RECTAS Y PLANOS ALUMNA : GLENDY INGRID GOMERO QUISPE COD: 1221586 CURSO : MATEMATICA BASICA II PROFESORA: NIDIA ACHA ESPECIALIDA: ING. INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS TURNO : NOCHE AULA : B207
Rectas y planos perpendiculare perpendiculares s Dos rectas son PERPENDICULARES si al intersecarse forman ángulos rectos congruentes. Definiciones de perpendicular: 1. Cuando dos rectas son perpendiculares, todos los angulos que se forman miden 90 (angulos rectos) y son congruentes. 2. Cuando dos rectas se intersecan para formar uno, dos o tres angulos de 90 (angulos rectos), forman cuatro angulos rectos y son perpendiculares. 3. Cuando dos rectas se intersecan para formar un par de angulos congruentes con un lado comun, las rectas son perpendiculares. Una RECTA ES PERPENDICULAR A UN PLANO si es perpendicular a cada una de las rectas del plano que intersecan a la recta. Dos PLANOS SON PERPENDICULARES si en uno de ellos hay una recta que es perpendicular al otro. La BISECTRIZ PERPENDICULAR DE UN SEGMENTO es una recta perpendicular al segmento y contiene su punto medio. La DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA es la longitud del segmento trazado desde el punto perpendicular a la recta.
Perpendicularidad
La semirrecta AB es perpendicular a la recta CD, porque los dos ángulos que conforma son de 90 grados (en naranja y azul, respectivamente). En matemáticas, la condición de perpendicularidad (del latín per-pendiculum «plomada») se da entre dos entes geométricos que se cortan formando un ángulo recto. La perpendicularidad es una propiedad fundamental estudiada en geometría y trigonometría, por ejemplo en los triángulos rectángulos, que poseen 2 segmentos «perpendiculares». La noción de perpendicularidad se generaliza a la de ortogonalidad.
Relaciones La relación de
perpendicularidad se puede dar entre:
Rectas: dos rectas coplanarias son perpendiculares cuando, al cortarse, dividen al plano en cuatro regiones iguales, cada una de los cuales es un ángulo recto. Al punto de intersección de dos rectas perpendiculares se le llama pie de cada una de ellas en la otra. Semirrectas : dos semirrectas son perpendiculares, cuando conforman o ángulos rectos teniendo o no el mismo punto de origen. Planos: dos planos son perpendiculares cuando conforman cuatro ángulos diedros de 90º. Semiplanos : dos semiplanos son perpendiculares cuando conforman o ángulos diedros de 90°; generalmente, compartiendo la misma recta de origen.
Además, puede existir una relación de perpendicularidad entre los cuatro elementos anteriores, tomados de dos en dos. Si dos rectas al cortarse forman ángulos adyacentes congruentes, son perpendiculares. Por analogía, si dos planos al cortarse forman ángulos diedros adyacentes congruentes, son perpendiculares. Los lados de un ángulo diedro y sus semiplanos opuestos determinan dos planos perpendiculares.
Rectas perpendiculares en el plano Para todas las rectas perpendiculares del plano se cumple lo siguiente.
Notación Dado el conjunto R de las rectas en el plano, diremos que dos recta perpendiculares y lo notaremos:
a, b de R son
Siendo correcta la notación:
Postulado de unicidad En un plano, por un punto perteneciente o exterior a una recta pasa una y solo una recta perpendicular.
Construcción de la perpendicular a una recta por un punto dado
Construcción de la perpendicular (azul) a la línea AB a través del punto P. Para construir una perpendicular a la línea AB a través del punto P usando regla y compás, se procede como sigue:
Paso 1 (rojo): se dibuja un círculo con centro en P para crear los puntos A' y B' en la línea AB, los cuales son equidistantes a P. Paso 2 (verde): se dibujan dos círculos centrados en A' y B', pasando los dos por P. Sea Q el otro punto de intersección de estos dos círculos. Paso 3 (azul): se unen P y Q para obtener la recta perpendicular PQ.
Para probar que PQ es perpendicular a AB, se utiliza el criterio de congruencia LLL para los triángulos QPA' y QPB' para demostrar que los ángulos OPA' y OPB' son iguales. Luego se usa el criterio LAL para los triángulos OPA' y OPB' para demostrar que los ángulos POA y POB son iguales.
Con relación a líneas paralelas
Las líneas a y b son paralelas, como se ve por los cuadrados, y están cortadas por la línea perpendicular c. Como se ve en la figura, si dos líneas ( a y b ) son perpendiculares a una tercera línea ( c ), todos los ángulos formados en la tercera línea son ángulos rectos. Por lo tanto, en Geometría euclidiana, cualquier par de líneas que son perpendiculares a una tercera línea son paralelas entre sí, debido al quinto postulado de Euclides. Por el contrario, si una línea es perpendicular a una segunda línea, también es perpendicular a cualquier línea paralela a la segunda línea. En la figura, todos los ángulos naranjas son congruentes entre sí y todos los ángulos verdes son congruentes entre sí, porque los ángulos opuestos por el vértice son congruentes y los ángulos alternos interiores formados por un corte transversal de líneas paralelas son congruentes. Por lo tanto, si las líneas a y b son paralelas, cualquiera de las conclusiones siguientes conduce a todas las demás:
Uno de los ángulos del diagrama es un ángulo recto. Uno de los ángulos naranja es congruente con uno de los ángulos verdes. La línea c es perpendicular a la línea a . La línea c es perpendicular a la línea b .
ECUACIONES DE RECTAS Y PLANOS EN COORDENADAS CARTESIANAS Para determinar un plano se necesitan un punto Po(xo ,yo ,zo) y un vector normal al plano. La ecuación del plano viene entonces dada por la relación: A(x - xo) + B(y - yo) + C(z - zo) = 0
⇒
A.x + B.y + C.z + D = 0 (1)
Donde D = -A.xo - B.yo - C.zo Se pueden considerar varios casos particulares según que uno o dos de los coeficientes de la ecuación (1) sean nulos. a) Plano paralelo al eje OX. Se tiene A = 0 y la ecuación toma la forma: B.y + C.z + D = 0, Siendo el vector director normal al plano de la forma:
b) Plano paralelo al eje OY. Se tiene B = 0 y la ecuación general toma la forma: A.x + C.z + D = 0, Siendo el vector director normal al plano de la forma: c) Plano paralelo al eje OZ. Se tiene C = 0 y la ecuación general toma la forma: A.x + B.y + D = 0, Siendo el vector director normal al plano de la forma:
-
d) Plano que pasa por el origen. Se tiene D = 0 y la ecuación general toma la forma: A.x + B.y + C.z = 0 e) Plano perpendicular al eje OZ. Se tiene en este caso A = 0, B = 0 y la ecuación general toma la forma: C.z + D = 0 ; z = Cte. Esta ecuación puede considerarse también como la correspondiente a un plano paralelo al plano XOY. f) Plano perpendicular al eje OY o, lo que es igual, paralelo al plano XOZ. Se tiene en este caso A = 0, C = 0 y la ecuación general toma la forma: B.y + D = 0 ; y = Cte. g) Plano perpendicular al eje OX o, lo que es igual, paralelo al plano YOZ. Se tiene en este caso B = 0, C = 0 y la ecuación general toma la forma: A.x + D = 0 ; x = Cte.
Plano que pasa por dos puntos .- Siendo Po , P1 y P2 tres puntos no consecutivos pertenecientes a un plano, podemos considerar un punto genérico P de dicho plano y determinar entonces tres vectores dados por las siguientes coordenadas:
Como sabemos que la condición necesaria y suficiente para que tres vectores sean coplanarios, es que su producto mixto sea nulo, podemos hacer:
Como caso particular de esta ecuación se puede calcular la ecuación segmentaria del plano. Se trata de saber la ecuación del plano que corta a los ejes de coordenadas en los puntos x = a ; y = b ; z = c. Según lo anterior se tiene: Po = (a,0,0) ; P1 = (0,b,0) ; P2 = (0,0,c) ; P = (x,y,z) Y la ecuación segmentaria del plano quedará en la forma:
y desarrollando el determinante: b.c.x + a.c.y + a.b.z = a.b.c o, lo que es igual :
Ecuación normal del plano.- Conocidos los cosenos directores de un vector perpendicular al plano y siendo d la distancia del plano al origen de coordenadas, la ecuación del plano toma la forma:
Posiciones relativas de dos planos.- Siendo los planos π1 y π2 de ecuaciones:
El ángulo que en general forman dichos planos viene dado por la ecuación:
Cuando los planos son paralelos, los vectores directores son linealmente dependientes y, por lo tanto, uno de ellos se puede poner como combinación lineal del otro. Esto se expresa en la forma:
Cuando los planos son perpendiculares, se tiene cos θ = 0 y la ecuación (2) toma la forma:
o lo que es igual: A1.A2 + B1.B2 + C1.C2 = 0
Ecuación general de la recta.- Conociendo un punto de una recta y su vector director, la ecuación que la determina toma la forma:
Si consideramos la recta en el espacio, la ecuación que la determina es:
Cuando se conocen dos puntos de la recta, la ecuación viene dada en la forma:
A partir de la ecuación (3) podemos obtener la ecuación de la recta en forma paramétrica. Haciendo la relación de proporcionalidad igual a t, nos queda :
Una recta puede venir determinada por la intersección de dos planos:
Condición de paralelismo y perpendicularidad entre rectas.- El ángulo formado por dos rectas es el mismo que el formado por sus vectores directores y viene dado, como en el caso de los planos, por la ecuación:
Cuando dos rectas son paralelas sus vectores directores son linealmente dependientes y, por tanto, son proporcionales. La condición de paralelismo entre rectas será, por tanto:
Cuando dos rectas son perpendiculares, sus cosenos directores tienen producto escalar nulo, lo que se traduce por la ecuación: a1.a2 + b1.b2 + c1.c2 = 0 Condición de paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos.- Siendo, respectivamente:
Los vectores directores de una recta y un plano, sabemos que el vector director de la recta lleva la misma dirección que esta y que el vector director del plano es perpendicular al plano. Las condiciones de perpendicularidad o paralelismo entre ellos será, por tanto: Paralelismo : A.a + B.b + C.c = 0
Perpendicularidad :
Rectas en el espacio
Consideremos la recta
que pasa por
, por lo tanto, dado un punto
y por
. Esta recta es paralela al vector , se debe cumplir que
de donde
.
Figura 23. Ecuación vectorial de una recta
Definición 1 Si
es una recta que pasa por los puntos , y si ponemos entonces 1. La ecuación vectorial de
2. Despejando parámetricas de
es
obtenemos las ecuaciones
3. Si cada , despejando ecuaciones simétricas de
obtenemos las
Como podemos escoger dos puntos cualesquiera (distintos) de una recta para obtener una ecuación, las ecuación de una recta no es única.
EJEMPLO 1
Consideremos la recta
que pasa por
, luego
y
. En este caso
Figura 24. Recta
1. Ecuación vectorial: 2. Ecuaciones parámetricas:
3. Ecuaciones simétricas:
Observe que el segmento que va de
a
es el conjunto de puntos
En particular, si
, obtenemos el punto medio del segmento
Figura 25. segmento PQ
Ángulo,paralelismo, perpendicularidad e intersección Definición 2 Consideremos dos rectas,
1. 2.
si y sólo si si y sólo si
3. El ángulo entre
y
Figura 26. Rectas paralelas [Ver en 3D]
es igual al ángulo entre
y
Figura 27. Rectas perpendiculares [Ver en 3D]
Intersección Para calcular la intersección entre dos rectas
Figura 28. Intersección de rectas ]
y
, igualamos sus ecuaciones
La solución del sistema
, o sea,
nos da el o los puntos de intersección entre
y
. Como el sistema es lineal, entonces
Si hay solución única: las rectas se intersecan en un solo punto Si hay infinitas soluciones: las rectas coinciden Si no hay solución: las rectas no se intersecan
Observe que, para el cálculo de la intersección, usamos un párametro distinto en cada recta. Esto es así porque si hay un punto de intersección, usualmente puede ser obtenido, en cada recta, con un valor de parámetro distinto. Por ejemplo: La rectas
,
se intersecan en el punto
Este punto se obtiene con recta.
.
en la primera recta y con
en la segunda
EJEMPLO 2 Consideremos la recta
de ecuaciones simétricas
va en la dirección de
1.
es paralela a la recta
2.
es perpendicular a la recta
3.
no interseca a
pues
pues
pues el sistema
no tiene solución (hay una clara inconsistencia entre la segunda y tercera ecuación).
Figura 29.
Planos en el espacio tridimensional. Ecuación vectorial, normal y cartesiana
Así como una recta esta determinada por dos puntos distintos, un plano está determinado por tres puntos no colineales.
Una manera muy conveniente de obtener una ecuación del plano los puntos
, es observar que los puntos
Esta ecuación es una ecuación normal de
en
que pasa por
tienen la propiedad
Figura 30.
Si ponemos obtenemos una ecuación cartesiana de
Finalmente, podemos observar que si
Esta es una ecuación vectorial de
.
y desarrollamos la ecuación anterior,
está en
, entonces
Figura 31.
Figura 32.
Definición 3 Consideremos un plano colineales
1.
que pasa por los puntos no
.
es un vector normal al plano para cualquier
2. Si entonces
es un vector normal al plano
si .
se llama una ecuación normal de
3. Si entonces
es un vector normal del plano
se llama una ecuación cartesiana del plano
4. Si
y si
entonces
se llama una ecuación vectorial del plano
Tres puntos colineales si
y
EJEMPLO 3
Consideremos un plano
que pasa por los puntos no colineales y
son no
1. Ecuación vectorial: 2. Ecuación cartesiana: un vector normal es . Como ecuación cartesiana es
Figura 33.
Paralelismo, perpendicularidad y ángulo Definición 4
Consideremos una recta planos de ecuación cartesiana
Entonces, siendo normales a
y
y dos
y , respectivamente,
,
, una
1.
si y sólo si
2. si y sólo si 3. El ángulo entre los planos es el ángulo entre los vectores normales 4. 5.
Figura 34.
si y sólo si si y sólo si
Figura 36.
Figura 37.
EJEMPLO 4
Consideremos tres puntos
no colineales.
Para obtener un punto tal que los cuatro puntos conformen un paralelogramo, debemos escoger de la siguiente manera
Esto es así puesto que
debe estar en el plano que contiene a
.
Figura 38.
EJEMPLO 5
Consideremos el problema de obtener la ecuación cartesiana del plano a la recta
y al punto
(que no está en
).
que contenga
Para encontrar la ecuación cartesiana del plano , buscamos tres puntos no colineales en este plano; podemos considerar el punto que ya tenemos y dos puntos de la recta. Para obtener estos dos puntos de la recta, le damos una par de valores al parámetro , en la recta, tal que nos generen dos puntos adicionales. Digamos que ponemos y . Así, tres puntos en el plano son
Observe que ,así que son puntos no colineales
Bien, ahora tomemos , una ecuación cartesiana es
Figura 39.
. Como
EJEMPLO 6
Consideremos el problema de obtener la ecuación cartesiana del plano paralelo, simúltaneamente, a las rectas
que sea
y que contenga al punto
De acuerdo a la teoría, un vector normal a
debe ser perpendicular a
; entonces para encontrar la ecuación cartesiana del plano . Como
Figura 39.
EJEMPLO 7
y a , podemos tomar
, una ecuación cartesiana es
Consideremos el problema de obtener la ecuación cartesiana del plano perpendicular a la recta
que sea
y que contenga al punto
Para encontrar la ecuación cartesiana del plano Como
Figura 40.
, una ecuación cartesiana es
, podemos tomar
.
