GELSON IEZZI OSVALDO DOLCE DAVID DEGENSZAJN ROBERTO PÉRIGO
MATEMÁTICA
volume único – CD-rom
Sumário Seleção de exercícios de vestibulares 1 Conjuntos e conjuntos numéricos.................................................................................................................
1
Respostas....................................................................................................................................................
5
2 Funções........................................................................................................................................................
6
Respostas....................................................................................................................................................
18
3 Progressões...................................................................................................................................................
19
Respostas....................................................................................................................................................
24
4 Matemática comercial e financeira................................................................................................................
25
Respostas....................................................................................................................................................
32
5 Trigonometria...............................................................................................................................................
33
Respostas....................................................................................................................................................
40
6 Matrizes, determinantes e sistemas lineares..................................................................................................
41
Respostas....................................................................................................................................................
45
7 Geometria plana...........................................................................................................................................
46
Respostas....................................................................................................................................................
54
8 Geometria espacial.......................................................................................................................................
55
Respostas....................................................................................................................................................
64
9 Análise combinatória, probabilidade e binômio de Newton...........................................................................
65
Respostas....................................................................................................................................................
72
10 Geometria analítica.......................................................................................................................................
73
Respostas....................................................................................................................................................
81
11 Números complexos, polinômios e equações algébricas................................................................................
82
Respostas....................................................................................................................................................
85
12 Estatística.....................................................................................................................................................
86
Respostas....................................................................................................................................................
92
Coletânea de testes do ENEM...................................................................................................
93
Respostas.............................................................................................................................................................. 109
Matemática Volume Único
Conjuntos e conjuntos numéricos 1. (Fatec-SP) O número inteiro N 5 1615 1 256 é divisível por: a) 5 b) 7 c) 11 d) 13 e) 17
2. (Unifesp-SP) Dia 20 de julho de 2008 caiu num domingo. Três mil dias após essa data, cairá: a) Numa quinta-feira. b) Numa sexta-feira. c) Num sábado. d) Num domingo. e) Numa segunda-feira.
3. (U.E. Ponta Grossa-PR) Dois sinais luminosos acendem juntos num determinado instante. Um deles permanece aceso 1 minuto e apagado 30 segundos, enquanto o outro permanece aceso 1 minuto e apagado 20 segundos. A partir desse instante qual o número mínimo de minutos necessários para que os dois sinais voltem a acender juntos outra vez? Assinale no cartão de respostas o número da alternativa que contém a resposta que você calcular como correta. 01) Oito 02) Dez
01) O número real representado por 0,5222... é um número racional. 02) O quadrado de qualquer número irracional é um número racional. 04) Se m e n são números irracionais então m ? n pode ser racional. 08) O número real √ 3 pode ser escrito sob a forma a , onde a e b são inteiros e b 0. b 16) Toda raiz de uma equação algébrica do 2º grau é um número real.
6. (UFF-RJ) Segundo o matemático Leopold Kronecker (1823-1891), “Deus fez os números inteiros, o resto é trabalho do homem”. Os conjuntos numéricos são, como afirma o matemático, uma das grandes invenções humanas. Assim, em relação aos elementos desses conjuntos, é correto afirmar que: a) o produto de dois números irracionais é sempre um número irracional. b) a soma de dois números irracionais é sempre um número irracional. c) entre os números reais 3 e 4 existe apenas um número irracional. d) entre dois números racionais distintos existe pelo menos um número racional. e) a diferença entre dois números inteiros negativos é sempre um número inteiro negativo.
04) Doze 08) Quatorze
4. (U.E. Ponta Grossa-PR) Indica-se por n(X) o número de elementos do conjunto X. Se A e B são conjuntos tais que n(A) 5 20, n(B – A) 5 15 e n(A B) 5 8, assinale o que for correto. 01) n(A – B) 5 12 02) n(B) 5 23 04) n(A B) 5 35 08) n(A B) – n(A B) 5 27 16) n(A) – n(B) 5 n(A – B)
5. (U.E. Ponta Grossa-PR) Assinale o que for correto. (Indique a soma dos números obtidos.)
7. (UF-RJ) Manuel, Joaquim e Antônio olham, num certo instante, para dois relógios, A e B, que só indicam horas e minutos. Naquele instante, A e B indicam, respectivamente, 11h51min e 11h53min. Diante dessa situação, segue-se o seguinte diálogo entre os amigos: “Nessas condições, a dedução lógica é que a defasagem entre A e B é de 120 segundos.”, exclama Manuel. “Não! Só podemos garantir que a defasagem entre A e B é de, no máximo, 120 segundos!”, contesta Joaquim. “Vocês dois estão enganados. Com esses dados, só é possível concluir que a defasagem entre A e B é de, pelo menos, 120 segundos!”, afirma Antônio. 1
Conjuntos e conjuntos numéricos
Sobre as conclusões dos três patrícios, avalie qual das afirmativas a seguir é verdadeira. I – Só Manuel está certo II – Só Joaquim está certo III – Só Antônio está certo IV – Os três estão certos V – Os três estão errados VI – Não é possível decidir se algum nem qual dos três está certo.
8. (FGV-SP) Sejam x e y a soma e o produto, respectivamente, dos dígitos de um número natural. Por exemplo, se o número é 142, então x 5 7 e y 5 8. Sabendo-se que N é um número natural de dois dígitos tal que N 5 x 1 y, o dígito da unidade de N é: a) 2
d) 8 e) 9
9. (PUC-RS) Pitágoras estabeleceu a seguinte relação entre as sete notas musicais e números racionais: RÉ
MI
FÁ
SOL
LÁ
SI
DÓ
8
64
3
2
16
128
1
9
81
4
3
27
243
2
16 (relativo à nota 27 2 (o correspondente da nota LÁ), multiplicamos 3 8 SOL) por . 9 3 Assim, para obtermos (relativo à nota FÁ), devemos 4 64 (da nota MI) por: multiplicar 81 Para encontrarmos o número
8 a) 9 b)
9 8
c)
243 256
d) e)
2
a) 180
d) 165
b) 140
e) 127
c) 210
11. (Cefet-PR) Se a, b e c são números naturais tais que a – b 5 c, então podemos afirmar que a 1 b 1 c é igual a: a) 2a
d) 5a
b) 3a
e) 6a
c) 4a
algébrica
c) 6
1
que 60% dos funcionários falam inglês, 45% falam espanhol e 30% deles não falam nenhuma daquelas línguas. Se exatamente 49 funcionários falam inglês e espanhol, podemos concluir que o número de funcionários dessa empresa é igual a:
12. (Cefet-PR) Encontre o valor numérico da expressão
b) 3
DÓ
10. (ESPM-SP) Numa empresa multinacional, sabe-se
256 243 192 324
2x2 2 3xy
√ x2 1 3y 2 4
, para x 5 21 e y 5 4.
a)
10 3
d)
13 7
b)
11 3
e)
14 3
c)
12 7
13. (Enem-MEC) A classificação de um país no quadro de medalhas nos Jogos Olímpicos depende do número de medalhas de ouro que obteve na competição, tendo como critério de desempate o número de medalhas de prata seguido do número de medalhas de bronze conquistados. Nas Olimpíadas de 2004, o Brasil foi o décimo sexto colocado no quadro de medalhas, tendo obtido 5 medalhas de ouro, 2 de prata e 3 de bronze. Parte desse quadro de medalhas é reproduzida a seguir: Classificação
País
Medalhas Medalhas Medalhas Total de de ouro de prata de bronze medalhas
8º
Itália
10
11
11
32
9º
Coreia do Sul
9
12
9
30
10º
GrãBretanha
9
9
12
30
11º
Cuba
9
7
11
27
12º
Ucrânia
9
5
9
23
13º
Hungria
8
6
3
17
Disponível em: http://www.quadroademedalhas.com.br. Acesso em: 05 abr. 2010 (adaptado).
Matemática Volume Único Se o Brasil tivesse obtido mais 4 medalhas de ouro, 4 de prata e 10 de bronze, sem alterações no número de medalhas dos demais países mostrados no quadro, qual teria sido a classificação brasileira no quadro de medalhas das Olimpíadas de 2004? a) 13º
a) a quantidade de alunos que não opinaram por nenhuma das três políticas é 12. b) a quantidade de alunos que aprovam apenas uma política pública é 415. c) a quantidade de alunos que aprovam mais de uma política é 167. d) a quantidade de alunos que aprovam as três políticas é 45.
b) 12º c) 11º
e) há mais alunos que aprovam Cotas do que alunos que aprovam somente o ENEM.
d) 10º e) 9º
14. (Enem-MEC) A disparidade de volume entre os planetas é tão grande que seria possível colocálos uns dentro dos outros. O planeta Mercúrio é o menor de todos. Marte é o segundo menor: dentro dele cabem três Mercúrios. Terra é o único com vida: dentro dela cabem sete Martes. Netuno é o quarto maior: dentro dele cabem 58 Terras. Júpiter é o maior dos planetas: dentro dele cabem 23 Netunos. Revista Veja. Ano 41, nº 26, 25 jun. 2008 (adaptado).
Seguindo o raciocínio proposto, quantas Terras cabem dentro de Júpiter?
17. (UF-PB) Em determinada data, o câmbio, entre as moedas abaixo, apresentava a seguinte equivalência: 1 dólar 5 0,9 euro 1 euro 5 0,7 libra 1 real 5 0,18 libra De acordo com esses dados, é correto afirmar que, nessa data, 1 dólar equivalia a: a) R$ 3,40
d) R$ 3,55
b) R$ 3,45
e) R$ 3,60
c) R$ 3,50
18. (UF-MA) Quantos números inteiros pertencem ao intervalo 2 √ 10 , √ 15 ?
a) 406
a) 6
b) 1 334
b) 7
c) 4 002
c) 8
d) 9 338
d) 9
e) 28 014
e) Nenhum
15. (UF-RJ) Se x 5 √ 3 2 √ 8 2 √ 3 1 √ 8 , mostre que x
19. (UF-PE) Antônio nasceu no século XX, e seu pai, que
16. (UF-PI) O Diretor de uma tradicional escola da cidade
tinha 30 anos quando Antônio nasceu, tinha X anos no ano X2. Considerando estas informações, analise as afirmações seguintes:
é inteiro e negativo. (Sugestão: calcule x2.)
de Teresina resolveu fazer uma pesquisa de opinião junto aos seus 590 alunos do Ensino Médio, sobre as políticas públicas de acesso ao Ensino Superior. No questionário, pergunta-se sobre a aprovação de: Cotas, Bolsas e ENEM, como modelo de exame vestibular. As respostas dos alunos foram sintetizadas na tabela abaixo: Política pública Número de aprovações
Cotas, Cotas Bolsas Cotas Bolsas Cotas Bolsas ENEM e e e e Bolsas ENEM ENEM ENEM 226
147
418
53
85
116
44
Sobre a pesquisa e a tabela acima, é correto afirmar que:
0-0) O pai de Antônio nasceu no século vinte. 1-1) O pai de Antônio nasceu em 1936. 2-2) O pai de Antônio tinha 44 anos em 1936. 3-3) Antônio nasceu em 1922. 4-4) Antônio nasceu em 1936.
20. (UE-PI) Júnior tem três álbuns de figuras. No primeiro, estão três décimos do total de figuras; no segundo, estão alguns oitavos do total de figuras e, no terceiro álbum, estão 15 figuras. Quantas figuras estão no segundo álbum? a) 110
d) 125
b) 115
e) 130
c) 120 3
Conjuntos e conjuntos numéricos
21. (UF-PB) A prefeitura de certa cidade realizou dois concursos: um para gari e outro para assistente administrativo. Nesses dois concursos, houve um total de 6 500 candidatos inscritos. Desse total, exatamente, 870 fizeram prova somente do concurso para gari. Sabendo-se que, do total de candidatos inscritos, 4 630 não fizeram a prova do concurso para gari, é correto afirmar que o número de candidatos que fizeram provas dos dois concursos foi:
a) R$ 0,73 b) R$ 0,72 c) R$ 0,71 d) R$ 0,70 e) R$ 0,69
a) 4 630 b) 1 870
25. (UF-RN) A presença de nitrogênio sob a forma de
c) 1 300 d) 1 740 e) 1 000
22. (UPE-PE) Sabe-se que o produto de dois números irracionais a e b pode ser um número racional c. Assinale a única alternativa abaixo que exemplifica esta afirmação. a) a 5 √ 12, b 5 √ 3 , c 5 √ 36 b) a 5 √ 9 , b 5 √ 4 , c 5 √ 36 c) a 5 √ 144 , b 5
netas foram vendidas, e obteve-se um faturamento de exatamente R$ 37,63 com a sua venda. Se cada uma das canetas foi vendida pelo mesmo preço, qual foi este preço?
1 , c 5 √ 36 4
d) a 5 2 √ 12, b 5 2√ 3 , c 5 2 √ 36 e) a 5 √ 9, b 5 √ 4 , c 5 6
nitrato em índices elevados oferece risco à saúde e deixa a água imprópria para o consumo humano, ou seja, não potável. Uma Portaria do Ministério da Saúde limita a concentração de nitrato em, no máximo, 10 mg/,. Quando essa concentração ultrapassa tal valor, uma maneira de deduzi-la é adicionar água limpa, livre de nitrato. Uma análise feita na água de um reservatório de 12 000 , constatou a presença de nitrato na concentração de 15 mg/,. Com base em tais informações, a quantidade mínima de litros de água que se deve acrescentar para que o reservatório volte aos padrões normais de potabilidade é: a) 6 000 , b) 4 000 , c) 12 000 ,
23. (Uneb-BA) Considerem-se as proposições
d) 18 000 ,
I – p é um número racional. II – Existe um número racional cujo quadrado é 2. III – Se a . 0, então 2a , 0. IV – Todo número primo é impar. Com base nelas, é correto afirmar: 01) A proposição I é verdadeira. 02) A proposição II é verdadeira. 03) A proposição III é verdadeira. 04) As proposições I, II e IV são verdadeiras. 05) As proposições II, III e IV são verdadeiras.
24. (UE-PI) Uma mercearia tem, em estoque, uma quantidade de canetas, de determinada marca, em número inferior a 60 e superior a 1, que pretende oferecer em liquidação. Na liquidação, todas as ca-
4
26. (UF-PA) A Orquestra Sinfônica do Theatro da Paz (OSTP) é composta por músicos de quatro naipes de instrumentos distintos: cordas, sopro de metais, sopro de madeiras e percussão. Ela conta com 27 músicos de cordas, 11 de metais, 8 de madeiras e 4 de percussão. No caso de se desejar ampliar a orquestra, de modo que ela passe a ter 150 músicos e tal que os naipes de instrumentos mantenham a mesma proporção entre eles, o número de músicos de cordas e o número de músicos de metais passariam a ser respectivamente: a) 54 e 22 b) 60 e 30 c) 50 e 20 d) 82 e 40 e) 81 e 33
Matemática Volume Único
Conjuntos e conjuntos numéricos Respostas 1. e
10. b
19. F, F, V, V, F
2. a
11. a
20. d
3. 04
12. e
21. e
4. 01, 02, 04, 08
13. b
22. a
5. 01 1 04 5 05
14. b
23. 03
6. d
15. x 5 22
24. c
7. Opção V
16. b
25. a
8. e
17. c
26. e
9. c
18. b
5
Funções
Funções 1. (UF-SC) Assinale a(s) proposição(ões) correta(s). Indique a soma dos valores:
log(x) 2 10(log(0,5) 1 log(8)) 5 log
01) Dentre todos os retângulos com 40 m de perímetro, o de maior área é aquele com lado de 20 m e área de 400 m2. 02) Uma cidade é servida por três empresas de telefonia. A empresa X cobra, por mês, uma assinatura de R$ 35,00 mais R$ 0,50 por minuto utilizado. A empresa Y cobra, por mês, uma assinatura de R$ 20,00 mais R$ 0,80 por minuto utilizado. A empresa Z não cobra assinatura mensal para até 50 minutos utilizados e, acima de 50 minutos, o custo de cada minuto utilizado é de R$ 1,20. Portanto, acima de 50 minutos de uso mensal a empresa X é mais vantajosa para o cliente do que as outras duas. 04) Em certa fábrica, durante o horário de trabalho, o custo de fabricação de x unidades é de C(x) 5 x2 1 x 1 500 reais. Num dia normal de trabalho, durante as t primeiras horas de produção, são fabricadas x(t) 5 15t unidades. O gasto na produção, ao final da segunda hora, é de R$ 1 430,00. 08) Certa substância radioativa que se desintegra uniformemente ao longo do tempo tem sua quantidade ainda não desintegrada, após t anos, 2
t
dada pela equação M(t) 5 M0 ? 2 20 onde M0 representa a quantidade inicial dessa substância. A porcentagem da quantidade ainda não desintegrada após 40 anos em relação à quantidade inicial M0 é de, aproximadamente, 50%. 16) O gráfico abaixo mostra quanto cada brasileiro pagou de impostos (em reais per capita) nos anos indicados. R$ 4 500
4 160
R$ 4 000 3 269
R$ 3 000
b) x 5 10 c) log2(log(x)) 5 1 d) x 5 10log(4)
3. (UE-CE) Na figura a seguir estão representados seis retângulos com lados paralelos aos eixos coordenados e vértices opostos sobre o gráfico da função f(x) 5 log2 x, x . 0. y
f(x) 5 log2x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
A soma das áreas dos seis retângulos é igual a: a) 2 unidades de área b) 3 unidades de área c) 4 unidades de área d) 5 unidades de área
4. (UF-TO) Seja f: ]2, 2] → [21, [ definida por f(x) 5 x2 2 4x 1 3
a) f21(x) 5 2
2 042
2 082
b) f21(x) 5
2 006
R$ 1 500
1 2
c) f21(x) 5 2 1980
1985
1990
1995
2000
115 3
2005
Veja, São Paulo: Ed. Abril, ano 39, n. 15, 19 abr. 2006.
Com base nos dados fornecidos pelo gráfico, podese afirmar que no ano 2000 houve um aumento de 20% no gasto com impostos, em relação a 1995. 6
a) log(log2(x)) 5 1
2 594
R$ 2 000
R$ 1 000
1 satisfaz: x
Então a função inversa f21 é:
R$ 3 500
R$ 2 500
2. (U.F. Lavras-MG) A solução da equação
d) f21(x) 5 2 1
55 6
5. (U.E. Londrina-PR) Considere a função real definida por f(x) 5 ax2 1 bx 1 c, cujo gráfico é o seguinte:
Matemática Volume Único é da função dada por y 5 f(x) 5 logn (x). O valor de logn (n3 1 8) é
y
a) 2 x
b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
Com base na situação exposta e nos conhecimentos sobre o tema, considere as seguintes afirmativas: I. D 5 b2 2 4ac . 0 II. a(b 1 c) . 0 III. f
2b 2 2a 2b 1 2a 5 f 2a 2a
IV. a √ D . 0
8. (U.F. Santa Maria-RS) Sabe-se que as equações são expressões matemáticas que definem uma relação de igualdade. Dessa forma, dadas as funções 1 f(x) 5 x 2 1 e h(x) 5 3x 1 1, para que seus gráficos (9 ) tenham um ponto em comum, deve existir um valor de x, de modo que as imagens desse valor, pelas duas funções, coincidam. Isso ocorre no ponto:
Assinale a alternativa que contém todas as afirmações corretas.
a) (1, 21)
a) I e III.
c) (3, 81)
b) III e IV. c) I, II e III. d) I, II e IV. e) II, III e IV.
6. (UF-PA) O vértice da parábola y 5 ax2 1 bx 1 c é o ponto (22, 3). Sabendo que 5 é a ordenada onde a curva corta o eixo vertical, podemos afirmar que: a) a . 1, b , 1 e c , 4
b) (21, 1)
d)
1 4 , 3 3
e)
1 3 , 3 √ 3 3
9. (U.F. Santa Maria-RS) Durante um passeio noturno de barco, diversão preferida de um grupo de jovens, surgiu uma situação de perigo, em que houve necessidade de disparar um sinalizador para avisar o restante do grupo que ficara no acampamento. A função que descreve o movimento do sinal luminoso é dada por h(t) 5 30t 2 3t2, onde h é a altura do sinal em metros e t, o tempo decorrido em segundos, desde o disparo até o momento em que o sinalizador cai na água. Assim, a altura máxima atingida pelo sinalizador e o tempo decorrido até cair na água são, respectivamente:
b) a . 2, b . 3 e c . 4 c) a , 1, b , 1 e c . 4 d) a , 1, b . 1 e c . 4 e) a , 1, b , 1 e c , 4
7. (PUC-RS) A representação: y
a) 75 m e 10 s
4
b) 75 m e 5 s c) 74 m e 10 s d) 74 m e 5 s
2
e) 70 m e 5 s 24
22
0 22
24
2
4
x
10. (Ibmec-RJ) A soma dos quadrados dos números naturais que pertencem ao conjunto solução de: (3 2 x) ? (x2 2 1) > 0 é igual a: x12 a) 13 7
Funções
14. (Udesc-SC) A alternativa que representa o gráfico da
b) 14 c) 15
função f(x) 5 |x 1 1| 1 2 é:
d) 19
a)
y 4
e) 20
3 2
11. (PUC-MG) Uma empresa de turismo fretou um avião com 200 lugares para uma semana de férias, devendo cada participante pagar R$ 500,00 pelo transporte aéreo, acrescidos de R$ 10,00 para cada lugar do avião que ficasse vago. Nessas condições, o número de passagens vendidas que torna máxima a quantia arrecadada por essa empresa é igual a:
1 23 22 21
0
1
2
x
2
3
4
x
y 4
b)
3 2
a) 100
1
b) 125 21
c) 150 d) 180
c)
0
1 y
12. (PUC-PR) O prazo de validade, V, medido em uma
2
escala de 0% (vencido) a 100% (fresco), de um produto em conserva, segue a seguinte função de tempo, t, em meses:
1 23 22 21 0
x
1
V5e ,t>0 2t
Onde: e 5 2,7183
d)
y 4
É CORRETO afirmar:
3
I. Um mês após a produção, t 5 1, a validade corresponde a 36,79%.
2 1
II. Seis meses após a produção, t 5 6, a validade corresponde a 0,25%. III. Quanto mais próximo do dia da produção maior o frescor.
e)
b) As alternativas I e III estão corretas.
1
e) Nenhuma das alternativas está correta.
13. (Udesc-SC) O conjunto solução da inequação: x 1 3
3 (2x 2 2)
. 4x
é: a) S 5 {x | 21 , x , 6} b) S 5 {x | x , 26 ou x . 1} c) S 5 {x | x , 21 ou x . 6} d) S 5 {x | 26 , x , 1} e) S 5 {x | x , 2 √ 6 ou x . √ 6 }
2
x
3
3 2
d) As alternativas II e III estão corretas.
1
y
a) Somente a alternativa III está correta. c) As três alternativas, I, II e III, estão corretas.
8
24 23 22 21 0
23 22 21 0 21
1
2
3
x
22
15. (Unicamp-SP) Duas locadoras de automóveis oferecem planos diferentes para a diária de um veículo econômico. A locadora Saturno cobra uma taxa fixa de R$ 30,00, além de R$ 0,40 por quilômetro rodado. Já a locadora Mercúrio tem um plano mais elaborado: ela cobra uma taxa fixa de R$ 90,00 com uma franquia de 200 km, ou seja, o cliente pode percorrer 200 km sem custos adicionais. Entretanto, para cada km rodado além dos 200 km incluídos na franquia, o cliente deve pagar R$ 0,60.
Matemática Volume Único a) Para cada locadora, represente no gráfico a função que descreve o custo diário de locação em termos da distância percorrida no dia. b) Determine para quais intervalos cada locadora tem o plano mais barato. Supondo que a locadora Saturno vá manter inalterada a sua taxa fixa, indique qual deve ser seu novo custo por km rodado para que ela, lucrando o máximo possível, tenha o plano mais vantajoso para clientes que rodam quaisquer distâncias.
16. (Fuvest-SP) A função f: R → R tem como gráfico uma parábola e satisfaz f(x 1 1) 2 f(x) 5 6x 2 2, para todo número real x. Então, o menor valor de f(x) ocorre quando x é igual a: 11 6 7 b) 6 5 c) 6
a)
d) 0 5 e) 2 6
17. (U.E. Ponta Grossa-PR) Sobre as funções 2x 1 1 e g(x) 5 3x 2 5, assinale o que for x21 correto. Indique a soma dos valores.
f(x) 5
19. (Fuvest-SP) A magnitude de um terremoto na escala Richter é proporcional ao logaritmo, na base 10, da energia liberada pelo abalo sísmico. Analogamente, o pH de uma solução aquosa é dado pelo logaritmo, na base 10, do inverso da concentração de íons H1. Considere as seguintes afirmações: I. O uso do logaritmo nas escalas mencionadas justifica-se pelas variações exponenciais das grandezas envolvidas. II. A concentração de íons H1 de uma solução ácida com pH 4 é 10 mil vezes maior que a de uma solução alcalina com pH 8. III. Um abalo sísmico de magnitude 6 na escala Richter libera duas vezes mais energia que outro, de magnitude 3. Está correto o que se afirma somente em: a) I b) II c) III d) I e II e) I e III
20. (UFF-RJ) A figura a seguir representa um quadrado MNPQ inscrito no quadrado ABCD cuja área mede 16 cm2. A
M
B
N
01) O domínio da função f é {x | x . 1} 02) A função f assume valores estritamente positivos 1 para x , 2 ou x . 1 2 04) g(f(2)) 5 10 08) A função inversa de g é definida por g21(x) 5 x15 5 3 1 5 2f(x) 16) f x
18. (U.E. Ponta Grossa-PR) Em relação à função de R em R definida por f(x) 5 3x 1 2, assinale o que for correto. Indique a soma dos valores. 01) f(f(0)) 5 29 02) Sua imagem é o conjunto ]2, 1 [ 04) f(a 1 b) 5 f(a) 1 f(b) 08) A função é decrescente 16) f(x 1 1) 2 f(x) 5 2 ? 3x
Q
D
P
C
Determine: a) as medidas de AM e MB para que a área do quadrado MNPQ seja igual a 9 cm2. b) as medidas de AM e MB para que a área do quadrado MNPQ seja a menor possível. Justifique suas respostas.
21. (FGV-SP) O valor de um carro decresce exponencialmente, de modo que seu valor, daqui a x anos, será dado por V 5 Ae2kx, em que e 5 2,7182… . Hoje, o carro vale R$ 40 000,00 e daqui a 2 anos valerá R$ 30 000,00. 9
Funções
Nessas condições, o valor do carro daqui a 4 anos será:
sobre as quais foram cobradas entradas, foi de aproximadamente:
a) R$ 17 500,00
a) 1 000
b) R$ 20 000,00
b) 60 000
c) R$ 22 500,00
c) 80 000
d) R$ 25 000,00
d) 100 000
e) R$ 27 500,00
e) 750 000
22. (Enem cancelado e modificado-MEC) A empresa WQTU Cosmético vende um determinado produto, cujo custo de fabricação de x unidades é dado por 3x2 1 232, e o seu valor de venda é expresso pela função 180x 2 116. A empresa vendeu 10 unidades do produto x, contudo a mesma deseja saber quantas unidades precisa vender para obter um lucro máximo. A quantidade máxima de unidades a serem vendidas pela empresa WQTU para a obtenção do maior lucro é: a) 10
d) 116
b) 30
e) 232
c) 58
23. (UF-GO) Grande parte da arrecadação da Coroa Portuguesa, no século XVIII, provinha de Minas Gerais devido à cobrança do quinto, do dízimo e das entradas (Revista de História da Biblioteca Nacional). Desses impostos, o dízimo incidia sobre o valor de todos os bens de um indivíduo, com uma taxa de 10% desse valor. E as entradas incidiam sobre o peso das mercadorias (secos e molhados, entre outros) que entravam em Minas Gerais, com uma taxa de, aproximadamente, 1,125 contos de réis por arroba de peso. O gráfico a seguir mostra o rendimento das entradas e do dízimo, na capitania, durante o século XVIII.
24. (UF-GO) A distância que um automóvel percorre até parar, após ter os freios acionados, depende de inúmeros fatores. Essa distância em metros pode ser calV2 culada aproximadamente pela expressão D 5 , 250 onde V é a velocidade em km/h no momento inicial da frenagem e é um coeficiente adimensional que depende das características dos pneus e do asfalto. Considere que o tempo de reação de um condutor é de um segundo, do instante em que vê um obstáculo até acionar os freios. Com base nessas informações, e considerando 5 0,8, qual é a distância aproximada percorrida por um automóvel do instante em que o condutor vê um obstáculo, até parar completamente, se estiver trafegando com velocidade constante de 90 km/h? a) 25,0 m b) 40,5 m c) 65,5 m d) 72,0 m e) 105,5 m
25. (PUC-MG) A função f é tal que f(x) 5 g(x). Se o gráfico da função g é a parábola a seguir, o domínio de f é o conjunto: 4
Rendimento Fiscal da Capitania de Minas Gerais Entradas (Em Contos de Réis)
250 000
3
Dízimos
2 1
200 000 150 000
24
0
22 21
100 000
21
50 000
22
0 1 700
1 720
1 740
1 760
1 780
1 800
Revista de História da Biblioteca Nacional, Rio de Janeiro, ano 2, n. 23, ago. 2007 [Adaptado].
Com base nessas informações, em 1760, na capitania de Minas Gerais, o total de arrobas de mercadorias, 10
23
1
a) {x R | x > 0} b) {x R | x < 22 ou x > 2} c) {x R | 0 < x < 2} d) {x R | 22 < x < 2}
2
3
4
Matemática Volume Único
26. (PUC-MG) O valor de certo equipamento, comprado por R$ 60 000,00, é reduzido à metade a cada 15 2
t
meses. Assim, a equação V(t) 5 60 000 ? 2 15 , onde t é o tempo de uso em meses e V(t) é o valor em reais, representa a variação do valor desse equipamento. Com base nessas informações, é CORRETO afirmar que o valor do equipamento após 45 meses de uso será igual a: a) R$ 3 750,00
c) R$ 10 000,00
b) R$ 7 500,00
d) R$ 20 000,00
27. (PUC-RJ) Considere a função real g(x) 5 x4 2 40x2 1 144 e a função real f(x) 5 x(x 2 4) (x 1 4) a) Para quais valores de x temos f(x) , 0? b) Para quais valores de x temos g(x) , 0? c) Para quais valores de x temos f(x) ? g(x) . 0?
a) 7h b) 6h50min c) 6h30min d) 7h30min e) 7h50min
30. (UF-PR) Sabe-se que a velocidade do som no ar depende da temperatura. Uma equação que relaciona essa velocidade v (em metros por segundo) com a temperatura t (em graus Celsius) de maneira aproximada é v 5 20 t 1 273 . Com base nessas informações, responda às seguintes perguntas: a) Qual é a velocidade do som à temperatura de 27 °C? (Sugestão: use 3 5 1,73) b) Costuma-se assumir que a velocidade do som é de 340 m/s (metros por segundo). Isso ocorre a que temperatura?
28. (PUC-RJ) Sabendo que a curva a seguir é a parábola
31. (UE-MG) “Em janeiro de 2008, o Brasil tinha 14
de equação y 5 x2 2 x 2 6, a área do triângulo ABC é:
milhões de usuários residenciais na rede mundial de computadores. Em fevereiro de 2008, esses internautas somavam 22 milhões de pessoas 2 8 milhões, ou 57% a mais. Deste total de usuários, 42% ainda não usam banda larga (internet mais rápida e estável). Só são atendidos pela rede discada”. Atualidade e Vestibular 2009, 1º semestre, Ed. Abril.
B
Baseando-se nessa informação, observe o gráfico a seguir:
C
(milhões de usuários)
22 A
a) 4
b) 6
c) 9
d) 10
e) 12
29. (Cefet-SC) O volume de água de um reservatório aumenta em função do tempo, de acordo com o gráfico abaixo:
14
JAN/08
V(m3)
FEV/08
(mês)
Se mantida, pelos próximos meses, a tendência de crescimento linear, mostrada no gráfico acima, o número de usuários residenciais de computadores, em dezembro de 2009, será igual a:
1
3
t(h)
Para encher este reservatório de água com 2 500 litros, uma torneira é aberta. Qual o tempo necessário para que o reservatório fique completamente cheio?
a) 178 3 106 b) 174 3 105 c) 182 3 107 d) 198 3 106 11
Funções
32. (UE-RJ) Para melhor estudar o Sol, os astrônomos
a) {12, 13, 14}
utilizam filtros de luz em seus instrumentos de observação. 4 Admita um filtro que deixe passar da intensidade 5 da luz que nele incide. Para reduzir essa intensidade a menos de 10% da original, foi necessário utilizar n filtros.
b) {15, 16, 17} c) {18, 19, 20} d) {21, 22, 23}
36. (FGV-SP) O gráfico de uma função quadrática f(x) tem as seguintes características:
Considerando log 2 5 0,301, o menor valor de n é igual a:
O vértice é o ponto (4, 21).
a) 9
c) 11
b) 10
d) 12
O ponto de interseção do gráfico com o eixo das ordenadas é:
33. (UE-RJ) Uma bola de beisebol é lançada de um ponto 0 e, em seguida, toca o solo nos pontos A e B, conforme representado no sistema de eixos ortogonais:
Intercepta o eixo das abscissas no ponto (5, 0).
a) (0, 14) b) (0, 15) c) (0, 16) d) (0, 17) e) (0, 18)
y (m)
37. (FGV-SP) Nos últimos anos, o salário mínimo tem cresC
D 0
A
35
B
x (m)
Durante sua trajetória, a bola descreve duas parábolas com vértices C e D. 2x 2x2 1 . A equação de uma dessas parábolas é y 5 5 75 Se a abscissa de D é 35 m, a distância do ponto 0 ao ponto B, em metros, é igual a:
cido mais rapidamente que o valor da cesta básica, contribuindo para o aumento do poder aquisitivo da população. O gráfico abaixo ilustra o crescimento do salário mínimo e do valor da cesta básica na região Nordeste, a partir de 2005. y R$ 510,00 Salário Mínimo R$ 300,00 R$ 184,00 R$ 154,00
a) 38 b) 40
Cesta Básica
0
1
2
3
4
5
x
c) 45 d) 50
34. (PUC-PR) Sabendo que log 20 5 1,3 e log 5 5 0,7, é correto afirmar que log5 20 corresponde a: a) Exatamente 2. b) Exatamente 0,6. c) Maior ou igual a 0,5 e menor que 0,6. d) Um valor entre 1,8 e 1,9. e) Nenhuma das alternativas anteriores.
35. (UE-CE) A idade de Paulo, em anos, é um número inteiro par que satisfaz a desigualdade x2 2 32x 1 252 , 0. O número que representa a idade de Paulo pertence ao conjunto 12
2005 2006 2007 2008 2009 2010
Suponha que, a partir de 2005, as evoluções anuais dos valores do salário mínimo e dos preços da cesta básica, na região Nordeste, possam ser aproximados mediante funções polinomiais do 1º grau, f(x) 5 ax 1 b, em que x representa o número de anos transcorridos após 2005. a) Determine as funções que expressam os crescimentos anuais dos valores do salário mínimo e dos preços da cesta básica, na região Nordeste. b) Em que ano, aproximadamente, um salário mínimo poderá adquirir cerca de três cestas básicas, na região Nordeste? Dê a resposta aproximando o número de anos, após 2005, ao inteiro mais próximo.
Matemática Volume Único
38. (Enem-MEC) O gráfico mostra o número de favelas no município do Rio de Janeiro entre 1980 e 2004, considerando que a variação nesse número entre os anos considerados é linear.
40. (UF-RJ) Considere o programa representado pelo seguinte fluxograma: Entre com o valor de x
750 573
Calcule √ x 2 1
372
Verifique:
√ x 2 1 . 1? 1980
1992
2004
Favela tem memória. Época, nº 621, 12 abr. 2010 (adaptado).
Se o padrão na variação do período 2004/2010 se mantiver nos próximos 6 anos, e sabendo que o número de favelas em 2010 é 968, então o número de favelas em 2016 será:
SIM
NÃO
Calcule 2x22
Calcule (x 1 2)1/3
a) Determine os valores reais de x para os quais é possível executar esse programa. b) Aplique o programa para x 5 0, x 5 4 e x 5 9.
41. (U. F. Juiz de Fora-MG) Os gráficos I, II e III, a seguir,
a) menor que 1 150. b) 218 unidades maior que em 2004. c) maior que 1 150 e menor que 1 200. d) 177 unidades maior que em 2010. e) maior que 1 200.
esboçados em uma mesma escala, ilustram modelos teóricos que descrevem a população de três espécies de pássaros ao longo do tempo. população
população
população
39. (Enem-MEC) Nos processos industriais, como na indústria de cerâmica, é necessário o uso de fornos capazes de produzir elevadas temperaturas e, em muitas situações, o tempo de elevação dessa temperatura deve ser controlado, para garantir a qualidade do produto final e a economia no processo. Em uma indústria de cerâmica, o forno é programado para elevar a temperatura ao longo do tempo de acordo com a função: 7 t 1 20, para 0 < t < 100 5 T(t) 5 2 2 16 t 2 t 1 320, para t > 100 125 5 em que T é o valor da temperatura atingida pelo forno, em graus Celsius, e t é o tempo, em minutos, decorrido desde o instante em que o forno é ligado. Uma peça deve ser colocada nesse forno quando a temperatura for 48 °C e retirada quando a temperatura for 200 °C. O tempo de permanência dessa peça no forno é, em minutos, igual a: a) 100
d) 130
b) 108
e) 150
c) 128
tempo
tempo
I
tempo
II
III
Sabe-se que a população da espécie A aumenta 20% ao ano, que a população da espécie B aumenta 100 pássaros ao ano e que a população da espécie C permanece estável ao longo dos anos. Assim, a evolução das populações das espécies A, B e C, ao longo do tempo, correspondem, respectivamente, aos gráficos a) I, III e II.
d) III, I e II.
b) II, I e III.
e) III, II e I.
c) II, III e I.
42. (UF-RJ) Um ponto P desloca-se sobre uma reta numerada, e sua posição (em metros) em relação à origem é dada, em função do tempo t (em segundos), por P(t) 5 2(1 2 t) 1 8t. 8 2
P(t)
a) Determine a posição do ponto P no instante inicial (t 5 0). 13
Funções
b) Determine a medida do segmento de reta correspondente ao conjunto dos pontos obtidos pela 3 variação de t no intervalo 0, . 2
43. (UF-PR) Um importante estudo a respeito de como se processa o esquecimento foi desenvolvido pelo alemão Hermann Ebbinghaus no final do século XIX. Utilizando métodos experimentais, Ebbinghaus determinou que, dentro de certas condições, o percentual P do conhecimento adquirido que uma pessoa retém após t semanas pode ser aproximado pela fórmula:
a)
b 7 5 2 a 5
b) se 3a 2 b 5 1, então a 5
8 5
c) a 5 2b b 52 a e) a 5 b 5 log 3
d)
47. (UF-PI) Sobre o domínio da função f: D R → R, definida pela lei f(x) 5 3 2 |x 1 2| , pode-se afirmar
P 5 (100 2 a) ? b 1 a,
que
sendo que a e b variam de uma pessoa para outra. Se essa fórmula é válida para um certo estudante, com a 5 20 e b 5 0,5, o tempo necessário para que o percentual se reduza a 28% será:
a) contém somente seis números inteiros.
t
a) entre uma e duas semanas. b) entre duas e três semanas. c) entre três e quatro semanas. d) entre quatro e cinco semanas. e) entre cinco e seis semanas.
44. (Fuvest-SP) Sejam f(x) 5 2x 2 9 e g(x) 5 x2 1 5x 1 3. A soma dos valores absolutos das raízes da equação f(g(x)) 5 g(x) é igual a: a) 4
d) 7
b) 5
e) 8
c) 6
45. (U.F. Juiz de Fora-MG) Uma pessoa aplicou uma quantia inicial em um determinado fundo de investimento. Suponha que a função F, que fornece o valor, em reais, que essa pessoa possui investido em relação ao tempo t, seja dada por: F(t) 5 100(1,2)t. O tempo t, em meses, é contado a partir do instante do investimento inicial.
b) possui dois inteiros positivos. c) é um intervalo de comprimento igual a seis unidades. d) não possui números racionais. e) é um conjunto finito.
48. (UF-MG) Um tipo especial de bactéria caracteriza-se por uma dinâmica de crescimento particular. Quando colocada em meio de cultura, sua população mantém-se constante por dois dias e, do terceiro dia em diante, cresce exponencialmente, dobrando sua quantidade a cada 8 horas. Sabe-se que uma população inicial de 1 000 bactérias desse tipo foi colocada em meio de cultura. Considerando essas informações, 1. CALCULE a população de bactérias após 6 dias em meio de cultura. 2. DETERMINE a expressão da população P, de bactérias, em função do tempo t em dias. 3. CALCULE o tempo necessário para que a população de bactérias se torne 30 vezes a população inicial. (Em seus cálculos, use log 2 5 0,3 e log 3 5 0,47.)
a) Qual foi a quantia inicial aplicada? b) Quanto essa pessoa teria no fundo de investimento após 5 meses da aplicação inicial?
49. (UF-RN) Em uma fábrica, o custo diário com matéria-
46. (UF-PI) Sejam a, b R, a 0, b 0, satisfazendo
prima, para produzir x unidades de um produto, é dado pela equação C(x) 5 10x. A quantidade de unidades produzidas desse produto, após t horas, 1 0 < t < 8, por sua vez, é dada por Q(t) 5 6t 2 t2. 2 a) Faça uma tabela com valores de C(x) para x igual a 10, 16 e 18, e uma tabela com valores de Q(t) para t igual a 2, 4 e 6, explicite os cálculos efetuados.
a equação 23a 1 b 5 3a.Considerando log 2 5 0,30 e log 3 5 0,48, é correto afirmar que
b) Construa o gráfico da função composta C(Q(t)), que corresponde ao custo em função das horas (t).
c) Utilizando os valores aproximados log10 2 5 0,3 e log10 3 5 0,48, quantos meses, a partir do instante do investimento inicial, seriam necessários para que essa pessoa possuísse, no fundo de investimento, uma quantia igual a R$ 2 700,00?
14
Matemática Volume Único
50. (UF-AM) O produto dos números naturais que satis-
Use:
x25 x fazem a inequação < é: x x25
e0,7 5 2; e1,6 5 5
a) 12
d) 2
a) 16 s
d) 18 s
b) 2
e) 1
b) 15 s
e) 19 s
c) 60
c) 14 s
51. (Uneb-BA) Considerando-se as funções reais
54. (UF-AL) A fórmula para medir a intensidade de um
f(x) 5 log3(x 1 1), g(x) 5 log2 x e h(x) 5 log 4x, podese afimar que o valor de f(26) 2 g(0,125) 1 h(25) é
dado terremoto na escala Richter é R 5 log10(I/I0), com I0 sendo a intensidade de um abalo quase imperceptível e I a intensidade de um terremoto dada em termos de um múltiplo de I0. Se um sismógrafo detecta um terremoto com intensidade I 5 32 000I0, qual a intensidade do terremoto na escala Richter? Indique o valor mais próximo.
01) 8
04) 22
02) 2
05) 23
03) 0
52. (UF-PA) Beber e dirigir é uma combinação perigosa, mas parece que o número de acidentes nas rodovias e estradas não está sendo suficiente para convencer os motoristas a abandonarem o volante depois de umas doses de álcool. Então, para evitar essa combinação perigosa, foi criada a chamada Lei 13, que determina a punição muito mais rigorosa para os condutores bêbados. Sobre a concentração de álcool (etanol) no organismo, um recente estudo científico concluiu que essa decai linearmente em função do tempo. Em outros termos, a concentração pode ser descrita por uma função do tipo C(t) 5 a ? t 1 b Após o consumo de certa quantidade de álcool, verifica-se que a concentração de álcool no sangue de uma pessoa, após uma hora e meia da ingestão, é de 113,9 mg/d,, e, após duas horas e meia da ingestão, é de 96,9 mg/d,. Sabendo-se que essa pessoa, consciente de suas responsabilidades, só voltará a dirigir quando a concentração de álcool em seu sangue for zero, quanto tempo após o consumo, no mínimo, ela deve esperar para voltar a dirigir? a) 8,2 horas
d) 7,9 horas
b) 2,0 horas
e) 8,6 horas
c) 9,7 horas
53. (UF-PB) Considere a vibração de uma corda elástica sob a resistência de uma força de atrito. O decaimento da energia total é descrito pela função E(t) 5 E0e2at, onde: t é o tempo, medido em segundos, a partir do instante inicial t0 5 0; a . 0 é uma constante real; e E0 é a energia inicial da corda. Considerando que em 7 segundos, a partir de t0, a energia da corda cai pela metade, o tempo necessário, para que a energia seja reduzida a 20% de E0, é:
Dado: use a aproximação log10 2 0,30. a) 3,0
d) 4,5
b) 3,5
e) 5,0
c) 4,0
55. (UF-MG) Uma fábrica vende determinado produto somente por encomenda de, no mínimo, 500 unidades e, no máximo, 3 000 unidades. O preço P, em reais, de cada unidade desse produto é fixado, de acordo com o número x de unidades encomendadas, por meio desta equação: P5
90, se 500 < x < 1 000. 100 2 0,01x, se 1 000 , x < 3 000.
O custo C, em reais, relativo à produção de x unidades desse produto é calculado pela equação C 5 60x 1 10 000 O lucro L apurado com a venda de x unidades desse produto corresponde à diferença entre a receita apurada com a venda dessa quantidade e o custo relativo à sua produção. Considerando essas informações, 1. ESCREVA a expressão do lucro L correspondente à venda de x unidades desse produto para 500 < x < 1 000 e para 1 000 , x , 3 000. 2. CALCULE o preço da unidade desse produto correspondente à encomenda que maximiza o lucro. 3. CALCULE o número mínimo de unidades que uma encomenda deve ter para gerar um lucro de, pelo menos, R$ 26 400,00.
56. (UF-AL) Associe aos gráficos a seguir, enumerados de 1 a 4, as funções correspondentes, que têm como 15
Funções
domínio e contradomínio o conjunto dos números reais, e assinale a sequência obtida, de cima para baixo. 1)
forme o gráfico a seguir. A função que representa a pressão P no interior do reservatório em um instante t (minutos) tem lei de correspondência: P(t)
2) 2
2
1,5
1,5
1
1
0,5
0,5
6 5 4 3
0 1 2 20,5
24 23 22 21
23 22 21
0
1
2
3
21
3)
0
4)
7
5
5
4
4
3
3
23 22
21
2
2
1
1
0
1
2
3
21
0
1
2
3
4
( ) y 5 |22x 2 1|
6
t
2 x 1 3 3 b) y 5 x 1 3 1 c) y 5 x 1 2 2 1 d) y 5 x 1 3 2 1 e) y 5 2 x 1 3 2
59. (UF-AM) Considere a função f: R → R dada por f(x) 5 |3x 2 2|.
( ) y 5 |x2 2 3x 1 2|
Com relação à função acima considere as afirmações:
( ) y 5 2 2 |x 1 1| ( ) y 5 |x|
I. f é injetora. II. O valor mínimo assumido por f é zero.
A sequência correta é: a) 3, 4, 1, 2
d) 1, 4, 3, 2
III. O gráfico de f intercepta o eixo y no ponto de coordenadas (0, 22).
b) 3, 2, 1, 4
e) 4, 1, 3, 2
IV. O gráfico de f é uma reta. V. f é uma função par.
c) 2, 3, 4, 1
57. (UF-PA) Uma das técnicas para datar a idade das árvores de grande porte da floresta amazônica é medir a quantidade do isótopo radioativo C14 presente no centro dos troncos. Ao tirar uma amostra de uma castanheira, verificou-se que a quantidade de C14 presente era de 84% da quantidade existente na atmosfera. Sabendo-se que o C14 tem decaimento exponencial e sua vida média é de 5 730 anos e considerando os valores de In(0.50) 5 20.69 e In(0.84) 5 20.17, podemos afirmar que a idade, em anos, da castanheira é aproximadamente a) 420
d) 1 430
b) 750
e) 1 700
c) 1 030
58. (UE-PB) Um reservatório contendo gás é aquecido, de modo que a pressão P no seu interior varia com o tempo e a partir de um determinado valor, con16
4
a) y 5
6
6
2
Então: a) Somente V é verdadeira. b) Somente I e II são falsas. c) Somente II é verdadeira. d) Somente III é verdadeira. e) Todas são falsas.
60. (UE-PI) As populações das cidades A e B crescem exponencialmente, com taxas anuais de crescimento de 3% e 2%, respectivamente. Se, hoje, a população de A é de 9 milhões de habitantes, e a de B é de 11 milhões, em quanto tempo, contado a partir de hoje, as populações das duas cidades serão iguais? Dados: use as aproximações In(1,03/1,02) 0,01 e In(11/9) 0,20. a) 2 anos
d) 15 anos
b) 6 anos
e) 20 anos
c) 10 anos
Matemática Volume Único
61. (UnB-DF) Em 1772, o matemático Euler observou
63. (UE-PI) Um fio de comprimento c deve ser dividido
que, ao se inserir os números inteiros de 0 a 39 na fórmula x2 1 x 1 41, obtém-se uma lista de 40 números primos. No plano de coordenadas cartesianas xOy considerando y 5 g(x) 5 x2 1 x 1 41, conclui-se que os pares (N, g(N)), para 0 < N < 39, pertencem a uma parábola que:
em dois pedaços, e os pedaços utilizados para formar o contorno de um quadrado e o de um hexágono regular.
a) intercepta o eixo das ordenadas em um número composto. b) ilustra uma função crescente no intervalo [0, 39]. c) intercepta o eixo das abscissas em dois números primos. d) tem vértice em um dos pares ordenados obtidos por Euler.
62. (UnB-DF) Pode-se determinar o instante da morte de um organismo utilizando-se a Lei de Resfriamento de Newton, segundo a qual a taxa da variação da temperatura de um corpo é proporcional à diferença entre as temperaturas do corpo e do meio externo. Nesse sentido, suponha que, na investigação de um homicídio, a temperatura do cadáver encontrado, em °C, t horas (h) após o óbito, seja dada pela função T 5 T(t) 5 22 1 10 e2kt, em que: t0 5 0 representa o instante em que o corpo foi encontrado; t , 0 corresponde, em módulo, à quantidade de horas decorridas antes da descoberta do cadáver; t . 0 representa a quantidade de horas decorridas desde a descoberta do corpo; e k é uma constante positiva. Admitindo que, nessa situação hipotética, na hora do óbito, a temperatura do corpo era de 37 °C e que, duas horas após a descoberta do corpo, a temperatura do corpo era de 25 °C e considerando In 2 5 0,7, In 3 5 1,1, In 5 5 1,6, julgue os itens seguintes. a) No instante em que o corpo foi descoberto, sua temperatura era inferior a 30 °C. b) A função T 5 T(t) é inversível e sua inversa é dada 1 10 por t 5 t(T) 5 In . k T 2 22 5 c) O valor de k, em h21 é superior a . 8 d) Com base nos dados, conclui-se que o óbito ocorreu 40 minutos antes da descoberta do cadáver. e) No sistema de coordenadas cartesianas tOT, o gráfico de T 5 T(t), válido a partir do momento em que o indivíduo morre, representa uma função decrescente que se inicia no 1º quadrante. f) À medida que t aumenta, T 5 T(t) tende a se aproximar da temperatura de 22 °C, mas nunca chega a atingi-la.
Se a divisão do fio deve ser tal que a soma das áreas do quadrado e do hexágono regular seja a menor possível, qual o perímetro do hexágono? a) (2 3 2 3)c
d) 3
c b) 2
e)
c) 2
c 6
2c 5
c 3
64. (UF-SE) Sejam f e g funções de R em R tais que f é do primeiro grau e g é definida por g(x) 5 x2 2 4x 2 5. A figura abaixo apresenta um esboço gráfico de f e g em um sistema de eixos cartesianos ortogonais. y
16
9
x
7
0
Use as informações dadas para analisar as sentenças seguintes. a) O vértice da parábola é o ponto (2, 23). b) Os gráficos de f e g interceptam o eixo das abscissas nos pontos (29, 0), (21, 0) e (5, 0). c) Em R, o conjunto solução da inequação g(x) < < f(x) é [22, 7]. d) O coeficiente angular da reta que representa f é igual a 1. e) Os gráficos das funções definidas por y 5 |f(x)| e y 5 |g(x)| têm três pontos comuns.
65. (UF-AM) Sejam f: R → R e g: R → R funções def in id as respectivamente por f(x) 5 3x 1 2 e g(x) 5 ax 1 b. Se (g f)(x) 5 (f g)(x), então, podemos concluir que: a) b 5 a 2 2
d) b 5 a 1 1
b) b 5 a 2 1
e) b 5 a 1 2
c) b 5 a
17
Funções
Funções Respostas 40. a) x > 0
1. 02 1 04 5 06 8. e
3
b) x 5 0 → √ 2
2. c 9. a
3
3. a
10. b
4. a
11. b
5. c
12. c
x 5 4 → √ 6 2 x59→ 81 41. e
6. d
13. c
42. a) 2 m
7. b
14. a
43. c
15. a) C (x) 5 0,4 ? x 1 30 (locadora Saturno) e 90, se 0 < x < 200 (locadora Mercúrio) C (x) 0,6 ? x 2 30, se x . 200
Custo de locação (R$)
x: número de quilômetros percorridos. Cm
210 190
Cs
b) 9 m
44. d
45. a) 100 reais b) aproximadamente R$ 249,00 c) 18 meses
46. a
47. c
48. 1) 4 096 bactérias 2) P(t) 5
90
1 000; se 0 < t < 2 1 000 ? 23(t 2 2); se t . 2
3) 3,63 dias
30 200
49. a)
400
Distância percorrida (km)
b) Saturno: 0 < x < 150 ou x > 300 Mercúrio: 150 < x < 300 R$ 0,30 por quilômetro rodado.
b)
16. c
18. 01 1 02 1 16 5 19
17. 02 1 04 1 08 5 14
19. d
x 10 16 18
C 100 160 180
t 2 4 6
Q 10 16 18
180
√ 2 e MB 5 2 1 √ 2 20. a) AM 5 2 2 2 2 b) AM 5 MB 5 2 21. c
23. d
25. d
22. b
24. c
26. b
27. a) S 5 {x R | x , 24 ou 0 , x , 4} b) S 5 {x R | 26 , x , 22 ou 2 , x , 6} c) S 5 {x R | 26 , x , 24 ou 22 , x , 0 ou 2 , x , 4 ou x . 6} 28. c
29. d 30. a) 346 m/s
b) 16 °C
0
6
12
50. a
53. a
51. 01
54. d
52. a 55. 1) L(x) 5
30x 2 10 000; se 500 < x < 1 000 20,01x2 1 40x 2 10 000; se 1 000 , x < 3 000
2) 80 reais
31. d
34. d
32. c
35. b
56. a
59. c
33. b
36. b
57. d
60. e
58. d
61. b
37. a) Salário: S(x) 5 42x 1 300 Cesta básica: C(x) 5 6x 1 154
62. a) F b) V c) F d) V e) F f) V
b) Em 2012
63. a
38. c 18
3) 1400 unidades
39. d
64. São verdadeiras: b, c, d.
65. b
Matemática Volume Único
Progressões 1. (Mackenzie-SP) Para que o produto dos termos da 2 3 4 n21 sequência (1, √ 3 , √ 3 , √ 3 , √ 3 ,..., √ 3 ) seja 314, deverão ser considerados, nessa sequência:
4. (PUC-RS) Devido à epidemia de gripe do último inverno, foram suspensos alguns concertos em lugares fechados. Uma alternativa foi realizar espetáculos em lugares abertos, como parques ou praças. Para uma apresentação, precisou-se compor uma plateia com oito filas, de tal forma que na primeira fila houvesse 10 cadeiras; na segunda, 14 cadeiras; na terceira, 18 cadeiras; e assim por diante. O total de cadeiras foi:
a) 8 termos b) 6 termos c) 10 termos d) 9 termos e) 7 termos
2. (UF-RS) Considere o padrão de construção representado pelos desenhos a seguir.
a) 384 b) 192 c) 168
d) 92 e) 80
Etapa 2
Etapa 1
Etapa 3
Na Etapa 1, há um único quadrado com lado 10. Na Etapa 2, esse quadrado foi dividido em quatro quadrados congruentes, sendo um deles retirado, como indica a figura. Na Etapa 3 e nas seguintes, o mesmo processo é repetido em cada um dos quadrados da etapa anterior. Nessas condições, a área restante na Etapa 6 será de: a) 100
1 4
5
1 3
6
b) 100
1 c) 100 3
5
3 4
6
d) 100
3 4
5
e) 100
mostra a sequência de figuras abaixo:
passo 1
quadrado original
passo 2
passo 3
No passo 1, metade do quadrado original é preenchido. No passo 2, metade da área não coberta no passo anterior é preenchida. No passo 3, metade da área não coberta nos passos anteriores é preenchida, e assim por diante. a) No passo 4, que percentual do quadrado original estará preenchido?
3. (FGV-SP) A soma dos 100 primeiros termos de uma progressão aritmética é 100, e a soma dos 100 termos seguintes dessa progressão é 200. A diferença entre o segundo e o primeiro termos dessa progressão, nessa ordem, é: a) 1024
d) 1021
b) 1023
e) 1
c) 1022
5. (UF-PR) Um quadrado está sendo preenchido como
b) Qual é o número mínimo de passos necessários para que 99,9% do quadrado original seja preenchido?
6. (UF-BA) Considerando-se as sequências (an) e (bn) definidas por: an 5 (21)n
b1 5 1 n2 e n12 bn 1 1 5 b n2 1 1 n11 n 19
Progressões
01) O produto de dois termos consecutivos quaisquer da sequência (an) é um número negativo. 02) Para qualquer n, tem-se 21 , an , 1. 04) A sequência (bn) é crescente. 1 08) Existe n tal que an 5 . 2 16) A sequência (bn) é uma progressão aritmética. 32) A sequência (an) é uma progressão geométrica de razão negativa.
7. (Unicamp-SP) Dois sites de relacionamento desejam aumentar o número de integrantes usando estratégias agressivas de propaganda. O site A, que tem 150 participantes atualmente, espera conseguir 100 novos integrantes em um período de uma semana e dobrar o número de novos participantes a cada semana subsequente. Assim, entrarão 100 internautas novos na primeira semana, 200 na segunda, 400 na terceira, e assim por diante. Por sua vez, o site B, que já tem 2 200 membros, acredita que conseguirá mais 100 associados na primeira semana e que, a cada semana subsequente, aumentará o número de internautas novos em 100 pessoas. Ou seja, 100 novos membros entrarão no site B na primeira semana, 200 entrarão na segunda, 300 na terceira, etc.
a) Quantos membros novos o site A espera atrair daqui a 6 semanas? Quantos associados o site A espera ter daqui a 6 semanas? b) Em quantas semanas o site B espera chegar à marca dos 10 000 membros?
8. (Unemat-MT) Dada uma PA cujo a1 é o quádruplo de sua razão e a20 é igual a 69, sua razão será:
a) 2 b) 6 c) 4 d) 5 e) 3
9. (Enem-MEC) Uma professora realizou uma atividade com seus alunos utilizando canudos de refrigerante para montar figuras, onde cada lado foi representado por um canudo. A quantidade de canudos (C) de cada figura depende da quantidade de quadrados (Q) que formam cada figura. A estrutura de formação das figuras está representada a seguir. Figura I
Figura II
Figura III
Que expressão fornece a quantidade de canudos em função da quantidade de quadrados de cada figura? a) C 5 4Q
d) C 5 Q 1 3
b) C 5 3Q 1 1
e) C 5 4Q 2 2
c) C 5 4Q 2 1
10. (UFF-RJ) Ao se fazer um exame histórico da presença africana no desenvolvimento do pensamento matemático, os indícios e os vestígios nos remetem à matemática egípcia, sendo o papiro de Rhind um dos documentos que resgatam essa história. Nesse papiro encontramos o seguinte problema:
AGB PHOTO/TPG
“Divida 100 pães entre 5 homens de modo que as partes recebidas estejam em progressão aritmética e que um sétimo da soma das três partes maiores seja igual à soma das duas menores.”
Papiro de Rhind
20
Matemática Volume Único Coube ao homem que recebeu a parte maior da divisão acima a quantidade de 115 pães 3 55 b) pães 6 a)
Fazendo a conversão para metros, a distância percorrida por Aquiles nessa fábula é igual a
d 5 10 1 1 1
c) 20 pães
1 1 1 1 2 1 ...5 10 1∑ n50 10 10 10
n
É correto afirmar que:
65 d) pães 6
a) d 5 1 b) d 5 11,11
e) 35 pães
11. (UEL-PR) A solução da equação logarítmica: 2
49
50
log x 1 log x 1 ... 1 log x 1 log x 5 2 550 3
esse milímetro, a tartaruga um décimo de milímetro, e assim infinitamente, de modo que Aquiles pode correr para sempre, sem alcançá-la.
3
3
3
c) d 5
d) d 5 12
é: e) d 5
a) x 5 1 b) x 5 3
91 9
100 9
14. (CP2-MEC-RJ) Qual é o próximo número da sequência
c) x 5 9 d) x 5 log 1 275 3
e) x 5 log 2 550
abaixo? 18, 15, 30, 26, 42, 37, 54, _____
3
12. (UF-RS) Na sequência 1, 3, 7, 15..., cada termo, a
15. (Unemat-MT) Lança-se uma bola, verticalmente de
partir do segundo, é obtido adicionando-se uma unidade ao dobro do termo anterior. O 13º termo dessa sequência é:
cima para baixo, da altura de 4 metros. Após cada
11
a) 2 2 1 11
b) 2 1 1 12
c) 2 2 1 12
d) 2 1 1 13
e) 2 2 1
choque com o solo, ela recupera apenas anterior.
A soma de todos os deslocamentos (medidos verticalmente) efetuados pela bola até o momento de repouso é: a) 12 m b) 6 m
13. (UFF-RJ) Com o objetivo de criticar os processos infi-
c) 8 m
nitos, utilizados em demonstrações matemáticas de sua época, o filósofo Zenão de Eleia (século V a.C.) propôs o paradoxo de Aquiles e a tartaruga, um dos paradoxos mais famosos do mundo matemático.
d) 4 m
Existem vários enunciados do paradoxo de Zenão. O escritor argentino Jorge Luis Borges o apresenta da seguinte maneira: Aquiles, símbolo de rapidez, tem de alcançar a tartaruga, símbolo de morosidade. Aquiles corre dez vezes mais rápido que a tartaruga e lhe dá dez metros de vantagem. Aquiles corre esses dez metros, a tartaruga corre um; Aquiles corre esse metro, a tartaruga corre um decímetro; Aquiles corre esse decímetro, a tartaruga corre um centímetro; Aquiles corre esse centímetro, a tartaruga um milímetro; Aquiles corre
1 da altura 2
e) 16 m
16. (UE-RJ) Um jogo com dois participantes, A e B, obedece às seguintes regras: – antes de A jogar uma moeda para o alto, B deve adivinhar a face que, ao cair, ficará voltada para cima, dizendo “cara” ou “coroa”; – quando B errar pela primeira vez, deverá escrever, em uma folha de papel, a sigla UERJ uma única vez; ao errar pela segunda vez, escreverá UERJUERJ, e assim sucessivamente; – em seu enésimo erro, B escreverá n vezes a mesma sigla. 21
Progressões
Veja o quadro que ilustra o jogo: Ordem de erro
Letras escritas
1º
UERJ
2º 3º
UERJUERJUERJ
4º
UERJUERJUERJUERJ
UERJUERJ
nº
UERJUERJUERJUERJ. . .UERJ
O jogo terminará quando o número total de letras escritas por B, do primeiro ao enésimo erro, for igual a dez vezes o número de letras escritas, considerando apenas o enésimo erro. Determine o número total de letras que foram escritas até o final do jogo.
17. (Unifesp-SP) Progressão aritmética é uma sequência de números tal que a diferença entre cada um desses termos (a partir do segundo) e o seu antecessor é constante. Essa diferença constante é chamada “razão da progressão aritmética” e usualmente indicada por r. a) Considere uma PA genérica finita (a1, a2, a3, ..., an) de razão r, na qual n é par. Determine a fórmula da soma dos termos de índice par dessa PA, em função de a1, n e r. b) Qual a quantidade mínima de termos para que a soma dos termos da PA (2224, 2220, 216, ...) seja positiva?
18. (UF-PB) Em uma determinada plataforma marítima, foram extraídos 39 960 barris de petróleo, em um período de 24 horas. Essa extração foi feita de maneira que, na primeira hora, foram extraídos x barris e, a partir da segunda hora, r barris a mais do que na hora anterior. Sabendo-se que, nas últimas 9 horas desse período, foram extraídos 18 360 barris, o número de barris extraídos, na primeira hora, foi:
b) b1, b2, b3,... forma uma progressão aritmética de razão 4r. c) b1, b2, b3,... forma uma progressão aritmética cuja razão não depende de r. d) b1, b2, b3,... não forma, necessariamente, nem uma progressão aritmética nem uma progressão geométrica. e) b1, b2, b3,... independentemente do valor de r, formam uma sequência que é tanto uma progressão aritmética quanto uma progressão geométrica.
20. (UF-RN) A corrida de São Silvestre, realizada em São Paulo, é uma das mais importantes provas de rua disputadas no Brasil. Seu percurso mede 15 km. João, que treina em uma pista circular de 400 m, pretende participar dessa corrida. Para isso, ele estabeleceu a seguinte estratégia de treinamento: correrá 7 000 m na primeira semana; depois, a cada semana, aumentará 2 voltas na pista, até atingir a distância exigida na prova. a) A sequência numérica formada pela estratégia adotada por João é uma progressão geométrica ou uma progressão aritmética? Justifique sua resposta. b) Determine em que semana do treinamento João atingirá a distância exigida na prova.
21. (UE-PB) Se o segundo dos cinco meios aritméticos inseridos entre a e b foi 21 e o último foi 12, então b 21 está no intervalo real: o valor de a a) [2, 4[ d) ]21, 0] b) [1, 3[
e) ]0, 2[
c) [4, 6]
22. (UF-AM) Considere os inteiros positivos dispostos em uma sequência infinita de “quadrados” formados por quatro linhas e quatro colunas, representados a seguir:
a) 1 180
d) 1 190
1
2
3
4
17
18
19
20
b) 1 020
e) 1 090
5
6
7
8
21
22
23
24
9
10
11
12
25
26
27
28
13
14
15
16
29
30
31
32
c) 1 065
19. (UPE-PE) Considere uma progressão aritmética infinita de números reais da forma a1, a2, a3,... com razão r. Formando a sequência b1, b2, b3,... na qual bn 5 a4n, n 5 1, 2, 3,..., é CORRETO afirmar que, necessariamente, 22
a) b1, b2, b3,... forma uma progressão geométrica de razão 4r.
...
Em qual linha e coluna de um determinado quadrado desta sequência está localizado o número 2009? a) 1ª linha e 3ª coluna b) 3ª linha e 1ª coluna
Matemática Volume Único e) No quarto passo da construção, será obtido o fractal de nível IV, com a forma ilustrada a seguir:
c) 4ª linha e 2ª coluna d) 2ª linha e 4ª coluna e) 4ª linha e 1ª coluna
23. (UE-PI) Três números reais positivos formam uma progressão aritmética, e outros três formam uma progressão geométrica. Multiplicando os termos da progressão geométrica obtém-se 123. Adicionando os termos correspondentes nas duas progressões obtemos a sequência 50, 17 e 11. Qual a razão da progressão aritmética? 1 3 b) 2
c)
f) Caso o fractal de nível V seja cortado ao longo de uma reta que bissecta o ângulo interno inferior esquerdo do quadradinho localizado no canto inferior esquerdo, as duas partes obtidas serão congruentes, o que mostra ser essa estrutura simétrica em relação a essa reta.
d) 3
a)
e)
1 2
1 5
24. (UnB-DF)
g) O fractal de nível II pode ser considerado uma planificação de um poliedro convexo de 9 faces.
25. (UF-PI) Ao largar-se uma bola de uma altura de 5 m nível I
nível II
nível III
A sequência de figuras acima ilustra 3 passos da construção de um fractal utilizando-se como ponto de partida um triminó – nível I –, que consiste em uma peça formada por três quadrinhos de 1 cm de lado cada, justapostos em forma de L. No segundo passo, substitui-se cada quadradinho do fractal de nível I por um triminó, que tem os comprimentos dos lados de seus quadradinhos adequadamente ajustados à situação, de forma a se obter o fractal de nível II, conforme ilustrado acima. No terceiro passo, obtém-se, a partir do fractal de nível II, também substituindo-se cada um de seus quadrinhos ajustados, o fractal de nível III. O processo continua dessa forma, sucessiva e indefinidamente, obtendo-se os fractais de níveis n 5 I, II, III, ... . Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem. a) No fractal de nível n, há 3n quadradinhos sombreados. b) O perímetro externo do fractal de nível VI é igual a 8 cm. c) A área do fractal de nível V correspondente aos quadradinhos sombreados é superior a 1 cm2. d) À medida que n cresce, a área do fractal de nível n correspondente aos quadradinhos sombreados aproxima-se cada vez mais de 1 cm2.
sobre uma superfície plana, observa-se que, devido a seu peso, a cada choque com o solo, ela recupera 3 apenas da altura anterior. Admitindo-se que o 8 deslocamento da bola ocorra somente na direção vertical, qual é o espaço total percorrido pela bola pulando para cima e para baixo? a) 6 m
d) 18 m
b) 11 m
e) 19 m
c) 15 m
26. (UF-PA) O estudo dos logaritmos teve origem na análise de relações entre progressões aritméticas e progressões geométricas. Considerando que a tabela abaixo, incompleta, apresenta uma PA e uma PG com o mesmo número de termos, determine o último termo, X, da PG. PA
0
0,5
1
1,5
6
PG
1
2
4
8
X
A alternativa correta é: a) 500 b) 1 024 c) 3 216 d) 4 096 e) 10 128
23
Progressões
Progressões Respostas 1. a 2. e
n (n ? r 1 2 a1) 4 b) 114 termos
17. a)
3. c
18. e
4. b
19. b
5. a) 93,75%
20. a) PA de razão 800
b) n 5 10
b) 11ª semana
6. 01 1 02 1 04 1 16 5 23
21. a
7. a) 3 200 novos participantes e no total 6 450.
22. b
b) 12 semanas.
23. d
8. e
24. a) V
9. b
b) V
10. a
c) F
11. c 12. e 13. e
d) F e) V f) V g) F
14. 48
25. b
15. a
26. d
16. 760 letras
24
Matemática Volume Único
Matemática comercial e financeira 1. (UF-PR) Luiz Carlos investiu R$ 10 000,00 no mer-
4. (Unicamp-SP) Segundo o IBGE, nos próximos anos, a
cado financeiro da seguinte forma: parte no fundo de ações, parte no fundo de renda fixa e parte na poupança. Após um ano ele recebeu R$ 1 018,00 em juros simples dos três investimentos. Nesse período de um ano, o fundo de ações rendeu 15%, o fundo de renda fixa rendeu 10% e a poupança rendeu 8%.
participação das gerações mais velhas na população do Brasil aumentará. O gráfico a seguir mostra uma estimativa da população brasileira por faixa etária, entre os anos de 2010 e 2050. Os números apresentados no gráfico indicam a população estimada, em milhões de habitantes, no início de cada ano. Considere que a população varia linearmente ao longo de cada década.
Sabendo que Luiz Carlos investiu no fundo de ações apenas metade do que ele investiu na poupança, os juros que ele obteve em cada um dos investimentos foram: a) R$ 270,00 no fundo de ações, R$ 460,00 no fundo de renda fixa e R$ 288,00 na poupança. b) R$ 300,00 no fundo de ações, R$ 460,00 no fundo de renda fixa e R$ 258,00 na poupança. c) R$ 260,00 no fundo de ações, R$ 470,00 no fundo de renda fixa e R$ 288,00 na poupança.
a) Com base nos valores fornecidos no gráfico, calcule exatamente em que ano o número de habitantes com 60 anos ou mais irá ultrapassar o número de habitantes com até 17 anos. (Atenção: não basta encontrar um número aproximado a partir do gráfico. É preciso mostrar as contas). b) Determine qual será, em termos percentuais, a variação da população total do país entre 2040 e 2050. 140
d) R$ 260,00 no fundo de ações, R$ 480,00 no fundo de renda fixa e R$ 278,00 na poupança.
2. (Cefet-MG) Uma loja de eletrodomésticos publicou o seguinte anúncio: “Compre uma geladeira por R$ 950,00 para pagamento em 30 dias, ou à vista, com um desconto promocional de 20%”. Se um cliente optar pela compra com pagamento em 30 dias, a taxa de juros a ser paga, ao mês, é: a) 20%
b) 22%
c) 25%
d) 28%
3. (Fatec-SP) Uma empresa decidiu trocar todos os seus computadores e aparelhos de telefone celular utilizados por seus funcionários. Após a troca, fez um levantamento do destino dado a esses equipamentos e constatou que 75% do total de equipamentos foram para a reciclagem, sendo que os computadores correspondiam a 60% do total de equipamentos e que 20% do total de telefones celulares não foram para a reciclagem.
131
127 116
115 População (em milhões)
e) R$ 270,00 no fundo de ações, R$ 430,00 no fundo de renda fixa e R$ 318,00 na poupança.
127
120 100 80 60
64
59
52
40
52
45 40
40
2030
2040
35
28
20 19 0 2010
2020
2050
Ano Legenda:
0 a 17 anos
18 a 59 anos
60 anos ou mais
5. (Fuvest-SP) O Índice de Massa Corporal (IMC) é o número obtido pela divisão da massa de um indivíduo adulto, em quilogramas, pelo quadrado da altura, medida em metros. É uma referência adotada pela Organização Mundial de Saúde para classificar um indivíduo adulto, com relação ao seu peso e altura, conforme a tabela a seguir. IMC
Classificação
Com base nesses dados sobre o total de equipamentos, pode-se concluir que a porcentagem de computadores que foram para a reciclagem corresponde a
até 18,4
Abaixo do peso
de 18,5 a 24,9
Peso normal
de 25,0 a 29,9
Sobrepeso
a) 18%
d) 37%
de 30,0 a 34,9
Obesidade grau 1
e) 43%
de 35,0 a 39,9
Obesidade grau 2
a partir de 40,0
Obesidade grau 3
b) 25% c) 30%
25
Matemática comercial e financeira
Levando em conta esses dados, considere as seguintes afirmações:
8. (UFF-RJ) O Índice de Liberdade Econômica (Index of Economic Freedom) é um indicador elaborado pelo The Wall Street Journal e The Heritage Foundation, que avalia o grau de liberdade econômica de um país. Esse índice varia de zero a cem. Quanto maior o seu valor, maior a “liberdade econômica” do país. Tal índice é uma média da liberdade econômica em dez âmbitos: negócios; comércio; liberdade fiscal; intervenção do governo; monetário; investimentos; financeiro; corrupção; trabalho; direitos de propriedade. A tabela a seguir fornece os índices de quatro países, no período de 2000 a 2009, e suas respectivas posições no ranking em 2009 (ano em que 179 países foram avaliados).
I. Um indivíduo adulto de 1,70 m e 100 kg apresenta Obesidade Grau 1. II. Uma das estratégias para diminuir a obesidade na população é aumentar a altura média de seus indivíduos por meio de atividades físicas orientadas para adultos. III. Uma nova classificação que considere obesos somente indivíduos com IMC maior que 40 pode diminuir os problemas de saúde pública. Está correto o que se afirma somente em: a) I
b) II
c) III
d) I e II
e) I e III
6. (UF-RS) Alguns especialistas recomendam que, para um acesso confortável aos bebedouros por parte de crianças e usuários de cadeiras de rodas, a borda desses equipamentos esteja a uma altura de 76,2 cm do piso, como indicado na figura a seguir.
Posição em 2009
País
1
Hong Kong
6 105 179
Índice de Liberdade Econômica 2009 2008 2007 2006 2005 2004 2003 2002 2001 2000 90,0 89,7 89,9 88,6 89,5 90,0 89,8 89,4 89,9 89,5
Estados 80,7 81,0 81,2 81,2 79,9 78,7 78,2 78,4 79,1 76,4 Unidos Brasil
56,7 56,2 56,2 60,9 61,7 62,0 63,4 61,5 61,9 61,1
Coreia 2,0 do Norte
3,0
3,0
4,0
8,0
8,9
8,9
8,9
8,9
8,9
Fonte: http://www.heritage.org/Index/Explore.aspx? view=by-region-country-year
Fernando Monteiro
Com base nessa tabela, pode-se afirmar que o índice de liberdade econômica do Brasil: a) teve um aumento superior a 1%, do ano de 2000 para o ano de 2001. b) teve um decréscimo de 0,1%, no período de 2001 a 2004.
a) 5%
b) 10% c) 15% d) 20% e) 25%
7. (UF-RS) Entre julho de 1994 e julho de 2009, a inflação acumulada pela moeda brasileira, o real, foi de 244,15%. Em 1993, o Brasil teve a maior inflação anual de sua história. A revista Veja de 08/07/2009 publicou uma matéria mostrando que, com uma inflação anual como a de 1993, o poder de compra de 2 000 reais se reduziria, em um ano, ao poder de compra de 77 reais. Dos valores a seguir, o mais próximo do percentual que a inflação acumulada entre julho de 1994 e julho de 2009 representa em relação à inflação anual de 1993 é: a) 5% 26
b) 10% c) 11% d) 13% e) 15%
d) teve um decréscimo de 30%, do ano de 2004 para o ano de 2005. e) cresceu, ano a ano, no período de 2003 a 2008.
9. (FGV-SP) Um supermercado fez a seguinte oferta para a compra de determinada marca de suco de laranja em caixa de 1litro:
R$ 3,60 Thinkstock/ Getty Images
Um bebedouro que tenha sido instalado a uma altura de 91,4 cm do piso à borda excedeu a altura recomendada. Dentre os percentuais a seguir, o que mais se aproxima do excesso em relação à altura recomendada é:
c) teve um aumento superior a 13%, do ano de 2003 para o ano de 2008.
Compre 6 e lhe damos 2 a mais
Expresse, em porcentagem, o desconto obtido por unidade em relação ao preço original, para quem comprar 8 sucos de laranja.
Matemática Volume Único
10. (FGV-SP) O gráfico a seguir fornece o Índice da Bolsa de Valores de São Paulo (IBovespa) nos finais dos anos 2000 (ano 0), 2001 (ano 1) até 2008 (ano 8). 70 000 63 886
Índice Bovespa
60 000 50 000 33 455
30 000
22 236
20 000
37 550
26 196
15 259 11 268
13 577
10 000 0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Ano
Considerando o menor e o maior valor observados do índice, o aumento porcentual em relação ao menor valor foi de aproximadamente: a) 170% b) 270% c) 370% d) 470% e) 570%
11. (UF-CE) Uma garrafa está cheia de uma mistura, na 2 qual do conteúdo é composto pelo produto A e 3 1 pelo produto B. Uma segunda garrafa, com o 3 dobro da capacidade da primeira, está cheia de uma mistura dos mesmos produtos da primeira garrafa, 3 sendo agora do conteúdo composto pelo produto 5 2 A e pelo produto B. O conteúdo das duas garrafas 5 é derramado em uma terceira garrafa, com o triplo da capacidade da primeira. Que fração do conteúdo da terceira garrafa corresponde ao produto A? a)
10 15
d)
17 45
b)
5 15
e)
3 8
c)
28 45
12. (PUC-RJ) Duas torneiras jogam água em um reservatório, uma na razão de 1 m³ por hora e a outra na razão de 1 m³ a cada 6 horas. Se o reservatório tem 14 m³, em quantas horas ele estará cheio? a) 8
d) 14
b) 10
e) 16
c) 12
de um financiamento, a ser paga daqui a n meses, é dado pela fórmula a seguir, em que r é o percentual mensal de juros (0 < r < 100) e p é o valor da parcela. Vp 5
44 473
40 000
13. (Unicamp-SP) O valor presente, Vp, de uma parcela
p n
1 1 100r
a) Suponha que uma mercadoria seja vendida em duas parcelas iguais de R$ 200,00, uma a ser paga à vista, e outra a ser paga em 30 dias (ou seja, 1 mês). Calcule o valor presente da mercadoria, Vp, supondo uma taxa de juros de 1% ao mês. b) Imagine que outra mercadoria, de preço 2p, seja vendida em duas parcelas iguais a p, sem entrada, com o primeiro pagamento em 30 dias (ou seja, 1 mês) e o segundo em 60 dias (ou 2 meses). Supondo, novamente, que a taxa mensal de juros é igual a 1%, determine o valor presente da mercadoria, Vp, e o percentual mínimo de desconto que a loja deve dar para que seja vantajoso, para o cliente, comprar à vista.
14. (UF-ES) Num país longínquo, a tributação sobre a venda de veículos novos é feita por meio de um imposto único de 8%, que incide sobre o valor de venda estipulado pelas concessionárias. O preço final de um veículo ao consumidor é o valor estipulado pelas concessionárias acrescido dos 8% de imposto, que as concessionárias então repassam ao governo. Como as vendas vinham caindo muito, em decorrência da crise mundial, o governo resolveu reduzir temporariamente esse imposto para 4%. a) Determine a queda percentual no preço final de um veículo novo ao consumidor. Essa queda depende do preço de venda estipulado pelas concessionárias? Justifique a sua resposta. b) A redução do imposto veio acompanhada de um acréscimo de 20% nas vendas, o que não impediu que o governo perdesse receita. Determine a queda percentual da receita do governo advinda do imposto sobre a venda de veículos novos. c) Ao invés de reduzir o imposto para 4%, o governo poderia ter reduzido o imposto para x%. Admitindo que, com a redução do imposto para x%, houvesse um aumento de 5(8 − x)% nas vendas, o governo arrecadaria uma fração f(x) do que arrecadava antes. Determine f(x), 0 < x < 8, e esboce o gráfico de f. 27
Matemática comercial e financeira
15. (UF-TO) Uma TV de plasma com 20% de desconto é vendida por R$ 2 500,00. O preço da TV sem desconto é: a) R$ 3 125,00 b) R$ 3 000,00 c) R$ 2 800,00 d) R$ 3 100,00 e) R$ 3 500,00
16. (Unemat-MT) Sr. José, residente em um município do Estado de Mato Grosso, verificou na fatura da rede de energia que a alíquota de ICMS para o seu Estado é de 25%. Em determinado mês, a fatura de Sr. José acusou um total (consumo + ICMS) de R$ 199,00 a ser pago. Assinale a alternativa correta. a) Deste total, R$ 49,75 é referente ao ICMS. b) Retirando-se a quantia cobrada como ICMS, Sr. José pagará o valor de R$ 149,25. c) O valor a ser pago pelo Sr. José, sem o ICMS, representa 75% do total apresentado na fatura. d) De acordo com a alíquota do Mato Grosso, do total apresentado na fatura de R$ 199,00, 25% são referentes ao ICMS. e) No referido mês, Sr. José pagará a quantia de R$ 39,80, referente ao ICMS.
17. (PUC-PR) O senhor Rogério economiza dinheiro para seu futuro, faz isto guardando R$ 50,00 por mês em um cofre dentro de sua casa. O senhor Mauricio também economiza dinheiro para seu futuro e também guarda R$ 50,00 por mês, só que Mauricio guarda na poupança, que rende 0,5% ao mês. Rogério tem atualmente R$ 500,00 e Mauricio R$ 100,25.
Considerando que a situação descrita não sofrerá qualquer alteração, pode-se afirmar: a) Mauricio nunca terá mais dinheiro que Rogério. b) O dinheiro de Rogério aumenta em PG e o de Mauricio em PA. c) Em cinco anos Mauricio terá mais dinheiro que Rogério. d) Se Rogério, em vez de guardar R$ 50,00 por mês, passar a guardar R$ 51,00 por mês, Mauricio nunca terá mais dinheiro que Rogério. e) Nenhuma das alternativas anteriores.
18. (UE-CE) Renato contratou um empréstimo de R$ 1 400,00, para pagar um mês depois, com juros de 15% ao mês. Ao final do mês, não podendo pagar o total, deu por conta apenas R$ 750,00 e, para o restante, firmou um novo contrato nas mesmas bases do anterior, o qual foi pago integralmente um mês depois. O valor do último pagamento foi: a) R$ 889,00. b) R$ 939,00. c) R$ 989,00. d) R$ 1 009,00.
19. (UE-CE) Quatro amigos fundaram uma empresa com capital inicial K. Um deles participou com a terça parte, outro com a sexta parte, o terceiro com 20% e o último com R$ 1 029 000,00. O valor de K situa-se entre: a) R$ 3 000 000,00 e R$ 3 150 000,00. b) R$ 3 100 000,00 e R$ 3 250 000,00. c) R$ 3 200 000,00 e R$ 3 350 000,00. d) R$ 3 300 000,00 e R$ 3 450 000,00.
Ziraldo
20. (UE-RJ)
A definição apresentada pelo personagem não está correta, pois, de fato, duas grandezas são inversamente proporcionais quando, ao se multiplicar o valor de uma delas por um número positivo, o valor da outra é dividido por esse mesmo número. 28
Matemática Volume Único Admita que a nota em matemática e a altura do personagem da tirinha sejam duas grandezas, x e y, inversamente proporcionais.
24. (Enem-MEC) O jornal de certa cidade publicou em uma página inteira a seguinte divulgação de seu caderno de classificados.
A relação entre x e y pode ser representada por: a) y 5
3 x2
c) y 5
2 x11
b) y 5
5 x
d) y 5
2x 1 4 3
26 mm 4% x mm
outros jornais
96% Pessoas que consultam nossos classificados
21. (FGV-SP) Sandra fez uma aplicação financeira, comprando um título público que lhe proporcionou, após um ano, um montante de R$ 10 000,00. A taxa de juros da aplicação foi de 10% ao ano. Podemos concluir que o juro auferido na aplicação foi: a) R$ 1 000,00
d) R$ 909,09
b) R$ 1 009,09
e) R$ 800,00
260 mm
c) R$ 900,00
22. (FGV-SP) Em uma escola, a razão entre o número de alunos e o de professores é de 50 para 1. Se houvesse mais 400 alunos e mais 16 professores, a razão entre o número de alunos e o de professores seria de 40 para 1. Podemos concluir que o número de alunos da escola é: a) 1 000
d) 1 150
b) 1 050
e) 1 200
23. (Enem-MEC) Os dados do gráfico foram coletados por meio da Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios.
44
42
Centro-Oeste
Possuíam Não possuíam
58 38
Sul
36
62
56
Sudeste
64
Nordeste
37
Norte
Porcentagem (%)
Estudantes que possuem telefone móvel celular com idade de 10 anos ou mais 63
Regiões brasileiras
Fonte: IBGE. Disponível em http://www.ibge.gov.br. Acesso em: 28 abr. 2010 (adaptado).
Supondo-se que, no Sudeste, 14 900 estudantes foram entrevistados nessa pesquisa, quantos deles possuíam telefone móvel celular? a) 5 513
d) 8 344
b) 6 556
e) 9 536
c) 7 450
Para que a propaganda seja fidedigna à porcentagem da área que aparece na divulgação, a medida do lado do retângulo que representa os 4% deve ser de aproximadamente: a) 1 mm
d) 160 mm
b) 10 mm
e) 167 mm
c) 17 mm
25. (Enem-MEC) Uma empresa possui um sistema de
c) 1 100
70 60 50 40 30 20 10 0
400 mm
controle de qualidade que classifica o seu desempenho financeiro anual, tendo como base o do ano anterior. Os conceitos são: insuficiente, quando o crescimento é menor que 1%; regular, quando o crescimento é maior ou igual a 1% e menor que 5%; bom, quando o crescimento é maior ou igual a 5% e menor que 10%; ótimo, quando é maior ou igual a 10% e menor que 20%; e excelente, quando é maior ou igual a 20%. Essa empresa apresentou lucro de R$ 132 000,00 em 2008 e de R$ 145 000,00 em 2009. De acordo com esse sistema de controle de qualidade, o desempenho financeiro dessa empresa no ano de 2009 deve ser considerado: a) insuficiente
d) ótimo
b) regular
e) excelente
c) bom
26. (Enem-MEC) Um grupo de pacientes com Hepatite C foi submetido a um tratamento tradicional em que 40% desses pacientes foram completamente curados. Os pacientes que não obtiveram cura foram distribuídos em dois grupos de mesma quantidade e submetidos a dois tratamentos inovadores. No primeiro tratamento inovador, 35% dos pacientes foram curados e, no segundo, 45%. 29
Matemática comercial e financeira
Em relação aos pacientes submetidos inicialmente, os tratamentos inovadores proporcionaram cura de: a) 16%
d) 48%
b) 24%
e) 64%
30. (UF-PI) Aumentar o preço de um produto em 15% e, em seguida, conceder um desconto de 10% equivale a
c) 32%
27. (UF-PR) O gráfico abaixo representa a velocidade de
Velocidade (km/h)
um veículo durante um passeio de três horas, iniciado às 13h00.
a) permanecer com o preço original. b) ter um prejuízo de 1% em relação ao preço original. c) ter um ganho de 3,5% em relação ao preço original.
65
d) ter um prejuízo de 5% em relação ao preço original.
60
e) ter um ganho de 7% em relação ao preço original.
55
31. (UF-AL) Dois eletrodomésticos foram comprados por
50 45 40 35 13h00
14h00
15h00
16h00
tempo
De acordo com o gráfico, o percentual de tempo nesse passeio em que o veículo esteve a uma velocidade igual ou superior a 50 quilômetros por hora foi de: a) 20%
d) 45%
b) 25%
e) 50%
c) 30%
28. (UE-GO) A fazenda do João da Rosa produz, em média, 80 litros de leite por dia. Desse leite, 65% são utilizados na fabricação de queijos que são vendidos a R$ 7,50 o quilo, e o restante é vendido no laticínio da cidade a R$ 0,75 o litro. Se, a cada 8 litros de leite, João fabrica 1 quilo de queijo, a arrecadação mensal de João da Rosa com a venda dos queijos e do leite será a) menor que 1 946 reais. b) maior que 2 200 e menor que 2 275 reais. c) maior que 1 987 e menor que 2 000 reais. d) maior que 1 950 e menor que 2 170 reais.
29. (UE-GO) Uma pequena empresa foi aberta em sociedade por duas pessoas. O capital inicial aplicado por elas foi de 30 mil reais. Os sócios combinaram que os lucros ou prejuízos que eventualmente viessem a ocorrer seriam divididos em partes proporcionais aos capitais por eles empregados. No momento da apuração dos resultados, verificaram que a empresa apresentou lucro de 5 mil reais. A partir dessa constatação, um dos sócios retirou 14 mil reais, que correspondia à parte do lucro devida a ele e ainda o total do capital por ele empregado na abertura da 30
empresa. Determine o capital que cada sócio empregou na abertura da empresa.
um total de R$ 3 500,00. Se um desconto de 10% fosse dado no preço do primeiro eletrodoméstico e um desconto de 8% fosse dado no preço do segundo, o preço total dos eletrodomésticos seria de R$ 3 170,00. Quanto se pagou pelo primeiro eletrodoméstico? a) R$ 2 400,00
d) R$ 2 650,00
b) R$ 2 500,00
e) R$ 2 700,00
c) R$ 2 600,00
32. (UF-GO) Um pecuarista deseja fazer 200 kg de ração com 22% de proteína, utilizando milho triturado, farelo de algodão e farelo de soja. Admitindo-se que o teor de proteína do milho seja 10%, do farelo de algodão seja 28% e do farelo de soja seja 44%, e que o produtor disponha de 120 kg de milho, calcule as quantidades de farelo de soja e farelo de algodão que ele deve adicionar ao milho para obter essa ração.
33. (UF-GO) Segundo uma reportagem publicada na Folha on-line (31/08/2009), a chamada camada présal é uma faixa que se estende, abaixo do leito do mar, ao longo dos estados de Espírito Santo e Santa Catarina e engloba três bacias sedimentares. O petróleo encontrado nessa área está a profundidades que superam os 7 000 m, abaixo de uma extensa camada de sal, e sua extração colocaria o Brasil entre os dez maiores produtores do mundo. Para extrair petróleo da camada pré-sal, a Petrobras já perfurou poços de petróleo a uma profundidade de 7 000 m, o que representa um aumento de 582% em relação à profundidade máxima dos poços perfurados em 1994. De acordo com essas informações, calcule a profundidade máxima de um poço de petróleo perfurado pela Petrobras, no ano de 1994.
Matemática Volume Único
34. (UE-PI) Maria comprou uma blusa e uma saia em uma promoção. Ao término da promoção, o preço da blusa aumentou de 30%, e o da saia de 20%. Se comprasse as duas peças pelo novo preço, pagaria no total 24% a mais. Quanto mais caro foi o preço da saia em relação ao preço da blusa?
elétrica presente na produção de alumínio primário foi de aproximadamente: a) 60%
d) 363%
b) 263%
e) 160%
c) 482%
a) 42%
d) 48%
37. (Uneb-BA) Uma empresa produz e comercializa um
b) 44%
e) 50%
determinado equipamento K. Desejando-se aumentar em 40% seu faturamento com as vendas de K, a produção desse equipamento deve aumentar em 30% e o preço do produto também deve sofrer um reajuste.
c) 46%
35. (UF-MG) Um banco oferece dois planos para pagamento de um empréstimo de R$ 10 000,00, em prestações mensais iguais e com a mesma taxa mensal de juros:
Para que a meta seja atingida, estima-se um reajuste mínimo aproximado de a) 5,6%
d) 8,6%
• no Plano 1, o período é de 12 meses; e
b) 6,3%
e) 9,8%
• no Plano 2, o período é de 24 meses. Contudo a prestação de um desses planos é 80% maior que a prestação do outro.
c) 7,7%
1. Considerando essas informações, DETERMINE em qual dos dois planos – Plano 1 ou Plano 2 – o valor da prestação é maior. 2. Suponha que R$ 10 000,00 são investidos a uma taxa de capitalização mensal igual à taxa mensal de juros oferecida pelo mesmo banco. CALCULE o saldo da aplicação desse valor ao final de 12 meses.
36. (UF-PA) A tabela abaixo fornece os dados sobre a produção de alumínio primário no Brasil, importante componente da produção industrial do Estado do Pará, e apresenta, além disso, a porcentagem da produção exportada.
38. (UE-PI) O salário bruto mensal de um vendedor é composto de uma parcela fixa de R$ 600,00, adicionada a 5% do total de suas vendas que exceder R$ 1 000,00. Em determinado mês, o vendedor recebeu de salário líquido um total de R$ 1 080,00. Se o total de descontos que incidem sobre seu salário bruto é de 10%, qual foi o seu total de vendas naquele mês? a) R$ 11 000,00
d) R$ 14 000,00
b) R$ 12 000,00
e) R$ 15 000,00
c) R$ 13 000,00
39. (UF-SE) Um comerciante vende artigos nordestinos.
1978
186 365
2,1
1983
400 744
44,5
1989
887 432
61,5
No início deste ano ele comprou 100 redes ao preço 3 unitário de X reais. Até o final de junho vendeu 5 do total delas, com lucro de 40% sobre o preço da compra. Como desejava renovar o estoque, fez uma liquidação em agosto e alcançou seu intento: vendeu todas as que haviam sobrado. Entretanto, nessa segunda venda, teve um prejuízo de 10% em relação ao valor pago por elas. O total arrecadado com as vendas das 100 redes foi R$ 3 600,00.
2000
1 271 400
71,4
Use o texto acima para analisar as afirmações abaixo.
2004
1 457 000
71,3
a) X 5 30
Ano
Quantidade de alumínio (mil ton)
Exportação (%)
1973
111 700
1
Alguns críticos destacam a importância da produção de alumínio primário na exportação de energia elétrica, devido ao grande consumo dessa forma de energia na produção industrial. Considerando que o consumo de energia dependa linearmente da quantidade de alumínio produzida, podemos afirmar que, comparando os anos de 1983 e 2004, o crescimento da quantidade exportada de energia
b) O valor arrecadado com a venda das redes no primeiro semestre foi R$ 2 650,00. c) O valor arrecadado com a venda das redes em agosto foi R$ 1 080,00. d) Com a venda de todas as redes, ele teve um lucro de R$ 750,00. e) Com a venda de todas as redes, ele teve um prejuízo de R$ 150,00.
31
Matemática comercial e financeira
Matemática comercial e financeira Respostas 1. a
19. d
2. c
20. b
3. e
21. d
4. a) No ano de 2032.
22. e
b) Redução de 1,83% no número de habitantes.
23. d
5. a
24. d
6. d
25. c
7. b
26. b
8. a
27. e
9. 25%
28. d
10. d
29. R$ 12 000,00 e R$ 18 000,00
11. e
30. c
12. c
31. b
13. a) 398,02
32. 20 kg de farelo de algodão e 60 kg de farelo de soja.
b) 1,5%
14. a) 3,7% b) 40%
x(28 2 x) 160 O gráfico é uma parábola, com a , 0 e raízes 0 e 28. c) f(x) 5
15. a 16. e 17. c 18. c
32
33. 1 026,4 m, aproximadamente. 34. e 35. 1) Plano 1 2) R$ 12 500,00
36. c 37. c 38. c 39. São verdadeiras: a, c.
Matemática Volume Único
Trigonometria 1. (FGV-SP) O número de soluções da equação: 1 1 sen x 2 2 ? |cos 2x| 5 0, com 0 < x , 2p, é: a) 8
d) 5
b) 7
e) 4
a)
(5 √ 3 )
d) 5 √ 3
3 (8 3 ) b) √ 3 (10 √ 3 ) c) 3
e) 10 √ 3
4. (FGV-SP) O valor de cos 72° 2 cos2 36° é idêntico ao
c) 6
de:
2. (UFU-MG) O valor de tg 10°(sec 5° 1 cossec 5°) ? ? (cos 5° 2 sen 5°) é igual a: a) 2 b)
a) cos 36°
d) 2sen2 36°
b) 2cos2 36°
e) sen2 36°
c) cos2 36°
1 2
5. (UF-PB) Considere a função f: [0, 2] → R, definida
c) 1
por:
d) 0
y 5 f(x) 5
3. (PUC-SP) Leia com atenção o problema proposto a Calvin na tira seguinte.
1 ? [sen x 1 cos x 2 sen (2x) 2 cos (2x)] 2
O gráfico que melhor representa essa função é: a)
y p 2
1 1 2
3p 2
0
1 2 21
p
2
b)
2p
x
2p
x
2p
x
2p
x
2p
x
y 1 p 2
3p 2
0
p
21
c)
y 1
0 21
d)
y 1 1 2
p 2
0
1 2 21
p
2
Calvin Hobbes, Bill Watterson © 1987 Watterson / Dist. by Universal Uclic
Supondo que os pontos A, B e C sejam vértices de um triângulo cujo ângulo do vértice A mede 60°, então a resposta correta que Calvin deveria encontrar para o problema é, em centímetros:
e)
3p 2
y 1 3p 2 0
p 2
p
21
33
Trigonometria
6. (UFSM-RS) Em determinada cidade, a concentração
10. (Fatec-SP) Da trigonometria sabe-se que quaisquer
diária, em gramas, de partículas de fósforo na atmos-
que sejam os números reais p e q,
pt , 6 em que t é a quantidade de horas para fazer essa medição.
p1q p2q ? cos . 2 2 Logo, a expressão cos x ? sen 9x é idêntica a:
O tempo mínimo necessário para fazer uma medição que registrou 4 gramas de fósforo é de:
b) 2 ? (sen 6x 1 sen 2x)
fera é medida pela função C(t) 5 3 1 2 sen
1 a) hora 2 b) 1 hora c) 2 horas
sen p 1 sen q 5 2 ? sen
a) sen 10x 1 sen 8x c) 2 ? (sen 10x 1 sen 8x) 1 d) ? (sen 6x 1 sen 2x) 2 1 e) ? (sen 10x 1 sen 8x) 2
d) 3 horas
11. (UF-RS) As medidas dos lados de um triângulo são
e) 4 horas
proporcionais a 2, 2 e 1. Os cossenos de seus ângulos internos são, portanto:
7. (Mackenzie-SP) Na figura, tg é igual a:
1 , 8 1 b) , 4 1 c) , 4
a)
2,0 cm b
0,5 cm 10,0 cm
16 81
d)
2 3
b)
8 27
e)
1 4
c)
19 63
e) 1
3
c)
1 4 7 8
A expressão 2 sen2 x 1 2 cos2 x 2 5 envolve estas 3p funções e, para p , x , , seu valor é de: 2 a) 27 d) 2p 2 5
(2 √ 3 )
( 3 ) b) √
1 , 2 1 , 2
pelos sons dos instrumentos da orquestra, usam-se funções trigonométricas.
1 , onde x (0, p), então o 3 [sen (3x) 2 sen (x)] é: valor de y 5 cos (2x) d)
1 , 2 1 e) , 2 d)
12. (PUC-RS) Para representar os harmônicos emitidos
8. (UEL-PR) Se cos (2x) 5
a) 21
1 2 1 8 7 8
b) 23
e) 3p 2 5
c) 21
13. (UE-MG) Na figura a seguir, um fazendeiro F dista 600 m da base da montanha (ponto B). A medida do ângulo AFˆB é igual a 30º.
3
A Fernando Monteiro
a)
1 , 8 1 , 4 1 , 4
3
√ 3
9. (UF-SC) Na figura a seguir determine a medida do segmento AB, em cm, sabendo que sen a 5 0,6.
(F) B
B
Ao calcular a altura da montanha, em metros, o fazendeiro encontrou a medida correspondente a:
a
a) 200 √ 3 b) 100 √ 2 C
34
a 100 cm
A
c) 150 √ 3 d) 250 √ 2
Matemática Volume Único
14. (Unemat-MT) Na figura abaixo, o triângulo ABC é um
a) 308,55
triângulo equilátero de 3 cm de lado, e o triângulo retângulo BCD tem lados BD 5 4 cm e CD 5 5 cm e CBˆD 5 900.
b) 309,05
C
c) 309,55 d) 310,05 e) 310,55
A
18. (Enem-MEC) Um satélite de telecomunicações, B
D
Qual a medida do segmento AD? a) √ 3 b) 4 √ 3
c) √ 100 1 √ 3
d) √ 25 1 12 √ 3 e) 2 √ 3
15. (ESPM-SP) Uma pessoa cujos olhos estão a 1,80 m de altura em relação ao chão avista o topo de um edifício segundo um ângulo de 30° com a horizontal. Percorrendo 80 m no sentido de aproximação do edifício, esse ângulo passa a medir 60°. Usando o valor 1,73 para a raiz quadrada de 3, podemos concluir que a altura desse edifício é de aproximadamente: a) 59 m b) 62 m c) 65 m
t minutos após ter atingido sua órbita, está a r quilômetros de distância do centro da Terra. Quando r assume seus valores máximo e mínimo, diz-se que o satélite atingiu o apogeu e o perigeu, respectivamente. Suponha que, para esse satélite, o valor de r em função de t seja dado por: r(t) 5
5 865 1 1 0,15 ? cos (0,06t)
Um cientista monitora o movimento desse satélite para controlar o seu afastamento do centro da Terra. Para isso, ele precisa calcular a soma dos valores de r, no apogeu e no perigeu, representada por S. O cientista deveria concluir que, periodicamente, S atinge o valor de: a) 12 765 km b) 12 000 km c) 11 730 km d) 10 965 km e) 5 865 km
d) 69 m
19. (Fuvest-SP) No losango ABCD de lado 1, representado
e) 71 m
na figura, tem-se que M é o ponto médio de AB, N 14 é o ponto médio de BC e MN 5 . Então, DM é 4 igual a:
16. (UE-CE) O número de soluções da equação 3 sen2 x 2 3 ? |sen x| 1 cos2 x 5 0 que estão no intervalo [0, 2p] é:
D
C
a) 2 b) 8
N
c) 4 d) 6
17. (FGV-SP) A previsão de vendas mensais de uma empresa para 2011, em toneladas de um produto, px é dada por f(x) 5 100 1 0,5x 1 3 sen , em que 6 x 5 1 corresponde a janeiro de 2011, x 5 2 corresponde a fevereiro de 2011 e assim por diante. A previsão de vendas (em toneladas) para o primeiro trimestre de 2011 é: (Use a aproximação decimal √ 3 5 1,7.)
A
a)
M
B
√ 2 4
√ 2 b) 2
c) √ 2 3 √ 2 2 5 √ 2 e) 2 d)
35
Trigonometria
20. (Mackenzie-SP) Considerando o esboço do gráfico da função f(x) 5 cos x, entre 0 e 2p, a reta que passa pelos pontos P e Q define com os eixos coordenados um triângulo de área:
23. (UF-BA) Dadas as funções reais: sen x, 0 < x , f(x) 5
1 1 cos x,
y
f x 1
P
g(x) 5
0
1
2
3
4
5
6
e p
p p , 2 < x , 0 2 2
1 1 f x 1
Q
p 2
x
p p , 0 < x < 2 2
determine x, pertencente ao intervalo 0, p a) 2
p d) 8
p 4
b)
e)
p tal que 2
7 [f(x)]2 1 g(x) 2 5 0. 4
p 6
24. (UE-RJ) Observe abaixo a ilustração de um pistão e seu esquema no plano.
c) p
21. (Fuvest-SP) A figura representa um quadrado ABCD √ 5 , o de lado 1. O ponto F está em BC, BF mede
A
Fernando Monteiro
4 ponto E está em CD e AF é bissetriz do ângulo BÂE. Nessas condições, o segmento DE mede: B
F
D
E
C
a)
3 √ 5 40
d)
11√ 5 40
b)
7 √ 5 40
e)
13 √ 5 40
9 √ 5 c) 40
22. (UFF-RJ) Nos itens a seguir, arccos denota a função inversa da função cosseno restrita ao intervalo [0, p] e arctg denota a função inversa da função tangente p p . restrita ao intervalo 2 , 2 2 a) Calcule arccos cos
p . 5
b) Calcule sen (arctg (21)). c) Verifique que sen (arccos (x)) 5 √ 1 2 x2 para todo x [21,1]. 36
O pistão é ligado, por meio da haste BC, a um disco que gira em torno do centro A. Considere que: • o raio AB e a haste BC medem, respectivamente, 1 polegada e 4 polegadas; • à medida que o disco gira, o pistão move-se verticalmente para cima ou para baixo, variando a distância AC e o ângulo BÂC. Se a medida do ângulo BÂC é dada por x radianos, a distância entre A e C, em polegadas, pode ser obtida pela seguinte equação: a) y 5 4 1 sen (x) b) y 5 4 1 cos (x) c) y 5 sen (x) 1 √ 16 2 cos2 (x) d) y 5 cos (x) 1 √ 16 2 sen2 (x)
25. (UE-GO) No ciclo trigonométrico, as funções seno e cosseno são definidas para todos os números reais.
Matemática Volume Único Em relação às imagens dessas funções, é correto afirmar:
a) 66
d) 72
b) 68
e) 74
a) sen (7) . 0
c) 70
b) sen (8) , 0
29. (UF-PI) Seja a um número real satisfazendo
c) (cos ( √ 5 ) . 0)
d) (cos ( √ 5 ) . sen (8))
p tan a e 5 √ 2. É correto afirmar que: 2 2 1 2 2 √ 2 a) cos a 1 sen a 5 3 b) sec a 5 3 0,a,
26. (UF-RN) Marés são movimentos periódicos de rebaixamento e elevação de grandes massas de água formadas pelos oceanos, mares e lagos. Em determinada cidade litorânea, a altura da maré é dada pela p ? t , onde t é medido 6 em horas a partir da meia-noite.
função h(t) 5 3 1 0,2 cos
Um turista contratou um passeio de carro pela orla dessa cidade e, para tanto, precisa conhecer o movimento das marés.
c) cossec a é um número racional d) sen a 5 1 e) sen a cos a 5 1
30. (UF-GO) Uma empresa de vigilância irá instalar um sistema de segurança em um condomínio fechado, representado pelo polígono da figura abaixo. S
Desse modo,
R
a) qual a altura máxima atingida pela maré? b) em quais horários isto ocorre no período de um dia?
T
A
27. (UF-AL) De um ponto A, situado no mesmo nível da
Fernando Monteiro
base de uma torre, o ângulo de elevação do topo da torre é de 20°. De um ponto B, situado na mesma vertical de A e 5 m acima, o ângulo de elevação do topo da torre é de 18°. Qual a altura da torre? Dados: use as aproximações tg 20° 0,36 e tg 18° 0,32.
a) 42 m
d) 45 m
b) 43 m
e) 46 m
c) 44 m
P
Q
A empresa pretende colocar uma torre de comunicação, localizada no ponto A, indicado na figura, que seja equidistante dos vértices do polígono, indicados por P, Q, R, S e T, onde serão instalados os equipamentos de segurança. Sabe-se que o lado RQ desse polígono mede 3 000 m e as medidas dos outros lados são todas iguais à distância do ponto A aos vértices do polígono. Calcule a distância do ponto A, onde será instalada a torre, aos vértices do polígono.
31. (UE-PB) Dados tg x 5 22 e x um arco do 2º quadrante, o valor de sec x 1 cossec x é: a) 2 √ 5
√ 5 b) 2 4 √ 5 c) 2 2
d)
√ 5 2
e) √ 5
28. (UF-AL) Quantas soluções a equação trigonométrica 1 admite no intervalo fechado com 2 extremos 0 e 35p? sen4 x 2 cos4 x 5
32. (UF-PB) Em determinado trecho do oceano, durante um período de vinte e quatro horas, a altura H das ondas, medida em metros, variou de acordo com a 37
Trigonometria
3 pt sen , onde t . 0 é 2 12 o tempo, dado em horas. A altura das ondas nesse trecho não ultrapassou 2,75 m no horário da(s): expressão H(t) 5 2 1
a) 0h às 2h e das 10h às 24h b) 1h às 3h e das 9h às 23h
a) 2,8 km b) 2,9 km c) 3,0 km d) 3,1 km e) 3,2 km
c) 2h às 3h e das 8h às 20h
35. (UF-PE) Na ilustração abaixo, temos dois retângulos
d) 3h às 5h e das 7h às 20h
congruentes com base medindo 12 cm, e altura 5 cm. Qual o inteiro mais próximo da distância, em cm, do ponto A até a horizontal? Dado: use a aproximação √ 3 1,73.
e) 4h às 5h e das 6h às 20h
33. (UF-PE) Considere a função f, com domínio e contradomínio o conjunto dos números reais, dada por f(x) 5 √ 3 cos x 2 sen x, que tem parte de seu gráfico esboçado a seguir.
A
30°
36. (UF-AM) O alcance máximo no lançamento oblíquo
v 02 sen θ , g onde v0 e g denotam respectivamente a velocidade inicial de lançamento do corpo e a aceleração da gravidade. Um jogador de golfe lança uma bola com velocidade inicial v0 5 √ 10 m/s obtendo um alcance máximo de √ 2 2 cos θ metros.
Analise a veracidade das afirmações seguintes acerca de f: a) f(x) 5 2 ? sen x 1
p , para todo x real. 6
b) f é periódica com período 2π. c) As raízes de f(x) são 2
p 1 2 kp, com k inteiro. 6
Fernando Monteiro
de um corpo é dado pela expressão A 5
d) f(x) > 2 √ 3, para todo x real. e) f(x) < 2, para todo x real.
34. (UE-PI) Do topo de uma montanha se avistam os pontos A e B de uma planície. As linhas de visão do topo aos pontos A e B formam entre si um ângulo de 30°. A linha de visão do topo com o ponto A tem inclinação de 30°, em relação à horizontal. Se AB 5 2 √ 3 km, qual a altura da montanha?
30°
30° A
38
B
Considerando que θ é um ângulo do 1º quadrante, e a aceleração da gravidade igual a 10 m/s², o ângulo de lançamento θ é: p a) 2 p b) 3 p c) 4 p d) 6 p e) 8
Matemática Volume Único
37. (UF-AM) O Big Ben, ao contrário do que muitos pen-
Thinkstock/Getty Images
sam, não é o famoso relógio do Parlamento Inglês, nem tampouco sua torre. É o nome do sino, que pesa 13 toneladas.
p , então cos (2 arcsen x) 3
39. (Uneb-BA) Se arcsen x 5 é igual a: a)
1 2 √ 3 4
b) 2
1 2
c) 1 2 √ 3 d) 0 e) 1
40. (UPE-PE) Um relógio de ponteiros (apenas com pon-
http://emundo.files.wordpress.com/2009/01/big-ben2.jpg Acesso em: 21 out. 2009.
O nome do relógio é Tower Clock, e é muito conhecido pela sua precisão e tamanho. O ponteiro dos minutos mede 3,4 m (medindo do centro do relógio até a extremidade do ponteiro). Ao se deslocar 42 minutos, a distância percorrida pela extremidade do ponteiro dos minutos deste relógio é aproximadamente (considere p 5 3,14):
teiro para hora e ponteiro para minuto) foi acertado, exatamente, às 3h. Se o ponteiro menor (das horas) 2p tiver percorrido um ângulo de radianos com 5 relação a sua posição inicial, qual a hora que estará indicada pelo relógio, assumindo que a cada hora o ponteiro maior (dos minutos) percorre um ciclo completo e que tanto o movimento do ponteiro menor quanto do ponteiro maior ocorre continuamente com o passar do tempo? a) 6 horas e 24 minutos. b) 5 horas e 30 minutos. c) 3 horas e 12 minutos. d) 5 horas e 12 minutos. e) 5 horas e 24 minutos.
41. (UF-RN) A figura abaixo representa uma torre de
a) 11 m
altura H equilibrada por dois cabos de comprimentos L1 e L2, fixados nos pontos C e D, respectivamente.
b) 12 m
A
c) 15 m L1
d) 19 m e) 21 m C
38. (UE-PI) Se os lados de um triângulo medem a, b e
L2
H
60°
30° B
D
b) 45°
Entre os pontos B e C passa um rio, dificultando a medição das distâncias entre esses pontos. Apenas com as medidas dos ângulos C e D e a distância entre B e D, um engenheiro calculou a quantidade de cabo (L1 1 L2) que usou para fixar a torre.
c) 60°
O valor encontrado, usando √ 3 5 1,73 e BD 5 10 m, é
d) 90°
a) 54,6 m.
c) 62,5 m.
e) 120°
b) 44,8 m.
d) 48,6 m.
√ a2 1 ab 1 b2 , triângulo? a) 30°
quanto mede o maior ângulo do
39
Trigonometria
Trigonometria Respostas
p 6
1. b
23. x 5
2. a
24. d
3. c
25. a
4. d
26. a) 3,2 b) 0h e 12h
5. e 6. b
27. d
7. a
28. c
8. d
29. b
9. 96 cm
30. 1 000 √ 3 m
10. e
31. c
11. c
32. a
12. b
33. a) F b) V
13. a
c) F
14. d
d) F
15. e
e) V
16. d
34. c
17. d
35. 10
18. b
36. c
19. b
37. c
20. b
38. e
21. d p 22. a) arccos cos 5
p 5 5
p √ 2 b) sen (arctg(21)) 5 sen 2 5 2 2 4 c) Use a relação: sen2 a 1 cos2 a 5 1
40
39. b 40. e 41. a
Matemática Volume Único
Matrizes, determinantes e sistemas lineares 1. (Ufla-MG) O determinante da matriz cos x sen x cos2 x 0 A 5 cos x 2sen x cos x sen x 2sen2 x é: a) 21
é nulo, então: a) x 5 23 b) x 5 2
7 4
c) x 5 21 d) x 5 0
b) 1
e) x 5
c) 0 d) sen 2x
2. (Fatec-SP) Sobre o sistema linear, nas incógnitas x, y e z, x 1 2y 1 3z 5 1 S 2x 1 y 2 z 5 m 3x 1 ky 1 2z 5 4
7 4
5. (Mackenzie-SP) Considerando 0 , x , de soluções da equação log(tg(x)) det 1
3p , o número 2
log(cotg(x)) 5 0 é: 1
a) 2
em que k e m são constantes reais, pode-se afirmar que:
b) 3
a) não admite solução se k 5 4.
d) 1
b) admite infinitas soluções se k 5 m 5 3.
e) 4
c) 0
c) admite infinitas soluções se k 5 3 e m 5 5. d) admite solução única se k 5 3 e m é qualquer real. e) admite solução única se k 5 e m 5 3.
3. (Udesc-SC) Dada a matriz A (figura 1).
6. (Mackenzie-SP) Dadas as matrizes A 5 (aij)3 3 3 tal que aij 5 10, se i 5 j e B 5 (bij)3 3 3 tal que aij 5 0, se i j
Seja a matriz B tal que A21BA 5 D, onde a matriz D (figura 2), então o determinante de B é igual a:
bij 5 3, se i 5 j , o valor de det(AB) é: bij 5 0, se i j
Figura 1
a) 27 3 103
1 2 A5 1 21 Figura 2
b) 9 3 103
2 D5 21
1 2
a) 3 b) 25 c) 2 d) 5 e) 23
4. (U.E. Londrina-PR) Se o determinante da matriz x 2 1 A 5 1 21 1 2x 21 3
c) 27 3 102 d) 32 3 102 e) 27 3 104
7. (FGV-SP) O sistema linear abaixo, nas incógnitas x e x 1 3y 5 m y: , 2x 2 py 5 2 será impossível quando: a) Nunca b) p 26 e m 5 1 c) p 26 e m 1 d) p 5 26 e m 5 1 e) p 5 26 e m 1 41
Matrizes, determinantes e sistemas lineares
8. (PUC-RJ) Maria comprou duas bicicletas por um total de R$ 670,00. Vendeu uma das bicicletas com lucro de 10% e a outra com prejuízo de 5%. No total, ela ganhou R$ 7,00. Quais foram os preços de compra? a) R$ 370,00 e R$ 300,00 b) R$ 270,00 e R$ 400,00 d) R$ 200,00 e R$ 470,00 e) R$ 377,00 e R$ 293,00
9. (UF-CE) Os inteiros não todos nulos m, n, p, q são tais que 45m ? 60n ? 75p ? 90q 5 1. Pede-se: a) dar exemplo de um tal quaterno (m, n, p, q). b) encontrar todos os quaternos (m, n, p, q) como acima, tais que m 1 n 1 p 1 q 5 8.
10. (CP2-MEC-RJ) Para comemorar o seu aniversário de 15 anos, Marcela convidou alguns amigos para uma festa em sua casa e comprou certa quantidade de brindes para distribuir entre seus convidados. Planejou que cada um dos seus amigos ganharia três brindes e ainda restariam dois para guardar de reserva. Porém, no dia da festa, seis amigos não puderam comparecer. Dessa forma, Marcela preferiu dar, para cada convidado, um brinde a mais do que o previsto, não lhe restando, assim, mais nenhum. a) Represente a situação descrita no texto acima através de um sistema de equações. b) Resolva o sistema de equações obtido no item (a) e diga quantos amigos compareceram à festa de Marcela.
11. (UF-PR) Considere a função f definida pela expressão: sen x 1 2 0
a) Calcule f(0) e f 5
p . 4
0 0 2
b) Para quais valores de x se tem f(x) 5 0?
12. (Unicamp-SP) Uma confeitaria produz dois tipos de bolos de festa. Cada quilograma do bolo do tipo A consome 0,4 kg de açúcar e 0,2 kg de farinha. Por sua vez, o bolo do tipo B consome 0,2 kg de açúcar e 0,3 kg de farinha para cada quilograma produzido. 42
a) Será que é possível produzir 7 kg de bolo do tipo A e 18 kg de bolo do tipo B? Justifique sua resposta. b) Quantos quilogramas de bolo do tipo A e de bolo do tipo B devem ser produzidos se a confeitaria pretende gastar toda a farinha e todo o açúcar de que dispõe?
c) R$ 277,00 e R$ 400,00
cos (2x) f(x) 5 det cos x 1
Sabendo que, no momento, a confeitaria dispõe de 10 kg de açúcar e 6 kg de farinha, responda às questões a seguir.
13. (UF-ES) Vicente, que tem o hábito de fazer o controle do consumo de combustível de seu carro, observou que, com 33 L de gasolina, ele pode rodar 95 km na cidade mais 276 km na estrada e que, com 42 L de gasolina, ele pode rodar 190 km na cidade mais 264 km na estrada. a) Calcule quantos quilômetros Vicente pode rodar na cidade com 1L de gasolina. b) Sabendo que Vicente viajou 143,5 km com 13 L de gasolina, determine o comprimento do seu trajeto na estrada e o comprimento do seu trajeto na cidade.
14. (PUC-PR) Considere as seguintes desigualdades: I.
2 21
2 3 4 . 4 1 5
II.
3 5
III.
8 1 9 2 . 22 26 21 27
26 . 22
4 7 21 5
É correto afirmar que: a) São verdadeiras apenas as desigualdades I e II. b) São verdadeiras apenas as desigualdades II e III. c) São verdadeiras apenas as desigualdades I e III. d) As três desigualdades são verdadeiras. e) As três desigualdades são falsas.
15. (UE-CE) Se x, y e z constituem a solução do sistema linear x 1 y 1 z 5 1 x 1 2y 2 3z 5 22 x 1 4y 1 5z 5 24 então o produto x ? y ? z é igual a: a) 24
c) 22
b) 28
d) 26
Matemática Volume Único
16. (UE-CE) Se n é um número inteiro positivo e X é a 1 0 0 matriz 1 2 0 , então o valor do determinante da 1 1 3
matriz Y 5 Xn é: a) 2n
c) 6n
b) 3n
d) 9n
17. (FGV-SP) O sistema linear nas incógnitas x, y e z x 2 y 5 10 1 z y 2 z 5 5 2 x z 1 x 5 7 1 y 10
z
7
0 0 1 d) 0 1 0 1 0 0
1 0 0 b) 0 0 1 0 1 0
1 0 0 e) 0 1 0 0 0 1
0 1 0 c) 1 0 0 0 0 1
19. (Fuvest-SP) Uma geladeira é vendida em n parcelas
pode ser escrito na forma matricial AX 5 B , em que: x
0 0 1 a) 1 0 0 0 1 0
X5yeB5 5 Nessas condições, o determinante da matriz A é igual a: a) 5
d) 2
b) 4
e) 1
c) 3
18. (UFF-RJ) A transmissão de mensagens codificadas
iguais, sem juros. Caso se queira adquirir o produto, pagando-se 3 ou 5 parcelas a menos, ainda sem juros, o valor de cada parcela deve ser acrescido de R$ 60,00 ou de R$ 125,00, respectivamente. Com base nessas informações, conclui-se que o valor de n é igual a: a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17
em tempos de conflitos militares é crucial. Um dos métodos de criptografia mais antigos consiste em permutar os símbolos das mensagens. Se os símbolos são números, uma permutação pode ser efetuada usando-se multiplicações por matrizes de permutação, que são matrizes quadradas que satisfazem as seguintes condições:
20. (UF-RN) Matilda saiu de casa para fazer compras.
Cada coluna possui um único elemento igual a 1 (um) e todos os demais elementos são iguais a zero; cada linha possui um único elemento igual a 1 (um) e todos os demais elementos são iguais a zero.
21. (UF-AL) Três ligas metálicas têm as constituições
0 1 0 Por exemplo, a matriz M 5 0 0 1 permuta os 1 0 0 a elementos da matriz coluna Q 5 b , c b transformando-a na matriz P 5 c , pois P 5 M ? Q. a a Pode-se afirmar que a matriz que permuta b , c c transformando-a em a , é: b
Passou em um supermercado e numa farmácia, gastando um total de R$ 110,00. Se suas despesas no supermercado foram superiores às despesas na farmácia em R$ 94,00, quanto ela gastou em cada estabelecimento?
seguintes: – a primeira é formada por 20 gramas de ouro, 30 gramas de prata e 40 gramas de bronze; – a segunda é formada por 30 gramas de ouro, 40 gramas de prata e 50 gramas de bronze; – a terceira liga é formada por 40 gramas de ouro, 50 gramas de prata e 90 gramas de bronze. As três ligas devem ser combinadas para compor uma nova liga contendo 37 gramas de ouro, 49 gramas de prata e 76 gramas de bronze. Quanto será utilizado da terceira liga? a) 0,3 gramas b) 0,4 gramas c) 0,5 gramas d) 0,6 gramas e) 0,7 gramas 43
Matrizes, determinantes e sistemas lineares
22. (UF-PB) Na confecção de três modelos de camisas (A, B e C), são usados dois tipos de botão: grandes (G) e pequenos (P). O número de botões, por modelo, está indicado na tabela a seguir.
25. (UF-PE) Uma fábrica de automóveis utiliza três tipos de
modelo botão
A
Com base nessas informações, calcule o valor que a agência cobrou de um adulto e de uma criança para realizar esse passeio.
B
C
P
3
1
5
G
6
5
5
aço, A1, A2 e A3 na construção de três tipos de carros, C1, C2 e C3. A quantidade dos três tipos de aço, em toneladas, usados na confecção dos três tipos de carro, está na tabela a seguir:
O número de cada modelo de camisas confeccionadas, nos meses de julho e agosto, está indicado na tabela a seguir. meses camisas
julho
agosto
A
100
50
B
50
100
C
50
50
De acordo com esses dados, o número total de botões usados na confecção dessas camisas, nesses dois meses, foi: a) 3 250 b) 5 000 c) 2 850 d) 4 200 e) 2 550
23. (UF-AM) Seja A uma matriz quadrada de ordem n, tal que det A 5 k, com k 0. Sendo A21 a matriz inversa de A, o valor do det A21 é: a) 2k b) 3k k 3 k d) 2 1 e) k c)
24. (UF-GO) Uma agência de turismo vende pacotes familiares de passeios turísticos, cobrando para crianças 2 o equivalente a do valor para adultos. Uma família 3 de cinco pessoas, sendo três adultos e duas crianças, comprou um pacote turístico e pagou o valor total de R$ 8 125,00.
44
C1
C2
C3
A1
2
3
4
A2
1
1
2
A3
3
2
1
Se foram utilizadas 26 toneladas de aço do tipo A1, 11 toneladas do tipo A2 e 19 toneladas do tipo A3, qual o total de carros construídos (dos tipos C1, C2 ou C3)? 2x 2 y 5 0 e x1y53
26. (UE-PB) Se os dois sistemas lineares
mx 1 ny 5 21 são equivalentes, os valores de m mx 2 ny 5 1 e n são, respectivamente: 1 e 21 2 1 b) 0 e 2 1 e1 c) 2 1 d) 0 e 2 2 e) 1 e 22
a)
21 2 , 0 1
27. (UF-SE) Considere as matrizes A 5
1 a b 0 B5 eC5 , com a, b, c, d reais, 2 21 c d para analisar as afirmações abaixo. 0 2 a) A 1 B 5 2 0 B b) Se A 2 5 C, então ba 5 √ 2. 2 c) Se At é a matriz transposta de A, então det At 5 21. d) Se C é a matriz inversa de B, então a ? d 5 1. 3 2 e) Se A ? C 5 B, então C 5 . 2 1
Matemática Volume Único
Matrizes, determinantes e sistemas lineares Respostas 12. a) Não, pois faltará farinha.
1. a
b) 22,5 kg do tipo A e 5 kg do tipo B.
2. b
13. a) 9,5 km na cidade e 12 km na estrada.
3. d
b) 96 km na estrada e 47,5 km na cidade.
4. e
14. b
5. a
15. a
6. a
16. c
7. e
17. b
8. b
18. a
9. a) n 5 3, m 5 5, p 5 21 e q 5 26, por exemplo. b) m 5 40, n 5 24, p 5 28 e q 5 248.
10. a) Sejam: x o número de amigos e y o número de brindes, temos:
21. c
23. e
b) O número de amigos que compareceram à festa é 20.
24. Adulto: R$ 1 875,00; criança: R$ 1 250,00. 25. 9 carros ao todo
11. a) 1; 21
20. R$ 8,00 na farmácia e R$ 102,00 no supermercado.
22. a
y 5 3x 1 2 y 5 4(x 2 6)
b) S 5 x R | x 5
19. a
p p 1 k , com k Z 8 2
26. d 27. São verdadeiras: a, c.
45
Geometria plana
Geometria plana 1. (UF-MG) O octógono regular de vértices ABCDEFGH,
3. (Fuvest-SP)
cujos lados medem 1 dm cada um, está inscrito no quadrado de vértices PQRS, conforme mostrado nesta figura: S
F
E
C
R
G
D
G
F x
P
A
B
E
A
C
H
Q
Então, é correto afirmar que a área do quadrado PQRS é:
B
O triângulo ABC da figura acima é equilátero de lado 1. Os pontos E, F e G pertencem, respectivamente, aos lados AB, AC e BC do triângulo. Além disso, os ângulos AFE e CGF são retos e a medida do segmento AF é x.
a) 1 1 2 √ 2 dm2
Assim, determine:
b) 1 1 √ 2 dm2
a) A área do triângulo AFE em função de x.
c) 3 1 2 √ 2 dm d) 3 1 √ 2 dm
b) O valor de x para o qual o ângulo FEG também é reto.
2
2
2. (UF-GO) Os “Sulbasutras” são manuscritos que fo-
4. (Ibmec-RJ) O triângulo ABC (figura) tem área igual a
ram escritos pelos habitantes do noroeste da Índia por volta de 1500 a.C. Eles trazem instruções para a realização de cerimônias religiosas que requeriam a construção de altares em formatos combinados de triângulos, retângulos e trapézios. Uma dessas instruções é um método para construir um quadrado a partir de dois quadrados menores. Denotando-se por ABCD e PQRS os dois quadrados menores na figura a seguir, marca-se um ponto X no lado DC, de modo que DX 5 PQ; em seguida, ligam-se A e X e constrói-se o novo quadrado AXFE.
36 cm2. Os pontos M e N são pontos médios dos lados AC e BC. Assim, a área da região MPNC, em cm2, vale:
E
A
M P
B
N
C
a) 10
d) 16
b) 12
e) 18
c) 14 B
A
Q
R
5. (PUC-MG) Certo desenhista faz dois modelos de laF
G P
S
D
X
C
Sabendo que PQ 5 2 m e AD 5 4 m, calcule a área da região sombreada ABGFE. 46
drilho: um desses modelos é um quadrado de 64 cm2 e outro, um retângulo cujo comprimento tem 2 cm a mais e cuja largura tem 2 cm a menos que a medida do lado do quadrado. Nessas condições, pode-se afirmar que a medida da área do modelo retangular, em centímetros quadrados, é igual a: a) 60
c) 72
b) 64
d) 80
Matemática Volume Único
6. (Udesc-SC) Uma circunferência intercepta um triân-
9. (UF-MG) Por razões antropológicas desconhecidas,
gulo equilátero nos pontos médios de dois de seus lados, conforme mostra a figura, sendo que um dos vértices do triângulo é o centro da circunferência.
certa comunidade utilizava uma unidade de área singular, que consistia em um círculo, cujo raio media 1 cm, e a que se dava o nome de anelar. Adotando-se essa unidade, é CORRETO afirmar que a área de um quadrado, cujo lado mede 1 cm, é: 1 a) anelar c) 1 anelar p 1 anelar d) p anelares b) 2p
Se o lado do triângulo mede 6 cm, a área da região destacada na figura é: a) 9 (2 √ 3 ) 2
p 2 6 cm
p b) 9 ( √ 3 ) 2 cm2 18 c) 9 [( √ 3 ) 2 π] cm2 p d) 9 ( √ 3 ) 2 cm2 3 p e) 9 ( √ 3 ) 2 cm2 6
10. (Vunesp-SP) A figura representa uma chapa de alumínio de formato triangular de massa 1 250 gramas. Deseja-se cortá-la por uma reta r paralela ao lado BC, que intercepta o lado AB em D e o lado AC em E, de modo que o trapézio BCED tenha 700 gramas de massa. A espessura e a densidade do material da chapa são uniformes. Determine o valor percentual da razão de AD por AB. Dado: √ 11 3,32 A
D
E
r
7. (U.E. Londrina-PR) Uma metalúrgica utiliza chapas de aço quadradas de 8 m 3 8 m para recortar formas circulares de 4 m de diâmetro, como mostrado na figura a seguir.
B
C
a) 88,6
d) 66,4
b) 81,2
e) 44,0
c) 74,8
11. (UF-RS) O tangran é um jogo chinês formado por uma A área de chapa que resta após a operação é de aproximadamente: Dado: considere π 5 3,14. a) 7,45 m2
c) 26,30 m2
b) 13,76 m2
d) 48 m2
peça quadrada, uma peça em forma de paralelogramo e cinco peças triangulares, todas obtidas a partir de um quadrado de lado ,, como indica a figura a seguir.
e) 56 m2 2 6
8. (Mackenzie-SP)
,
1
5
4
2x
50
x
90 160
Considerando π 5 3, a área da figura vale: a) 1 176
d) 978
b) 1 124
e) 1 232
c) 1 096
, 2
4
4
7
3 , 2
Três peças do tangran possuem a mesma área. Essa área é: ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 a) b) c) d) e) 16 12 8 6 4 47
Geometria plana
12. (UF-GO) Uma folha de papel retangular, de lados a b , foi dobrada duas vezes, conforme 2 as figuras a seguir e as seguintes instruções:
e b, com a .
– dobre a folha ao longo da linha tracejada, sobrepondo o lado menor, a, ao lado maior, b (fig. 1 e fig. 2); – dobre o papel ao meio, sobre o lado b, de modo que o ponto P sobreponha-se ao ponto Q (fig. 3).
a
a) 4
c) 6
b) 5
d) 7
14. (Fuvest-SP) Um transportador havia entregado uma
Figura 1
encomenda na cidade A, localizada a 85 km a noroeste da cidade B, e voltaria com seu veículo vazio pela rota AB em linha reta.
Figura 2
No entanto, recebeu uma solicitação de entrega na cidade C, situada no cruzamento das rodovias que ligam A a C (sentido sul) e C a B (sentido leste), trechos de mesma extensão. Com base em sua experiência, o transportador percebeu que esse desvio de rota, antes de voltar à cidade B, só valeria a pena se ele cobrasse o combustível gasto a mais e também R$ 200,00 por hora adicional de viagem.
b
a
Q
P
a) Indique a localização das cidades A, B e C num esquema.
A C B a
b) Calcule a distância em cada um dos trechos perpendiculares do caminho. (Considere a aproximação √ 2 5 1,4.) c) Calcule a diferença de percurso do novo trajeto relativamente ao retorno em linha reta.
Figura 3
A área do triângulo ABC, destacado na figura 3, em função de a e b, é: a) A 5 2a2 1 2ab 1 b) A 5
ab 2
b2 2
d) Considerando o preço do óleo diesel a R$ 2,00 o litro, a velocidade média do veículo de 70 km/h e seu rendimento médio de 7 km por litro, estabeleça o preço mínimo para o transportador aceitar o trabalho.
Norte
c) A 5 a2 2 2ab 1 b2 d) A 5 a2 2
b2 4
e) A 5 a2 2 ab 1
b2 4
13. (PUC-MG) De uma placa quadrada de 16 cm2, foi
15. (PUC-RJ) Ao meio-dia, a formiga A está 3 km a oeste
recortada uma peça conforme indicado na figura. A medida da área da peça recortada, em centímetros quadrados, é:
da formiga B. A formiga A está se movendo para o oeste a 3 km/h e a formiga B está se movendo para o norte com a mesma velocidade.
48
Matemática Volume Único Qual a distância entre as duas formigas às 14 h? a) √ 17 km b) 17 km c) √ 51 km
d) √ 117 km e) 117 km
16. (Cefet-SC) Para cobrir o piso de uma cozinha com 5 m de comprimento por 4 m de largura, serão utilizados pisos de 25 cm 3 25 cm. Cada caixa contém 20 pisos. Supondo que nenhum piso se quebrará durante o serviço, quantas caixas são necessárias para cobrir o piso da cozinha?
a) Calcule a área da porção irrigada de R quando o irrigador está no ponto C. b) Admitindo que o raio da região irrigada seja inversamente proporcional à distância do irrigador até a bomba, calcule o raio da região irrigada quando o irrigador é colocado no centro da região retangular R.
19. (Unemat-MT) No triângulo equilátero ABC, os pontos
a) 17 caixas
d) 15 caixas
M e N são respectivamente pontos médios dos lados AB e AC.
b) 16 caixas
e) 12 caixas
O segmento MN mede 6 cm.
c) 20 caixas
A
17. (CP2-MEC-RJ) Na figura abaixo, os quatro círculos são tangentes dois a dois. Os raios dos círculos menores medem 4 cm cada um. A altura do trapézio ABCD mede 12 cm. A
M
N
B B
C
A área do triângulo ABC mede: a) 18 √ 3 cm2 D
b) 24 √ 2 cm2
C
E
c) 30 √ 2 cm2 d) 30 √ 3 cm2 a) Simbolizando o raio da circunferência maior por x, determine esse valor, aplicando o Teorema de Pitágoras aos lados do triângulo ADE. b) Calcule a medida da área do trapézio ABCD.
18. (UF-ES) Para irrigar uma região retangular R de dimensões , 3 3,, um irrigador giratório é acoplado a uma bomba hidráulica por meio de um tubo condutor de água. A bomba é instalada em um ponto B. Quando o irrigador é colocado no ponto C, a uma distância 3, do ponto B, ele irriga um círculo de centro C e 2 raio 2, (veja figura).
e) 36 √ 3 cm2
20. (ESPM-SP) Uma folha de papel retangular foi dobrada como mostra a figura abaixo. De acordo com as medidas fornecidas, a região sombreada, que é a parte visível do verso da folha, tem área igual a:
R
porção irrigada
4 cm 3, 2,
tubo condutor de água B
3, 2
6 cm
a) 24 cm2 b) 25 cm2 c) 28 cm2 d) 35 cm2
C ,
e) 36 cm2 49
Geometria plana
21. (UE-CE) Se a medida, em metros, de cada um dos lados de um triângulo equilátero é x, seja S(x) a expressão da área deste triângulo em função de x. O 1 valor, em m², de S 1 S(3) é: 3 a)
17 √ 3 18
b)
35 √ 3 18
c)
49 √ 3 18
d)
41 √ 3 18
8 cm
6 cm
10 cm
O raio da perfuração da peça é igual a:
22. (UE-CE) Uma reta paralela a um dos lados de um triângulo equilátero intercepta os outros dois lados determinando um triângulo menor e um trapézio, os quais têm o mesmo perímetro. A razão entre a área do triângulo menor e a área do trapézio é: 6 a) 4 7 b) 5
e 10 cm e cuja altura é 10 cm. Tal peça deve ser vazada de tal maneira que a perfuração na forma de um cilindro circular reto seja tangente às suas faces laterais, conforme mostra a figura.
8 c) 6 9 d) 7
a) 1 cm
d) 4 cm
b) 2 cm
e) 5 cm
c) 3 cm
25. (UF-RJ) A figura 1 a seguir apresenta um pentágono regular de lado 4L; a figura 2, dezesseis pentágonos regulares, todos de lado L.
23. (Enem-MEC) A loja Telas & Molduras cobra 20 reais por metro quadrado de tela, 15 reais por metro linear de moldura, mais uma taxa fixa de entrega de 10 reais. Uma artista plástica precisa encomendar telas e molduras a essa loja, suficientes para 8 quadros retangulares (25 cm 3 50 cm). Em seguida, fez uma segunda encomenda, mas agora para 8 quadros retangulares (50 cm 3 100 cm). O valor da segunda encomenda será: a) o dobro do valor da primeira encomenda, porque a altura e a largura dos quadros dobraram. b) maior do que o valor da primeira encomenda, mas não o dobro.
Figura 1
Figura 2
Qual é maior: a área A do pentágono da figura 1 ou a soma B das áreas dos pentágonos da figura 2? Justifique sua resposta.
26. (UF-PR) Um telhado inclinado reto foi construído sobre três suportes verticais de aço, colocados nos pontos A, B e C, como mostra a figura abaixo. Os suportes nas extremidades A e C medem, respectivamente, 4 metros e 6 metros de altura.
c) a metade do valor da primeira encomenda, porque a altura e a largura dos quadros dobraram. d) menor do que o valor da primeira encomenda, mas não a metade. e) igual ao valor da primeira encomenda, porque o custo de entrega será o mesmo.
6m 4m 12 m A
8m B
A altura do suporte em B é, então, de:
24. (Enem-MEC) Uma metalúrgica recebeu uma encomenda para fabricar, em grande quantidade, uma peça com o formato de um prisma reto com base triangular, cujas dimensões da base são 6 cm, 8 cm 50
a) 4,2 metros
d) 5,2 metros
b) 4,5 metros
e) 5,5 metros
c) 5 metros
C
Matemática Volume Único
27. (Fuvest-SP) Na figura, o triângulo ABC é equilátero
Cidade C
de lado 1, e ACDE, AFGB e BHIC são quadrados. A área do polígono DEFGHI vale: D
I
Distância em km Cidade D Cidade A 1 200 Cidade C 1 600
C E
H
Cidade B M
A
B
90° F
Cidade A
G
Cidade D
a) 1 1 √ 3
a) a distância da cidade D ao ponto M é 350 km.
b) 2 1 √ 3
b) a distância da cidade C ao ponto M é 336 km.
c) 3 1 √ 3
c) a distância da cidade A ao ponto M é 500 km.
d) 3 1 2 √ 3
d) a distância da cidade C à cidade A é 1 200 km.
e) 3 1 3 √ 3
e) não haverá o choque dos trens.
28. (UF-MG) Considere esta figura:
30. (UF-RN) Para comemorar o aniversário de independência, o Governo da Guiana comprou um lote de bandeiras para distribuir com a população. A Figura 1 representa a bandeira e a Figura 2, as características geométricas desta.
B
E F
A
C
D
Nesta figura, • o triângulo ABC é equilátero, de lado 3; • o triângulo CDE é equilátero, de lado 2; • os pontos A, C e D estão alinhados; e
Figura 1 A
• o segmento BD intersecta o segmento CE no ponto F.
B
F
E
Com base nessas informações, 1. DETERMINE o comprimento do segmento BD. 2. DETERMINE o comprimento do segmento CF.
D
Figura 2
C
3. DETERMINE a área do triângulo sombreado BCF.
29. (UF-PI) Conforme ilustrado na figura a seguir, um trem saiu da cidade A com destino à cidade B, deslocandose com a mesma velocidade com que um outro trem ia da cidade C para a cidade D. Sabendo-se que a distância do ponto M às cidades C e A é a mesma, e que, por um atraso, as locomotivas partiram no mesmo instante, é correto afirmar que:
Sabendo que BE 5 EC e que F é o ponto de interseção das diagonais do retângulo ABCD, justifique por que a quantidade de tecido utilizada na confecção da bandeira correspondente ao triângulo ADF é a mesma que a utilizada para o quadrilátero AFDE.
31. (UF-GO) A grama-esmeralda é uma das mais difundidas no Brasil, usada para cobrir terrenos, jardins, 51
Geometria plana
campos de futebol, etc. Em certa loja de jardinagem, essa grama é vendida em tapetes (ou placas) naturais regulares, cada um com 0,40 m de largura por 1,25 m de comprimento, ao preço de R$ 1,50. Para o plantio, recomenda-se que cada tapete dessa grama seja colocado no terreno mantendo-se uma distância de 2 cm entre um tapete de grama e outro, em toda a volta do tapete. E, em relação às margens do terreno, recomenda-se que haja uma distância de 1 cm entre a placa e a margem, conforme a figura a seguir.
H
G
D E I A
F
C
B
Com base nessas informações, calcule a área do triângulo GHI, integrante dessa árvore pitagórica. 2 cm
33. (UF-PE) Na ilustração a seguir, temos três cincunfe-
1 cm
rências tangentes duas a duas e com centros nos vértices de um triângulo com lados medindo 6 cm, 8 cm e 10 cm. 2 cm
2 cm
1,25 m 0,40 m 1 cm
Plantio de tapetes segundo as recomendações
32. (UF-GO) A “árvore pitagórica fundamental” é uma forma estudada pela Geometria Fractal e sua aparência característica pode representar o formato dos galhos de uma árvore, de uma couve-flor ou de um brócolis, dependendo de sua variação. A árvore pitagórica a seguir foi construída a partir de um triângulo retângulo, ABC, de lados AB 5 3, AC 5 4 e CB 5 5, e de quadrados construídos sobre seus lados. A figura ramifica-se em quadrados e triângulos retângulos menores, semelhantes aos iniciais, sendo que os ângulos Cˆ, Fˆ , e Iˆ , são congruentes, seguindo um processo iterativo que pode se estender infinitamente. 52
Calcule a área A da região do triângulo, em cm2, limitada pelas três circunferências e indique 10A. Dado: use as aproximações: p 3,14 e arctg 0,75 0,64.
34. (UF-PE) Na figura abaixo, AB 5 AD 5 25, BC 5 15 e DE 5 7. Os ângulos DEA, BCA e BFA são retos. Determine AF.
Fernando Monteiro
O dono de uma chácara procurou a referida loja para cobrir com grama-esmeralda seu terreno retangular, com dimensões de 52,5 m por 25,4 m. Sabendo que cada tapete será plantado inteiro, ou seja, sem ser cortado e seguindo as recomendações acima, qual será o custo total com os tapetes de gramaesmeralda?
35. (UF-RN) Uma empresa de publicidade foi contratada para confeccionar um outdoor com a sigla RN, conforme as medidas determinadas na figura a seguir.
Ilustrações: Fernando Monteiro
Matemática Volume Único
38. A figura abaixo é a representação de seis ruas de uma cidade. As ruas R1, R2 e R3 são paralelas entre si.
Para estimar a quantidade de tinta a ser utilizada na pintura, a empresa precisa calcular as áreas das letras. Sabendo que as medidas acima estão em centímetros, determine, em metros quadrados, a área de cada uma das letras.
36. (UF-GO) Dados experimentais indicam que a dilatação linear experimentada por um objeto material é proporcional ao seu comprimento inicial (L0) e à variação da temperatura a que é submetido (DT), sendo que a constante de proporcionalidade, denominada de coe ficiente de dilatação linear (a) depende do material utilizado. Um fio de alumínio (a 5 25 3 1026 °C21) de 10 m de comprimento está a uma temperatura de 20 °C, e é fixado pelas extremidades entre dois suportes, cuja distância é de 10 m. Um peso é colocado em seu ponto médio, de modo que o fio possa ser considerado reto entre o ponto médio e cada extremidade. Caso o fio seja aquecido, atingindo uma temperatura de 40 °C, ele sofrerá uma dilatação, de modo que o ponto médio estará a uma distância H da horizontal, como mostrado na figura. Nessa situação, qual é o valor de H em centímetros?
Paulo encontra-se na posição A da rua R1 e quer ir para a rua R2 até a posição B. Se a escala de representação for de 1 : 50 000, a distância, em metros, que Paulo vai percorrer será de, aproximadamente, a) 1 333. b) 750. c) 945. d) 3 000.
39. (UF-MA) Sobre os lados opostos AB e CD de um retângulo ABCD são marcados, respectivamente, os pontos P e Q. A soma das áreas dos triângulos AQB e CPD resulta exatamente em 240 u.a. Então, a área do retângulo ABCD é igual a: a) 360 u.a.
d) 200 u.a.
b) 120 u.a.
e) 300 u.a.
c) 240 u.a.
40. (UF-MG) Nesta figura plana, PQR é um triângulo equilátero de lado a e, sobre os lados desse triângulo, estão construídos os quadrados ABQP, CDRQ e EFPR:
37. (UF-MA) Em uma planta residencial, em escala, ao utilizar-se uma régua convencional, nota-se que os lados da sala retangular medem, exatamente, 16 cm e 9 cm. Se a área real da sala em questão é igual a 36 m2, então o perímetro real da sala é igual a:
Considerando essas informações, a) DETERMINE o perímetro do hexágono ABCDEF.
a) 21 m
d) 25 m
b) DETERMINE a área do hexágono ABCDEF.
b) 19 m
e) 22 m
c) DETERMINE o raio da circunferência que passa pelos vértices do hexágono ABCDEF.
c) 20 m
53
Geometria plana
Geometria plana Respostas 19. e
1. c 2. 9 m2 3. a) Área 5 b)
20. b
(x2 √ 3 )
1 5
21. d
2
22. d
4. b
23. b
5. a
24. b
6. e
25. As áreas são iguais.
7. b
26. d
8. a
27. c
9. a
28. 1) √ 1 9
10. d
2)
6 5
3)
9 √ 3 10
11. c 12. e
29. a
13. c 14. a)
30. Note que área ADF 5
A
1 ? área ADE. 2
31. R$ 3 750,00 32. 2,4576 cm2 33. 1,9 cm2 34. 15 C
b) 59,5 km c) 34 km d) R$ 106,86
B
35. letra R ⇒ 0,64 m2 letra N ⇒ 0,64 m2
36. Aproximadamente
15. d
37. d
16. b
38. a
17. a) x 5 9
39. c
b) 156 cm2 ,2 18. a) A 5 (2p 1 3 √ 3 ) 6 , b) R 5 6 ? 5
54
40. a) 3a( √ 3 1 1)
b) a2 ? (3 1 √ 3 ) c)
a √ 1 2 1 3 √ 3 3
5
m (ou 15,8 cm).
√ 1 000
Matemática Volume Único
Geometria espacial 1. (UE-GO) Uma lâmpada, cujas dimensões são consideradas desprezíveis, é fixada no teto de uma sala de 4 metros de altura. Um objeto quadrado com lado de 30 centímetros é suspenso a 1 metro do teto, de modo que fique paralelo ao solo e seu centro esteja na mesma vertical que a lâmpada. Calcule a área da sombra projetada pela luminosidade da lâmpada no solo.
2. (Fuvest-SP) A figura representa uma pirâmide ABCDE, cuja base é o retângulo ABCD. Sabe-se que: E
2 3
a)
d) 4
b) 5
e)
c) 6
4 5
4. (PUC-RJ) Pretende-se fabricar uma caixa com faces retangulares e ângulos retos, aberta em cima, com um volume de 10 m3 (conforme figura a seguir). O comprimento de um dos lados da base deve ser o dobro do comprimento do outro lado. O material para construir a base custa R$10,00 por metro quadrado, ao passo que o material para construir as laterais custa R$ 6,00 por metro quadrado.
Q P n
D
A
p C 2p
a) Se o lado p mede 2 metros, quanto vale n? B
3 AB 5 CD 5 √ 2 AD 5 BC 5 AE 5 BE 5 CE 5 DE 5 1 1 AP 5 DQ 5 2 Determine:
b) Com os valores do item (a), calcule o custo de construção da caixa. c) Encontre o custo de construção da caixa em função de p.
5. (UE-RJ) Observe o dado ilustrado a seguir, formado a partir de um cubo, com suas seis faces numeradas de 1 a 6.
a) A medida de BP. b) A área do trapézio BCQP.
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c) Volume da pirâmide BPQCE.
3. (Mackenzie-SP) a 2 a
2
a 3 a
A peça da figura, de volume a2, é o resultado de um corte feito em um paralelepípedo reto retângulo, retirando-se um outro paralelepípedo reto retângulo. O valor de a é:
Esses números são representados por buracos deixados por semiesferas idênticas retiradas de cada uma das faces. Todo o material retirado equivale a 4,2% do volume total do cubo. Considerando π 5 3, a razão entre a medida da aresta do cubo e a do raio de uma das semiesferas, expressas na mesma unidade, é igual a: a) 6
c) 9
b) 8
d) 10 55
Geometria espacial
6. (UF-SC) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01) Considere duas caixas-d’água de mesma altura: uma em forma de cubo e a outra em forma de paralelepípedo retângulo com área da base de 6 m2. Se o volume da caixa cúbica tem 4 m3 a menos que o volume da outra caixa, então a única medida possível da aresta da caixa cúbica é 2 m. 02) É possível construir um poliedro regular, utilizando-se seis triângulos equiláteros. 04) Na figura 1, estão representados três sólidos e, na figura 2, estão representadas três planificações. Fazendo corresponder cada sólido com sua planificação, tem-se a relação A → 1, B → 3 e C → 2. figura 1
A
B
por metro cúbico. Suponha que um tanque possua largura igual ao comprimento e altura igual a 2 m. Quais devem ser as dimensões mínimas do tanque para que ele comporte 7 200 peixes adultos da espécie considerada?
8. (Fuvest-SP) Uma pirâmide tem como base um quadrado de lado 1, e cada uma de suas faces laterais é um triângulo equilátero. Então, a área do quadrado, que tem como vértices os baricentros de cada uma das faces laterais, é igual a: 5 2 a) d) 9 9 4 1 b) e) 9 9 1 c) 3
9. (UEPG-PR) Considerando dois planos a e b e uma
C
reta r, assinale o que for correto.
figura 2
01) Se r é perpendicular a a e a b então a é paralelo a qualquer plano que contenha r. 02) Se r é perpendicular a a e a b então a e b são paralelos entre si. 3
1
2
08) Um retângulo, quando girado em torno de seu lado maior, descreve um cilindro cujo volume tem 432p cm3. Se o lado maior do retângulo mede o dobro da medida do lado menor, então a área desse retângulo é de 72 cm2.
7. (Unicamp-SP) Em um sistema de piscicultura superintensiva, uma grande quantidade de peixes é cultivada em tanques-rede colocados em açudes, com alta densidade populacional e alimentação à base de ração. Os tanques-rede têm a forma de um paralelepípedo e são revestidos com uma rede que impede a fuga dos peixes, mas permite a passagem da água. a) Um grupo de 600 peixes de duas espécies foi posto em um conjunto de tanques-rede. Os peixes consomem, no total, 800 g de ração por refeição. Sabendo-se que um peixe da espécie A consome 1,5 g de ração por refeição e que um peixe da espécie B consome 1,0 g por refeição, calcule quantos peixes de cada espécie o conjunto de tanques-rede contém. b) Para uma determinada espécie, a densidade máxima de um tanque-rede é de 400 peixes adultos 56
04) Se a e b são perpendiculares e a reta r está contida em a, então r é também perpendicular a b. 08) Se r é paralela a a então todo plano contendo r é paralelo a a. 16) Se r a 5 então r e a são paralelos.
10. (UEPG-PR) Dado que um poliedro convexo tem 2 faces pentagonais, 4 faces quadrangulares e n faces triangulares, assinale o que for correto. 01) Se o número de vértices do poliedro é 11, então n 5 4. 02) Se o número de faces do poliedro é 16, então n 5 10. 04) O menor valor possível para n é 1. 08) Se a soma dos ângulos de todas as faces do poliedro é 3 600º, então n 5 6. 16) Se o número de arestas do poliedro é 25, então n 5 8.
11. (UF-MG) Em uma indústria de velas, a parafina é armazenada em caixas cúbicas, cujo lado mede a. Depois de derretida, a parafina é derramada em moldes em formato de pirâmides de base quadrada, cuja a altura e cuja aresta da base medem, cada uma, . 2
Matemática Volume Único Considerando-se essas informações, é CORRETO afirmar que, com a parafina armazenada em apenas uma dessas caixas, enche-se um total de: a) 6 moldes
c) 24 moldes
b) 8 moldes
d) 32 moldes
12. (UF-RS) Um reservatório tem forma de um cilindro circular reto com duas semiesferas acopladas em suas extremidades, conforme representado na figura ao lado. O diâmetro da base e a altura do cilindro medem, cada um, 4 dm, e o volume de uma 4 esfera de raio r é pr3. 3 Dentre as opções a seguir, o valor mais próximo da capacidade do reservatório, em litros, é: a) 50 b) 60 c) 70 d) 80 e) 90
13. (FGV-SP) A figura indica a planificação da lateral de um cone circular reto:
252° 10
O cone a que se refere tal planificação é
Era uma laje retangular enorme, uma brutidão de mármore rugoso […]. É a mãe da pedra, não disse que era o pai da pedra, sim a mãe, talvez porque viesse das profundas, ainda maculada pelo barro da matriz, mãe gigantesca sobre a qual poderiam deitar-se quantos homens, ou ela esmagá-los a eles, quantos, faça as contas quem quiser, que a laje tem de comprimento trinta e cinco palmos, de largura quinze, e a espessura é de quatro palmos, e, para ser completa a notícia, depois de lavrada e polida, lá em Mafra, ficará só um pouco mais pequena, trinta e dois palmos, catorze, três, pela mesma ordem e partes, e quando um dia se acabarem palmos e pés por se terem achado metros na terra, irão outros homens a tirar outras medidas [...]. SARAMAGO, José. Memorial do convento. 17. ed. Rio de Janeiro: Bertrand Brasil, 1996. p. 244-245.
No romance citado, Saramago descreve a construção do Palácio e Convento de Mafra (séc. XVIII), em Portugal, no qual a laje (em forma de paralelepípedo retângulo) foi colocada na varanda da casa de Benedictione. Supondo que a medida de um palmo seja 20 cm, então o volume retirado do mármore, após ser polido e lavrado, em m3, foi de: a) 0,024
c) 10,752
b) 6,048
d) 16,800
e) 60,480
15. (PUC-RJ) Um octaedro é um
10
a)
14. (UF-GO) Leia o texto a seguir.
d)
poliedro regular cujas faces são oito triângulos equiláteros, conforme indicado na figura. Para um octaedro de aresta a:
10
10
a) Qual é a sua área total? b) Qual é o seu volume?
6
6
b)
10
7
c) Qual é a distância entre duas faces opostas?
16. (Cefet-SC) Uma indústria precisa fabricar 10 000
e) 10
7
caixas com as medidas da figura abaixo. Desprezando as abas, aproximadamente, quantos m2 de papelão serão necessários para a confecção das caixas? 40 cm 20 cm
c) 14 cm 10
8
a) 0,328 m2
c) 112 m2
b) 1 120 m2
d) 3 280 m2
e) 1 640 m2
57
17. (UF-PR) A parte superior de uma taça tem o formato de um cone, com as dimensões indicadas na figura.
4 cm
12 cm
a) Qual o volume de líquido que essa taça comporta quando está completamente cheia?
x
b) Obtenha uma expressão para o volume V de líquido nessa taça, em função da altura x indicada na figura.
Ilustrações: Fernando Monteiro
Geometria espacial
esfera metálica
haste da antena
poste cilíndrico
base cúbica
18. (UF-BA) Sendo o ângulo formado entre uma diagonal e uma face de um mesmo cubo, determine 1 . sen2
19. (UE-MG)
Sejam D, d e R, respectivamente, as medidas (em metros) da diagonal da base cúbica, da diagonal da face da base cúbica e do raio da esfera metálica. Sabe-se que: 1) O valor de D2 excede em 16 m2 o valor de d2.
10 cm
40 cm 60 cm
O desenho, acima, representa uma caixa de madeira maciça de 0,5 cm de espessura e dimensões externas iguais a 60 cm, 40 cm e 10 cm, conforme indicações. Nela será colocada uma mistura líquida de água com álcool, a uma altura de 8 cm. Como não houve reposição da mistura, ao longo de um certo período, 1 200 cm³ do líquido evaporaram. Com base nesta ocorrência, a altura, em cm, da mistura restante na caixa corresponde a um valor numérico do intervalo de a) [5,0; 5,9] b) [6,0; 6,9] c) [7,0; 7,6] d) [7,6; 7,9]
20. (UFU-MG) Um canal de televisão pretende instalar o serviço de TV digital em Uberlândia e, para isso, será necessária a construção de uma nova antena de transmissão. A antena deve ser composta por uma base cúbica, por um poste cilíndrico, ambos maciços e feitos de concreto, por uma haste de sustentação e por uma esfera maciça feita de uma liga metálica (conforme a ilustração a seguir). 58
2) O diâmetro da base do poste cilíndrico é a metade da aresta da base cúbica. 3) O volume do poste cilíndrico é 18 m3. 4) 1 m3 da liga metálica corresponde a 300 kg (quilogramas). Com base nestas informações, responda as seguintes perguntas: a) Deseja-se pintar o poste cilíndrico de uma cor diferente da base cúbica. Considerando que a região de contato entre a haste e a parte superior do poste tenha área desprezível, qual é o valor da área do poste a ser pintada? b) Se a haste da antena suporta um peso máximo de 50 kg, determine o maior valor possível para R, de forma que o peso da esfera de raio igual a este valor não exceda o peso máximo suportado pela haste.
21. (Vunesp-SP) Prevenindo-se contra o período anual de seca, um agricultor pretende construir uma cisterna fechada, que acumule toda a água proveniente da chuva que cai sobre o telhado de sua casa, ao longo de um período de um ano. As figuras e o gráfico representam as dimensões do telhado da casa, a forma da cisterna a ser construída e a quantidade média mensal de chuva na região onde o agricultor possui sua casa.
Figura 1
12 m
8m
Ilustrações: Fernando Monteiro
Matemática Volume Único
hm Figura 2
Considere, ainda, que o papelão do qual é feita a embalagem custa R$ 10,00 por m2 e que √ 3 5 1,73. Na confecção de uma dessas embalagens, o valor, em reais, gasto somente com o papelão é aproximadamente igual a: a) 0,50
c) 1,50
b) 0,95
d) 1,85
23. (UE-RJ) A figura abaixo representa um recipiente cônico com solução aquosa de hipoclorito de sódio a 27%. O nível desse líquido tem 12 cm de altura.
4m 2m
H 12 cm
Sabendo que 100 milímetros de chuva equivalem ao acúmulo de 100 litros de água em uma superfície plana horizontal de 1 metro quadrado, determine a profundidade (h) da cisterna para que ela comporte todo o volume de água da chuva armazenada durante um ano, acrescido de 10% desse volume.
22. (UE-RJ) A embalagem de papelão de um determinado chocolate, representada na figura abaixo, tem a forma de um prisma pentagonal reto de altura igual a 5 cm.
Para o preparo de um desinfetante, diluiu-se a solução inicial com água, até completar o recipiente, obtendo-se a solução aquosa do hipoclorito de sódio a 8%. Esse recipiente tem altura H, em centímetros, equivalente a a) 16
c) 20
b) 18
d) 22
24. (ESPM-SP) Um vidro de perfume tem a forma e as medidas indicadas na figura abaixo e sua embalagem tem a forma de um paralelepípedo cujas dimensões internas são as mínimas necessárias para contê-lo. Pode-se afirmar que o volume da embalagem não ocupado pelo vidro de perfume vale aproximadamente: 2 cm 3 cm
10 cm
6 cm
Em relação ao prisma, considere: ˆ da base superior • cada um dos ângulos Â, Bˆ, Cˆ e D mede 120º;
a) 142 cm3
d) 176 cm3
b) 154 cm3
e) 182 cm3
• as arestas AB, BC e CD medem 10 cm cada.
c) 168 cm3 59
Geometria espacial
25. (UE-CE) Um fabricante de latas de alumínio com a
28. (Enem-MEC) A siderúrgica “Metal Nobre” produz
forma de cilindro circular reto vai alterar as dimensões das latas fabricadas de forma que o volume seja preservado. Se a medida do raio da base das novas latas é o dobro da medida do raio da base das antigas, então a medida da nova altura é:
diversos objetos maciços utilizando o ferro. Um tipo especial de peça feita nessa companhia tem o formato de um paralelepípedo retangular, de acordo com as dimensões indicadas na figura que segue.
a) a metade da medida da altura das latas antigas. b) um terço da medida da altura das latas antigas.
1,3 m
Metal Nobre
c) um quarto da medida da altura das latas antigas. 0,5 m
d) dois terços da medida da altura das latas antigas.
26. (UE-RJ) Um sólido com a forma de um cone circular
Fernando Monteiro
reto, constituído de material homogêneo, flutua em um líquido, conforme a ilustração abaixo.
Se todas as geratrizes desse sólido forem divididas ao meio pelo nível do líquido, a razão entre o volume submerso e o volume do sólido será igual a: 1 2 3 b) 4 5 c) 6 7 d) 8
2,5 m
O produto das três dimensões indicadas na peça resultaria na medida da grandeza a) massa
d) capacidade
b) volume
e) comprimento
c) superfície
29. (Enem-MEC) Dona Maria, diarista na casa da família Teixeira, precisa fazer café para servir as vinte pessoas que se encontram numa reunião na sala. Para fazer o café, Dona Maria dispõe de uma leiteira cilíndrica e copinhos plásticos, também cilíndricos. 8 cm
a)
27. (FGV-SP) Após t horas do início de um vazamento de óleo de um barco em um oceano, constatou-se ao redor da embarcação a formação de uma mancha com a forma de um círculo cujo raio r varia com o 30 0,5 tempo t mediante a função r(t) 5 t metros. A √ p espessura da mancha ao longo do círculo é de 0,5 centímetros. Desprezando a área ocupada pelo barco na mancha circular, podemos afirmar que o volume de óleo que vazou entre os instantes t 5 4 horas e t 5 9 horas foi de: a) 12,5 m3 b) 15 m3 c) 17,5 m3 d) 20 m3 e) 22,5 m3 60
4 cm 20 cm
4 cm
Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista deseja colocar a quantidade mínima de água na leiteira para encher os vinte copinhos pela metade. Para que isso ocorra, Dona Maria deverá: a) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo. b) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo. c) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo. d) encher duas leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo. e) encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.
30. (Enem-MEC) Para construir uma manilha de esgoto, um cilindro com 2 m de diâmetro e 4 m de altura (de espessura desprezível) foi envolvido homogeneamente por uma camada de concreto, contendo 20 cm de espessura.
Matemática Volume Único Supondo que cada metro cúbico de concreto custe R$ 10,00 e tomando 3,1 como valor aproximado de p, então o preço dessa manilha é igual a:
acidente na cozinha culminou na quebra de grande parte desses recipientes. Para substituir as taças quebradas, utilizou-se um outro tipo com formato de cone (Figura 2). No entanto, os noivos solicitaram que o volume de champanhe nos dois tipos de taças fosse igual.
a) R$ 230,40 b) R$ 124,00 c) R$ 104,16 d) R$ 54,56
R 5 3 cm
e) R$ 49,60
31. (Enem-MEC) No manejo sustentável de florestas, é
h
preciso muitas vezes obter o volume da tora que pode ser obtida a partir de uma árvore. Para isso, existe um método prático, em que se mede a circunferência da árvore à altura do peito de um homem (1,30 m), conforme indicado na figura. A essa medida denomina-se “rodo” da árvore. O quadro a seguir indica a fórmula para se cubar, ou seja, obter o volume da tora em m3 a partir da medida do rodo e da altura da árvore.
V 5 rodo2 3 altura 3 0,06 O rodo e a altura da árvore devem ser medidos em metros. O coeficiente 0,06 foi obtido experimentalmente.
Um técnico em manejo florestal recebeu a missão de cubar, abater e transportar cinco toras de madeira, de duas espécies diferentes, sendo: • 3 toras da espécie I, com 3 m de rodo, 12 m de comprimento e densidade 0,77 toneladas/m3;
Figura 1
Ilustrações: Fernando Monteiro
O volume da tora em m3 é dado por
R 5 3 cm
Figura 2
Considere: 4 1 Vesfera 5 pR3 e Vcone 5 pR2h 3 3 Sabendo que a taça com o formato de hemisfério é servida completamente cheia, a altura do volume de champanhe que deve ser colocado na outra taça, em centímetros, é de: a) 1,33 b) 6,00 c) 12,00 d) 56,52 e) 113,04
33. (Enem-MEC) Um porta-lápis de madeira foi construí do no formato cúbico, seguindo o modelo ilustrado abaixo. O cubo de dentro é vazio. A aresta do cubo maior mede 12 cm e a do cubo menor, que é interno, mede 8 cm.
•2 toras da espécie II, com 4 m de rodo, 10 m de comprimento e densidade 0,78 toneladas/m3. Após realizar seus cálculos, o técnico solicitou que enviassem caminhões para transportar uma carga de, aproximadamente a) 29,9 toneladas b) 31,1 toneladas c) 32,4 toneladas d) 35,3 toneladas e) 41,8 toneladas
32. (Enem-MEC) Em um casamento, os donos da festa serviam champanhe aos seus convidados em taças com formato de um hemisfério (Figura 1), porém um
O volume de madeira utilizado na confecção desse objeto foi de a) 12 cm3 b) 64 cm3 c) 96 cm3 d) 1 216 cm3 e) 1 728 cm3 61
Geometria espacial
34. (UFF-RJ) Para ser aprovada pela FIFA, uma bola de futebol deve passar por vários testes. Um deles visa garantir a esfericidade da bola: o seu “diâmetro” é medido em dezesseis pontos diferentes e, então, a média aritmética desses valores é calculada. Para passar nesse teste, a variação de cada uma das dezesseis medidas do “diâmetro” da bola com relação à média deve ser no máximo 1,5%. Nesse teste, as variações medidas na Jabulani, bola oficial da Copa do Mundo de 2010, não ultrapassaram 1%.
Dessa forma, é correto afirmar que: a) x [5, 6)
d) x [3, 4)
b) x [2, 3)
e) x [4, 5)
c) x 5 1
35. (Fuvest-SP) A esfera ε, de centro O e raio r > 0, é tangente ao plano a. O plano b é paralelo a a e contém O. Nessas condições, o volume da pirâmide que tem como base um hexágono regular inscrito na intersecção de e com b e, como vértice, um ponto em a, é igual a: 4
b)
5 √ 3r3 16
c)
3 √ 3r3 8
15 cm
Imagebroker RM/Diomedia
Se o diâmetro de uma bola tem aumento de 1%, então o seu volume aumenta x%.
√ 3r3 a)
120°
p √ 3 cm3 3 100p b) cm3 3 128p c) cm3 3 a)
d) 128p cm3 e)
500p √ 5 cm3 3
38. (UF-AL) Na ilustração a seguir, temos um paralelepípedo retângulo e são conhecidos os ângulos que duas das diagonais de duas faces adjacentes formam com arestas da base e o comprimento da diagonal da face superior, como estão indicados na figura. Qual o volume do paralelepípedo?
√ 30 cm
a) 23 cm3 b) 24 cm3
7 √ 3r3 d) 16 e)
c) 25 cm3
√ 3r3
d) 26 cm3
2
60°
36. (UF-AL) A cúpula de uma catedral tem a forma de uma semiesfera (sem incluir o círculo da base) com diâmetro medindo 50 m. O exterior da cúpula será restaurado ao custo de R$ 800,00 por metro quadrado. Quanto custará a restauração? Dado: use a aproximação p 3,14.
e) 27 cm3
30°
39. (UF-PA) Uma rasa é um paneiro utilizado na venda
a) 3,14 milhões de reais
de frutos de açaí. Um típico exemplar tem forma de um tronco de cone, com diâmetro de base 28 cm, diâmetro de boca 34 cm e altura 27 cm. Podemos afirmar, utilizando p 5 3,14, que a capacidade da rasa, em litros, é aproximadamente
b) 6,28 milhões de reais
a) 18
d) 24
c) 7,28 milhões de reais
b) 20
e) 26
d) 8,14 milhões de reais
c) 22
e) 262 milhões de reais
37. (UF-PI) De um círculo feito com uma folha de cartolina com raio 15 cm, é retirado um setor de ângulo central igual a 120°. Com o que restou do círculo, constrói-se um copo cônico. Qual é o volume desse copo? 62
40. (UPE-PE) Um cone circular reto possui o mesmo volume de uma esfera com raio igual à medida do raio da base deste cone. Sabendo-se que a soma do raio da base do cone com sua altura é igual a 5 metros, qual o volume deste cone em m3?
Matemática Volume Único 2p 3 4p e) 3
d)
41. (UF-RN) Como parte da decoração de sua sala de trabalho, José colocou sobre uma mesa um aquário de acrílico em forma de paralelepípedo retângulo, com dimensões medindo 20 cm 3 30 cm 3 40 cm. Com o aquário apoiado sobre a face de dimensões 40 cm 3 20 cm, o nível da água ficou a 25 cm de altura. Se o aquário fosse apoiado sobre a face de dimensões 20 cm 3 30 cm, a altura da água, mantendo-se o mesmo volume, seria de, aproximadamente, a) 16 cm.
c) 33 cm.
b) 17 cm.
d) 35 cm.
Nesse contexto, sabendo-se que a mistura atingiu a altura máxima de 12 cm no filtro e que o volume do resíduo do pó de café 15 que ficou no filtro era de 28π cm3, é correto afirmar que, no recipiente, 18 o café atingiu uma altura de pelo menos: a) 6,3 cm b) 4 cm
42. (UE-MA) Uma pirâmide regular de base hexagonal tem altura igual a 5 m e é interceptada por um plano paralelo a sua base a uma distância de 2 m de seu vértice, formando uma região de área igual a 25 m2. A área da base dessa pirâmide é: a) 156,25 m
d) 125,00 m
b) 165,52 m2
e) 225,00 m2
2
um recipiente, conforme a figura abaixo. Nessa situa ção, considere: •o recipiente tem a forma de um cilindro circular reto, com diâmetro e altura medindo 12 cm e 20 cm respectivamente; •o filtro tem a forma de um cone circular reto, com diâmetro e altura medindo 15 cm e 18 cm respectivamente.
Ilustrações: Fernando Monteiro
p 2 5p b) 3 p c) 3
a)
2
c) 3 cm
20
d) 5,5 cm e) 2 cm 12
45. (UF-AM) Uma piscina tem a forma e as medidas conforme a figura a seguir: 3x + 9
c) 150,00 m2
43. (UF-AM) Considere as seguintes proposições: I. Se dois planos α e β são paralelos a uma reta r, então α é paralelo a β. II. Se as projeções ortogonais de duas retas, sobre um plano, são paralelas, então as retas são paralelas. III. Se dois pontos distintos de uma reta pertencem a um plano, então a reta está contida neste plano. IV. Se duas retas r e s são concorrentes, então elas possuem um único ponto em comum. Podemos afirmar que: a) somente as proposições I e II são falsas. b) somente as proposições II e III são falsas. c) somente as proposições I e IV são verdadeiras. d) todas as proposições são falsas. e) todas as proposições são verdadeiras.
44. (UF-PB) Para fazer seu cafezinho, dona Severina ferve a água e o pó de café juntos; em seguida, despeja essa mistura em um filtro de onde o café escoa para
3x
9–x x+3 x+1 x+3
A aplicação polinomial que melhor representa o volume desta piscina é: 51 2 45 a) V(x) 5 9x3 1 x 1 x 1 5 2 2 45 2 b) V(x) 5 9x3 1 x 1 36x 1 3 2 45 81 c) V(x) 5 3x3 1 30x2 1 x 1 2 2 81 3 2 d) V(x) 5 3x 1 30x 1 6x 1 2 51 2 81 3 x 1 63x 1 e) V(x) 5 3x 1 2 2
46. (UF-PE) Uma pirâmide hexagonal regular tem a medida da área da base igual à metade da área lateral. Se a altura da pirâmide mede 6 cm, assinale o inteiro mais próximo do volume da pirâmide, em cm3. Dado: use a aproximação √ 3 1,73.
63
Geometria espacial
Geometria espacial Respostas 1. 1,44 m2
( 10 ) 2. a) √ 4 9 b) 16
c)
20. a)
(36 1 p) cm2 b) r 5
(3 √ 3 ) 64
4. a) 1,25 m
24. d 25. c 26. d
5. d
27. e
6. 04 1 08 5 12
28. b
7. a) 400 da espécie A e 200 da espécie B.
29. a
b) 3 m 3 3 m 3 2 m
2p
22. b 23. b
b) R$ 170,00 180 c) 20p2 1 p
( √3 p2 ) cm
21. 7,7 m
3. d
30. d
8. d
31. a
9. são corretas: 2 e 16
32. b
10. são corretas: 01, 02, 08 e 16
33. d
11. c
34. d
12. d
35. e 36. a
13. b
37. e
14. b 15. a) 2a2 ? √ 3 b)
18 cm p
(a3 ? √ 2 )
38. e 39. b
3 (a ? √ 6 ) c) 3 16. d
40. e
17. a) 16π cm3
43. a
b) π ? x
44. e
3
41. c 42. a
18. 3
45. e
19. c
46. 83,04 cm3
64
Matemática Volume Único
Análise combinatória, probabilidade e binômio de Newton 1. (FGV-SP) Se
5. (UF-RS) O Google, site de buscas na internet criado há onze anos, usa um modelo matemático capaz de entregar resultados de pesquisas de forma muito eficiente. Na rede mundial de computadores, são realizadas, a cada segundo, 30 000 buscas, em média. A tabela a seguir apresenta a distribuição desse total entre os maiores sites de busca.
n 2 1 n 2 1 n2 2 n , 1 5 2 5 6 então n é igual a: a) 4 b) 6 c) 9
Sites
Buscas
d) 5
Google
21 000
e) 8
Yahoo
2 700
2. (UF-CE) O símbolo n indica a combinação de n k
Microsoft
800
Outros
5 500
Total
30 000
objetos k a k. O valor de x2 2 y2 quando 20
k
20
x 5 420 ? ∑ 20 ? 3 e y 5 520 ? ∑ 20 ? 2 k50 k k50 k 4 5 é igual a: a) 0
d) 225
b) 21
e) 2125
k
c) 25
De acordo com esses dados, se duas pessoas fazem simultaneamente uma busca na internet, a probabilidade de que pelo menos uma delas tenha usado o Google é a) 67% b) 75% c) 83%
3. (Fatec-SP) Admita que, na FATEC-SP, há uma turma
d) 91%
de 40 alunos de Logística, sendo 18 rapazes; e uma turma de 36 alunos de Análise de Sistemas, sendo 24 moças. Para participar de um debate serão escolhidos aleatoriamente dois alunos, um de cada turma. Nessas condições, a probabilidade de que sejam escolhidos uma moça e um rapaz é: 29 81 d) a) 60 160 47 183 b) e) 96 360 73 c) 144
e) 99%
4. (Mackenzie-SP) Eu vou ser aprovado no vestibular do Mackenzie. Cada palavra da frase acima é colocada em uma urna. Sorteando-se, sucessivamente, sem reposição, duas palavras, a probabilidade de pelo menos uma das palavras sorteadas ter mais do que 4 letras é: 9 5 d) a) 14 15 6 21 b) e) 56 56 5 c) 14
6. (UF-RS) Uma urna contém bolas numeradas de 1 até 15. Retirando-se da urna 3 bolas, sem reposição, a probabilidade de a soma dos números que aparecem nessas bolas ser par é: 1 13 6 b) 13 28 c) 65
a)
31 65 33 e) 65 d)
7. (Ita-SP) A expressão (2 √ 3 1 √ 5 ) 2 (2 √ 3 2 √ 5 ) é 5
5
igual a: a) 2 630 √ 5 b) 2 690 √ 5 c) 2 712 √ 5 d) 1 584 √ 15 e) 1 604 √ 15
8. (PUC-RS) Uma melodia é uma sequência de notas musicais. Para compor um trecho de três notas mu65
Análise combinatória, probabilidade e binômio de Newton
sicais sem repeti-las, um músico pode utilizar as sete notas que existem na escala musical. O número de melodias diferentes possíveis de serem escritas é: a) 3 b) 21 c) 35 d) 210 e) 5 040
9. (UF-CE) Poupêncio investiu R$ 1 000,00 numa aplicação bancária que rendeu juros compostos de 1% ao mês, por cem meses seguidos. Decorrido esse prazo, ele resgatou integralmente a aplicação. O montante resgatado é suficiente para que Poupêncio compre um computador de R$ 2 490,00 à vista? Explique sua resposta.
10. (UF-PR) Em uma população de aves, a probabilidade 1 . 25 Quando uma ave está doente, a probabilidade de 1 ser devorada por predadores é , e, quando não 4 está doente, a probabilidade de ser devorada por 1 predadores é . Portanto, a probabilidade de uma 40 ave dessa população, escolhida aleatoriamente, ser de um animal estar doente é
Educacional do MEC financia e instala laboratórios de informática nas escolas públicas de Educação Básica. Suponha que, no processo de licitação para a compra dos computadores destinados aos laboratórios, o MEC tenha a sua disposição 15 consultores técnicos, sendo que 10 são consultores júnior e 5 são consultores sênior. Dois fabricantes de computadores, sendo um da marca A e outro da marca B, resolveram participar do processo de licitação. Para decidir qual marca comprar, uma equipe de consultores técnicos testou as duas marcas durante uma semana. Os técnicos concluíram que a probabilidade de que ocorra 1 um problema em computadores da marca A é de , 2 1 1 da marca B é de , e, em ambas, é de . 4 100 Com base nestas informações, responda às seguintes perguntas: a) Se o MEC deseja designar 5 consultores técnicos para compor a equipe de testes, sendo que 3 são consultores júnior e 2 são consultores sênior, de quantas maneiras distintas podem ser escolhidos os 5 consultores? b) Durante os testes realizados, qual a probabilidade de que nenhuma marca tenha apresentado problema?
13. (UF-ES) Três casais devem sentar-se em 8 poltronas de uma fileira de um cinema. Calcule de quantas maneiras eles podem sentar-se nas poltronas:
devorada por predadores é de: a) 1,0%
a) de modo arbitrário, sem restrições;
b) 2,4%
b) de modo que cada casal fique junto;
c) 4,0%
c) de modo que todos os homens fiquem à esquerda ou todos os homens fiquem à direita de todas as mulheres.
d) 3,4% e) 2,5% a11 a12 a13
11. (Unicamp-SP) Considere a matriz A 5 a21 a22 a23 , a31 a32 a33 cujos coeficientes são números reais.
a) Suponha que exatamente seis elementos dessa matriz são iguais a zero. Supondo também que não há nenhuma informação adicional sobre A, calcule a probabilidade de que o determinante dessa matriz não seja nulo. b) Suponha, agora, que aij 5 0 para todo elemento em que j . i, e que aij 5 i 2 j 1 1 para os elementos em que j < i. Determine a matriz A, nesse caso, e calcule sua inversa, A−1. 66
12. (UFU-MG) O Programa Nacional de Tecnologia
14. (UE-RJ) Uma rede é formada de triângulos equiláteros congruentes, conforme a representação abaixo.
B
A
Uma formiga se desloca do ponto A para o ponto B sobre os lados dos triângulos, percorrendo X cami-
Matemática Volume Único nhos distintos, cujos comprimentos totais são todos iguais a d.
a) 26
d) 30
b) 24
e) 28
Sabendo que d corresponde ao menor valor possível para os comprimentos desses caminhos, X equivale a:
c) 22
a) 20
c) 12
b) 15
d) 10
19. (FGV-SP) a) Em um laboratório, uma caixa contém pequenas peças de mesma forma, tamanho e massa. As peças são numeradas, e seus números formam uma progressão aritmética:
15. (Unemat-MT) Em uma competição há sete candidatos, dois do sexo masculino e cinco do sexo feminino. Para definir os dois primeiros candidatos que irão iniciar a competição, efetuam-se dois sorteios seguidos, sem reposição, a partir de uma urna contendo fichas com os nomes de todos os candidatos.
5, 10, 15, ..., 500 Se retirarmos ao acaso uma peça da caixa, qual é a probabilidade, expressa em porcentagem, de obtermos um número maior que 101?
Nesta situação, a probabilidade de os dois nomes sorteados serem do sexo feminino é de: 10 21 7 b) 21 2 c) 5 a)
5 7 5 e) 14
b) Explique por que podemos afirmar que 101! 1 19 não é um número primo.
d)
20. (Enem-MEC) A figura I abaixo mostra um esquema das principais vias que interligam a cidade A com a cidade B. Cada número indicado na figura II representa a probabilidade de pegar um engarrafamento quando se passa na via indicada.
16. (UE-RJ) Ao refazer seu calendário escolar para o se-
Assim, há uma probabilidade de 30% de se pegar engarrafamento no deslocamento do ponto C ao ponto B, passando pela estrada E4, e de 50%, quando se passa por E3. Essas probabilidades são independentes umas das outras.
gundo semestre, uma escola decidiu repor algumas aulas em exatamente 4 dos 9 sábados disponíveis nos meses de outubro e novembro de 2009, com a condição de que não fossem utilizados 4 sábados consecutivos. Para atender às condições de reposição das aulas, o número total de conjuntos distintos que podem ser formados contendo 4 sábados é de: a) 80
c) 120
b) 96
d) 126
E3
a) 66 888 000
c) 78 624 000
b) 72 624 000
d) 84 888 000
18. (FGV-SP) As saladas de frutas de um restaurante são feitas misturando pelo menos duas frutas escolhidas entre: banana, laranja, maçã, abacaxi e melão. Quantos tipos diferentes de saladas de frutas podem ser feitos considerando apenas os tipos de frutas e não as quantidades?
C 0,5
E1 E4 A E6
E2
E5
0,8 0,3
B
17. (UE-CE) A senha de um cartão eletrônico possui sete caracteres, todos distintos, sendo quatro algarismos e três letras maiúsculas, intercalando algarismos e letras (por exemplo, 5C7X2P8). Sabendo que são disponibilizados 26 letras e 10 algarismos, o número de senhas distintas que podem ser confeccionadas é:
C
B
A 0,6
0,7
0,4
D
D
Figura I
Figura II
Paula deseja se deslocar da cidade A para a cidade B usando exatamente duas das vias indicadas, percorrendo um trajeto com a menor probabilidade de engarrafamento possível. O melhor trajeto para Paula é a) E1E3 b) E1E4 c) E2E4 d) E2E5 e) E2E6 67
Análise combinatória, probabilidade e binômio de Newton
21. (Enem-MEC) O diretor de um colégio leu numa revista que os pés das mulheres estavam aumentando. Há alguns anos, a média do tamanho dos calçados das mulheres era de 35,5 e, hoje, é de 37,0. Embora não fosse uma informação científica, ele ficou curioso e fez uma pesquisa com as funcionárias do seu colégio, obtendo o quadro a seguir: Tamanho dos calçados Número de funcionárias
b) 90 min
38,0
10
c) 120 min
37,0
3
d) 180 min
36,0
5
e) 360 min
35,0
6
23. (UF-RJ) Um ponto M é selecionado ao acaso no inte-
1 b) 5
e)
5 14
24. (UFF-RJ) Muitos consideram a Internet como um novo
2 5
22. (Enem-MEC) João mora na cidade A e precisa visitar cinco clientes, localizados em cidades diferentes da sua. Cada trajeto possível pode ser representado por uma sequência de 7 letras. Por exemplo, o trajeto ABCDEFA informa que ele saíra da cidade A, visitando as cidades B, C, D, E e F nesta ordem, voltando para a cidade A. Além disso, o número indicado entre as letras informa o custo do deslocamento entre as cidades. A figura mostra o custo de deslocamento entre cada uma das cidades. B 4
6
C
5
8
12
9
3 2 7
D
continente que transpassa fronteiras geográficas e conecta computadores dos diversos países do globo. Atualmente, para que as informações migrem de um computador para outro, um sistema de endereçamento denominado IPv4 (Internet Protocol version 4) é usado. Nesse sistema, cada endereço é constituí do por quatro campos separados por pontos. Cada campo, por sua vez, é um número inteiro no intervalo [0, 28 2 1]. Por exemplo, o endereço IPv4 do servidor WEB da UFF é 200.20.0.21. Um novo sistema está sendo proposto: o IPv6. Nessa nova versão, cada endereço é constituído por oito campos e cada campo é um número inteiro no intervalo [0, 216 2 1]. Thinkstock/Getty Images
5 7
A
rior de um círculo C de raio 2 e centro O. Em seguida, constrói-se um quadrado, também centrado em O, que tem M como ponto médio de um de seus lados. Calcule a probabilidade de que o quadrado assim construído esteja inteiramente contido no círculo C.
d)
6
a) 60 min
1
1 3
c)
O tempo mínimo necessário para João verificar todas as sequências possíveis no problema é de
39,0
Escolhendo uma funcionária ao acaso e sabendo que ela tem calçado maior que 36,0, a probabilidade de ela calçar 38,0 é: a)
Examinando a figura, percebe que precisa considerar somente parte das sequências, pois os trajetos ABCDEFA e AFEDCBA têm o mesmo custo. Ele gasta 1min30s para examinar uma sequência e descartar sua simétrica, conforme apresentado.
6
10 8
F
13 5
68
E
Com base nessas informações, é correto afirmar que:
Como João quer economizar, ele precisa determinar qual o trajeto de menor custo para visitar os cinco clientes.
a) o número de endereços diferentes no sistema IPv6 é o quádruplo do número de endereços diferentes do sistema IPv4.
Matemática Volume Único
c) existem exatamente 232 endereços diferentes no sistema IPv4. d) o número de endereços diferentes no sistema IPv6 é o dobro do número de endereços diferentes do sistema IPv4. e) existem exatamente (28 2 1)4 endereços diferentes no sistema IPv4.
25. (UF-PR) Em uma cidade de 250 000 habitantes, aproximadamente 10 000 foram vacinados contra o vírus H1N1, número muito menor do que as autoridades de saúde previam. Se tomarmos aleatoriamente 50 habitantes dessa cidade, quantos deles se espera que tenham sido vacinados contra o vírus H1N1? a) 2 habitantes b) 6 habitantes c) 8 habitantes d) 12 habitantes e) 15 habitantes
26. (Fuvest-SP) Um dado cúbico, não viciado, com faces numeradas de 1 a 6, é lançado três vezes. Em cada lançamento, anota-se o número obtido na face superior do dado, formando-se uma sequência (a, b, c). Qual é a probabilidade de que b seja sucessor de a ou que c seja sucessor de b? 4 27 11 b) 54 7 c) 27 10 d) 27 23 e) 54
b) Já sabemos que o time B sempre perde para o time A. Além disso, a probabilidade de vitória do time B, quando este enfrenta os times C, D ou E, 1 é sempre igual a , e a probabilidade de vitória 4 do time B, quando este enfrenta os times F, G ou 2 H, é sempre igual a . Qual é a probabilidade de 3 o time B avançar à próxima fase?
28. (UE-GO) Na cantina “Canto Feliz”, surgiram as seguintes vagas de trabalho: duas para serviços de limpeza, cinco para serviços de balcão, quatro para serviços de entregador e uma para serviços gerais. Para preencher essas vagas, candidataram-se 23 pessoas: oito para a função de limpeza, sete para a de balconista, seis para a de entregador e duas para serviços gerais. Considerando todas as possibilidades de seleção desses candidatos, determine o número total dessas possibilidades.
29. (UE-RJ) Uma máquina contém pequenas bolas de borracha de 10 cores diferentes, sendo 10 bolas de cada cor. Ao inserir uma moeda na máquina, uma bola é expelida ao acaso. Observe a ilustração: INB - Images/Glow Images
b) existem exatamente 4 ? (28 2 1) endereços diferentes no sistema IPv4.
a)
27. (U.F. Juiz de Fora-MG) Nas quartas de final de um campeonato de futebol, 8 times, denominados A, B, C, D, E, F, G e H, serão divididos aleatoriamente em 4 grupos de 2 times. Em cada grupo, os 2 times se enfrentam sem possibilidade de empate. O perdedor é eliminado e o vencedor avança para a próxima fase. a) O time A sempre vence os times B, C, D e E. Além disso, o time A sempre perde dos times F, G e H. Qual é a probabilidade de o time A avançar à próxima fase?
Para garantir a retirada de 4 bolas de uma mesma cor, o menor número de moedas a serem inseridas na máquina corresponde a: a) 5 b) 13 c) 31 d) 40
30. (UF-PI) Considere os resultados da Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas – 2008 e os números de medalhas dos alunos do Piauí, Ceará e Maranhão, apresentados no quadro a seguir. Qual é 69
Análise combinatória, probabilidade e binômio de Newton
CE
MA
PI
Totais
Ouro
19
1
1
21
Prata
31
7
8
46
Bronze
47
20
20
87
Totais
97
28
29
8 a) 29 31 b) 29 29 c) 46 8 d) 31 8 e) 46
31. (UF-MG) Numa brincadeira, um dado, com faces numeradas de 1 a 6, será lançado por Cristiano e, depois, por Ronaldo. Será considerado vencedor aquele que obtiver o maior número como resultado do lançamento. Se, nos dois lançamentos, for obtido o mesmo resultado, ocorrerá empate. Com base nessas informações, 1. C ALCULE a probabilidade de ocorrer um empate. 2. C ALCULE a probabilidade de Cristiano ser o vencedor.
32. (UF-RN) Uma família é composta por cinco pessoas: os pais, duas meninas e um menino. No aniversário de casamento dos pais, uma foto foi “tirada” com os filhos em pé e os pais sentados à frente dos filhos. Mantendo-se os pais à frente dos filhos, a) qual a quantidade máxima de fotos diferentes que podem ser tiradas, com relação à ordem de localização das pessoas na foto? b) dentre as diferentes fotos obtidas, qual a probabilidade do pai estar à esquerda da mãe e o menino ficar entre as duas meninas?
33. (UF-PE) Um escritório tem 7 copiadoras e 8 funcionários que podem operá-las. Calcule o número m de maneiras de se copiar simultaneamente (em máquinas distintas, sendo operadas por funcionários diferentes) 5 trabalhos idênticos neste escritório. Indique a soma dos dígitos de m. 70
34. (UF-PE) Um construtor compra 60% das suas telhas da Companhia A e o restante da Companhia B. Suponha que 96% das telhas compradas de A são entregues sem defeito, e o mesmo ocorre com 98% das telhas de B. Se uma telha foi entregue com defeito, calcule a probabilidade percentual p% de ter sido entregue pela Companhia A. Indique p.
35. (UF-AM) As cidades A, X, Y, Z e B estão interligadas por rodovias indicadas conforme a figura a seguir. De quantos modos uma pessoa pode sair da cidade A e chegar à cidade B, passando apenas uma vez por cada cidade em cada caminho escolhido? Fernando Monteiro
a probabilidade de se escolher dentre esses alunos um que seja do Piauí, dado que ele tenha recebido medalha de prata?
a) 90 b) 92 c) 94 d) 95 e) 102
36. (UE-PI) O código de abertura de um cofre é formado por seis dígitos (que podem se repetir, e o código pode começar com o dígito 0). Quantos são os códigos de abertura com pelo menos um dígito 7? a) 468 559 b) 468 595 c) 486 595 d) 645 985 e) 855 964
37. (UF-MG) Cinco times de futebol, de igual excelência, vão disputar oito edições seguidas de um torneio anual. Considerando essa informação: 1. CALCULE a probabilidade de um mesmo time vencer as duas primeiras edições desse torneio. 2. CALCULE a probabilidade de não haver vencedo res consecutivos durante a realização das oito edições desse torneio.
38. (UF-PE) No desenvolvimento binomial de 1 1 quantas parcelas são números inteiros?
1 3
10
,
Matemática Volume Único
39. (UF-RN) De um grupo de cinco homens e quatro
41. (UF-GO) Observa-se empiricamente, em diversas
mulheres, duas pessoas serão premiadas com uma viagem. Como todos merecem o prêmio, a escolha será feita escrevendo-se o nome de cada um num pedaço de papel, que será colocado numa urna. Sem nenhuma possibilidade de identificação prévia, dois papéis serão retirados da urna.
séries estatísticas quantitativas, que é muito maior a frequência de dados cujo primeiro dígito (à esquerda) é 1 do que a frequência de dados cujo primeiro dígito é 9. Por exemplo, na série de população dos 5 565 municípios brasileiros publicada pelo IBGE em 2009, existem 1 619 municípios cuja população é expressa por um número iniciado por 1 (por exemplo: Goiânia, 1 281 975 habitantes), enquanto em apenas 209 municípios a população é expressa por um número iniciado por 9 (por exemplo: Itumbiara, 92 832 habitantes). Esse fato é conhecido como lei de Benford, e é expresso da seguinte maneira: em um conjunto de observações numéricas satisfazendo essa lei, a probabilidade de que o primeiro dígito seja D, em que D pode assumir os valores inteiros de 1 a
Determine a probabilidade de as duas pessoas escolhidas serem homens.
40. (UF-RN) Um empresário contribui financeiramente para uma instituição filantrópica e a visita semanalmente, sendo o dia da semana escolhido aleatoriamente. Em duas semanas consecutivas, a probabilidade de a visita ocorrer no mesmo dia da semana é a) três vezes a probabilidade de ocorrer em dois dias distintos. b) um terço da probabilidade de ocorrer em dois dias distintos. c) seis vezes a probabilidade de ocorrer em dois dias distintos. d) um sexto da probabilidade de ocorrer em dois dias distintos.
9, é dada por: PD 5 log 1 1
1 . D
De acordo com essas informações, para uma série de dados que satisfaz a lei de Benford, extraindo um dado ao acaso, qual é a probabilidade de se ter o primeiro dígito menor do que 5? Use log 2 5 0,3
71
Análise combinatória, probabilidade e binômio de Newton
Análise combinatória, probabilidade e binômio de Newton Respostas 1. e
20. d
2. a
21. d
3. a
22. b
4. a
23. 50%
5. d
24. c
6. e
25. a
7. b
26. c
8. d
27. a)
4 7 11 b) 28
9. (11 0,01)100 . 2 495 Para verificar essa afirmação, some os três primeiros termos do desenvolvimento do binômio. Logo, o montante resgatado será suficiente para comprar o computador de R$ 2 490,00.
29. c 30. e
10. d 11. a)
28. 17 640
1 14
b) A
21
1 6 5 2) 12
31. 1) 1 0 5 22 1 1 22
0 0 1
32. a) 12 b)
12. a) 1 200 b) 26%
13. a) 20 160
33. 141 120 maneiras; a soma dos dígitos é 9. 34. 75
b) 480
35. d
c) 2 016
36. a
14. b 15. a
37. 1)
18. a 19. a) 80% b) Observe que 101! 1 19 é múltiplo de 19, pois um dos fatores de 101! é igual a 19.
72
1 5
2) 4 5
16. c 17. c
1 6
38. 2 39.
5 18
40. d 41. 70%
7
Matemática Volume Único
Geometria analítica 1. (U.E. Londrina-PR) O vértice, o foco e a reta diretriz da parábola de equação y 5 x são dados por: 2
a) Vértice: (0, 0); Foco: 0, y52
1 ; Reta diretriz: 4
1 4
Com base nessas informações é CORRETO afirmar que a equação da circunferência que passa em B e tem centro em A é: a) (x 2 6)2 1 y 5 45 b) x2 1 (y 2 6)2 5 9 c) x2 1 (y 2 6)2 5 45
b) Vértice: (0, 0); Foco: 0,
1 ; Reta diretriz: 2
1 y52 2 c) Vértice: (0, 0); Foco: (0, 1); Reta diretriz: y 5 21 d) Vértice: (0, 0); Foco: (0, 21); Reta diretriz: y 5 1 e) Vértice: (0, 0); Foco: (0, 2); Reta diretriz: y 5 22
2. (Ita-SP) Considere a parábola de equação y 5 ax2 1 1 bx 1 c, que passa pelos pontos (2, 5), (21, 2) e tal que a, b, c formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. Determine a distância do vértice da parábola à reta tangente à parábola no ponto (2, 5).
3. (UF-PA) Conhecendo as coordenadas de três pontos A(0, 2), B(3, 0) e C(21, 22), encontre a coordenada do centro da circunferência que contém os três pontos.
4. (PUC-RJ) Dadas a parábola y 5 x2 1 x 1 1 e a reta
d) (x 2 6)2 1 y2 5 9 e) x2 1 (y 2 3)2 5 9
6. (U.F. Santa Maria-RS) A massa utilizada para fazer pastéis folheados, depois de esticada, é recortada em círculos (discos) de igual tamanho. Sabendo que a equação matemática da circunferência que limita o círculo é x2 1 y2 2 4x 2 6y 2 36 5 0 e adotando π 5 3,14, o diâmetro de cada disco e a área da massa utilizada para confeccionar cada pastel são, respectivamente: a) 7 e 113,04 b) 7 e 153,86 c) 12 e 113,04 d) 14 e 113,04 e) 14 e 153,86
7. (PUC-RJ) Calcule a área do triângulo de vértices A 5 (1, 2), B 5 (2, 4) e C 5 (4, 1).
y 5 2x 1 m:
y
a) Determine os valores de m para os quais a reta intercepta a parábola.
B
b) Determine para qual valor de m a reta tangencia a parábola. Determine também o ponto de tangência.
A C x
5. (U.F. Pelotas-RS) O gráfico a seguir representa a função: f(x) 5 x2 2 5x 1 6.
5 2 b) 3
a)
y A
7 2 d) 4 c)
e)
9 2
8. (Udesc-SC) Analise as afirmações dadas a seguir,
B x
classifique-as como verdadeiras (V) ou falsas (F). 73
Geometria analítica
(
)A equação x2 2 2x 1 y2 1 2y 1 1 5 0 representa uma circunferência que é tangente tanto ao eixo das abscissas quanto ao eixo das ordenadas.
(
)A elipse de equação 9x2 1 4y2 5 36 intercepta a hipérbole de equação x2 2 4y2 5 4 em apenas dois pontos, que são os vértices da hipérbole.
(
)O semieixo maior da elipse 9x2 1 4y2 5 36 é paralelo ao eixo real da hipérbole x2 2 4y2 5 4.
Assinale a alternativa que contém a sequência correta, de cima para baixo.
A reta s, paralela à reta r, que divide o paralelogramo ABCD em dois polígonos de mesma área, terá por equação: a) 3x 2 5y 2 5 5 0 b) 3x 2 5y 5 0 c) 6x 2 10y 2 1 5 0 d) 9x 2 15y 2 2 5 0 e) 12x 2 20y 2 1 5 0
13. (U.E. Ponta Grossa-PR) Sabendo que os pontos
a) V – V – V
d) F – F – V
A(–3, –1), B(–2, 6) e C(5, 5) são vértices de um quadrado ABCD, assinale o que for correto.
b) V – V – F
e) V – F – F
01) A área do quadrado vale 50 u.a. 02) O vértice D tem coordenadas (4, –2).
c) F – V – F
9. (UF-CE) Um losango do plano cartesiano Oxy tem vértices A(0, 0), B(3, 0), C(4, 3) e D(1, 3). a) Determine a equação da reta que contém a diagonal AC. b) Determine a equação da reta que contém a diagonal BD. c) Encontre as coordenadas do ponto de interseção das diagonais AC e BD.
10. (UF-CE) Considere as seguintes regiões do plano cartesiano xOy: A 5 {P(x, y); x2 1 y2 2 4x 2 4y 1 4 < 0} e B 5 {P(x, y); 0 < y < x < 4}. a) Identifique e esboce graficamente a região A. b) Identifique e esboce graficamente a região B. c) Calcule a área da região A B.
11. (UF-RJ) Os pontos (26, 2), (3, 21) e (25, 25) pertencem a uma circunferência. Determine o raio dessa circunferência.
04) A circunferência que circunscreve o quadrado tem raio igual a 5 u.c. 08) A reta suporte da diagonal BD tem equação 4x 1 3y – 10 5 0. 16) As diagonais do quadrado se interceptam no ponto (1, 2).
14. (Vunesp-SP) A figura mostra a representação de algumas das ruas de nossas cidades. Essas ruas possuem calçadas de 1,5 m de largura, separadas por uma pista de 7 m de largura. Vamos admitir que: I. os postes de iluminação projetam sobre a rua uma área iluminada na forma de uma elipse de excentricidade 0,943; II. o centro dessa elipse encontra-se verticalmente abaixo da lâmpada, no meio da rua; III. o eixo menor da elipse, perpendicular à calçada, tem exatamente a largura da rua (calçadas e pista). Se desejarmos que as elipses de luz se tangenciem nas extremidades dos eixos maiores, a distância, em metros, entre dois postes consecutivos deverá ser de aproximadamente: Dado: 0,9432 0,889 e √ 0,111 0,333 Fernando Monteiro
12. (Unifesp-SP) Num sistema cartesiano ortogonal, são dados os pontos A(1, 1), B(5, 1), C(6, 3) e D(2, 3), vértices de um paralelogramo, e a reta r, de equação r: 3x 2 5y 2 11 5 0. y D
C
a) 35 b) 30
A
B
r
c) 25 d) 20
x
74
e) 15
Matemática Volume Único
15. (UF-RS) Os pontos de interseção do círculo de equação (x 2 4)2 1 (y 2 3)2 5 25 com os eixos coordenados são vértices de um triângulo. A área desse triângulo é a) 22
19. (FGV-SP) A representação gráfica da equação (x 1 1 y)2 5 x2 1 y2 no sistema cartesiano ortogonal é: a) o conjunto vazio. b) um par de retas perpendiculares. c) um ponto.
b) 24
d) um par de pontos.
c) 25
e) um círculo.
d) 26
20. (Fuvest-SP) No sistema ortogonal de coordenadas
e) 28
16. (UFF-RJ) A palavra “perímetro” vem da combinação de dois elementos gregos: o primeiro, perí, significa “em torno de”, e o segundo, metron, significa “medida”.
cartesianas Oxy da figura, estão representados a circunferência de centro na origem e raio 3, bem √ 8 . como o gráfico da função y 5 |x| y
O perímetro do trapézio cujos vértices têm coordenadas (21, 0), (9, 0), (8, 5) e (1, 5) é: a) 10 1 √ 29 1 √ 26 b) 16 1 √ 29 1 √ 26 c) 22 1 √ 26
C
B
d) 17 1 2 √ 26 e) 17 1 √ 29 1 √ 26
D
A O
x
17. (FGV-SP) Dionísio possui R$ 600,00, que é o máximo que pode gastar consumindo dois produtos A e B em quantidades x e y respectivamente. O preço por unidade de A é R$ 20,00 e o de B é R$ 30,00. Admite-se que as quantidades x e y sejam representadas por números reais não negativos e sabe-se que ele pretende gastar no máximo R$ 300,00 com o produto A. Nessas condições, o conjunto dos pares (x, y) possíveis, representados no plano cartesiano, determinam uma região cuja área é: a) 195 b) 205
Nessas condições, determine a) as coordenadas dos pontos A, B, C, D de interseção da circunferência com o gráfico da função. b) a área do pentágono OABCD.
21. (UF-CE) Em um sistema cartesiano de coordenadas, o valor positivo de b tal que a reta y 5 x 1 b é tangente ao círculo de equação x2 1 y2 5 1 é: 1
a) 2
d)
b) 1
e) 3
√ 2
c) √ 2
c) 215 d) 225
22. (Cefet-SC) Dada a figura abaixo cujas medidas estão
e) 235
expressas em centímetros,
18. (FGV-SP) Dada a circunferência de equação x2 1 y2 2
2
2 6x 2 10y 1 30 5 0, seja P seu ponto de ordenada máxima. A soma das coordenadas de P é: 2
22
a) 10
d) 11,5
b) 10,5
e) 1
22
c) 11 75
Geometria analítica
e as proposições: I. é uma circunferência de diâmetro 2 cm. II. é uma circunferência de área 4p cm². III. é uma circunferência de equação x² 1 y² 5 4. Considerando as proposições apresentadas, assinale a alternativa correta: a) Apenas as proposições I e III são verdadeiras. b) Apenas as proposições I e II são verdadeiras. c) Apenas a proposição III é verdadeira. d) Apenas as proposições II e III são verdadeiras. e) Apenas a proposição II é verdadeira.
23. (UF-PR) A figura a seguir mostra uma circunferência tangente ao eixo y, com centro C sobre o eixo x e diâmetro de 10 unidades.
32) A imagem do triângulo OAB pela homotetia de 1 4 razão é um triângulo de área u.a. 3 3 64) A imagem do ponto D pela rotação de 45º em torno da origem do sistema, no sentido positivo, é o ponto de coordenadas (0, 3).
25. (Unicamp-SP) No desenho a seguir, a reta y 5 ax (a . 0) e a reta que passa por B e C são perpendiculares, interceptando-se em A. Supondo que B é o ponto (2, 0), resolva as questões que se seguem. a) Determine as coordenadas do ponto C em função de a. b) Supondo, agora, que a 5 3, determine as coordenadas do ponto A e a equação da circunferência com centro em A e tangente ao eixo x. y
y C
D
A
B
C
x
y5
ax
A
a) Sabendo que A 5 (8, 4) e que r: 3y 1 x 5 20 é a reta que passa por A e B, calcule a área do triângulo CAB. b) Encontre as coordenadas do ponto D, indicado na figura acima, no qual a reta r intercepta a circunferência.
24. (UF-BA) Na figura, considere os pontos A(4, 0), B(4, 2), C(4, 3) e D(3, 3) e a reta r que passa pela origem do sistema de coordenadas e pelo ponto B. y D
3 2
B
2
3
26. (UFU-MG) No plano cartesiano, considere o círculo S descrito pela equação cartesiana x2 1 y2 5 5 e a reta r descrita pela equação cartesiana y 5 2x. Assim, r intersecta S nos pontos A e B. Considerando uma nova reta h, descrita pela equação cartesiana y 5 x 1 1, esta reta intersecta S nos pontos A e C. a) Determine os pontos A, B e C.
27. (UF-TO) Considere as equações das circunferências:
r
C1: x2 2 2x 1 y2 2 2y 5 0 C2: x2 2 4x 1 y2 2 4y 5 0 cujos gráficos estão representados abaixo:
A 1
x
B
b) Determine a área do triângulo de vértices A, B e C.
C
1 O
O
4
x
Com base nessa informação, pode-se afirmar:
y
01) O triângulo BCD é equilátero. 02) A área do setor circular hachurado é igual a
p u.a. 4
C2
x representa a reta r. 2 08) O ângulo entre o eixo Ox, no sentido positivo, e a reta r mede 30º.
04) A equação y 5
16) A imagem do ponto C pela reflexão em relação à reta r é o ponto de coordenadas (4, 1). 76
C1
O
x
Matemática Volume Único A área da região hachurada é:
32. (UE-CE) Para valores reais de k, as equações (k 2 4)x 1 1 5y 2 5k 5 0 representam no plano cartesiano uma família de retas que passam pelo ponto fixo P(m, n). O valor de m 1 n é:
a) 3p unidades de área. b) p unidades de área. c) 5p unidades de área.
a) 9
d) 6p unidades de área.
b) 11
p e) unidades de área. 2
c) 13 d) 14
28. (UF-TO) Considere R o conjunto dos números reais e b R. Encontre os valores de b, tais que no plano cartesiano xy, a reta y 5 x 1 b intercepta a elipse x2 1 y2 5 1 em um único ponto. A soma dos valores 4 de b é: a) 0
d) √ 5
b) 2
e) 22 √ 5
33. (FGV-SP) No plano cartesiano, uma circunferência, cujo centro se encontra no segundo quadrante, tangencia os eixos x e y. Se a distância da origem ao centro da circunferência é igual a 4, a equação da circunferência é: a) x2 1 y2 1 (2 √ 10 )x 2 (2 √ 10 )y 1 10 5 0 b) x2 1 y2 1 (2 √ 8 )x 2 (2 √ 8 )y 1 8 5 0
c) x2 1 y2 1 (2 √ 10 )x 1 (2 √ 10 )y 1 10 5 0
c) 2 √ 5
d) x2 1 y2 2 (2 √ 8 )x 1 (2 √ 8 )y 1 8 5 0
29. (Unemat-MT) Dada uma circunferência de centro C (3; 1) e raio r 5 5 e seja o ponto P(0; a), com a R, é correto afirmar:
e) x2 1 y2 2 4x 1 4y 1 4 5 0
34. (Enem-MEC) A figura a seguir é a representação de uma região por meio de curvas de nível, que são curvas fechadas representando a altitude da região, com relação ao nível do mar. As coordenadas estão expressas em graus de acordo com a longitude, no eixo horizontal, e a latitude, no eixo vertical. A escala em tons de cinza desenhada à direita está associada à altitude da região.
a) Se 23 , a , 5, então P é externo à circunferência. b) Se 23 , a , 5, então P pertence à circunferência. c) Se a 5 5 ou a 5 23, então P é interno à circunferência. d) Se a , 23 ou a . 5, então P é externo à circunferência. e) Se a , 23 ou a . 5, então P é interno à circunferência.
30. (Unemat-MT) Dada a equação de reta (s): 2x 2 y 1 1 1 5 0, a equação de reta paralela a s pelo ponto P(1, 1) será: a) 2x 2 y 5 0
70,0
700 m
60,8
600 m 60,6
500 m
60,4
400 m 300 m
60,2 60,0
b) 2x 1 y 11 5 0
800 m
N O
L S
200 m X
100 m
20,0 20,2 20,4 20,6 20,8 21,0 21,2
c) 2x 1 y 2 1 5 0
Um pequeno helicóptero usado para reconhecimento sobrevoa a região a partir do ponto X 5 (20; 60). O helicóptero segue o percurso:
d) 2x 2 y 2 1 5 0 e) 2x 2 y 1 2 5 0
0,8° L → 0,5° N → 0,2° O → 0,1° S → 0,4° N → 0,3° L
31. (ESPM-SP) No plano cartesiano, uma reta de coeficiente angular 1 intercepta a parábola de equação y 5 5 x2 2 2x 1 4 nos pontos A e V, sendo V o vértice da mesma. O comprimento do segmento AV é igual a:
De acordo com as orientações, o helicóptero pousou em um local cuja altitude é: a) menor ou igual a 200 m. b) maior que 200 m e menor ou igual a 400 m.
a) 1
d) √ 3
c) maior que 400 m e menor ou igual a 600 m.
b) 2
e) √ 2
d) maior que 600 m e menor ou igual a 800 m.
c) √ 5
e) maior que 800 m. 77
Geometria analítica
38. (UF-AL) A figura a seguir ilustra os gráficos da circun-
rampa inclinada. Utilizando o plano cartesiano, a figura abaixo descreve a situação de maneira simplificada.
ferência com equação x2 1 y2 2 6x 1 2y 2 17 5 0, da reta com equação x 2 y 1 2 5 0 e da circunferência que tem um diâmetro com extremos nas interseções da reta e da circunferência anteriores. Qual das alternativas a seguir é uma equação da circunferência, em tracejado na ilustração, que tem um diâmetro com extremos nas interseções da reta e da circunferência dadas?
Fernando Monteiro
35. (UF-PR) Um balão de ar quente foi lançado de uma
6 4 2 22
0
2
4
6
8
22
Ao ser lançado, o balão esticou uma corda presa aos pontos P e Q, mantendo-se fixo no ar. As coordenadas do ponto P, indicado na figura, são, então:
24 26
a) (21, 7) b) (22, 8)
a) x2 1 y2 2 4y 1 5 5 0
c) (24, 12)
b) x2 1 y2 2 4y 2 5 5 0
d) (25, 13)
c) x2 1 y2 1 4y 1 5 5 0
e) (26, 15)
d) x2 1 y2 1 4y 2 5 5 0 e) x2 1 y2 2 5y 1 4 5 0
36. (U.F. Juiz de Fora-MG) No plano cartesiano, seja λ a circunferência de centro C 5 (3, 5) e raio 4 e seja r a reta de equação y 5 2x 1 6. a) Determine todos os valores de x para os quais o ponto P 5 (x, y) pertence à reta r e está no interior da circunferência λ. b) Encontre a equação cartesiana da circunferência λ1 concêntrica à circunferência λ e tangente à reta r.
37. (UE-GO) Em uma chácara há um pasto que é utilizado para criar vacas e bezerros. Esse pasto tem área de dois hectares, sendo que cada um corresponde a um quadrado de 100 metros de lado. Observações técnicas indicam que cada vaca deverá ocupar uma área de, no mínimo, 1 000 m2 e cada bezerro de, no mínimo, 400 m2. a) De acordo com as observações técnicas, esse pasto comportará 15 vacas e 15 bezerros? Justifique sua resposta. b) Represente algébrica e graficamente as condições dessa situação, respeitando as observações técnicas. 78
39. (UF-AM) A equação da reta t que passa pela origem e pelo ponto de interseção das retas r: y 2 3x 1 2 5 0 e s: y 1 x 2 2 5 0 é dada pela equação: a) t: y 1 2x 5 0 b) t: y 2 2x 5 0 c) t: y 1 x 5 0 d) t: y 2 x 5 0 e) t: y 5 0
40. (UF-PI) Duas retas r e s do plano se interceptam no ponto (21, 6) e formam, com o eixo das abscissas, ângulos agudos a e b, respectivamente. Se tg (a) 5 3 e tg (b) 5 2, uma possibilidade para a medida da área do triângulo formado por r, s e o eixo das abscissas é a) 11 unidades de área b) 12 unidades de área c) 13 unidades de área d) 14 unidades de área e) 15 unidades de área
Matemática Volume Único
41. (UF-PE) Seja (a, b) o ortocentro do triângulo com vértices nos pontos com coordenadas (5, 1), (7, 2) e (1, 3). Assinale 4a 2 2b.
42. (UF-PB) O Governo pretende construir armazéns com o intuito de estocar parte da produção da safra de grãos, de modo que não haja desperdícios por situações adversas. A seção transversal da cobertura de um desses armazéns tem a forma de um arco de cincunferência, apoiado em colunas de sustentação que estão sobre uma viga. O comprimento dessa viga é de 24 m e o comprimento da maior coluna de sustentação é de 8 m, conforme figura a seguir.
b) CALCULE as coordenadas dos pontos de interseção A 5 r s, B 5 r y e C 5 s t. c) DETERMINE a área do triângulo ABC.
44. (UF-PB) A secretaria de infraestrutura de um município contratou um arquiteto para fazer o projeto de uma praça. Na figura a seguir, está o esboço do projeto proposto pelo arquiteto: uma praça em formato retangular medindo 80 m 3 120 m, onde deverá ser construído um jardim em forma de elipse na parte central. 10 m B
10 m A
8m C
D
C
80 m
10 m D
24 m
Considerando um sistema cartesiano de eixos ortogonais xy, com origem no ponto C, de modo que o semieixo x positivo esteja na direção CD e o semieixo y positivo apontando para cima, é correto afirmar que a equação da circunferência que contém o arco CD da seção transversal do telhado, com relação ao sistema de eixos xy, é dada por: a) (x 2 12) 1 (y 1 5) 5 169 2
10 m F2
F1
2
b) (x 2 12)2 1 (y 2 7)2 5 193
120 m
Estão destacados na figura os segmentos AC e BD, que são, respectivamente, o eixo maior e menor da elipse, bem como os pontos F1 e F2, que são os focos da elipse onde deverão ser colocados dois postes de iluminação. Com base nessas informações, conclui-se que a distância entre os postes de iluminação será, aproximadamente, de:
c) (x 2 12)2 1 (y 2 6)2 5 180
a) 68 m
d) (x 2 12)2 1 (y 1 6)2 5 180
b) 72 m
e) (x 2 12)2 1 (y 2 5)2 5 169
c) 76 m d) 80 m
43. (UF-MG) Considere as retas r, s e t de equações, respectivamente,
x17 . 5 a) TRACE, no plano coordenado abaixo, os gráficos dessas três retas. y 5 2x 2 4, y 5 2x 1 11 e y 5
y 7
e) 84 m
45. (UF-GO) No plano cartesiano, as retas r e s, de equações 2x 2 3y 1 3 5 0 e x 1 3y 2 1 5 0, respectivamente, se intersectam em um ponto C. Considerando o ponto P(0, 24) determine as coordenadas de dois pontos, A r e B s, de modo que o segmento CP seja uma mediana do triângulo ABC.
6 5
46. (Uneb-BA) Se (m, n) são as coordenadas do centro da circunferência x2 1 2 √ 3x 1 y2 2 6y 1 7 5 0, então (23m 1 √ 3n) é igual a
4 3
21
2
a) 6 √ 3
1
b) 1
0 21
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
c) 0 d) 2 √ 3 e) 23 79
Geometria analítica
47. (UE-MA) A equação da circunferência com raio r 5
49. (UF-RN) Na construção de antenas parabólicas, os
5 2 cm e que tem centro no ponto S de encontro das retas y 2 x 2 1 5 0 e y 1 x 2 3 5 0 corta o eixo y nos pontos A e B. Dessa forma, sendo as medidas em centímetros, a distância entre os pontos A e B é:
fabricantes utilizam uma curva, construída a partir de pontos dados, cujo modelo é uma parábola, conforme a figura abaixo.
a) 3 √ 2 cm b) (2 1 √ 3 ) cm Ilustrações: Fernando Monteiro
c) 2 √ 3 cm d) 2 cm e) 1 cm
48. (UF-AM) A equação da elipse cujo gráfico é mostrado na figura a seguir é dada por:
Uma fábrica, para construir essas antenas, utilizou como modelo a curva que passa pelos pontos de coordenadas (0, 0), (4, 1), (24, 1). Outro ponto que também pertence a essa curva tem coordenadas
a) 16x2 1 9y2 1 96x 2 36y 1 36 5 0 b) 16x2 1 9y2 2 96x 1 36y 1 36 5 0
1 2
c) 22,
1 2
b) 2,
1 4
d) 21,
1 4
50. (Uneb-BA) A reta 3x 1 4y 2 6 5 0 determina na
c) 9x 1 16y 2 36x 2 96y 1 36 5 0
circunferência x2 1 y2 2 2x 2 4y 1 1 5 0 uma corda de MN de comprimento igual, em u.c., a
d) 9x2 2 16y2 2 36x 1 96y 1 36 5 0
a) 6
c) 3
e) 9x2 1 16y2 2 36x 1 96y 1 36 5 0
b) 2 √ 3
d) 2 √ 2
2
80
a) 3,
2
e) √ 3
Matemática Volume Único
Geometria analítica Respostas 13. São corretas: 01, 02, 04, 08 e 16.
1. a 2.
√ 5
15. b
9 2 , 2 14 7
16. e
4. a) m | m > b)
b) Sejam x e y, respectivamente, o número de vacas e o número de bezerros.
14. b
5
3.
3 4
3 1 7 ; , 4 2 4
Devemos ter: x > 0, y > 0 e 5x 1 2y < 100.
17. d
y (B)
18. a
50
19. b 20. a) A(2 √ 2; 1), B(1; 2 √ 2 ),
5. c
C(21; 2 √ 2 ) e D(22 √ 2; 1)
6. e
b) 7 1 2 √ 2
7. c 8. b
21. c
9. a) y 5 0,75x
22. d
20
39. d
23 9 x 1 4 2
23. a) 30
c) 2,
3 2
24. São corretas: 02 e 04. 25. a) C 0,
2
40. e
b) (5, 5)
10. a) C
b) A
2
A região A é um círculo centrado em (2, 2) de raio igual a 2. b) Temos que: 0 < y < 4 0 < y < x < 4 ⇒ 0 < x < 4 y < x
y5x
4
41. 24 42. a
2 a
43. a) y
1 3 , 5 5
1 x2 5
4
p ? 22 5 2p u.a. 2
A
6 2
3 1 x2 5
2
3 5 5
5
2
26. a) A(1, 2), B(21, 22) e C(22, 21)
4 3
C
2
t
B
s
1 0
21
b) 3
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
21
27. d
b) A(5, 6), B(3, 2), C(8, 3)
28. a
c) 9 u.a.
29. d
44. d 45. A 5 2
31. e 32. a
A região B é um triângulo retângulo isósceles cujos catetos medem 4.
r
7
30. d
C
x (V)
38. b
b) y 5
c)
37. a) não
B5
33. b
46. a
34. a
47. c
35. c
48. e
11. 5
36. a) 2 2 √ 7 , x , 2 1 √ 7
49. b
12. c
b) (x 2 3) 1 (y 2 5) 5 2
50. b
2
2
28 47 e ,2 3 9
28 25 ,2 3 9
81
x
Números complexos, polinômios e equações algébricas
Números complexos, polinômios e equações algébricas 1. (UFU-MG) Sabe-se que o número complexo 2 1 i,
5. (UF-RS) O menor número inteiro positivo n para
em que i é a unidade imaginária, e o número real 3 são raízes do polinômio de terceiro grau p(z), cujos coeficientes são números reais. Sabendo-se também que p(0) 5 30, calcule |p(i)|.
o qual a parte imaginária do número complexo n p p cos é negativa é: 1 i ? sen 8 8
2. (FGV-SP) O quociente da divisão do polinômio P(x) 5 (x2 1 1)4 ? (x3 1 1)3 por um polinômio de grau 2 é um polinômio de grau: a) 5
a) 3
d) 8
b) 4
e) 9
c) 6
6. (Ita-SP) Sabe-se que o polinômio p(x) 5 x5 2 ax3 1 1 ax2 – 1, a R, admite a raiz 2i.
b) 10 c) 13
Considere as seguintes afirmações sobre as raízes de p:
d) 15
I. Quatro das raízes são imaginárias puras.
e) 18
II. Uma das raízes tem multiplicidade dois. III. Apenas uma das raízes é real.
3. (Mackenzie-SP)
Destas, é (são) verdadeira(s) apenas:
y
A
B
O
a) I
d) I e III
b) II
e) II e III
c) III
7. (UF-GO) Considere o polinômio p(x) 5 x3 2 9x2 1 x
A figura mostra uma semicircunferência com centro na origem. Se o ponto A é (2 √ 2, 2), então o ponto B é: a) (2, √ 2 )
1 25x 2 25. Sabendo-se que o número complexo z 5 2 1 i é uma raiz de p, o triângulo, cujos vértices são as raízes de p, pode ser representado, no plano complexo, pela seguinte figura: a)
b) ( √ 2, 2)
y
1
c) (1, √ 5 )
2
5
21
d) ( √ 5, 1)
e) (2, √ 5 )
4. (U.E. Ponta Grossa-PR) As representações gráficas
b)
y 1
dos complexos z tais que z3 5 1 são os vértices de um triângulo. Em relação a esse triângulo assinale o que for correto.
3 u.c. 4 04) Um de seus vértices pertence ao 2º quadrante. 08) Seu perímetro é 3 √ 3 u.c.
16) Sua área é
82
3 √ 3 u.a. 4
x
22
01) É um triângulo equilátero de lado igual a √ 3 u.c. 02) É um triângulo isósceles de altura igual a
2
22
c)
y
1 21 21
2
x
x
Matemática Volume Único d)
c) Por qual número devemos multiplicar o número complexo cujo afixo é o ponto B para obter o número complexo cujo afixo é o ponto B’?
y 5
y 1
B 2
22
e)
x
y
C
O
A
x
1 22
2 21
D
x
12. (U.F. Juiz de Fora-MG) Seja p(x) 5 x3 1 ax2 1 bx 1 c 8. (Vunesp-SP) Uma raiz da equação x3 2 (2a 2 1)x2 2 2 a(a 1 1)x 1 2a2(a 2 1) 5 0 é (a 2 1). Quais são as outras duas raízes dessa equação?
9. (UE-CE) Os números 22, 21, 0, 1 e 2 são as soluções da equação polinomial p(x) 5 0, as quais são todas simples. Se o polinômio p(x) é tal que p( √ 2) 5 2 √ 2, então o valor de p( √ 3) é igual a:
um polinômio com coeficientes reais. Sabe-se que as três raízes desse polinômio são o quarto, o sétimo e o décimo sexto termos de uma progressão aritmética, 80 cuja soma de seus vinte primeiros termos é igual a 3 e o seu décimo terceiro termo é igual a 3. Encontre os valores de a, b e c.
13. (UE-GO) João gosta de brincar com números e fazer
b) 3 √ 2
operações com eles. Em determinado momento, ele pensou em três números naturais e, em relação a esses números, observou o seguinte:
c) 3 √ 3
• a soma desses números é 7;
d) 6 √ 2
• o produto deles é 8;
a) 2 √ 3
10. (Ibmec-RJ) O conjunto imagem de todos os números
• a soma das três parcelas resultantes dos produtos desses números tomados dois a dois é 14.
complexos da forma z 5 a 1 bi que satisfazem a equação z ? w 1 z 1 w 5 0, onde w é o conjugado de z, é dado por:
Assim, os três números pensados por João são raízes da equação
a) uma circunferência
b) x3 1 7x2 2 14x 1 8 5 0
b) uma elipse
c) x3 2 7x2 2 14x 2 8 5 0
c) uma hipérbole
d) x3 1 7x2 2 14x 2 8 5 0
d) uma parábola e) o semiplano x < 0
11. (FGV-SP) a) Calcule a área do losango ABCD cujos vértices são os afixos dos números complexos: 3, 6i, 23 e 26i, respectivamente. b) Quais são as coordenadas dos vértices do losango A’B’C’D’ que se obtém girando 90° o losango ABCD, em torno da origem do plano cartesiano, no sentido anti-horário?
a) x3 2 7x2 1 14x 2 8 5 0
14. (UF-AL) Ao dividirmos o polinômio x2010 1 x1005 1 1 pelo polinômio x3 1 x, qual o resto da divisão? a) 0 b) x2 1 x 1 1 c) x2 2 x 1 1 d) x2 2 x 2 1 e) x2 1 x 2 1
15. (UF-PI) Seja o polinômio p(x) 5 x3 2 3x2 1 ax 1 b, com coeficientes reais. Sabe-se que p(x) possui três 83
Números complexos, polinômios e equações algébricas
raízes reais, distintas e que estão em Progressão Geo métrica. Sabendo-se que p(x) é divisível por x 2 4, pode-se afirmar que o valor do coeficiente a é: a) 26 b) 23
20. (UF-AM) Na figura a seguir os números complexos Z1, Z2, Z3, Z4, Z5 e Z6 estão representados pelos vértices de um hexágono regular. Podemos afirmar que Z2 ? Z3 é: Z5 ? Z6 y
c) 0 d) 3
Z3
Z2
e) 6 Z4
Z1 5 1
16. (UF-GO) Dados dois polinômios p(x) e q(x), as abscissas dos pontos de intersecção dos seus gráficos são as soluções da equação algébrica p(x) 5 q(x). Considere os polinômios p(x) 5 x3 1 a2x2 1 a1x 1 a0 e q(x) 5 3 2 2x. Determine os valores de a0, a1 e a2 para que os polinômios p(x) e q(x) se intersectem nos pontos de abscissa 22, 3 e 4.
17. (UE-PB) O resto da divisão do polinômio P(x) 5 3x2n13 2 2 5x2n12 1 8, por x 1 1 com n natural é:
Z5
Z6
a) 1
d) 22
b) 21
e) 3
c) 2
21. (UF-SE) Considerando que a e b são números
b) 1
4 2 ai , 12i v 5 3 2 (b 1 1) ? i e w 5 cos 18° 1 i sen 18° para
c) zero
analisar a veracidade das afirmações seguintes.
d) 2
a) Se u é um imaginário puro, então u5 5 1 024i.
e) 6
b) Considerando que, no plano de Argand-Gauss, o afixo de v pertence ao quadrante, então, se 11p |v| 5 5, o argumento principal de v é: rad. 6 v , 5. c) Se a 5 22 e b 5 3, então 3 , u
a) 21
18. (UF-PE) Se as raízes da equação x3 2 7x2 2 28x 1 1 k 5 0 são termos de uma progressão geométrica, determine e assinale o valor do termo constante k.
19. (UF-PE) A representação geométrica dos números complexos z que satisfazem a igualdade 2|z 2 i| 5 |z 2 2| forma uma circunferência com raio r e centro no ponto com coordenadas (a, b). Calcule r, a e b e determine 9(a2 1 b2 1 r2).
84
x
reais, use os números complexos u 5
d) Se a 5 b 5 0, o conjugado de (u 2 v)2 é igual a 21 1 i. e) Uma das raízes sextas de w10 é igual a 2
√ 3 1 1 i. 2
2
Matemática Volume Único
Números complexos, polinômios e equações algébricas Respostas 1. 16 √ 5
9. a
15. a
2. d
10. a
16. a0 5 27; a1 5 24 e a2 5 25.
3. a
11. a) 36
17. c
4. São corretas: 01, 04, 08 e 16
b) (0, 3), (26, 0), (0, 23) e (6, 0)
18. 64
5. e
c) Devemos multiplicar por i.
19. 40
6. c
12. A 5 21, B 5 217 e C 5 215
20. a
7. a
13. a
21. São verdadeiras: a, e.
8. 2a e 2a
14. b
85
Estatística
Estatística 1. (PUC-RJ) Na revisão de prova de uma turma de quinze alunos, apenas uma nota foi alterada, passando a ser 7,5. Considerando-se que a média da turma aumentou em 0,1, a nota do aluno antes da revisão era:
Analisando-se esses dados, é correto concluir que ocorreram: a) 2 faltas por dia b) 19 faltas em 15 dias
a) 7,6
d) 6,0
c) 52 faltas em 27 dias
b) 7,0
e) 6,4
d) 2 faltas a cada 4 dias
c) 7,4
2. (UF-GO) O gráfico a seguir mostra a prevalência de obesidade da população dos EUA, na faixa etária de 20 a 74 anos, para mulheres e homens, e de 12 a 19 anos, para meninas e meninos.
porcentagem
40
ção dos materiais recicláveis do restante do lixo. Os principais materiais recicláveis são os papéis, vidros, plásticos e metais. O objetivo é que estes materiais sejam enviados para as usinas de reciclagem e transformados em outros produtos. Considere que a matéria orgânica (vide gráfico) seja a parte do lixo que pode ser transformada em composto orgânico (adubo).
30 20 10
O que tem o lixo do brasileiro
0
1960-62
1971-74
Mulheres
1976-80
Homens
1988-94
Meninas
1999-2002
De acordo com os dados apresentados neste gráfico, a) de 1960 a 2002, em média, 30% dos homens estavam obesos. b) a porcentagem de meninas obesas, no período 1999-2002, era o dobro da porcentagem de meninas obesas no período 1988-1994. c) no período 1999-2002, mais de 20% dos meninos estavam obesos. d) no período 1999-2002, mais de 50% da população pesquisada estava obesa. e) a porcentagem de mulheres obesas no período1988-1994 era superior à porcentagem de mulheres obesas no período 1976-1980.
3. (Cefet-MG) O gráfico da figura apresenta dados referentes às faltas diárias dos alunos na classe de uma escola, em determinado tempo. nº de 9 dias 8 7 6 5 4 3 2 1 0
Outros 8,08%
Meninos
Fonte: Scientific American Brasil. São Paulo, jun. 2005, n. 38, p. 46.
86
4. (CP2-MEC-RJ) A coleta seletiva de lixo é a separa-
Alumínio 0,51%
Matéria orgânica
57,4% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ferroso Papel/ . . . . . . . . . . . . . . 1,56% papelão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13,16% . . . . . . . . . . . . . . Vidro Plástico . . . . . . . . . . . . . . 2,34% 16,49% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fonte: ABRELPE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fonte: Revista Carta Capital (27/9/2007 – Adaptado). . . . . . . . . . . . . . . Inertes 0,46%
a) Considere que as oito mil toneladas de lixo coletadas, em média, diariamente na cidade do Rio de Janeiro se distribuam proporcionalmente como no gráfico acima. Determine quantas toneladas desse lixo poderiam ser transformadas em adubo. b) Um exemplo que deve ser imitado é o da cidade de Londrina, no Paraná. Das 400 toneladas de lixo recolhidas diariamente, 110 são recicladas. Qual o percentual de lixo reciclado, por mês, em Londrina?
5. (CP2-MEC-RJ) Um comerciante de frutas possuía 70
0
1
2
3
4
5
nº de faltas por dia
dúzias de laranjas de uma mesma qualidade para vender num dia ensolarado do mês de outubro. Inicialmente, começou vendendo a dúzia dessa laranja por R$ 3,70 e, conforme as vendas não correspondiam às suas expectativas, foi reduzindo o preço para garantir a venda de toda a mercadoria. Dessa forma,
Matemática Volume Único o preço da laranja foi reduzido em três ocasiões. A tabela a seguir informa a quantidade de dúzias de laranjas vendidas em cada horário daquele dia e os respectivos preços cobrados pelo comerciante. Preço por dúzia
Nº de dúzias vendidas
Das 8h às 10h
3,70
10
Das 10h às 12h
3,20
15
Das 12h às 14h
2,80
30
Das 14h às 16h
2,50
15
Período
e representou o resultado em um gráfico de setores, como na figura a seguir.
Qualificação de trabalhadores
Outras despesas
a) Qual foi o preço médio da dúzia da laranja vendida naquele dia? b) Se o comerciante vendesse as 25 primeiras dúzias a R$ 3,42 (a dúzia), por quanto deveria vender cada dúzia restante para que o preço médio das dúzias de laranjas vendidas naquele dia fosse de R$ 3,15?
6. (PUC-MG) Ao misturar 2 kg de café em pó do tipo I com 3 kg de café em pó do tipo II, um comerciante obtém um tipo de café cujo preço é R$ 6,80 o quilograma. Mas, se misturar 3 kg de café em pó do tipo I com 2 kg de café em pó do tipo II, o quilo da nova mistura custará R$ 8,20. Com base nessas informações, é CORRETO afirmar que o preço de um quilo do café em pó do tipo I é igual a: a) R$ 4,00
c) R$ 11,00
b) R$ 7,50
d) R$ 12,40
7. (UF-RJ) A revista DigiNet publicou uma pesquisa sobre 50 páginas da Internet muito visitadas, informando que a média diária de visitas às páginas era igual a 500 e que o tempo médio de existência dessas páginas era igual a 38 meses. A revista BiteNet criticou a pesquisa por ela não ter considerado a sua página, uma das mais visitadas. A BiteNet informou ainda que, com a inclusão de sua página, a média de visitas aumentaria para 1000 e o tempo médio de existência passaria para 37 meses. Admitindo-se que as médias publicadas pela DigiNet estejam corretas, então pelo menos uma das médias informadas pela BiteNet estaria errada. Determine qual delas estaria necessariamente errada. Justifique sua resposta.
8. (UF-RS) O orçamento do Fundo de Amparo ao Trabalhador para 2010 é de 43 bilhões de reais. Um pesquisador estudou a distribuição desse orçamento
Abono para quem ganha até dois salário mínimos
Financiamento do BNDES
Seguro-desemprego
Nesse gráfico, a quantia destinada ao abono para quem ganha até dois salários mínimos foi representada por um setor cujo ângulo mede 72º. O pesquisador verificou, então, que o gráfico não estava correto, pois a quantia destinada ao abono encontrada na pesquisa superava em 200 milhões de reais a representada pelo gráfico. Logo, o valor encontrado na pesquisa para aquele abono foi, em bilhões de reais, a) 8,8
d) 9,8
b) 9,1
e) 10,6
c) 9,5
9. (FGV-SP) Chama-se custo médio de fabricação por unidade ao custo total de fabricação dividido pela quantidade produzida. Uma empresa fabrica bicicletas a um custo fixo mensal de R$ 90 000,00; entre peças e mão de obra, cada bicicleta custa R$ 150,00 para ser produzida. A capacidade máxima de produção mensal é de 1 200 unidades. O custo médio mensal mínimo por unidade vale: a) R$ 150,00
d) R$ 262,50
b) R$ 187,50
e) R$ 300,00
c) R$ 225,00
10. (FGV-SP) A média aritmética dos elementos do conjunto {17, 8, 30, 21, 7, x} supera em uma unidade a mediana dos elementos desse conjunto. Se x é um número real tal que 8 , x , 21 e x 17, então a média aritmética dos elementos desse conjunto é igual a: a) 16
d) 19
b) 17
e) 20
c) 18 87
Estatística
11. (CP2-MEC-RJ) Uma estimativa feita por cientistas da
14. (UE-CE) A média aritmética entre os divisores primos
USP indica que as emissões de gases do efeito estufa no Brasil aumentaram 24,6% entre 1990 e 2005.
a) 5,6
c) 6,3
b) 6,0
d) 6,7
15. (UF-PR) O gráfico a seguir mostra o número de usuários no restaurante universitário da UFPR Litoral atendidos durante uma determinada semana, de segunda a sexta-feira.
número de estudantes
Fernando Monteiro
e positivos do número 2 310 é:
Após a leitura das informações contidas no texto e ilustração acima, responda às perguntas abaixo: a) Mantendo a variação percentual de emissão de gases para os próximos 15 anos, quantos milhões de toneladas de CO2 estima-se que o Brasil deverá emitir em 2020?
500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0
450 400
almoço 350
jantar
300 250 200 150
100 50
2ª feira
3ª feira
50
4ª feira
5ª feira
6ª feira
dia da semana
Os preços fixos praticados pelo restaurante são: almoço R$ 1,60 e jantar R$ 2,00. Qual foi o faturamento do restaurante nessa semana?
b) Qual a média de emissão de CO2 relativa aos anos observados na figura acima?
a) R$ 4 220,00
d) R$ 5 000,00
b) R$ 10 800,00
e) R$ 10 000,00
12. (ESPM-SP) Uma prova era composta de 3 testes. O
c) R$ 4 060,00
primeiro valia 1 ponto, o segundo valia 2 pontos e o terceiro 4 pontos, não sendo considerados acertos parciais. A tabela abaixo mostra a quantidade de alunos que obtiveram cada uma das notas possíveis: Nota obtida
0
1
2
3
4
5
6
7
Nº de alunos
2
3
1
5
7
2
3
1
O número de alunos que acertaram o segundo teste foi: a) 10
d) 13
b) 11
e) 14
c) 12
16. (FGV-SP) O gráfico abaixo apresenta os lucros anuais (em milhões de reais) em 2008 e 2009 de três empresas A, B e C de um mesmo setor. A média aritmética dos crescimentos percentuais dos lucros entre 2008 e 2009 das três empresas foi de aproximadamente: 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0
450 400
210
200
13. (ESPM-SP) Considere o conjunto A 5 {x N* | x < 51}.
A
B 2008
C 2009
Retirando-se um número desse conjunto, a média aritmética entre seus elementos não se altera. Esse número é:
a) 8,1%
d) 9,3%
b) 8,5%
e) 9,7%
a) ímpar
c) 8,9%
b) primo c) quadrado perfeito d) maior que 30 e) múltiplo de 13 88
320
300
17. (Enem-MEC) Em sete de abril de 2004, um jornal publicou o ranking de desmatamento, conforme gráfico, da chamada Amazônia Legal, integrada por nove estados.
Matemática Volume Único Ranking do Desmatamento em km2 9º Amapá
mais regular. No quadro a seguir são apresentados os pontos obtidos nas provas de Matemática, Português e Conhecimentos Gerais, a média, a mediana e o desvio padrão dos dois candidatos.
4
8º Tocantins
136
7º Roraima
326
6º Acre
549
5º Maranhão
766
4º Amazonas
797
Dados dos candidatos no concurso:
3º Rondônia
CoMate- Portu- nheciMedia- Desvio Média mática guês mentos na Padrão Gerais
3 463
2º Pará
7 293
1º Mato Grosso
10 416
Disponível em: www.folhaonline.com.br. Acesso em: 30 abr. 2010 (adaptado).
Considerando-se que até 2009 o desmatamento cresceu 10,5% em relação aos dados de 2004, o desmatamento médio por estado em 2009 está entre: a) 100 km2 e 900 km2
Marco
14
15
16
15
15
0,32
Paulo
8
19
18
15
18
4,97
O candidato com pontuação mais regular, portanto mais bem classificado no concurso, é: a) Marco, pois a média e a mediana são iguais. b) Marco, pois obteve menor desvio padrão.
b) 1 000 km2 e 2 700 km2 c) 2 800 km2 e 3 200 km2
c) Paulo, pois obteve a maior pontuação da tabela, 19 em Português.
d) 3 300 km2 e 4 000 km2
d) Paulo, pois obteve maior mediana.
e) 4 100 km e 5 800 km
e) Paulo, pois obteve maior desvio padrão.
2
2
18. (Enem-MEC) O gráfico apresenta a quantidade de gols marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo desde a Copa de 1930 até a de 2006. Quantidade de Gols dos Artilheiros das Copas do Mundo Gols 14
20. (Enem-MEC) O quadro seguinte mostra o desempenho de um time de futebol no último campeonato. A coluna da esquerda mostra o número de gols marcados e a coluna da direita informa em quantos jogos o time marcou aquele número de gols. Gols marcados
Quantidade de partidas
0
5
8
1
3
6
2
4
4
3
3
2
4
2
5
2
7
1
12 10
0 1920
1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 Ano
Disponível em: http://www.suapesquisa.com. Acesso em: 23 abr. 2010 (adaptado).
A partir dos dados apresentados, qual a mediana das quantidades de gols marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo? a) 6 gols
d) 7,3 gols
b) 6,5 gols
e) 8,5 gols
c) 7 gols
19. (Enem-MEC) Marco e Paulo foram classificados em um concurso. Para a classificação no concurso o candidato deveria obter média aritmética na pontua ção igual ou superior a 14. Em caso de empate na média, o desempate seria em favor da pontuação
Se X, Y e Z são, respectivamente, a média, a mediana e a moda desta distribuição, então: a) X 5 Y , Z
d) Z , X , Y
b) Z , X 5 Y
e) Z , Y , X
c) Y , Z , X
21. (UFF-RJ) Diz-se que uma família vive na pobreza extrema se sua renda mensal por pessoa é de, no máximo, 25% do salário mínimo nacional. Segundo levantamento do Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada (Ipea), mais de treze milhões de brasileiros saíram da pobreza extrema entre 1995 e 2008. No entanto, a diminuição generalizada nas taxas de po89
Estatística
breza extrema nesse período não ocorreu de forma uniforme entre as grandes regiões geográficas do país, conforme ilustra o gráfico a seguir.
Número da classe
Salário do mês (em reais)
Número de empregados
1
465 | — 665
16
2
665 | — 865
8
3
865 | — 1065 1065 | — 1265
4
Taxas de pobreza extrema no Brasil e nas suas grandes regiões em 1995 e 2008 (em %)
4
2
50 41,8
A média e a mediana do salário pago, nesse mesmo mês, são:
40 30 20
24,9
22,8 17,6
11,7
10 0
Norte 1995
Nordeste
6,9
Sudeste
20,9
17,5
13,6
11,6 5,5
Sul
Centro-Oeste
a) R$ 725,00 e R$ 725,00 10,5
b) R$ 711,67 e R$ 652,50 c) R$ 865,00 e R$ 525,00
Brasil
d) R$ 711,67 e R$ 660,00
2008
e) R$ 575,00 e R$ 625,00
Adaptado do IBGE – PNAD – Ipea.
Tendo em vista o gráfico, verifica-se que a taxa nacional de pobreza extrema caiu 49,8%, passando de 20,9% para 10,5%. Pode-se concluir, então, que a região em que a taxa de pobreza extrema (em %) caiu mais de 50% foi:
24. (UF-PB) Segundo dados do IBGE, as classes sociais das famílias brasileiras são estabelecidas, de acordo com a faixa de renda mensal total da família, conforme a tabela a seguir.
a) a região Norte
Classe
Faixa de Renda
A
Acima de R$ 15 300,00
b) a região Sudeste
B
De R$ 7 650,01 até R$ 15 300,00
c) a região Nordeste
C
De R$ 3 060,01 até R$ 7 650,00
d) a região Centro-Oeste
D
De R$ 1 020,01 até R$ 3 060,00
e) a região Sul
E
Até R$ 1 020,00
Adaptado de: http://www.logisticadescomplicada.com/ o-brasil-suas-classes-sociais-e-a-implicacao-na-economia. Acesso em: 5 nov. 2010.
22. (UF-PR) Em 2010, uma loja de carros vendeu 270 car-
Nessas condições, pode-se concluir que a média aritmética simples das vendas efetuadas por essa loja durante os dois anos foi de: a) 540 carros
d) 270 carros
b) 530 carros
e) 135 carros
c) 405 carros
23. (UF-PI) Na rede de padarias Estrela Dalva, a distribuição de frequências de salários de um grupo de 30 funcionários, no mês de dezembro de 2008, é apresentada na tabela a seguir: 90
Após um levantamento feito com as famílias de um município, foram obtidos os resultados expressos no gráfico a seguir. 2 250
Número de famílias
Fernando Monteiro
ros a mais que em 2009. A seguir temos um gráfico ilustrando as vendas nesses dois anos.
1 500
500 250 Classe A
Classe B
Classe C
Classe D
Classe E
Com base nas informações contidas no gráfico e na tabela, conclui-se que o percentual das famílias que têm renda acima de R$ 3 060,00 é de: a) 45%
d) 85%
b) 60%
e) 90%
c) 70%
Matemática Volume Único
25. (UF-PB) A tabela a seguir apresenta a quantidade ex-
Nota por nº de alunos – Turma A Número de Nota alunos
portada de certo produto, em milhares de toneladas, no período de 2000 a 2009. Ano
Quantidade Exportada (em milhares de toneladas)
2000
48
2001
52
2002
54
2003
52
2004
52
2005
50
2006
48
2007
52
2008
54
2009
52
30 50 60 70 80 90 100
4 5 9 5 2 3 2
Nota por nº de alunos – Turma B Número de Nota alunos 20 40 50 60 90 100
2 3 4 6 3 2
Ao calcular a média das notas de cada turma, para motivar, José decidiu sortear um livro entre os alunos da turma que obteve a maior média. A média da turma que teve o aluno sorteado foi: a) 63,0 b) 59,5 c) 64,5 d) 58,0
Considerando os dados apresentados na tabela, identifique as afirmativas corretas: I. A quantidade exportada, de 2006 a 2008, foi crescente. II. A média da quantidade exportada, de 2003 a 2006, foi de 53 mil toneladas. III. A moda da quantidade exportada, de 2000 a 2009, foi de 52 mil toneladas. IV. A média da quantidade exportada, de 2000 a 2004, foi maior que a média de 2005 a 2008. V. A mediana da quantidade exportada, de 2000 a 2009, foi de 51 mil toneladas.
26. (UE-MA) Realizada uma pesquisa na Escola Vamos Estudar para saber o número de horas que seus alunos dormem por dia, encontrou-se o resultado apresentado no quadro a seguir:
28. (UF-SE) A tabela abaixo apresenta a distribuição da arrecadação de certo imposto municipal, num dado mês, em uma cidade com 5 000 contribuintes. Classe 1 2 3 4
Valor do Imposto, em reais, per capita 0 —| 10 10 —| 20 20 —| 30 30 —| 40 Total
Número de contribuintes
3
5
5
10
2 000
7
14
9
8
11
3
1 000 700 300 0
d) 5h30min
b) 7h
e) 6h42min
c) 7h36min
27. (UF-RN) José, professor de Matemática do Ensino Médio, mantém um banco de dados com as notas dos seus alunos. Após a avaliação do 1º bimestre, construiu as tabelas a seguir, referentes à distribuição das notas obtidas pelas turmas A e B do 1º ano.
21 000 15 000 17 500 10 000 64 000
a) Um histograma demonstrativo da relação entre os intervalos de valores do imposto per capita, em reais, e os respectivos números de contribuintes é:
Número de alunos
a) 6h
3 000 1 000 700 300 5 000
Use esses dados para analisar as informações que seguem.
Número de horas
O tempo médio dormido pelos alunos dessa escola foi:
Valor total Número de arrecadado contribuintes por classe, em reais
3 000
10
20
30
40
Valor do imposto, em reais
b) Nesse mês, o valor médio do imposto per capita localiza-se na classe 3. c) Na classe 2, o valor médio do imposto pago pelos contribuintes é R$ 12,00. d) Nesse mês, 20% do total de contribuintes pagaram mais de R$ 20,00 de imposto. e) Escolhendo-se aleatoriamente um dos contribuintes do município, a probabilidade de que o valor do imposto pago por ele nesse mês seja igual ou 47 menor do que R$ 30,00 é . 50
91
Estatística
Estatística Respostas 1. d
14. a
2. e
15. c
3. c
16. a
4. a) 4 592 toneladas
17. c
b) 27,5%
18. b
5. a) R$ 2,95
19. b
b) R$ 3,00
20. e
6. c
21. e
7. Tempo médio de existência.
22. a
8. a
23. b
9. c
24. b
10. a
25. I, III, IV
11. a) 2 492 milhões de toneladas.
26. e
b) 1 796,5 milhões de toneladas.
12. a 13. e
92
27. a 28. São verdadeiras: a, d, e.
Matemática Volume Único
Coletânea de testes do ENEM Y
população em milhões de habitantes no ano x, seja usado para estimar essa população com 60 anos ou mais de idade nos países em desenvolvimento entre 2010 e 2050. Desse modo, considerando e0,3 = 1,35, estima-se que a população com 60 anos ou mais estará, em 2030, entre:
Imagens: Zapt
X
a) 490 e 510 milhões. b) 550 e 620 milhões. c) 780 e 800 milhões.
Desconsiderando-se a largura das ruas, qual seria o tempo, em minutos, que um ônibus, em velocidade constante e igual a 40 km/h, partindo do ponto X, demoraria para chegar até o ponto Y ? a) 25 min
d) 1,5 min
b) 15 min
e) 0,15 min
c) 2,5 min Texto para as questões 2 e 3 A população mundial está ficando mais velha, os índices de natalidade diminuíram e a expectativa de vida aumentou. No gráfico seguinte, são apresentados dados obtidos por pesquisa realizada pela Organização das Nações Unidas (ONU), a respeito da quantidade de pessoas com 60 anos ou mais em todo o mundo. Os números da coluna da direita representam as faixas percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões de pessoas com 60 anos ou mais nos países desenvolvidos, número entre 10% e 15% da população total nos países desenvolvidos. países desenvolvidos
461
1 592
490
110 1950
90
2010
4. Dados da Associação Nacional de Empresas de Transportes Urbanos (ANTU) mostram que o número de passageiros transportados mensalmente nas principais regiões metropolitanas do país vem caindo sistematicamente. Eram 476,7 milhões de passageiros em 1995, e esse número caiu para 321,9 milhões em abril de 2001. Nesse período, o tamanho da frota de veículos mudou pouco, tendo no final de 2008 praticamente o mesmo tamanho que tinha em 2001.
20
O gráfico a seguir mostra um índice de produtividade utilizado pelas empresas do setor, que é a razão entre o total de passageiros transportados por dia e o tamanho da frota de veículos.
15
Capitais brasileiras - Sistema de Ônibus Urbano*
25
países em 10 desenvolvimento 5
estimativas 70
3. Em 2050, a probabilidade de se escolher, aleatoriamente, uma pessoa com 60 anos ou mais de idade, na população dos países desenvolvidos, será um número mais próximo de: 1 8 3 a) c) e) 2 25 25 7 1 d) b) 20 5
30
50
0
Fonte: “Perspectivas da População Mundial”. ONU, 2009.
Disponível em: www.economist.com. Acesso em: 9 jul. 2009 (adaptado).
2. Suponha que o modelo exponencial y = 363e0,03x, em que x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 1 corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e que y é a
Passageiros transportados por veículos/dia** 1995 a 2008
passageiro/veículo
95
e) 870 e 910 milhões.
30
269 números em milhões
35
d) 810 e 860 milhões.
650 631 600 569 568 550 581 506 555 500 463 505 451 441 435 438 447 428 450 418 410 407 446 440 400 422 410 415 411 400 391 393 404 350 out/95 abr/96 out/96 abr/97 out/97 abr/98 out/98 abr/99 out/99 abr/00 out/00 abr/01 out/01 abr/02 out/02 abr/03 out/03 abr/04 out/04 abr/05 out/05 abr/06 out/06 abr/07 out/07 abr/08 out/08
1. O mapa ao lado representa um bairro de determinada cidade, no qual as flechas indicam o sentido das mãos do tráfego. Sabe-se que esse bairro foi planejado e que cada quadra representada na figura é um terreno quadrado, de lado igual a 200 metros.
*São Paulo, Rio de Janeiro, Belo Horizonte, Recife, Porto Alegre, Salvador, Fortaleza, Curitiba e Goiânia ** Passageiro total mensal/frota/25
Disponível em: http://www.ntu.org.br. Acesso em: 16 jul. 2009 (adaptado).
93
Coletânea de testes do ENEM
Supondo que as frotas totais de veículos naquelas regiões metropolitanas em abril de 2001 e em outubro de 2008 eram do mesmo tamanho, os dados do gráfico permitem inferir que o total de passageiros transportados no mês de outubro de 2008 foi aproximadamente igual a:
Nesse caso, a área definida por Antônio atingiria exatamente o limite determinado pela condição se ele:
a) 355 milhões
c) triplicasse a área do quadrado.
b) 400 milhões
d) ampliasse a medida do lado do quadrado em 4%.
c) 426 milhões
e) ampliasse a área do quadrado em 4%.
a) duplicasse a medida do lado do quadrado. b) triplicasse a medida do lado do quadrado.
d) 441 milhões 7. A suspeita de que haveria uma relação causal entre tabagismo e câncer de pulmão foi levantada pela primeira vez a partir de observações clínicas. Para testar essa possível associação, foram conduzidos inúmeros estudos epidemiológicos. Dentre esses, houve o estudo do número de casos de câncer em relação ao número de cigarros consumidos por dia, cujos resultados são mostrados no gráfico a seguir.
e) 477 milhões
casos de câncer pulmonar
5. Uma resolução do Conselho Nacional de Política Energética (CNPE) estabeleceu a obrigatoriedade de adição de biodísel ao óleo dísel comercializado nos postos. A exigência é que, a partir de 1º de julho de 2009, 4% do volume da mistura final seja formada por biodísel. Até junho de 2009, esse percentual era de 3%. Essa medida estimula a demanda de biodísel, bem como possibilita a redução da importação de dísel de petróleo. Disponível em: http://www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 12 jul. 2009 (adaptado).
Estimativas indicam que, com a adição de 4% de biodísel ao dísel, serão consumidos 925 milhões de litros de biodísel no segundo semestre de 2009. Considerando-se essa estimativa, para o mesmo volume da mistura final dísel/biodísel consumida no segundo semestre de 2009, qual seria o consumo de biodísel com a adição de 3%?
c) 231,25 milhões de litros. e) 888,00 milhões de litros.
Centers for Disease Control and Prevention CDC-EIS Summer Course — 1992 (adaptado).
c) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas diretamente proporcionais.
6. O governo cedeu terrenos para que famílias construíssem suas residências com a condição de que no mínimo 94% da área do terreno fosse mantida como área de preservação ambiental. Ao receber o BC terreno retangular ABCD, em que AB = , Antônio 2 demarcou uma área quadrada no vértice A, para a
94
número de cigarros consumidos diariamente
b) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas que não se relacionam.
d) 693,75 milhões de litros.
A E
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
a) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas inversamente proporcionais.
b) 37,00 milhões de litros.
C
D
d) uma pessoa não fumante certamente nunca será diagnosticada com câncer de pulmão.
Imagens: Zapt
B
60 50 40 30 20 10 0
De acordo com as informações do gráfico,
a) 27,75 milhões de litros.
construção de sua residência, de acordo com o desenho, no AB qual AE = é lado 5 do quadrado.
Casos de câncer pulmonar dado o número de cigarros consumidos diariamente
e) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas que estão relacionadas, mas sem proporcionalidade. 8. O gráfico a seguir mostra a evolução, de abril de 2008 a maio de 2009, da população economicamente ativa para seis regiões metropolitanas pesquisadas.
23 500
22 969
05
04
03
02
01/09
11
12
10
09
08
07
06
22 300
04/08
22 500
22 741
22 700
05
22 900
22 811
23 100
23 020
23 300
10. As figuras a seguir exibem um trecho de um quebracabeças que está sendo montado. Observe que as peças são quadradas e há 8 peças no tabuleiro da figura A e 8 peças no tabuleiro da figura B. As peças são retiradas do tabuleiro da figura B e colocadas no tabuleiro da figura A na posição correta, isto é, de modo a completar os desenhos. Reprodução
População economicamente ativa (em mil pessoas)
Zapt
Matemática Volume Único
Fonte: IBGE, Diretoria de Pesquisas, Coordenação de Trabalho e Rendimento, Pesquisa Mensal de Emprego.
Disponível em: www.ibge.gov.br.
Considerando que a taxa de crescimento da população economicamente ativa, entre 05/09 e 06/09, seja de 4%, então o número de pessoas economicamente ativas em 06/09 será igual a: c) 920 800
b) 32 228
d) 23 940 800
e) 32 228 000
semibreve
1
mínima
1 2 1 4
semínima colcheia
1 8
semicolcheia
1 16
fusa
1 32
semifusa
1 64
Figura A
Zapt
9. A música e a matemática se encontram na representação dos tempos das notas musicais, conforme a figura seguinte.
Reprodução
a) 23 940
Um compasso é uma unidade musical composta por determinada quantidade de notas musicais em que a soma das durações coincide com a fração indicada como fórmula do compasso. Por exemplo, se a fór1 mula de compasso for , poderia ter um compasso 2 ou com duas semínimas ou uma mínima ou quatro colcheias, sendo possível a combinação de diferentes figuras. Um trecho musical de oito compassos, cuja 3 fórmula é , poderia ser preenchido com: 4 a) 24 fusas. d) 24 colcheias e 12 semínimas.
Figura B peça 1
peça 2
Disponível em: http://pt.eternityii.com. Acesso em: 14 jul. 2009.
É possível preencher corretamente o espaço indicado pela seta no tabuleiro da figura A colocando a peça: a) 1 após girá-la 90° no sentido horário. b) 1 após girá-la 180° no sentido anti-horário. c) 2 após girá-la 90° no sentido anti-horário.
b) 3 semínimas. e) 16 semínimas e 8 semicolcheias.
d) 2 após girá-la 180° no sentido horário.
c) 8 semínimas.
e) 2 após girá-la 270° no sentido anti-horário. 95
Coletânea de testes do ENEM
11. O controle de qualidade de uma empresa fabricante de telefones celulares aponta que a probabilidade de um aparelho de determinado modelo apresentar defeito de fabricação é de 0,2%. Se uma loja acaba de vender 4 aparelhos desse modelo para um cliente, qual é a probabilidade de esse cliente sair da loja com exatamente dois aparelhos defeituosos? a) 2 ? (0,2%)4
no qual o valor da diária é função do tempo medido em número de dias. valor da diária 150
d) 4 ? (0,2%)
b) 4 ? (0,2%)
e) 6 ? (0,2%) ? (99,8%)
2
1
c) 6 ? (0,2%) ? (99,8%)
2
12. A tabela mostra alguns dados da emissão de dióxido de carbono de uma fábrica, em função do número de toneladas produzidas.
Produção Emissão de dióxido de carbono (em toneladas) (em partes por milhão – ppm) 1,1
2,14
1,2
2,30
1,3
2,46
1,4
2,64
1,5
2,83
1,6
3,03
1,7
3,25
1,8
3,48
1,9
3,73
2,0
4,00
2
3
4
5
6
7
8
tempo
De acordo com os dados e com o modelo, comparando o preço que um casal pagaria pela hospedagem por sete dias fora da promoção, um casal que adquirir o pacote promocional por oito dias fará uma economia de: a) R$ 90,00
d) R$ 150,00
b) R$ 110,00
e) R$ 170,00
c) R$ 130,00 14. Em Florença, Itália, na Igreja de Santa Croce, é possível encontrar um portão em que aparecem os anéis de Borromeo. Alguns historiadores acreditavam que os círculos representavam as três artes: escultura, pintura e arquitetura, pois elas eram tão próximas quanto inseparáveis. Reprodução
2
Cadernos do Gestar II, Matemática TP3. Disponível em: www.mec.gov.br. Acesso em: 14 jul. 2009.
Os dados na tabela indicam que a taxa média de variação entre a emissão de dióxido de carbono (em ppm) e a produção (em toneladas) é: a) inferior a 0,18. b) superior a 0,18 e inferior a 0,50. c) superior a 0,50 e inferior a 1,50. d) superior a 1,50 e inferior a 2,80. e) superior a 2,80.
a)
d)
b)
e)
13. Uma pousada oferece pacotes promocionais para atrair casais a se hospedarem por até oito dias. A hospedagem seria em apartamento de luxo e, nos três primeiros dias, a diária custaria R$ 150,00, preço da diária fora da promoção. Nos três dias seguintes, seria aplicada uma redução no valor da diária, cuja taxa média de variação, a cada dia, seria de R$ 20,00. Nos dois dias restantes, seria mantido o preço do sexto dia. Nessas condições, um modelo para a promoção idealizada é apresentado no gráfico a seguir, 96
Scientific American, ago, 2008.
Qual dos esboços a seguir melhor representa os anéis de Borromeo?
c)
Matemática Volume Único
Investimentos bilaterais (em milhões de dólares) Ano
Brasil na França
França no Brasil
2003
367
825
2004
357
485
2005
354
1 458
2006
539
744
2007
280
1 214
Disponível em: www.cartacapital.com.br. Acesso em: 7 jul. 2009.
Os dados da tabela mostram que, no período considerado, os valores médios dos investimentos da França no Brasil foram maiores que os investimentos do Brasil na França em um valor a) inferior a 300 milhões de dólares. b) superior a 300 milhões de dólares, mas inferior a 400 milhões de dólares. c) superior a 400 milhões de dólares, mas inferior a 500 milhões de dólares. d) superior a 500 milhões de dólares, mas inferior a 600 milhões de dólares. e) superior a 600 milhões de dólares. 16. Um grupo de 50 pessoas fez um orçamento inicial para organizar uma festa, que seria dividido entre elas em cotas iguais. Verificou-se ao final que, para arcar com todas as despesas, faltavam R$ 510,00, e que 5 novas pessoas haviam ingressado no grupo. No acerto foi decidido que a despesa total seria dividida em partes iguais pelas 55 pessoas. Quem não havia ainda contribuído pagaria a sua parte, e cada uma das 50 pessoas do grupo inicial deveria contribuir com mais R$ 7,00.
17.
Técnicos concluem mapeamento do aquífero Guarani
O aquífero Guarani localiza-se no subterrâneo dos territórios da Argentina, Brasil, Paraguai e Uruguai, com extensão total de 1 200 000 quilômetros quadrados, dos quais 840 000 quilômetros quadrados estão no Brasil. O aquífero armazena cerca de 30 mil quilômetros cúbicos de água e é considerado um dos maiores do mundo. Na maioria das vezes em que são feitas referências à água, são usadas as unidades metro cúbico e litro, e não as unidades já descritas. A Companhia de Saneamento Básico do Estado de São Paulo (SABESP) divulgou, por exemplo, um novo reservatório cuja capacidade de armazenagem é de 20 milhões de litros. Disponível em: http://noticias.terra.com.br. Acesso em: 10 jul. 2009 (adaptado).
Comparando as capacidades do aquífero Guarani e desse novo reservatório da SABESP, a capacidade do aquífero Guarani é: a) 1,5 × 102 vezes a capacidade do reservatório novo. b) 1,5 × 103 vezes a capacidade do reservatório novo. c) 1,5 × 106 vezes a capacidade do reservatório novo. d) 1,5 × 108 vezes a capacidade do reservatório novo. e) 1,5 × 109 vezes a capacidade do reservatório novo. 18. A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8 metro. A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é: a) 1,16 metro.
d) 5,6 metros.
b) 3,0 metros.
e) 7,04 metros.
c) 5,4 metros. 19. A figura a seguir mostra as medidas reais de uma aeronave que será fabricada para utilização por companhias de transporte aéreo. Um engenheiro precisa fazer o desenho desse avião em escala de 1 : 150.
De acordo com essas informações, qual foi o valor da cota calculada no acerto final para cada uma das 55 pessoas? a) R$ 14,00
d) R$ 32,00
b) R$ 17,00
e) R$ 57,00
c) R$ 22,00
28,5 metros
36 metros
Zapt
15. Brasil e França têm relações comerciais há mais de 200 anos. Enquanto a França é a 5ª nação mais rica do planeta, o Brasil é a 10ª, e ambas se destacam na economia mundial. No entanto, devido a uma série de restrições, o comércio entre esses dois países ainda não é adequadamente explorado, como mostra a tabela seguinte, referente ao período 2003-2007.
97
Coletânea de testes do ENEM
a) 2,9 cm 3 3,4 cm.
d) 21 cm 3 26 cm.
na delegacia, não conseguisse lembrar quais eram os dígitos verificadores, recordando-se apenas que os nove primeiros algarismos eram 123.456.789. Neste caso, os dígitos verificadores d1 e d2 esquecidos são, respectivamente:
b) 3,9 cm 3 4,4 cm.
e) 192 cm 3 242 cm.
a) 0 e 9
d) 9 e 1
b) 1 e 4
e) 0 e 1
21. Uma empresa que fabrica esferas de aço, de 6 cm de raio, utiliza caixas de madeira, na forma de um cubo, para transportá-las. Sabendo que a capacidade da caixa é de 13 824 cm3, então o número máximo de esferas que podem ser transportadas em uma caixa é igual a: a) 4
b) 8
c) 16
d) 24
e) 32
22. Para cada indivíduo, a sua inscrição no Cadastro de Pessoas Físicas (CPF) é composta por um número de 9 algarismos e outro número de 2 algarismos, na forma d1d2, em que os dígitos d1 e d2 são denominados dígitos verificadores. Os dígitos verificadores são calculados, a partir da esquerda, da seguinte maneira: os 9 primeiros algarismos são multiplicados pela sequência 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 (o primeiro por 10, o segundo por 9, e assim sucessivamente); em seguida, calcula-se o resto r da divisão da soma dos resultados das multiplicações por 11, e se esse resto r for 0 ou 1, d1 é zero, caso contrário d1 = (11 – r). O dígito d2 é calculado pela mesma regra, na qual os números a serem multiplicados pela sequência dada são contados a partir do segundo algarismo, sendo d1 o último algarismo, isto é, d2 é zero se o resto s da divisão por 11 das somas das multiplicações for 0 ou 1, caso contrário, d2 = (11 – s). Suponha que João tenha perdido seus documentos, inclusive o cartão de CPF e, ao dar queixa da perda 98
6,70 cm
15
7,05 cm
9 10 11 12 13 14 15
10
8
6,35 cm
7
5
6
Nível da água (y)
5
c) V = 15 000 – 50x – x2
Número de bolas (x)
4
b) V = 10 000 + 50x + x2 e) V = 15 000 – 50x + x2
O quadro a seguir mostra alguns resultados do experimento realizado.
y
3
a) V = 10 000 + 50x – x2 d) V = 15 000 + 50x – x2
23. Um experimento consiste em colocar certa quantidade de bolas de vidro idênticas em um copo com água até certo nível e medir o nível da água, conforme ilustrado na figura a seguir. Como resultado do experimento, concluiu-se que o nível da água é função do número de bolas de vidro que são colocadas dentro do copo.
2
Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado por dia com a venda do álcool, então a expressão que relaciona V e x é:
c) 1 e 7
Zapt
20. Um posto de combustível vende 10 000 litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10 200 litros.
1
c) 20 cm 3 25 cm.
0
Para o engenheiro fazer esse desenho em uma folha de papel, deixando uma margem de 1 cm em relação às bordas da folha, quais as dimensões mínimas, em centímetros, que essa folha deverá ter?
Disponível em: www.penta.ufrgs.br. Acesso em: 13 jan. 2009 (adaptado).
Qual a expressão algébrica que permite calcular o nível da água (y) em função do número de bolas (x)? a) y = 30x
d) y = 0,7x
b) y = 25x + 20,2
e) y = 0,07x + 6
c) y = 1,27x 24. Suponha que a etapa final de uma gincana escolar consista em um desafio de conhecimentos. Cada equipe escolheria 10 alunos para realizar uma prova objetiva, e a pontuação da equipe seria dada pela mediana das notas obtidas pelos alunos. As provas valiam, no máximo, 10 pontos cada. Ao final, a vencedora foi a equipe Ômega, com 7,8 pontos, seguida pela equipe Delta, com 7,6 pontos. Um dos alunos da equipe Gama, a qual ficou na terceira e última colocação, não pôde comparecer, tendo recebido nota zero na prova. As notas obtidas pelos 10 alunos da equipe Gama foram 10; 6,5; 8; 10; 7; 6,5; 7; 8; 6; 0. Se o aluno da equipe Gama que faltou tivesse comparecido, essa equipe a) teria a pontuação igual a 6,5 se ele obtivesse nota 0. b) seria a vencedora se ele obtivesse nota 10. c) seria a segunda colocada se ele obtivesse nota 8.
Matemática Volume Único d) permaneceria na terceira posição, independentemente da nota obtida pelo aluno. e) empataria com a equipe Ômega na primeira colocação se o aluno obtivesse nota 9. 25. Uma cooperativa de colheita propôs a um fazendeiro um contrato de trabalho nos seguintes termos: a coo perativa forneceria 12 trabalhadores e 4 máquinas, em um regime de trabalho de 6 horas diárias, capazes de colher 20 hectares de milho por dia, ao custo de R$ 10,00 por trabalhador por dia de trabalho, e R$ 1 000,00 pelo aluguel diário de cada máquina. O fazendeiro argumentou que fecharia contrato se a cooperativa colhesse 180 hectares de milho em 6 dias, com gasto inferior a R$ 25 000,00. Para atender às exigências do fazendeiro e supondo que o ritmo dos trabalhadores e das máquinas seja constante, a cooperativa deveria a) manter sua proposta. b) oferecer 4 máquinas a mais. c) oferecer 6 trabalhadores a mais. d) aumentar a jornada de trabalho para 9 horas diárias. e) reduzir em R$ 400,00 o valor do aluguel diário de uma máquina.
na Bélgica, cujo traçado tem 7 km de extensão. O consumo médio de um carro da Fórmula 1 é de 75 litros para cada 100 km. Suponha que um piloto de uma equipe específica, que utiliza um tipo de gasolina com densidade de 750 g/L, esteja no circuito de Spa-Francorchamps, parado no box para reabastecimento. Caso ele pretenda dar mais 16 voltas, ao ser liberado para retornar à pista, seu carro deverá pesar, no mínimo: a) 617 kg b) 668 kg c) 680 kg d) 689 kg e) 717 kg 28. Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou como herança um terreno retangular de 3 km 3 2 km que contém uma área de extração de ouro delimitada por um quarto de círculo de raio 1 km a partir do canto inferior esquerdo da propriedade. Dado o maior valor da área de extração de ouro, os irmãos acordaram em repartir a propriedade de modo que cada um ficasse com a terça parte da área de extração, conforme mostra a figura a seguir.
26. Uma escola lançou uma campanha para seus alunos arrecadarem, durante 30 dias, alimentos não perecíveis para doar a uma comunidade carente da região. Vinte alunos aceitaram a tarefa e nos primeiros 10 dias trabalharam 3 horas diárias, arrecadando 12 kg de alimentos por dia. Animados com os resultados, 30 novos alunos somaram-se ao grupo, e passaram a trabalhar 4 horas por dia nos dias seguintes até o término da campanha. Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido constante, a quantidade de alimentos arrecadados ao final do prazo estipulado seria de: a) 920 kg b) 800 kg
Zapt
3 km
João Pedro
2 km
1 km José 1 km
Em relação à partilha proposta, constata-se que a porcentagem da área do terreno que coube a João corresponde, aproximadamente, a: considere 3 = 0,58 3
c) 720 kg
a) 50%
d) 33%
d) 600 kg
b) 43%
e) 19%
e) 570 kg
c) 37%
27. Segundo as regras da Fórmula 1, o peso mínimo do carro, de tanque vazio, com o piloto, é de 605 kg, e a gasolina deve ter densidade entre 725 e 780 gramas por litro. Entre os circuitos nos quais ocorrem competições dessa categoria, o mais longo é Spa-Francorchamps,
29. Rotas aéreas são como pontes que ligam cidades, estados ou países. O mapa a seguir mostra os estados brasileiros e a localização de algumas capitais identificadas pelos números. Considere que a direção seguida por um avião AI que partiu de Brasília-DF, sem 99
Coletânea de testes do ENEM
escalas, para Belém, no Pará, seja um segmento de reta com extremidades em DF e em 4. 2
18 1 Manaus 2 Boa Vista 3 Macapá 4 Belém 5 São Luís 6 Teresina 7 Fortaleza 8 Natal 9 Salvador
17
10 Rio de Janeiro 11 São Paulo 12 Curitiba 13 Belo Horizonte 14 Goiânia 15 Cuiabá 16 Campo Grande 17 Porto Velho 18 Rio Branco
5
15
9
DF
14
11 12
8
6 7
Zapt
4
16
13 10
SIQUEIRA, S. Brasil Regiões. Disponível em: www.santiagosiqueira.pro.br. Acesso em: 28 jul. 2009 (adaptado).
Suponha que um passageiro de nome Carlos pegou um avião AII, que seguiu a direção que forma um ângulo de 135° no sentido horário com a rota Brasília – Belém e pousou em alguma das capitais brasileiras. Ao desembarcar, Carlos fez uma conexão e embarcou em um avião AIII, que seguiu a direção que forma um ângulo reto, no sentido anti-horário, com a direção seguida pelo avião AII ao partir de Brasília-DF. Considerando que a direção seguida por um avião é sempre dada pela semirreta com origem na cidade de partida e que passa pela cidade destino do avião, pela descrição dada, o passageiro Carlos fez uma conexão em: a) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Curitiba.
d) duas combinações. e) dois arranjos. 31. Na tabela, são apresentados dados da cotação mensal do ovo extra branco vendido no atacado, em Brasília, em reais, por caixa de 30 dúzias de ovos, em alguns meses dos anos 2007 e 2008. Mês
Cotação
Ano
Outubro
R$ 83,00
2007
Novembro
R$ 73,10
2007
Dezembro
R$ 81,60
2007
Janeiro
R$ 82,00
2008
Fevereiro
R$ 85,30
2008
Março
R$ 84,00
2008
Abril
R$ 84,60
2008
De acordo com esses dados, o valor da mediana das cotações mensais do ovo extra branco nesse período era igual a: a) R$ 73,10
c) R$ 82,00
b) R$ 81,50
d) R$ 83,00
e) R$ 85,30
32. O quadro apresenta informações da área aproximada de cada bioma brasileiro. Área aproximada (km )
Área / total Brasil
Amazônia
4 196 943
49,29%
Cerrado
2 036 448
23,92%
d) Goiânia, e em seguida embarcou para o Rio de Janeiro.
Mata Atlântica
1 110 182
13,04%
Caatinga
844 453
9,92%
e) Goiânia, e em seguida embarcou para Manaus.
Pampa
176 496
2,07%
Pantanal
150 355
1,76%
b) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Salvador. c) Boa Vista, e em seguida embarcou para Porto Velho.
30. Doze times se inscreveram em um torneio de futebol amador. O jogo de abertura do torneio foi escolhido da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times para compor o Grupo A. Em seguida, entre os times do Grupo A, foram sorteados 2 times para realizar o jogo de abertura do torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio campo, e o segundo seria o time visitante. A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e a quantidade total de escolhas dos times do jogo de abertura podem ser calculadas através de: 100
b) um arranjo e uma combinação, respectivamente. c) um arranjo e uma permutação, respectivamente.
3
1
a) uma combinação e um arranjo, respectivamente.
Biomas continentais brasileiros
Área Total Brasil
2
8 514 877 Disponível em: www.ibge.gov.br. Acesso em: 10 jul. 2009 (adaptado).
É comum em conversas informais, ou mesmo em noticiários, o uso de múltiplos da área de um campo de futebol (com as medidas de 120 m 3 90 m) para auxiliar a visualização de áreas consideradas extensas. Nesse caso, qual é o número de campos de futebol correspondente à área aproximada do bioma Pantanal?
Matemática Volume Único a) 1 400
d) 1 400 000
b) 14 000
e) 14 000 000
c) 140 000 33. A vazão do rio Tietê, em São Paulo, constitui preocupação constante nos períodos chuvosos. Em alguns trechos, são construídas canaletas para controlar o fluxo de água. Uma dessas canaletas, cujo corte vertical determina a forma de um trapézio isósceles, tem as medidas especificadas na figura I. Neste caso, a vazão da água é de 1 050 m3/s. O cálculo da vazão, Q em m3/s, envolve o produto da área A do setor transversal (por onde passa a água), em m2, pela velocidade da água no local, v, em m/s, ou seja, Q = Av. Planeja-se uma reforma na canaleta, com as dimensões especificadas na figura II, para evitar a ocorrência de enchentes.
Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte superior, que tem 1,5 cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele passará a gastar com parafina para fabricar uma vela? a) 156 cm3
d) 216 cm3
b) 189 cm3
e) 540 cm3
c) 192 cm3 35. A população brasileira sabe, pelo menos intuitivamente, que a probabilidade de acertar as seis dezenas da mega-sena não é zero, mas é quase. Mesmo assim, milhões de pessoas são atraídas por essa loteria, especialmente quando o prêmio se acumula em valores altos. Até junho de 2009, cada aposta de seis dezenas, pertencentes ao conjunto {01, 02, 03, ..., 59, 60}, custava R$ 1,50. Disponível em: www.caixa.gov.br. Acesso em: 7 jul. 2009.
30 m 2,5 m
a) 90 m3/s
d) 1 512 m3/s
Considere que uma pessoa decida apostar exatamente R$ 126,00 e que esteja mais interessada em acertar apenas cinco das seis dezenas da mega-sena, justamente pela dificuldade desta última. Nesse caso, é melhor que essa pessoa faça 84 apostas de seis dezenas diferentes, que não tenham cinco números em comum, do que uma única aposta com nove dezenas, porque a probabilidade de acertar a quina no segundo caso em relação ao primeiro é, aproximadamente: 1 a) 1 vez menor. d) 9 vezes menor. 2 1 e) 14 vezes menor. b) 2 vezes menor. 2
b) 750 m3/s
e) 2 009 m3/s
c) 4 vezes menor.
20 m 49 m 2,0 m 41 m Disponível em: www2.uel.br. Acesso em: 5 maio 2010.
Na suposição de que a velocidade da água não se alterará, qual a vazão esperada para depois da reforma na canaleta?
c) 1 050 m /s 3
Imagens: Zapt
34. Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular regular com 19 cm de altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma altura — 3 troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior —, espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a base superior de cada bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando pelo centro de cada bloco, m unindo-os, conforme a 6c 6 cm figura.
36. Nos últimos anos, o volume de petróleo exportado pelo Brasil tem mostrado expressiva tendência de crescimento, ultrapassando as importações em 2008. Entretanto, apesar de as importações terem se mantido praticamente no mesmo patamar desde 2001, os recursos gerados com as exportações ainda são inferiores àqueles despendidos com as importações, uma vez que o preço médio por metro cúbico do petróleo importado é superior ao do petróleo nacional. Nos primeiros cinco meses de 2009, foram gastos 2,84 bilhões de dólares com importações e gerada uma receita de 2,24 bilhões de dólares com as exportações. O preço médio por metro cúbico em maio de 2009 foi de 340 dólares para o petróleo importado e de 230 dólares para o petróleo exportado. 101
Coletânea de testes do ENEM
O quadro a seguir mostra os dados consolidados de 2001 a 2008 e dos primeiros cinco meses de 2009. Comércio exterior de petróleo (milhões de metros cúbicos) Ano
Importação
Exportação
2001
24,19
6,43
2002
22,06
13,63
2003
19,96
14,03
2004
26,91
13,39
2005
21,97
15,93
2006
20,91
21,36
2007
25,38
24,45
2008
23,53
25,14
2009*
9,00
11,00
*Valores apurados de janeiro a maio de 2009. Disponível em: http://www.anp.gov.br. Acesso em: 15 jul. 2009 (adaptado).
Considere que as importações e exportações de petróleo de junho a dezembro de 2009 sejam iguais a 7 das importações e exportações, respectivamente, 5 ocorridas de janeiro a maio de 2009. Nesse caso, supondo que os preços para importação e exportação não sofram alterações, qual seria o valor mais aproximado da diferença entre os recursos despendidos com as importações e os recursos gerados com as exportações em 2009? a) 600 milhões de dólares. b) 840 milhões de dólares. c) 1,34 bilhão de dólares. d) 1,44 bilhão de dólares. e) 2,00 bilhões de dólares. 37. A resolução das câmeras digitais modernas é dada em megapixels, unidade de medida que representa um milhão de pontos. As informações sobre cada um desses pontos são armazenadas, em geral, em 3 bytes. Porém, para evitar que as imagens ocupem muito espaço, elas são submetidas a algoritmos de compressão, que reduzem em até 95% a quantidade de bytes necessários para armazená-las. Considere 1 KB = = 1 000 bytes, 1 MB = 1 000 KB, 1 GB = 1 000 MB. Utilizando uma câmera de 2.0 megapixels cujo algoritmo de compressão é de 95%, João fotografou 150 imagens para seu trabalho escolar. Se ele deseja armazená-las de modo que o espaço restante no dispositivo seja o menor espaço possível, ele deve utilizar 102
a) um CD de 700 MB. b) um pendrive de 1 GB. c) um HD externo de 16 GB. d) um memory stick de 16 MB. e) um cartão de memória de 64 MB. 38. Considere um ponto P y em uma circunferência de raio r no plano r P cartesiano. Seja Q a projeção ortogonal de P sobre o eixo x, como mostra a figura, e suponha que o ponto P x Q percorra, no sentido anti-horário, uma distância d < r sobre a circunferência. Então, o ponto Q percorrerá, no eixo x, uma distância dada por: a) r 1 – sen
d r
b) r 1 – cos
d r
c) r 1 – tg d) r sen
r d
e) r cos
r d
d r
39. Joana frequenta uma academia de ginástica onde faz exercícios de musculação. O programa de Joana requer que ela faça 3 séries de exercícios em 6 aparelhos diferentes, gastando 30 segundos em cada série. No aquecimento, ela caminha durante 10 minutos na esteira e descansa durante 60 segundos para começar o primeiro exercício no primeiro aparelho. Entre uma série e outra, assim como ao mudar de aparelho, Joana descansa por 60 segundos. Suponha que, em determinado dia, Joana tenha iniciado seus exercícios às 10h30min e finalizado às 11h7min. Nesse dia e nesse tempo, Joana a) não poderia fazer sequer a metade dos exercícios e dispor dos períodos de descanso especificados em seu programa. b) poderia ter feito todos os exercícios e cumprido rigorosamente os períodos de descanso especificados em seu programa.
Matemática Volume Único c) poderia ter feito todos os exercícios, mas teria de ter deixado de cumprir um dos períodos de descanso especificados em seu programa.
a) renegociar suas dívidas com o banco.
d) conseguiria fazer todos os exercícios e cumpriria todos os períodos de descanso especificados em seu programa, e ainda se permitiria uma pausa de 7 min.
c) recusar o empréstimo de José e pagar todas as parcelas pendentes nos devidos prazos.
e) não poderia fazer todas as 3 séries dos exercícios especificados em seu programa; em alguma dessas séries deveria ter feito uma série a menos e não deveria ter cumprido um dos períodos de descanso. 40. O Indicador do CadÚnico (ICadÚnico), que compõe o cálculo do Índice de Gestão Descentralizada do Programa Bolsa Família (IGD), é obtido por meio da média aritmética entre a taxa de cobertura qualificada de cadastros (TC) e a taxa de atualização de NV NA , TA = , NV é o cadastros (TA), em que TC = NF NV número de cadastros domiciliares válidos no perfil do CadÚnico, NF é o número de famílias estimadas como público-alvo do CadÚnico e NA é o número de cadastros domiciliares atualizados no perfil do CadÚnico. Portaria nº 148 de 27 de abril de 2006 (adaptado).
Suponha que o ICadÚnico de um município específico é 0,6. Porém, dobrando NF o ICadÚnico cairá para 0,5. Se NA + NV = 3 600, então NF é igual a: a) 10 000 b) 7 500 c) 5 000 d) 4 500 e) 3 000 41. João deve 12 parcelas de R$ 150,00 referentes ao cheque especial de seu banco e cinco parcelas de R$ 80,00 referentes ao cartão de crédito. O gerente do banco lhe ofereceu duas parcelas de desconto no cheque especial, caso João quitasse esta dívida imediatamente ou, na mesma condição, isto é, quitação imediata, com 25% de desconto na dívida do cartão. João também poderia renegociar suas dívidas em 18 parcelas mensais de R$ 125,00. Sabendo desses termos, José, amigo de João, ofereceu-lhe emprestar o dinheiro que julgasse necessário pelo tempo de 18 meses, com juros de 25% sobre o total emprestado. A opção que dá a João o menor gasto seria:
b) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação das duas dívidas.
d) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cheque especial e pagar as parcelas do cartão de crédito. e) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cartão de crédito e pagar as parcelas do cheque especial. 42. Um artesão construiu peças de artesanato interceptando uma pirâmide de base quadrada com um plano. Após fazer um estudo das diferentes peças que poderia obter, ele concluiu que uma delas poderia ter uma das faces pentagonal. Qual dos argumentos a seguir justifica a conclusão do artesão? a) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 arestas laterais e a interseção de um plano com a pirâmide intercepta suas arestas laterais. Assim, esses pontos formam um polígono de 4 lados. b) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 faces triangulares e, quando um plano intercepta essa pirâmide, divide cada face em um triângulo e um trapézio. Logo, um dos polígonos tem 4 lados. c) Uma pirâmide de base quadrada tem 5 faces e a interseção de uma face com um plano é um segmento de reta. Assim, se o plano interceptar todas as faces, o polígono obtido nessa interseção tem 5 lados. d) O número de lados de qualquer polígono obtido como interseção de uma pirâmide com um plano é igual ao número de faces da pirâmide. Como a pirâmide tem 5 faces, o polígono tem 5 lados. e) O número de lados de qualquer polígono obtido interceptando-se uma pirâmide por um plano é igual ao número de arestas laterais da pirâmide. Como a pirâmide tem 4 arestas laterais, o polígono tem 4 lados. 43. Um médico está estudando um novo medicamento que combate um tipo de câncer em estágios avançados. Porém, devido ao forte efeito dos seus componentes, a cada dose administrada há uma chance de 10% de que o paciente sofra algum dos efeitos colaterais observados no estudo, tais como dores de cabeça, vômitos ou mesmo agravamento dos 103
Coletânea de testes do ENEM
sintomas da doença. O médico oferece tratamentos compostos por 3, 4, 6, 8 ou 10 doses do medicamento, de acordo com o risco que o paciente pretende assumir.
a) 6 metros por 5 metros, pois assim teria uma área de 30 m2.
Se um paciente considera aceitável um risco de até 35% de chances de que ocorra algum dos efeitos colaterais durante o tratamento, qual é o maior número admissível de doses para esse paciente?
c) 50 metros por 60 metros, pois assim teria uma área de 3 000 m2.
a) 3 doses.
e) 110 metros por 30 metros, pois assim teria uma área de 3 300 m2.
b) 4 doses. c) 6 doses.
b) 15 metros por 20 metros, pois assim teria uma área de 300 m2.
d) 91 metros por 30 metros, pois assim teria uma área de 2 730 m2.
45. Um professor dividiu a lousa da sala de aula em quatro partes iguais. Em seguida, preencheu 75% dela com conceitos e explicações, conforme a figura seguinte.
d) 8 doses. e) 10 doses. 44. A cisterna é um recipiente utilizado para armazenar água da chuva. Os principais critérios a serem observados para captação e armazenagem de água da chuva são: a demanda diária de água na propriedade; o índice médio de precipitação (chuva), por região, em cada período do ano; o tempo necessário para armazenagem; e a área de telhado necessária ou disponível para captação. Para fazer o cálculo do volume de uma cisterna, devese acrescentar um adicional relativo ao coeficiente de evaporação. Na dificuldade em se estabelecer um coeficiente confiável, a Empresa Brasileira de Pesquisa Agropecuária (EMBRAPA) sugere que sejam adicionados 10% ao volume calculado de água. Desse modo, o volume, em m3, de uma cisterna é calculado por Vc = Vd × Ndia , em que Vd = volume de demanda da água diária (m3), Ndia = número de dias de armazenagem, e este resultado deve ser acrescido de 10%.
XXXXX XXXXXXXX XXXXX XXXXXXXX XXXXX XXXXXXXX XXXXX XXXXXXXX XXXXX XXXXXXXX XXXXX XXXXXXXX
Disponível em: www.cnpsa.embrapa.br. Acesso em: 8 jun. 2009 (adaptado).
Para atender a uma demanda diária de 2 000 litros de água, com período de armazenagem de 15 dias e precipitação média de 110 mm, o telhado, retangular, deverá ter as dimensões mínimas de: 104
XXXXX XXXXXXXX XXXXX XXXXXXXX XXXXX XXXXXXXX XXXXX XXXXXXXX XXXXX XXXXXXXX XXXXX XXXXXXXX
Algum tempo depois, o professor apagou a lousa por completo e, adotando um procedimento semelhante ao anterior, voltou a preenchê-la, mas, dessa vez, utilizando 40% do espaço dela. Uma representação possível para essa segunda situação é a)
b)
c)
Para melhorar a qualidade da água, recomenda-se que a captação seja feita somente nos telhados das edificações. Considerando que a precipitação de chuva de 1 mm sobre uma área de 1 m2 produz 1 litro de água, podese calcular a área de um telhado a fim de atender a necessidade de armazenagem da seguinte maneira: área do telhado (em m2) = volume da cisterna (em litros)/precipitação.
XXXXX XXXXXXXX XXXXX XXXXXXXX XXXXX XXXXXXXX XXXXX XXXXXXXX XXXXX XXXXXXXX XXXXX XXXXXXXX
d)
e)
XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX
XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX
XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX
XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX
XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX
XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX
XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX
46. Uma fábrica produz barras de chocolates no formato de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo volume. As arestas da barra de chocolate no formato de
Matemática Volume Único paralelepípedo medem 3 cm de largura, 18 cm de comprimento e 4 cm de espessura. Analisando as características das figuras geométricas descritas, a medida das arestas dos chocolates que têm o formato de cubo é igual a a) 5 cm.
d) 24 cm.
b) 6 cm.
e) 25 cm.
c) 12 cm. 47. O Salto Triplo é uma modalidade do atletismo em que o atleta dá um salto em um só pé, uma passada e um salto, nessa ordem. Sendo que o salto com impulsão em um só pé será feito de modo que o atleta caia primeiro sobre o mesmo pé que deu a impulsão; na passada ele cairá com o outro pé, do qual o salto é realizado. Disponível em: www.cbat.org.br (adaptado).
Um atleta da modalidade Salto Triplo, depois de estudar seus movimentos, percebeu que, do segundo para o primeiro salto, o alcance diminuía em 1,2 m, e, do terceiro para o segundo salto, o alcance diminuía 1,5 m. Querendo atingir a meta de 17,4 m nessa prova e considerando os seus estudos, a distância alcançada no primeiro salto teria de estar entre a) 4,0 m e 5,0 m.
d) 7,0 m e 8,0 m.
b) 5,0 m e 6,0 m.
e) 8,0 m e 9,0 m.
c) 6,0 m e 7,0 m. 48. O gráfico a seguir apresenta o gasto militar dos Estados Unidos, no período de 1988 a 2006. O GASTO MILITAR DOS ESTADOS UNIDOS SUPERA O DO FIM DA GUERRA FRIA Em bilhões de dólares 600 Queda do Muro de Berlim (fim da Guerra Fria) 500 426,8 400
300
200
422,1
536,6 526,7 Atentado de 11 de setembro: ação militar no Afeganistão
O Recíproco do Índice Ponderal (RIP), de acordo com o modelo alométrico, possui uma melhor fundamentação matemática, já que a massa é uma variável de dimensões cúbicas e a altura, uma variável de dimensões lineares. As fórmulas que determinam esses índices são: massa (kg) [altura (m)]2
IMC =
RIP =
altura (cm)
√ massa (kg) 3
ARAUJO, C. G. S.; RICARDO, D. R. Índice de Massa Corporal: Um Questionamento Científico. Baseado em Evidências. Arq. Bras. Cardiologia, volume 79, nº 1, 2002 (adaptado).
Se uma menina com 64 kg de massa apresenta IMC igual a 25 kg/m2, então ela possui RIP igual a 1
1
a) 0,4 cm/kg 3 .
d) 20 cm/kg 3 .
1
1
b) 2,5 cm/kg 3 .
e) 40 cm/kg 3 .
1
c) 8 cm/kg 3 . 50. Os dados do gráfico seguinte foram gerados a partir de dados colhidos no conjunto de seis regiões metropolitanas pelo Departamento Intersindical de Estatística e Estudos Socioeconômicos (Dieese). Taxas de desemprego nas regiões metropolitanas março/2010 São Paulo
13,1
Salvador
19,9
Recife
19,3 9,8
Porto Alegre
417,4
403,7 354,3
486,4
49. Embora o Índice de Massa Corporal (IMC) seja amplamente utilizado, existem ainda inúmeras restrições teóricas ao uso e às faixas de normalidade preconizadas.
371,4 354,8
EUA entram na Guerra do Golfo
334,8
341,5
315,1
298,1
315,1
290,5 289,7
301,7
Início da guerra no Iraque
304,1
1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
10,2
Belo Horizonte
14,7
Distrito Federal 0
a) US$ 4 174 000,00. b) US$ 41 740 000,00.
10
15
20
25
Disponível em: http://g1.globo.com. Acesso em: 28 abr. 2010 (adaptado).
Almanaque Abril 2008. Editora Abril.
Com base no gráfico, o gasto militar no início da guerra no Iraque foi de
5
Supondo que o total de pessoas pesquisadas na região metropolitana de Porto Alegre equivale a 250 000, o número de desempregados em março de 2010, nessa região, foi de
c) US$ 417 400 000,00.
a) 24 500.
d) 223 000.
d) US$ 41 740 000 000,00.
b) 25 000.
e) 227 500.
e) US$ 417 400 000 000,00.
c) 220 500. 105
Coletânea de testes do ENEM
51. Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 qui lômetros a Noroeste de São Paulo), na noite do último domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando agricultores da região. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, França, Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento da camada de ozônio, e sua descida se deu após o cumprimento do tempo previsto de medição. Disponível em: http://www.correiodobrasil.com.br. Acesso em: 2 maio 2010. Balão
aos 17 anos e, a partir de 17 anos, essa variação passava a ser cada vez menor, até se tornar imperceptível. Para ilustrar essa situação, esse casal fez um gráfico relacionando as alturas do filho nas idades consideradas. Que gráfico melhor representa a altura do filho desse casal em função da idade? a) Altura (cm) 180 171 148
51
0 60° 1,8 km
A
30° 3,7 km
B
Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o avistou sob um ângulo de 60°; a outra estava a 5,5 km da posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, conforme se vê na figura, e o avistou sob um ângulo de 30°. Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão? a) 1,8 km
c) 3,1 km
b) 1,9 km
d) 3,7 km
e) 5,5 km
52. Uma escola recebeu do governo uma verba de R$ 1 000,00 para enviar dois tipos de folhetos pelo correio. O diretor da escola pesquisou que tipos de selos deveriam ser utilizados. Concluiu que, para o primeiro tipo de folheto, bastava um selo de R$ 0,65 enquanto para folhetos do segundo tipo seriam necessários três selos, um de R$ 0,65, um de R$ 0,60 e um de R$ 0,20. O diretor solicitou que se comprassem selos de modo que fossem postados exatamente 500 folhetos do segundo tipo e uma quantidade restante de selos que permitisse o envio do máximo possível de folhetos do primeiro tipo. Quantos selos de R$ 0,65 foram comprados? a) 476
d) 965
b) 675
e) 1 538
10
17
Idade (anos)
10
17
Idade (anos)
10
17
Idade (anos)
10
17
Idade (anos)
10
17
Idade (anos)
b) Altura (cm) 180 171 148
51
0
c) Altura (cm)
180 171 148
51
0
d) Altura (cm)
180 171 148
51
0
e) Altura (cm)
180 171 148
c) 923 51
53. Acompanhando o crescimento do filho, um casal constatou que, de 0 a 10 anos, a variação da sua altura se dava de forma mais rápida do que dos 10 106
0
Matemática Volume Único 54. Em 2006, a produção mundial de etanol foi de 40 bilhões de litros e a de biodiesel, de 6,5 bilhões. Neste mesmo ano, a produção brasileira de etanol correspondeu a 43% da produção mundial, ao passo que a produção dos Estados Unidos da América, usando milho, foi de 45%.
B
a) 22,5%.
d) 65,5%.
b) 50,0%.
e) 77,5%.
Nessas condições, a área a ser calçada corresponde a) à mesma área do triângulo AMC. b) à mesma área do triângulo BNC. c) à metade da área formada pelo triângulo ABC. d) ao dobro da área do triângulo MNC. e) ao triplo da área do triângulo MNC. 57.
1
1
1
1
2
3
2
1
2
3
4
3
2
A resistência elétrica e as dimensões do condutor A relação da resistência elétrica com as dimensões do condutor foi estudada por um grupo de cientistas por meio de vários experimentos de eletricidade. Eles verificaram que existe proporcionalidade entre: • resistência (R) e comprimento (,), dada a mesma secção transversal (A), • resistência (R) e área da secção transversal (A), dado o mesmo comprimento (,) e • comprimento (,) e área da secção transversal (A), dada a mesma resistência (R). Considerando os resistores como fios, pode-se exemplificar o estudo das grandezas que influem na resistência elétrica utilizando as figuras seguintes.
55. Ronaldo é um garoto que adora brincar com números. Numa dessas brincadeiras, ele empilhou caixas numeradas de acordo com a sequência mostrada no esquema a seguir.
2
1
fio condutor
...
A resistência R
Ele percebeu que a soma dos números em cada linha tinha uma propriedade e que, por meio dessa propriedade, era possível prever a soma de qualquer linha posterior às já construídas. A partir dessa propriedade, qual será a soma da 9ª linha da sequência de caixas empilhadas por Ronaldo? a) 9
c) 64
b) 45
d) 81
N
A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria ser calçada com concreto.
c) 52,3%.
1
C
A
Disponível em: www.planetasustentavel.abril.com.br. Acesso em: 2 maio 2009.
Considerando que, em 2009, a produção mundial de etanol seja a mesma de 2006 e que os Estados Unidos produzirão somente a metade de sua produção de 2006, para que o total produzido pelo Brasil e pelos Estados Unidos continue correspondendo a 88% da produção mundial, o Brasil deve aumentar sua produção em, aproximadamente,
M
P
e) 285
56. Em canteiros de obras de construção civil é comum perceber trabalhadores realizando medidas de comprimento e de ângulos e fazendo demarcações por onde a obra deve começar ou se erguer. Em um desses canteiros foram feitas algumas marcas no chão plano. Foi possível perceber que, das seis estacas colocadas, três eram vértices de um triângulo retângulo e as outras três eram os pontos médios dos lados desse triângulo, conforme pode ser visto na figura, em que as estacas foram indicadas por letras.
fios de mesmo material
A
fios de mesmo material
fios de mesmo material
A resistência R
A resistência R
A resistência R
resistência 2R 2
2A resistência R 2
2A
resistência R 2
Disponível em: http://www.efeitojoule.com. Acesso em: abr. 2010 (adaptado).
As figuras mostram que as proporcionalidades exis tentes entre resistência (R) e comprimento (,), resistência (R) e área da secção transversal (A), e entre comprimento (,) e área da secção transversal (A) são, respectivamente, a) direta, direta e direta. b) direta, direta e inversa. c) direta, inversa e direta. d) inversa, direta e direta. e) inversa, direta e inversa. 107
Coletânea de testes do ENEM
58. Alguns testes de preferência por bebedouros de água foram realizados com bovinos, envolvendo três tipos de bebedouros, de formatos e tamanhos diferentes. Os bebedouros 1 e 2 têm a forma de um tronco de cone circular reto, de altura igual a 60 cm, e diâmetro da base superior igual a 120 cm e 60 cm, respectivamente. O bebedouro 3 é um semicilindro, com 30 cm de altura, 100 cm de comprimento e 60 cm de largura. Os três recipientes estão ilustrados na figura. 120 cm
60 cm
60 cm
60 cm
Bebedouro 1
Bebedouro 2 60 cm
0 10
30 cm
d)
60 cm
100 cm 60 cm
100 cm 60 cm
e)
60 cm
100 cm
c)
b) 1 : 100
e) 1 : 2 000
c) 1 : 200 60. Uma empresa vende tanques de combustíveis de formato cilíndrico, em três tamanhos, com medidas indicadas nas figuras. O preço do tanque é diretamente proporcional à medida da área da superfície lateral do tanque. O dono de um posto de combustível deseja encomendar um tanque com menor custo por metro cúbico de capacidade de armazenamento. 4m
6m 8m (II)
8m (III)
Qual dos tanques deverá ser escolhido pelo dono do posto? (Considere p > 3.)
60 cm
b)
d) 1 : 1 000
6m (I)
Considerando que nenhum dos recipientes tenha tampa, qual das figuras a seguir representa uma planificação para o bebedouro 3? 100 cm
a) 1 : 20
4m
cm
Bebedouro 3
a)
Qual a razão entre o diâmetro aproximado do olho humano, suposto pela professora, e o diâmetro do espelho primário do telescópio citado?
100 cm
a) I, pela relação área/capacidade de armazenamento 1 de . 3 b) I, pela relação área/capacidade de armazenamento 4 de . 3 c) II, pela relação área/capacidade de armazenamen3 to de . 4 d) III, pela relação área/capacidade de armazenamen2 to de . 3 e) III, pela relação área/capacidade de armazenamen7 . to de 12 61. A ideia de usar rolos circulares para deslocar objetos pesados provavelmente surgiu com os antigos egípcios ao construírem as pirâmides.
60 cm 60 cm
59. No monte de Cerro Armazones, no deserto de Atacama, ficará o maior telescópio da superfície terrestre, o Telescópio Europeu Extremamente Grande (E-ELT). O E-ELT terá um espelho primário de 42 m de diâmetro, “o maior olho do mundo voltado para o céu”. Disponível em: http://www.estadao.com.br. Acesso em: 27 abr. 2010 (adaptado).
Ao ler esse texto em uma sala de aula, uma professora fez uma suposição de que o diâmetro do olho humano mede aproximadamente 2,1 cm. 108
BOLT, Brian. Atividades matemáticas. Ed. Gradiva.
Representando por R o raio da base dos rolos cilíndricos, em metros, a expressão do deslocamento horizontal y do bloco de pedra em função de R, após o rolo ter dado uma volta completa sem deslizar, é a) y 5 R.
c) y 5 pR.
b) y 5 2R.
d) y 5 2pR.
e) y 5 4pR.
Matemática Volume Único
Coletânea de testes do ENEM Respostas 1. d
32. e
2. e
33. d
3. c
34. b
4. a
35. c
5. d
36. c
6. c
37. e
7. e
38. b
8. d
39. b
9. d
40. c
10. c
41. e
11. c
42. c
12. d
43. b
13. a
44. b
14. e
45. c
15. d
46. b
16. d
47. d
17. e
48. e
18. d
49. e
19. d
50. a
20. d
51. c
21. b
52. c
22. a
53. a
23. e
54. c
24. d
55. d
25. d
56. e
26. a
57. c
27. b
58. e
28. e
59. e
29. b
60. d
30. a
61. e
31. d
109
