Dinamica rotacional

Dinámica Rotaciona Rotacionall Presentado por: M.Sc. Manuel S. Alvarez Alvarado . S o l d e a u r a n l v a A M z . c e r S . a v l M A : r o p o d a r o b a l E

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Dinámica Rotacional •

Cantidades angulares

•

Torca

•

Inercia de rotación

•

Teorema de los ejes paralelos de Steiner

•

Energía de rotación

•

Cantidad de movimiento angular y su conservación

. S o l d e a u r a n l v a A M z . s e c r a v l M : r A o p o d a r o b a l E

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Cantidades angulares (cont.)

    =  =  


4

Cantidades angulares (cont.) Aceleración tangencial

 =  Aceleración radial

 = 


5



•

Torca

•


•


•


•



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Torque

  =  ×  = 


7



•

Torca

•


•


•


•



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. S o l d e a u r a n l a v A M z . e s r c a v M l : A r o p o d a r o b a l E

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•

Torca

•


•


•


•



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Teorema de los ejes paralelos de Steiner •

Un cuerpo no tiene un solo momento de inercia. De hecho, tiene un número infinito, porque el número de ejes sobre los que podría girar es infinito. De esta manera se define el momento de inercia en un punto p determinado como:

  =   


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•

Torca

•


•


•


•



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Energía de cinética y rotación

  = 21 

 = 21 


1 1   =   

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•

Torca

•


•


•


•



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Momento angular

 =  ×  =  ×  =  •

La rapidez de cambio del momento angular de una partícula es igual a la torca de la fuerza neta que actúa sobre ella, es decir:

  = 


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Conservación de la cantidad de movimiento angular

 = é . S o l d e a u r a n l v a A M z . s e c r a v l M : r A o p o d a r o b a l E

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“Physics Rocks”. Es mi respuesta a la pregunta: ¿ porque me gusta la Física?

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Sección de problemas propuestos


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1. Una rueda gira en torno a un eje que está en la dirección z. La velocidad angular  es de -6.00 rad/s en t=0.00, aumenta linealmente con el tiempo y es de +8.00 m/s en t=7.00 s. Se considera positiva la rotación antihoraria. a) ¿La aceleración angular durante este intervalo de tiempo es positiva o negativa? b) ¿Durante qué intervalo está aumentando la rapidez de la rueda? ¿Y disminuyendo? c) Determine el desplazamiento angular de la rueda en t=7.00 s.




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2. Las aspas de una licuadora giran con aceleración angular constante de 1.50 rad/s2. a) ¿Cuánto tiempo tarda en alcanzar una velocidad angular de 36.00 rad/s, partiendo del reposo? b) ¿Cuántas revoluciones giran las aspas en este tiempo?

Respuesta: a) 24.0 s; b) 68.8 rev


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3. Un dispositivo de seguridad detiene la hoja de una podadora



eléctrica, que tenía una rapidez angular inicial  , en 1.00 revolución. Con la misma aceleración constante, ¿cuántas revoluciones tardaría la hoja en parar, si la rapidez angular inicial  fuera el triple:  ?



 = 3

Respuesta: 9.00 rev


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4. El tambor circular de una lavadora tiene un momento de inercia de 4x10-5kgm2. La lavadora se pone en movimiento y cuando alcanza los 200 rad/s se apaga el motor. Comenzando a disminuir su velocidad angular uniformemente hasta alcanzar los 140 rad/s en un tiempo de 6 s. Calcular a) la cantidad de movimiento angular cuando ω=200 rad/s, b) la energía cinética cuando ω=200 rad/s, c) la magnitud del torque producido por la fricción para reducir su velocidad angular.

− / b) .  c) = − 

Respuesta: a)


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8. En t=0, la velocidad angular de una rueda de afilar era de 24.0rad/s, y tuvo una aceleración angular constante de , hasta que un interruptor de circuito se abrió en t=2.00 s. A partir de ese momento, la rueda giró 432 rad con aceleración angular constante hasta parar. a) ¿Qué ángulo total giró la rueda entre t=0 y el instante en que se detuvo? b) ¿En qué tiempo se detuvo? c) ¿Qué aceleración tenía al irse frenando?

30.0/



Respuesta: a) b) c)

540  12.3  8.17 /


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9. Según el manual del usuario, para hacer un agujero de 12.7 mm de diámetro en madera, plástico o aluminio, se recomienda una rapidez del taladro de 1250 rev/min. Para una broca de 12.7 mm de diámetro que gira a 1250 rev/min (constantes), calcule a) la rapidez lineal máxima de cualquier punto de la broca; b) la aceleración radial máxima de cualquier punto de la broca.

Respuesta:

) . /,

)  /


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10. Determine la torca neta sobre la viga uniforme de 2.0 m de longitud de la figura 10-50. Calcúlela con respecto a a) el punto C o CM, y b) el punto P en un extremo. . S o l d e a u r a n l v a A M z . s e c r a v l M : r A o p o d a r o b a l E

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11. Calcule la torca neta con respecto al eje de la rueda mostrada en la figura. Suponga que una torca de fricción de 0.40 m · N se opone al movimiento. Respuesta: 1.4 m.N en sentido horario . S o l d e a u r a n l v a A M z . s e c r a v l M : r A o p o d a r o b a l E

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12. Si multiplicamos todas las dimensiones de diseño de un objeto por un factor de escala su volumen y masa se multiplicarán por  . a) ¿Por qué factor se multiplicará su



,

momento de inercia? b) Si un modelo

 a escala tiene una 

energía cinética rotacional de 2.5 J, ¿cuánto valdrá la del objeto a escala normal hecho con el mismo material y girando con la misma velocidad angular?

Respuesta: a)

; b) . ×  

. S o l d e a u r a n l v a A M z . c e r S . a v l M A : r o p o d a r o b a l E

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 = 2.50   = 5.00 

16.- Dos discos metálicos, con radios  y  , y masas y  , se sueldan juntos y se montan en un eje sin  fricción que pasa por su centro común. a) ¿Qué momento de inercia total tienen los discos? b) Un cordón ligero se enrolla en el disco más chico y se cuelga de él un bloque de 1.50 kg. Si el bloque se suelta del reposo a una altura de 2.00 m sobre el piso, ¿qué rapidez tiene justo antes de golpear el piso? c) Repita el inciso b) pero ahora con el cordón enrollado en el disco grande. ¿En qué caso el bloque alcanza mayor rapidez? Explique su respuesta. −  b) 3.40 m/s; c) 4.95 m/s Respuesta: a)

 = 0.80   = 1.60

. ×   ∙  ;


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17. Se enrolla un cordel varias veces en el borde de un aro pequeño de 8.00 cm de radio y masa de 0.180 kg. El extremo libre del cordel se sostiene fijo y el aro se suelta del reposo. Después de que el aro ha descendido 75.0 cm, calcule: a) la rapidez angular del aro al girar y b) la rapidez de su centro. . S o l d e a u r a n l v a A M z . s e c r a v l M : r A o p o d a r o b a l E

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18. Dos bloques están conectados por una cuerda ligera que pasa sobre una polea de 0.15 m de radio y momento de inercia I. Los bloques se mueven hacia la derecha con una aceleración de 1.00 m/s2 sobre rampas con superficies sin fricción. Encuentre la torca neta que actúa sobre la polea y determine su momento de inercia .

0.800.


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 = 5.00 

19. Un bloque con masa baja deslizándose por una superficie inclinada 36.9° con respecto a la horizontal. El coeficiente de fricción cinética es 0.25. Un cordón atado al bloque está enrollado en un volante con masa de 25.0 kg y con su eje fijo en O, y momento de inercia con respecto al eje de . El cordón tira sin resbalar a una distancia perpendicular de 0.200 m con respecto a ese eje. a) ¿Qué aceleración tiene el bloque? b) ¿Qué tensión hay en el cordón?

0.500  ∙ 


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20. Una canica uniforme baja rodando sin resbalar por el trayecto de la figura, partiendo del reposo. a) Calcule la altura mínima h que evita que la canica caiga en el foso. b) El momento de inercia de la canica depende de su radio. Explique por qué la respuesta al inciso a) no depende del radio de la canica. c) Resuelva el inciso a) para un bloque que se desliza sin fricción, en vez de una canica que rueda. Compare la h mínima en este caso con la respuesta al inciso a). . S o l d e a u r a n l v a A M z . s e c r a v l M : r A o p o d a r o b a l E

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21. Un cilindro sólido uniforme de masa M y radio 2R descansa en una mesa horizontal. Se ata un cordón mediante un yugo a un eje sin fricción que pasa por el centro del cilindro, de modo que éste puede girar sobre el eje. El cordón pasa por una polea con forma de disco de masa M y radio R, que está montada en un eje sin fricción que pasa por su centro. Un bloque de masa M se suspende del extremo libre del hilo. El hilo no resbala en la polea, y el cilindro rueda sin resbalar sobre la mesa. Si el sistema se libera del reposo, ¿qué aceleración hacia abajo tendrá el bloque? Respuesta: g/3


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22. Un carrete cilíndrico de 10 cm de radio y 2 kg de masa se desenrolla por efecto de la gravedad, a partir del reposo. Determine la velocidad de su centro de masa después de que se haya desenrollado 1 m de cuerda (suponga que la cuerda es muy larga y no desliza a medida que el carrete baja).

 = . /

Respuesta:


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23. La figura 10-65 representa una molécula de H2O. La longitud del enlace O — H es de 0.96 nm, y los enlaces H — O — H forman un ángulo de 104°. Calcule el momento de inercia de la molécula de H2O, en torno a un eje que pase a través del centro del átomo de oxígeno, a) perpendicular al plano de la molécula y b) en el plano de la molécula, bisecando los enlaces H — O — H. . S o l d e a u r a n l v a A M z . s e c r a v l M : r A o p o d a r o b a l E

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 kg golpea la Tierra 24. Suponga que un meteorito de  en el ecuador con una rapidez , como se muestra en la figura y se queda incrustado en ella. ¿En qué factor se afectaría la frecuencia rotacional de la Tierra (1 rev/día)?.

5.8 × 10  = 2.2 × 10 /

∆ Respuesta: = . × − 


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25. Una varilla delgada de masa M y longitud l descansa sobre una mesa sin fricción, y es golpeada en un punto a l/4 de su CM por una bola de arcilla de masa m, que se mueve con rapidez v. La bola se adhiere a la varilla. Determine la velocidad  y .

 Respuesta:  = + ;

=

  + 






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26. Una bala de 100 g que lleva una velocidad de 12.5 m/s choca con el centro del disco de un péndulo (la figura mostrada se encuentra en el plano del papel). Después del choque, la bala queda incrustada en el centro del disco. El péndulo, que gira en torno a un eje perpendicular al papel y que pasa por O, está formado por una varilla delgada de 200 g de masa y 20 cm de longitud y un disco de 500 g y 5 cm de radio. a) Calcular el momento de inercia del sistema. b) Calcular el ángulo máximo que gira el péndulo como consecuencia del choque, y la energía perdida en el mismo.  Respuesta:

) = . ; )  = .


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27. Una barra uniforme de masa 5 kg y largo 2 m está en reposo y articulada en el extremo superior de la misma. Repentinamente es chocada por un proyectil de 100 g de masa que se mueve con rapidez 100 m/s en la dirección 37 grados con la horizontal, como se muestra en el gráfico. Si el proyectil queda incrustado en la barra después del choque, calcular la velocidad angular del sistema un instante después del choque.

Respuesta: ω=1.74 rad/s


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Dinamica rotacional

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