Aplicaciones: La Divergencia
La divergencia La divergencia de un campo vectorial es proporcional a la densidad de las fuentes puntuales del campo. En la ley de Gauss para el campo eléctrico.
∇.= La divergencia da la densidad de cargas puntuales. En la Ley de Gauss para el campo magnético.
∇.=0 El valor cero de la divergencia implica que no hay fuentes puntuales de campo magnético.
Las leyes generales del Electromagnetismo que establece que “el “el campo de inducción magnética es solenoidal, es decir tiene divergencia nula en todos los puntos”. Esto significa dicho campo no tiene ni fuentes, ni n i sumideros y, por tanto, como resaltaremos posteriormente, posteriormente, las líneas de fuerza del campo magnético siempre son cerradas. Los Lo s polos magnéticos, equivalentes en este caso a las cargas eléctricas, no existen independientemente; siempre que hay un polo Norte ha de aparecer un polo Sur. Este resultado puede también expresarse en forma integral:
∯ .⃗ = 0 donde la equivalencia se establece a través del teorema de Gauss para cualquier función de tipo vectorial. La anterior ecuación establece que el flujo del campo B a través de cualquier superficie cerrada es cero.
Para cualquier superficie no cerrada A, se define el flujo magnético como:
∬.⃗ = ∅ y su unidad en el Sistema Internacional es el Weber (Wb). Puede demostrarse que, dado un determinado contorno, el flujo magnético sobre cualquier superficie que se apoye en dicho contorno es constante, es decir, el flujo a través de una determinada superficie sólo depende del contorno sobre el que se apoya.
La Divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por lo tanto, si el campo tiene fuentes la divergencia será positiva y sumideros la divergencia será negativa. Conclusión:
Stokes: Este tipo de teoremas es útil para pasar de una ecuación diferencial a una ecuación integral. Este método se puede aplicar a diversos casos. El teorema de Stokes generaliza todos estos resultados, relacionado la integral sobre una frontera con la integral de una función “derivada” sobre el interior de la región limitada por la frontera.
∬. = ∭∇. Al intentar generalizar para mayores dimensiones los teoremas de Green y Stokes, que a su vez generalizan el teorema fundamental del cálculo de Newton y Leibniz, surge el problema de encontrar operadores que reemplacen al rotor o a la divergencia. La expresión del rotor utiliza el producto vectorial y los cuaterniones, que no son generalizables. Veremos que el contexto adecuado para una nueva formulación es el de la geometría diferencial, y en particular el de las formas diferenciales.
Ejemplos: a) Movimientos de Corte Simple
El campo de velocidades en cartesianas es:
=2 >0,
Es un movimiento estacionario, globalmente rectilíneo, en el que cada partícula describe un movimiento uniforme con trayectoria paralela a la recta (O, ). Es inmediato comprobar que el movimiento es incompresible. Por otra parte, tenemos que: = −k 3 por lo que, en cada punto, hay velocidad angular de r otación local no nula:
∧
Ω
∇∧v) = ( – 2 3 (constante para cualquier punto)
= ½(
(además de haber deformación local) Se puede calcular directamente la circulación del campo de velocidades en una curva cerrada elegida adecuadamente y se puede vincular el resultado con el teorema de Stokes. b) Vórtice o Torbellino
El campo de velocidades en un sistema cilíndrico de base está dado por: , (k > 0, dato). v=
Las trayectorias son circunferencias centradas sobre ( verificar que es incompresible. Además:
, ,,∅
0,). Es fácil
− )] ∇ U = [(1 − ) , ( − ) , 1 (
Se trata entonces de un movimiento globalmente circular, pero sin velocidad angular de rotación local, o sea irrotacional en cada punto del dominio. Es un movimiento de deformación pura.
Conclusión: El teorema de Stokes en geometría diferencial es una proposición sobre la integración de formas diferenciales que generaliza varios teoremas del cálculo vectorial. Se nombra así por George Gabriel Stokes (1819-1903), a pesar de que la primera formulación conocida del teorema fue realizada por William Thomson y aparece en una correspondencia que él mantuvo con Stokes.
Bibliografía:
https://es.scribd.com/document/348691329/La-Divergencia-docx https://es.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/greens-theoremand-stokes-theorem/divergence-theorem-articles/a/3d-divergence-theorem https://eva.fing.edu.uy/pluginfile.php/127965/mod_label/intro/Calculo%20v ectorial%20y%20Mec%C3%A1nica%20de%20los%20Fluidos_nov_2016_v2.p df http://hc09paa2.pbworks.com/f/Guia+Morales+Bueno.pdf https://es.slideshare.net/OmarCorazza/fundamentosdeelectromagnetismoparaingenieriadavidkcheng http://www.monografias.com/trabajos14/camposvectoriales/camposvectori ales.shtml
