sostiene el extremo de la piola fijo mientras se suelta el cilindro desde el reposo. El cordel se desenrolla sin resbalar ni estirarse conforme el cilindro cae y gira. Calcule la aceleración hacia abajo del cilindro y la tensión en el cordel.
2. Enrollamos un cable ligero y flexible en un cilindro sólido de masa M y radio R. El cilindro gira con f ricción despreciable sobre un eje horizontal estacionario. Atamos el extremo libre del cable a un bloque de masa m y soltamos el objeto sin velocidad inicial a una distancia h sobre el piso. Conforme el bloque cae, el cable se desenrolla sin estirarse ni resbalar, haciendo girar al cilindro. Calcule la aceleración del bloque m.
3. Las masas de la figura inicialmente están en reposo. Si la masa de la polea es M, ?cual es la aceleración angular de la polea?. T 1 R T 2 R
1 2
MR 2
F T 2 mg ma
4. Una bola de bolos sólida rueda sin resbalar por la rampa de retorno junto a la mesa de boliche (figura). La rampa forma un ángulo β con la horizontal. ¿Qué aceleración tiene la bola y cuál es la magnitud de la fuerza de fricción sobre ésta? Trate la bola como esfera sólida uniforme, despreciando los agujeros. Podemos deducir una ecuación para el coeficiente de fricción estática s mínimo necesario para evitar el deslizamiento.
n estarí a dirig ida pendiente Si la bola rodara de subida, la f uerza de f ricción tambié arriba. ¿Sabe usted por qué?
Fricción de rodamiento
Fricción estática hace
Podemos despreciar la fricción de rodamiento, si tanto el cuerpo como la superficie sobre la que rueda son perfectamente rígidos. La línea de acción de la fuerza normal pasa por ; el centro de la esfera, asíque el torque es cero no hay deslizamiento en el punto de contacto, así que la fricción no efectúa trabajo.
contacto con la superficie en cada punto del cuerpo rodante , pero esta fricción rodante no realiza trabajo sobre el objeto y no disipa la energía.
Fricción de rodamiento La figura muestra una situación más realista donde la superficie “se amontona” delante de la esfera.
En consecuencia, la fuerza normal ejerce ahora un torque que se opone a la rotación. Además, hay cierto deslizamiento de la esfera en la superficie debido a la deformación, causando pérdida de energía mecánica. La combinación de estos dos efectos es el fenómeno de fricción de rodamiento, que también ocurre si el
cuerpo que rueda es deformable, como el neumático de un automóvil.
Trabajo y Potencia en el movimiento rotacional
Suponga que una fuerza tangencial actúa en el borde de un disco pivoteado; El trabajo W efectuado por F tan mientras un punto del borde se mueve una distancia s es W = F tan s. Si θ y s= R
θ se
mide en radianes, entonces,
Trabajo, Potencia y Teorema Trabajo Energía para un cuerpo rodante Trabajo rotacional donde θ esta en radianes.
Potencia rotacional
Teorema trabajo - energía
Ejemplo ☻La
potencia desarrollada por el motor de un automóvil es de 200hp a 6000 rpm. Calcule el torque correspondiente. R.237 N.m
Ejemplo ☻☻Un motor
eléctrico ejerce un torque constante de 10N.msobre una piedra de amolar montada en un eje. El momento de inercia de la piedra es de 2.0 kg.m2 y el sistema parte del reposo. Calcule el trabajo efectuado por el motor en 8.0 segundos y la energía cinética al final de este lapso. ¿Qué potencia media desarrolló el motor?
Momento Angular (L) de un cuerpo rígido Para una partícula o cuerpo que se mueve en una trayectoria circular, se puede definir el momento angular en términos de momento de inercia y la velocidad angular:
El vector de momento angular siempre apunta en la misma dirección que el vector de velocidad angular.
Momento angular de una partícula individual Ejemplo: Un anillo de masa m oscila alrededor de una cuerda de longitud r: El anillo tiene:
Segunda ley de Newton & Conservación del Momento Angular
De manera similar a la fuerza neta, el torque neto que actúa sobre un objeto es igual a la tasa de variación del momento angular del objeto con el tiempo: L análogo neto t
Ejemplo: Una hélice de turbina del motor a reacción de un avión tiene un momento de inercia de 2.5 kg.m2alrededor de su eje de rotación. Al arrancar la turbina, su velocidad angular en función del tiempo es lice en función del ω=(40 rad/s3)t2 .Calcule el momento angular de la hé tiempo y su valor en t= 3.0 s
Conservación del Momento Angular
Si el Torque neto externo sobre un cuerpo rígido es cero, entonces el momento angular del cuerpo es constante (se conserva). LO L f I oW O I f W f
La ley de conservación del momento angular es otra de laspropiedades de la naturaleza, así como un medio muy útil para resolver problemas.
Ejemplo: Patinaje sobre hielo 1. Uno de los movimientos del patinaje sobre hielo gustan al público, implica iniciar una vuelta con los brazos extendidos y moviendo sus brazos cerca de su cuerpo. Mientras lo hace, el gira a un ritmo más rápido y más rápido. ¿Cuál de las siguientesleyesque mejor explica este fenómeno?
(A) La conservación de la energía mecánica (B) Conservación del momento angular (C) Conservación de momento Lineal (D) Primera Ley de Newton (E) Segunda Ley de Newton
Explicación:
Como el patinador gira sobre el hielo, el torque resultante que actúa sobre él es cero, por lo que el momento angular se conserva. Esto significa que IW es una cantidad conservada. I es proporcional a R2, la distancia de las partes del cuerpo de Brian de su eje de rotación. Mientras acerca sus brazos hacia su cuerpo, su masa esta más concentrada cerca de su eje de rotación, por lo que I disminuye. Porque IW debe permanecer constante, debe aumentar W a medida que disminuye I. Como resultado, la velocidad angular de Brian aumenta a medida que acerca los brazos en dirección a su cuerpo.
2. Un ágil profesor de física se para en el centro de una plataforma giratoria con los brazos extendidos horizontalmente y una mancuerna de 5.0 kg en cada mano. Se le pone a girar sobre un eje vertical, dando una revolución cada 2.0 s. Calcule la nueva velocidad angular del profesor si él pega las mancuernas a su abdomen. Su momento de inercia (sin las mancuernas) es de 3 kg.m2 con los brazos estirados, y baja a 2.2 kg.m2 si pone las manos en el abdomen. Lasmancuernasestán a 1.0 m del eje al principio y a 0.20 mal final; trátelascomo partículas. Además calcule la energía cinética.
3. La figura muestra dos discos. Uno (A) es un volante de motor; el otro (B), una placa de embrague sujeta a un eje de transmisión. Sus momentos de inercia son I A e I B . Inicialmente, los discos están girando con rapideces angulares constantes ωA y ωB, respectivamente. Luego, juntamos los discoscon fuerzas que actúan sobre el eje, con la finalidad de no aplicar torque a ningún disco. Los discos se frotan entre sí y finalmente alcanzan una rapidez angular final común ω. Deduzca una expresiónpara ω .
5. En el ejercicio anterior, suponga que el volante A tiene masa de 2.0 kg, radio de 0.20 m y rapidez angular inicial de 50 rad/ s (unas 500 rpm), y que la placa de embrague B tiene masa de 4.0 kg, radio de 0 .1 0 m y rapidez angular inicial de 200 rad/ s. Calcule la rapidez angular final común ω después de juntarse los discos. ¿Qué sucede con la energía cinética durante este proceso?
6. Una puerta de 1.00 m de ancho y masa de 15 kg tiene bisagras en un costado, de modo que puede girar sin fricción sobre un eje vertical. La puerta no está asegurada. Un policía dispara una bala de 10 g de masa con rapidez de 400 m/ s al centro exacto de la puerta, en dirección perpendicular al plano de la puerta. Calcule la rapidez angular de la puerta justo después de que la bala se incrusta en la puerta. ¿Se conserva la energía cinética?
