FACULTAD DE INGENIERIA, ARQUITECTURA Y URBANISMO ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL
MAT DOCENTE:
Lic.Mat. Idrogo Burga Edinzon INTEGRANTES:
Herrera Requejo David Navarro Tello Tello Rojer Rojer Job Paz Pator Roberto Peralta Peralta !ran"lin Roja More Melvin David #alazar Ino$an J%on Terrone Terrone #aucedo &leider
MATEMATICA II 10
INTRODUCCION
En este trabajo presentamos un conjunto de conceptos y ejercicios, que muestran los resultados obtenidos de los teoremas de rotacional y divergencia. Para la realización de este trabajo hemos incorporado información física y virtual, tratando de ser lo más precisos y sintticos en la redacción de contenido del presente. El objetivo de este trabajo es ofrecer una visualización de resultados matemáticamente comprobados, para ello las funciones has sido seleccionada arbitrariamente preocupándonos que los ejercicios ofrezcan la mayor y mejor cantidad de detalles para entender el concepto visualmente.
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INDICE !"#$%&'((!%")))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))*
ROTACIONAL Y DIVERGENCIA)))))))))))))))))))))))))))))))))))))+ ROTACIONAL ))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))+ #eorema *))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))#eorema ))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))/
DIVERGENCIA)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))0 1ignificado de la divergencia)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))0 Propiedades de la divergencia))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))2 E3E4P5%1))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))2
EJERCICOS))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))6 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))*/ 7!75!%8$9:;9)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))*/ 5!"<%8$9:;9---------------------------------------------------------------------------------15
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ROTACIONAL Y DIVERGENCIA En esta sección definiremos dos operaciones que se pueden efectuar con los campos vectoriales y que son básicos en las aplicaciones de cálculo vectorial al estudio de los fluidos, así como a la teoría de electricidad y magnetismo. (ada operación se asemeja a la derivación, pero una de ellas genera un campo vectorial, mientras que la otra genera un campo escalar.
ROTACIONAL 3 1i : = P i > Q j > R ? es un campo vectorial en R y e@isten todas las
derivadas parciales de P, Q y R , entonces el rotacional de : es el campo 3
vectorial en R definido por
(
rot F =
)(
) (
)
∂ R ∂Q ∂ P ∂R ∂Q ∂P − − − i+ j + k ( 1 ) ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂ y
Para ayudarnos a recordar, escribamos otra vez la ecuación * usando notación operacional. !ntroduzcamos el operador diferencial vectorial
∇
ABnablaCD
como ∇ =i
∂ ∂ ∂ + j + k ∂x ∂y ∂z
(uando opera sobre una función escalar este operador produce el gradiente de f: ∇ f = i
∂ f ∂ f ∂ f ∂ f ∂ f ∂ f + j + k = i + j + k ∂x ∂y ∂z ∂x ∂ y ∂z
1i consideramos
∇
como un vector con componentes F@, Fy y Fz,
tambin podemos calcular formalmente el producto cruz de
∇
con el campo
vectorial de : como sigue
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|
i ∂ ∇ × F = ∂x P
(
j ∂ ∂y Q
)(
k ∂ ∂z R
|
10
) (
)
¿ ∂ R − ∂Q i + ∂ P − ∂ R j + ∂ Q − ∂ P k ∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
¿ rot F
Entonces, la forma más fácil de recordar la definición es por medio de la e@presión simbólica rot F =∇ × F ( 2 )
Ejemplo * 2
F ( x , y , z )= zxi + xyzj− y k
1i
Solución:
'sando la ecuación tenemos
|
i ∂ rot F =∇ × F = ∂x xz
[
] [
|
j k ∂ ∂ ∂y ∂z 2 xyz − y
] [
]
¿ ∂ (− y ) − ∂ ( xyz ) i − ∂ (− y )− ∂ ( xz ) j+ ∂ ( xyz ) − ∂ ( xz ) k 2
∂y
∂z
2
∂x
∂z
∂x
∂y
¿ (−2 y − xy ) i −( 0 − x ) j + ( yz −0 ) k
(
¿− y 2 + x
) i + xj + yzk
$ecordemos que el gradiente de una función f de tres variables es un campo vectorial en $+y por tanto podemos calcular su rotacional. El siguiente teorema dice que el rotacional de un campo vectorial gradiente es G.
Teorema 1: 1i f es una función de tres variables que tiene derivadas parciales continuas de segundo orden entonces A$amos, G*GD GRUPO 2 | USS
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rot ( ∇ f )=0
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&emostración se tiene que
| |
i ∂ rot F =∇ × ( ∇ f )= ∂ x ∂ f ∂x
(
2
)(
2
j ∂ ∂y ∂ f ∂y
2
k ∂ ∂z ∂ f ∂z
2
) (
2
2
)
∂ f ∂ f ∂ f ∂ f ∂ f ∂ f − − − i+ j + k ∂ y∂ z ∂z ∂ y ∂ z ∂ x ∂ x∂ z ∂ x ∂ y ∂ y ∂x
¿ 0 i + 0 j + 0 k =0
Por el teorema de la!ra"t A(lairut, GG+D (omo un campo vectorial conservativo es aquel para el que F =∇ f El teorema uno se puede e@presar tambin como sigue 1i : es conservativo, entonces rotF =0 Este resultado nos da una forma de verificar que un campo vectorial no es conservativo. Ejemplo &eterminar el campo vectorial F ( x , y , z) = xzi + xyzj − y k 2
Solución: En
no es conservativo.
el ejemplo * obtuvimos que
rotF =− y ( 2 + x ) i + xj + yzk
Esto muestra que rotF≠ 0 y por tanto, segHn el teorema *, : no es conservativo. El recíproco del teorema * no se cumple, pero el teorema sigue muestra que el recíproco es verdadero si : está definido en todas partes. AEn general, es verdadero si el dominio es simplemente cone@o, es decir, Bno tiene agujerosC.D
Teorema #: 1i : es un campo vectorial definido en todo componentes tienen derivadas parciales continuas y
3
R
cuyas funciones
rot F =0, entonces : es
un campo vectorial conservativo. GRUPO 2 | USS
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Ejemplo +
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AaD &emuestre que F ( x , y , z) = y z i+ 2 xy z j + 3 x y z k es un campo 2
3
3
vectorial conservatorio. AbD Encuentre una función f tal que : =
∇
3
2
f.
Solución:
AaD (alculamos el rot de :
|
i ∂ rot F =∇ × F = ∂x 2 3 y z
(
2
2
j ∂ ∂y 3 2 xy z 3
|
k ∂ ∂z 2 2 3 xy z
)(
2
3
2
2
) (
3
2
3
)
∂ ( 3 xy z ) ∂ ( 2 xy z ) ∂ ( y z ) ∂ ( 3 xy z ) ∂ ( 2 xy z ) ∂ ( y z ) i+ j + k ¿ − − − ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
¿ ( 6 xy z − 6 xy z ) i + ( 3 y z −3 y z ) j + ( 2 y z −2 y z ) k 2
2
2
2
2
2
3
3
¿0
3 (omo rot : = G y el dominio de : es R , : entonces, por el teorema !!, : es
un campo vectorial conservativo.
DIVERGENCIA $%"& e'( 'n campo escalar. $A )"!&* 'e +alla( 9 campos vectoriales en general. $D,*de e-!'te( En el espacio tridimensional. ∇⋅! = '
1i Pregunta sin sentido. n
F + D ⊂ ℜ → ℜ
n
significa que la divergencia es perpendicular a :. "o
) n = *)(
n
∇ ⋅ F + D ⊂ ℜ → ℜ
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MATEMATICA II 10 Para un campo vectorial A@,yD → :AI,JD=APA@,yD,KA@,yDD, que sea diferenciable
en un punto ( x o , y o ) , tendremos
(uando : sea diferenciable en un abierto
Ω ⊆ R
2
podremos escribir
AsteLart, GG0D 1i F = Pi +Qj + Rk es una campo vectorial en ∂ P ∂ Q ∂ R , y ∂ x ∂ y ∂ z entonces, la divergencia de
R
3
y
F es la función de tres
variables definida por ¿ F =
∂ P ∂Q ∂ R + + ∂x ∂ y ∂ z
%bserve que el rot
F
es un campo vectorial pero div
campo escalar. En trminos del operador gradiente
F es un
( )( ) ( )
∇=
∂ ∂ ∂ i+ j + k , ax ∂y ∂z
la divergencia de F se puede escribir simbólicamente como el producto punto de
∇ y F
¿ F =∇ . F
S!.*!/!ado de la d!0er.e*!a 1i : representa el flujo de un fluido, entonces la divergencia, representa la tasa de e@pansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido. 1i el div A:DMG se está comprimiendo. 1i el div A:DNG se está e@pandiendo. 1i el div A:D=G es incompresible. (onforme el fluido se mueve el volumen AáreaD de control se comprime, e@pande o queda igual. 1i div A:D=G para todo punto del dominio el campo se llama incompresible. GRUPO 2 | USS
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Pro!edade' de la d!0er.e*!a
EJE2PLOS: 2 ( ) = xzi + xyzj− y k F x , y , z , encuentre div F . 13 1!
Solución:
Por la definición de la divergencia Aecuaciones 6 o *GD tenemos ¿ F =∇ . F = ∂ ( xz ) + ∂ ( xyz )+ ∂ (− y ) 2
∂x
∂y
∂z
¿ z + xz
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MATEMATICA II 10 R3 F 1i es un campo vectorial en , entonces el rot F tambin es 3 un campo vectorial en R . (omo tal, podemos calcular su divergencia. El
siguiente teorema muestra que el resultado es G F = Pi + Qj + Rk
Teorema I: si
es un campo vectorial en
R
3
y
P ,Q y R tienen derivadas parciales continuas de segundo orden, entonces
¿ rot F =0 Demostración: 'sando las definiciones de la divergencia y rotacional,
tenemos ¿ F =∇ . ( ∇ × F )
(
) (
)
¿ ∂ ∂ R − ∂ Q + ∂ ∂ P − ∂ R + ∂ ( ∂Q − ∂ P ) ∂x ∂ y
∂z
∂ y ∂z 2
∂x
2
∂z ∂ x 2
∂y
2
2
2
¿ ∂ R − ∂ Q + ∂ P − ∂ R + ∂ Q − ∂ P ∂ x ∂ y ∂ x ∂ z ∂ y ∂ z ∂ y ∂ x ∂ z ∂ x ∂ z∂ y
¿0
Porque los trminos se cancelan en pares por el teorema de (lairaut.
#3 &emuestre que el campo vectorial F ( x , y , z) = xzi + xyzj− y k no se 2
puede escribir como el rotacional de otro campo vectorial, es decir, F ≠ rot G. Solución:
&emostraremos que ¿ F = z + xz
J por tanto
F ≠ 0 . 1i fue cierto que
F =rot G , entonces el
teorema ! daría ¿ F =¿ rotG = 0
Kue contradice
¿ F ≠ 0.
Por lo tanto, F no es el rotacional de
otro campo vectorial.
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MATEMATICA II 10 divergencia se puede comprender a &e nuevo, la razón para el nombre travs del análisis de los fluidos. 1i F ( x , y , z) es la velocidad del fluido Ao del
¿ F ( x , y , z ) representa la razón de cambio neta Arespecto al
gasD, entonces
tiempoD por unidad de volumen, de la masa del fluido Ao del gasD que circula por el punto ( x , y , z ) . En otras palabras, ¿ F ( x , y , z ) mide la tendencia del fluido a divergir del punto ( x , y , z ) . 1i ¿ F =0 , entonces se dice que F es incomprensible. %tro operador diferencial se presenta cuando calculamos la divergencia ∇f
de un campo vectorial gradiente
.
1i
f
es una función de tres
variables, tenemos. 2
2
2
¿ ( ∇ f )= ∇ . ( ∇ f ) = ∂ f 2 + ∂ f 2 + ∂ f 2 ∂x ∂ y ∂ z
J esta e@presión se presenta con tanta frecuencia que la abreviamos como ∇ =∇ . ∇ 2
1e llama operador de 5aplace Ao laplacianoD por su relación con la ecuación de 5aplace. 2
∇
2
2
2
∂ f ∂ f ∂ f f = 2 + 2 + 2 =0 ∂ x ∂ y ∂z
#ambin podemos aplicar el operador laplaciano
∇
2
a un campo vectorial,
F = Pi + Qj + Rk
Por sus componentes 2
2
2
2
∇ F =∇ Pi + ∇ Qj + ∇ Rk
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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS BIBLIOGRAF4A (lairut, 3. AGG+D. Teorema de Clairaut. (olombia Par?. $amos, E. E. AG*GD. Analisi matematico III. 5ima %cano. steLart, 3. AGG0D. Calculo multivariable. EspaOa $ío.
LIN5OGRAF4A httpFF.LLL.Li?ipedia.com httpFF.LLL.elibro.com httpFF.LLL.scridb.com httpFF.LLL.slideshare.com
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