Universidad Latina BMAT – 05 ALGEBRA LINEAL
RECTAS Y PLANOS
Definición Ecuación Ecuación del plano en el espacio Supongam Supongamos os que se desea desea encontr encontrar ar la ecuació ecuación n del plano que pasa por el punto punto P0 con P0 x0 , y0 , z0 y cuya normalesel vector n , con n a, b, c y n 0, 0, .
De la figura anterior resulta evidente que el plano consta de todos los puntos P, con
P x, y, z para los cuales el vector dirigido P0 P es ortogonal ortogo nal al vector n, es decir :
n P0 P 0
Como P0 P x x0 , y y0 , z z0 la ecuación n P0 P 0 se puede descomponer como:
n P0 P 0
x x0 , y y0 , z z0 0 a, b, c x x0 , y y0 , z z0 0 a x x0 b y y0 c z z0 0 n
La expresión anterior se conoce como forma punto normal de la ecaución del plano.
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Teorema 10 Si a, b, c y d IR, y no todossoniguales a cero, entonces la gráfica de la ecuación ax by cz d 0
es un plano cuyo vector normal es n a,b , c Definición Forma vectorial de la ecuación del plano La notación vectorial de la ecuación de un plano proporciona otra formaútil de escribir la forma punto normal de la ecuación de un plano.
Sean r0 x0 , y0 ,z0 el vector que va desde el origen al punto P0 x0 , y0 ,z0 r x, y, z el vectorqueva desde el origen al punto P x, y, z y cuyo vector normal es n a, b , c .
Entonces el vector dirigido P 0 P se definie como P0 P r r0 , de modoquela ecuación del plano se puede reescribir como : n r0 r 0
La expresión anterior se denomina como forma vectorial de la ecuación del plano.
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Definición Rectas en el espacio tridimensional Supongamos que se desea encontrar la ecuación de la recta que pasa porel punto P0 con P0 x0 , y0 , z0 y que es paralela al vector v , con v a , b, c y v 0, .
De la figura anterior resulta evidente que la recta consta de todos los puntos P, con P x, y, z para los cuales el vector dirigido P0 P es paralelo al vector v , es decir :
P0 P v con IR
Como P0 P x x0 , y y0 , z z0 la ecuación P0 P v se puede descomponer como : P0 P v
x
x
x0 , y y0 , z z0 v
x0 , y y0 , z z0 a, b, c
x x0 , y y0 , z z0 a, b, c
de lo anterior se deuce que x x0 a RECTAS Y PLANOS
y y0 b
z z0 c
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Las expresiones anteriores se conocen como ecuaciones paramétricas de la recta , donde , . en dado caso, si de cada ecuación paramétrica se despeja entonces las expresiones que se obtienen son conocidas como ecuaciones simétricas de la recta, las cuales son de la forma :
x x0 a
y y0 b
z z 0 c
Definición Forma vectorial de la ecuación de una recta La notación vectorial de la ecuación de una recta proporciona otra forma útil de escribir las ecuaciones paramétricas de la recta .
Sean r0 x0 , y0 , z0 el vector que va desde el origen al punto P0 x0 , y0 , z0 r x, y, z el vector que va desde el origen al punto P x, y, z y v un vector paralelo a la recta , tal que v a, b, c .
Entonces el vector dirigido P0 P se definie como P0 P r r0 , de modo quela ecuación de la recta se puede reescribir como : r r0 v r r0 v
La expre sión anterior se denomina forma vectorial de la ecuación de la recta en el espacio tridimensional con , . RECTAS Y PLANOS
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Teorema 11 3 Si P0 P0 IR , con P0 x0 , y0 , z0 y : ax by cz d 0 que representa la ecuación de un
plano cualquiera en el espacio tridimensional, entonces la distancia d entre el punto P0 y el plano estád ada por :
d P 0 ,
ax0 by0 cz 0 d 2 2 2 a b c
RESUMENES IMPORTANTES La intersección entre dos o más rectas puede ser El conjunto vacio
Un punto
Un punto
m m
m P m
m P
La intersección entre dos o más planos puede ser El conjunto vacio
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La intersección de un plano y una recta puede ser El conjunto vacio
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Un punto
P
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