PRÁCTICA DE RECTAS EN R3 Ecuación de la recta:
⃗ =(3,-1,2) paralelo a la recta L que pasa 1. Dado el punto A= (-2, 3, 4) 4) y el vector por A. Encuentre a. La ecuación vectorial de . b. Las ecuaciones paramétricas. c. Las ecuaciones simétricas. 2. Determinar las ecuaciones vectorial, paramétricas y cartesiana del plano que pasa por los puntos A(1,2,3) , B(-2,-1,0) y C(3,3,4) . 3. Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos A (-1,2,3) y B (2,1,4) 4. Encuentre la ecuación vectorial y paramétricas de la recta de la recta L que pasa por el punto (1,-3) y es paralela al vector (2,1). Elimine el parámetro que aparece para obtener una sola ecuación 5. Determinar las ecuaciones vectorial y paramétricas y continua que pasa por el ⃗ =(1,2,1) y ⃗ =(2,3,4) punto A(2,2,1) y es paralelo a los vectores 6. Dados los vértices del triángulo A(3,-1,-1), B(1,2,7) y C(-5,14,-3). Hallar las ecuaciones simétricas de la bisectriz del ángulo interno del vértice B. ⃗ y corta bajo 7. Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto medio de un ángulo de 60° a la recta que pasa por los puntos R y S, donde A(2,4,0), B(0,0,-2), R(3,3,3), S(-1,3,3). 8. Determina bajo qué dirección debe ser lanzada rectilíneamente una partícula } para que lo alcance al desde el punto A(2,2,3), hacia la recta L={(0,1+ ,- cabo de dos segundos, siendo su velocidad V= √ u/seg. 9. Sea A(1,1,2) un punto y supongamos que la recta L tiene por ecuaciones paramétricas a x=4-t, y=5+3t y z=3+t, t , encontrar un punto B en L, tal que que A-B y la recta sean perpendicular. 10. Determinar una recta tal que con las rectas L1={(2,1,4)+t(1,1,0)/t } y L2={(2+, 1+ , 3+)/ determina un triángulo de área 5u 2. Distancia entre dos rectas:
11. Dadas las rectas L1= {(3,1,0)+t(1,0,1)/tR] y L2={(1,1,1)+ R}. Hallar el punto Q que equidista de amabas rectas una distancia mínima, además hallar ésta distancia. 12. Desde el punto S (4, 5,-1) se traza una perpendicular a la recta L1={(2,-1,1)+r(1,2,-2)/r }. ¿A qué distancia del punto A (5, 2,-2) se halla dicha perpendicular? 13. Hallar la distancia entre las rectas: L1=x=3t, y=-4-t, z=-18+4t y L2: 14. Hallar la distancia del punto S (3,-1,5) a la recta que pasa por los puntos A (3,-2,4) y B (0, 4, 6). 15. Hallar la distancia entre las rectasL1: y L2={(4,-1,5)+t(1,-3,-1)/t }
División de un segmento a una razón dada:
En cada inciso, obtener las coordenadas del punto P(x, y, z) que divide al segmento AB según la razón dada 16. A(4,-2,3) , B(-2,3,-1) ; r=3/2 17. A(1,-1,1) , B(2,-3,2) ; r= -1/3 18. A(-4,8,6) , B(6,-4,-2) ; r=-2 19. Los vértices de un triángulo son A(3,2,5) , B(1,-4,-3) y C(-3,0,-1), obtener las coordenadas de los puntos medios de cada lado 20. Obtener las coordenadas de los extremos de un segmento AB que es dividido en tres partes iguales por los puntos P(2,0,2) y Q(5,-2,0) Posiciones relativas de rectas en el espacio:
Hallar la posición relativa de las rectas R y S: 21. R: S:
22. R:
23. R: 24. R: x+y+z-3=0 2x-y+z-2=0 25. R: 2x-y=0 x+z=0
S: 2x+y-z-1=0 2x+3y-2z-3=0 S:
S: S:4x-2y=0 y+2z=0
Proyección ortogonal de un vector sobre otro vector: 26. Sean⃑=(5,0,√2) y⃗ =(2,1, √2). Calcular la proyección de⃑ sobre⃗ .
27. Sean⃗ =(5,0,√2) y⃗ =(2,1, √2). Calcular la proyección de⃗ sobre⃗ . 28. Sean⃑=(3,1,0) y⃗ =(2,2,0). Consideremos el problema de determinar un vector⃗
ℝ³ tal que⃗ =(x,y,x) y que cumpla las dos condiciones: ⃗⃗ = -⃑ y⃗ ⃗ 29. Consideremos un triángulo determinado por los puntos A, B, C ℝ³. Podemos calcular la altura y el área de la siguiente manera, sean⃗ =B-A ,⃗ =C-A ,entonces ¿la altura será?¿el área es? Justifique su respuesta. 30. Sea⃑=(2,2,2), ⃗=(1,1,0), ⃑=(0,2,2). Nos interesa calcular el punto “E” en el segmento “bc” tal que el segmento “ae” sea la altura del triangul o abc sobre este segmento.
