Cap´ıtulo 2
Rectas y planos en
3
R
Una de las principales aplicaciones aplicaciones de los vectores es en la geometr´ geometr´ıa de tres dimensiones. Los problemas que tienen que ver con rectas y planos en R3 se pueden abordar usando las propiedades de los vectores. 2.1. Rectas en R3 En el espacio, para poder determinar la ecuaci´ on de una recta se necesita un punto (que pertenezca on a la recta) y un vector, que llamaremos vector director o vector de direcci´ on on. Las rectas se denotan por medio de letras min´ usculas usculas (l,m,n,s,r)
2.1. 2.1.1. 1.
Ecua Ecuaci cione oness de de la rect recta a en en
R
3
Existen Existen tres tipos de ecuaciones que pueden definir una recta en R3 , veamos cu´ales ales son esas ecuaciones y c´omo omo se obtienen. z
P 0 = (x0 , y0 , z0 ) P = (x , y , z )
s
P s
dl = a,b,c
dl
P 0 y
−−→ Consideremos P 0 P .
x
−−→ Notemos que P 0 P y dl son paralelos entonces se cumple que: −−→ −−→ P 0 P dl =⇒ P 0 P = t dl =⇒ P − P 0 = t dl =⇒ P = P 0 + t dl =⇒ (x,y,z ) = (x0 , y0 , z0 ) + t a,b,c
2. Rectas y planos en R3
Definici´ on 1 (Ecuaci´ on vectorial de la recta)
La ecuaci´ on vectorial de la recta que pasa por el punto P 0 = (x0 , y0, z0 ) y cuyo vector director es dl = a,b,c es l : (x , y , z) = (x0 , y0, z0 ) + t a,b,c Ahora, desarrollando: (x,y,z ) = (x0 , y0 , z0 ) + t a,b,c =⇒ (x,y,z ) = (x0 , y0 , z0 ) + ta, tb, tc =⇒ (x,y,z ) = (x0 + ta,y0 + tb,z0 + tc) x = x0 + ta ⇐⇒ y = y0 + tb z = z0 + tc
Definici´ on 2 (Ecuaciones param´ etricas de la recta)
Las ecuaciones param´etricas de la recta que pasa por el punto P 0 = (x0 , y0 , z0) y cuyo vector director es dl = a,b,c corresponden a l
:
x = x0 + ta y = y0 + tb z = z0 + tc
t∈R
Nota: Un punto (x1 , y1 , z1 ) pertenece a la recta l solo si existe un t , t ∈ R que satisface todas estas ecuaciones.
Partiendo de
x = x0 + ta y = y0 + tb z = z0 + tc
y despejando el par´ ametro t obtenemos : x = x0 + ta
y = y0 + tb
z = z0 + tc
=⇒ x − x0 = ta x − x0 =⇒ =t
=⇒ y − y0 = tb y − y0 =⇒ =t
=⇒ z − z0 = tc z − z0 =⇒ =t
a
y entonces
b
c
x − x0 y − y0 z − z0 = = a b c
Definici´ on 3
Las ecuaciones sim´etricas de la recta que pasa por el punto P 0 = (x0 , y0 , z0 ) y cuyo vector director es dl = a,b,c corresponden a x − x0 y − y0 z − z0 = = l: a
b
c
Nota: Un punto (x1 , y1 , z1 ) pertenece a la recta l solo si satisface las todas las igualdades anteriores. 2
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2. Rectas y planos en R3
Ejemplo 1 Hallar las ecuaciones sim´etricas, param´etricas y vectorial de la recta que cumple las siguiente caracter´ısticas: pasa por (2, 7, 1) y su vector director corresponde a 2, −5, −7 pasa por (−1, 0, 3) y es paralela al vector
3 11 2, , − 7 6
pasa por los puntos A(1, −5, 3) y B (−1, −4, 6)
Nota: una misma recta puede tener varias ecuaciones equivalentes, esto porque depende de la escogencia del punto y el vector director y en algunas ocasiones se cuenta con m´ as de un punto, y en el caso del vector director, se puede seleccionar cualquier vector paralelo a dl ´n Prof. Isaac E. Solano Guzma
3
2. Rectas y planos en R3
Ejemplo 2 Considere la recta l
Determinar si
:
x = −7 + 4 t y = 2 + 3t z = 25 t
1 1 −5, , 2 5
∈l
Determinar si
29 7 0, , 4 10
∈l
Hallar las ecuaciones sim´etricas y vectorial de l Hallar tres puntos que pertenezcan a l
Ejemplo 3 −1 − x y +3 Considere la recta m : = = 2z − 3 3 4 Determinar si (−20, −31, −2) ∈ m Hallar dm Hallar las ecuaciones param´etricas y sim´etricas de l
4
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2. Rectas y planos en R3
Ejemplo 4 Si s : (x , y , z) = (−2, 0, 3) + t 0, 5, −9 Hallar las ecuaciones sim´etricas y vectorial del s
2.1.2.
Intersecci´ on de dos rectas
Cuando dos rectas se intersecan es porque alg´ un punto (x1 , y1 , z1 ) satisface las ecuaciones de ambas rectas. Para determinar el punto de intersecci´ on de los rectas l y m se escribe una en forma param´etrica y la otra en forma sim´etrica y se sustituye los valores de una ecuaci´ on en la otra con el fin de hallar el valor del par´ametro (t). Notaci´on: l ∩ m
Ejemplo 5 Consideremos las rectas l : (x,y,z ) = (5, 3, 4) + t −1, 2, 0 m : (x , y , z) = (11, 2, 0) + k −4, −3, 4
Hallar l ∩ m
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5
2. Rectas y planos en R3
Ejemplo 6 Si 2−x 4+z y +3 = = 3 6 3 4−y x−1 n: = =z−3 4 5
m:
Hallar n ∩ m
2.1.3.
´ Angulo entre rectas
Si las rectas l y m se intersecan, entonces el a´ngulo formado por ellas corresponde a θ = arc cos
dl · dm dl · dm
Se puede afirmar entonces que el a´ngulo formado por dos rectas corresponde al a´ngulo que forman sus vectores directores.
2.1.4.
Rectas paralelas y perpendiculares
Sean l y m rectas en el espacio, entonces l m ⇐⇒ dl dm l ⊥ m ⇐⇒ dl ⊥ dm
6
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2. Rectas y planos en R3
Ejemplo 7 2x − 1 5 − 3y z +1 Encontrar la recta que pasa por (2, −1, 3) y es paralela a m : = = 3 4 5
Ejemplo 8 Encontrar la recta que pasa por (−2, 8, 7) y es perpendicular a las rectas siguientes rectas
m
:
x = 2 + 3t y = 3 − 3t
n : x−3 = 2−y =
2−z 4
z = −8 + 2 t
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7
2. Rectas y planos en R3
2.2.
Planos en
3 R
En R3 para poder determinar la ecuaci´ on de un plano es necesario conocer un punto que pertenece al plano y un vector, al que llamaremos vector normal .
Nota: el vector normal del plano es un vector perpendicular a todos los vectores en el plano. Los planos se denotan con letras griegas (α , β , γ , δ , θ , φ ) N π P 0 = (x0 , y0 , z0 ) P = (x , y , z )
s
P 0
s
P
π
N π = a,b,c
−−→ Consideremos P 0 P = (x,y,z ) − (x0 , y0 , z0 ) = x − x0 , y − y0 , z − z0 −−→ Ahora, los vectores P 0 P y N π son perpendiculares esto significa que
−−→
−−→
P 0 P ⊥ N π =⇒ P 0 P · N π = 0
=⇒ x − x0 , y − y0 , z − z0 · a,b,c = 0 =⇒ a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0 Definici´ on 4 (Ecuaci´ on est´ andar y ecuaci´ on general del plano) on est´ andar del plano que contiene al punto P 0 = (x0 , y0 , z0 ) y es normal al vector La ecuaci´ N π = a,b,c es a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0) = 0
Si desarrollamos la ecuaci´ on anterior llegaremos a la forma o ecuaci´ on general del plano, dada por donde ax + by + cz = d d = ax0 + by0 + cz0
8
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2. Rectas y planos en R3
Ejemplo 9 Determinar la ecuaci´ on del plano que contiene al punto (2, −3, 5) y es normal a −8, 3, 1
Ejemplo 10 Considere el plano β : 3x − 2y + 3z = 5 Hallar dos puntos que pertenezcan a β
Determinar una ecuaci´ on est´andar para β
Ejemplo 11 Determinar la ecuaci´ on del plano que contiene los puntos A(2, 3, 6) , B (−1, 0, 1) y C (2, 2, 2)
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9
2. Rectas y planos en R3
2.2.1.
Planos paralelos y perpendiculares
Sean π1 y π2 planos cuyos vectores normales son N π y N π , respectivamente. Entonces: 1
2
Se dice que π1 y π2 son paralelos si y solo s´ı N π y N π son paralelos. 1
2
π1 π2 ⇐⇒ N π N π 1
2
Se dice que π1 y π2 son perpendiculares si y solo s´ı N π y N π son perpendiculares. 1
2
π1 ⊥ π2 ⇐⇒ N π ⊥ N π 1
2
Se define al a´ngulo formado por π1 y π2 como el a´ngulo formado por N π y N π 1
2.2.2.
2
Intersecci´ on de dos planos
Sean π1 y π2 planos no paralelos, donde π1 : a1 x + b1y + c1 z = d1
π2 : a2 x + b2 y + c2 z = d2
Entonces, la intersecci´ on entre π1 y π2 se denota π1 ∩ π2 y corresponde a la recta dada por π1 ∩ π2 :
a1x + b1 y + c1 z = d1 a2x + b2 y + c2 z = d2
m π1 π2
Ejemplo 12 Considere el plano δ : 2x − 3y = −7. Hallar la ecuaci´on del plano paralelo a δ y que contiene al punto (0, 3, −8)
10
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2. Rectas y planos en R3
Ejemplo 13 Determinar las ecuaciones param´etricas de la recta de intersecci´ on entre los planos π1 : 2x − 3y + 5z = 1
π2 : x + y − 2z = 3
Ejemplo 14 Determinar la ecuaci´ on general del plano γ que cumple simult´aneamente las siguientes condiciones contiene al punto (0, 1, 2) es perpendicular a β : 2x − y + z = 1 es paralelo a l :
x−1
2
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=
2−y =z−3 −3
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2. Rectas y planos en R3
Ejemplo 15 Considere los planos π1 y π2 dados por π1 : x − 2y + z − 2 = 0
π2 : 2x − 3y − 2z − 3 = 0
Sea m la recta de intersecci´ on entre π1 y π2 determinar las ecuaciones param´etricas de m determinar la ecuaci´ on del plano β que es paralelo a m y que contiene a los puntos A(3, 0, 2) y B (4, 1, −1)
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2. Rectas y planos en R3
Ejemplo 16 Considere las rectas l : (x,y,z ) = (−2, 27, −1) + t 1, −5, −3
m : (x,y,z ) = (−5, 6, −7) + k 1, 7, 2
(1) Determinar si ( 3, 2, 14 ) ∈ l (2) Hallar las ecuaciones param´etricas y sim´etricas de la recta que es normal a l y a m y que pasa por su punto de intersecci´ on.
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2. Rectas y planos en R3
Ejemplo 17 Considere los planos π1 y π2 : π1 : contiene a los puntos A(1, −2, 3) , B (−3, −4, −1) y C (2, 0, −3) π2 : x + 2 y − 3z = −5
(1) Hallar la ecuaci´on general del π1 on est´andar. (2) Hallar un punto que pertenezca a π2 y escribir su ecuaci´ on vectorial de recta n que es la intersecci´ on entre π1 y π2 (3) Determine la ecuaci´
(4) Determine las ecuaciones param´etricas y las ecuaciones sim´etricas de la recta que contiene al punto (1, −2, 3) y es paralela a n
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2. Rectas y planos en R3
Ejemplo 18 Considere el plano δ que es el plano que contiene a los puntos (2, 3, −1) , (6, 3, 0) y (−4, −2, 3) Considere adem´ as la recta l :
2x − 1 7−y −z − 2 = = 3 2 3
Realice lo siguiente
(1) Hallar un punto que pertenezca a l (2) Hallar las ecuaciones param´etricas de la recta m, que pasa por (−1, 3, 5) y es perpendicular al plano δ. (3) Determine l ∩ m
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