RECTAS, PLANOS Y SUPERFICIES EN EL ESPACIO
Mtro. Óscar Ruiz Chávez
Universidad Autónoma de Ciudad Juárez
M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III
1
INDICE RECTAS, PLANOS Y SUPERFICIES EN EL ESPACIO _____ __________ ___________ ____________ ____________ ____________ _________ ___3 PLANOS EN EL ESPACIO.................... ...................... ....................... ..................... ..... ......... ......... ..... . 5
Ecuación de un plano............. ........................... ............................ ............................ ............................ ............................. ............................. .......................... ................. .......... .......... ....... 5 Ángulo entre dos planos............. ........................... ............................. ............................. ............................ ............................ ............................ ............................ ...................... ............ 6 Trazado de planos en el espacio............. ........................... ............................ ............................ ............................. ............................. ............................ ..................... ............ ..... 8 Distancia de un punto a un plano............. ........................... ............................. ............................. ............................ ............................ ......................... ................ ........... .......... 9 Distancia de un punto a una recta.............. ............................ ............................ ............................ ............................ ........................... .................. ........... ............ ........... ..... 10 SUPERFICIES EN EL ESPACIO................... ....................... ....................... .... ..... ..... ..... ..... 11
Esferas .............. ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................. ............................. ............................ ....................... .............. .......... ....... Cilindros .............. ............................ ............................ ............................. ............................. ............................ ............................ ............................ ............................. ......................... ............... ....... Superficies Superfici es cuádricas ............. ........................... ............................ ............................. ............................. ............................ ............................ ............................ ......................... ............... Superficies Superfici es de revolució revoluciónn.............. ............................ ............................ ............................. ............................. ............................ ............................ .......................... ................. .........
2
M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III
11 12 13 18
RECTAS, PLANOS Y SUPERFICIES EN EL ESPACIO RECTAS EN EL ESPACIO .
En el espacio, al igual que en el plano, para expresar la ecuación de una recta es suficiente, ya sea, conocer dos puntos diferentes por los que pase la recta o conocer un punto y su dirección. En el plano la dirección dirección la dá el ángulo de inclinación de la recta con respecto al eje ‘x’ o su pendiente, que es la razón de cambio de las coordenadas de sus puntos. En el espacio, la dirección la determina un vector.
Ecuaciones paramétricas y ecuaciones simétricas de la recta . Supongamos que conocemos un punto P( x1 , y1 , z1 ) que pertenece a la recta y un vector v
a, b, c
paralelo a la recta.
v es el vector de dirección de la recta
Si tomamos un punto cualquiera de la recta Q( x , y , z ) y formamos el vector que es PQ x x , y y , z z
z
v
1
Q
1
1
paral ralelo y, por lo tan tanto, to, múltipl tiplo o escalar del vector de dirección v .
P
y
x
r
PQ tv x x1 , y y1 , z z1 t a, b, c x x1 , y y1 , z z1 at, bt, ct
de la igualdad de vectores tenemos que: x x1 at
at x x1 at y y1 bt y y1 bt z z1 ct ct z z1 ct
Que se denominan como las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por P( x1 , y1 , z1 ) y es paralela al vector v a, b, c . La variable variable t es el parámetro, y conforme t varía el punto Q se mueve sobre la línea. Los coeficientes a, b y c son los números directores ( o de dirección) de la recta. Si desp despeja ejamo mos s t en cada cada una una de las las ecua ecuacio ciones nes para paramé métri trica cas s e iguala igualamo mos s obtendremos las ecuaciones simétricas de la recta:
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3
x x1
y y1
z z1
a b c Ejemplo: Ejemplo: Hallar Hallar un conj conjunto unto de de ecuacio ecuaciones nes param paramétri étricas cas y las las ecuacion ecuaciones es simétricas para la recta que pasa por el punto P 1,3,5 y es paralela al vector v
2,4,1
. Solución: Tomam omamos os las las coor coorden denad adas as del del punto punto P y los números de x1 1, y1 3, z1 5
z P(1,3,5)
dirección del vector v : a 2, b 4, c 1 v
x x1 at x 1 2t paramétricas y 1y b t y 3 4 t z z ct z 5 t 1 x 1 y 3 z 5 ecuaciones ecuaciones simétricas simétricas: 4 1 2
ecuaciones
y x
Ejemplo: Ejemplo: Hallar Hallar un conjunto conjunto de ecuacio ecuaciones nes paramét paramétrica ricas s y las ecuacion ecuaciones es simétricas para la recta que pasa por los puntos P 1,5,3 y Q 2,3,6 . Solución: z
Como nos dan dos puntos de la recta, con ello ellos s form formam amos os un vect vector or de dire direcc cció ión n r v PQ 2 1, 3 5, 6 3 3, 2, 3 y tomando
Q(2,3,6) PQ
P(-1,5,3)
uno de los puntos (P por ejemplo) tenemos un conjunto de x 1 3t
y x
ecuaciones ecuaciones paramétricas: paramétricas: y 5 2t y las z 3 3t
ecuaciones simétricas
x 1
3
y 5
2
z 3
3
.
Si en lugar de tomar el punto P usamos las coordenadas del punto Q tendríamos ecuaciones diferentes: x 2 3t x 2 y 3 z 6 paramétricas: y 3 2t simétricas . z 6 3t
3
2
3
O, incluso si el vector de dirección fuera el vector QP obtendríamos obtendríamos otros conjuntos de ecuaciones representando a la misma recta.
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x 2 3t
paramétricas:
y 3 2t
x 2
simétricas
3
z 6 3t
y 3
2
z 6
3
.
PLANOS EN EL ESPACIO
Cuando ndo empezamo amos a trab rabajar jar en tres tres dimen dimensio siones nes,, el espa espacio cio se divid dividió ió en ocho ocho octantes por medio de tres planos coordenados: el plano xy, el plano xz y el plano yz. Cada uno de estos planos es perpendicular a uno de los ejes, por ejemplo, el plano xy es perpendicular al eje z. Por lo tanto cualquier vector normal (perpendicular) al plano xy es paralelo al eje z y al vector unitario k ˆ .
z Plano yz plano xz i j k plano xy x vectores vectores unitarios normales a los planos coordenados
Suponiendo que el vector normal fuera una palanca pegada al plano que tiene que permanecer perpendicular a éste. Si cambiamos la orientación (dirección) del vector cambiaría tambien la orientación del plano.
Ecuación de un plano Supo Suponi nien endo do que cono conoce cemo mos s un vect vector or n a, b, c normal al plano y las coordenadas de uno de sus puntos si Si tomamos un punto P( x1 , y1 , z1 ) ,
z Q
n PQ
cualquiera del plano Q( x , y , z ) y formamos el P
vector PQ x x1 , y y1 , z z1 vector normal n .
y x r
n PQ a, b, c
x x1 , y
ortogonal al
Como sabemos el producto escalar de dos vectores ortogonales es cero: y1 , z z1 a x x1 b y y1 c z z1 0
ecuación del plano en su forma canónica : a x x1
b y
a x x1 b y y1 c z z1
y1
c z
z1
0
cz ax1 by1 cz1 0 ax by cz
de donde se desprende la forma general de la ecuación del plano: ax
con d
by
cz
d
0
b y1 - cz1 . -ax1 - by
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Ejemplo: Encuentre Encuentre la ecuación ecuación general del plano que contiene a P(1,3,-2) P(1,3,-2) y con un vector normal n 2,5,1 Solución: Sustituimos las coordenadas de P( x1 , y1 , z1 ) y los números de dirección
del vector normal n a, b, c en la ecuación a x x1 b y y1 c z z1 0 .
2 x 1 5 y 3 1 z 2 0 2 x 2 5 y 15 z 2 0 2 x 5 y z 15 0 Ejemplo: Encuentre la ecuación general del plano que contiene a los puntos P(1,2,0), Q(0,3,4) y R(2,0,2). Solución: Si los puntos dados no son colineales entonces el producto vectorial de dos de los vectores que unen a dichos puntos da como resultado un vector ortogonal a los vectores en el plano y, por lo tanto, normal al plano. PQ
1,1,4 , PR 1, 2, 2 n PQ PR 10,6,1
Q
4
2 PQ
La ecua ecuació ción n del del plano plano,, toman tomando do el punto P(1,2,0)
R PR
2 P
1
3
2
10 x 1 6 y 2 1 z 0 0 10 x 10 6 y 12 z 0 10 x 6 y z 22 0
El vector normal como el producto cruz de PQ y PR
n=PQxPR
Ángulo entre dos planos Dos planos no paralelos se intersectarán en una recta formando un ángulo entre ellos. Si tomamos sus vectores normales podemos ver que forman el mismo ángulo que los planos, por lo tanto, si es dicho ángulo, entonces
n2
cos
n1
n1 n2
u r
u u r
n1 n2
n1x n2
ngulo entre 2 planos
6
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ó
1 cos
u u r n2
u r u u r
n1 n2
u r
n1
y el producto cruz de las normales es un vector paralelo a la recta intersección de los planos.
Ejemplo: Calcule el ángulo entre planos y encuentre un conjunto de ecuaciones paramétricas de la recta intersección. 2 x 3 y z 6 0 Plano 1: 5 x 2 y 4 z 10 0 Plano 2: Solución: de las ecuaciones de los planos obtenemos los vectores normales r r n1 2, 3, 1 y n2 5, 2, 4 , con n1 14 y n2 45 , sustit sustituy uyend endo o en la fórmula:
1 cos
1 10 6 4 90 cos1 0 90 u r u u r cos n1 n2 14 45 los planos son perpendiculares n1 n2 0 . u r u u r
n1 n2
Para las ecuaciones de la recta inte inters rsec ecci ción ón sola solame ment nte e nece necesi sita tamo mos s encontrar un punto común a los planos, ya que sabemos que el producto cruz de las normales es paralelo a la recta. iˆ r
v
ˆj
k ˆ
r r n1 n2 2 3 1 10iˆ 13 ˆj 19kˆ 5 2 4
El punto común lo hallamos resolviendo el sistema de ecuaciones
2 x 3 y z 6 0 5 x 2 y 4 z 10 0 de donde tenemos que y
34 13 x 10
y
z
42 19 x , 10
si hacemos que x 2 , entonces y 6 y z 8 . 6, 8) 8) y el vector vr 10iˆ 13 ˆj 19kˆ , las Con el punto P (2, 6, las ecua ecuaci cion ones es paramétricas de la recta serían: x 2 10t y 6 13t z 8 19t
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Trazado de planos en el espacio Si querem queremos os dibujar dibujar un plano plano es útil hallar hallar las intersecci intersecciones ones con los ejes coordenados coordenados y trazar rectas por esos puntos. Las rectas de intersección con los planos coordenados se denominan trazas. Ejemplo: Dibuje los planos y la recta intersección x 2 y 6 z 6 0 Plano 1: 5 x 3 y 5 z 15 0 Plano 2: Solución: Para encontrar las intersecciones del plano con cada eje, hacemos que los valores de las otras dos variables sean cero en la ecuación y resolvemos
Intersección con: condición y z 0 Eje ‘x’
ecuación
punto 6,0,0 0,3,0 0,0,1
x 6 0
Eje ‘y’
x z 0
2 y 6 0
Eje ‘z’
x y 0
6 z 6
Intersección con: condición y z 0 Eje ‘x’
0
ecuación
x z 0
3 y 15 0
Eje ‘z’
x y 0
5 z 15 0
6 5 Plano 2 5x+3y+5z-15=0
4 3 2 Recta intersección de los planos
punto 3,0,0 0,5,0 0,0,3
5 x 15 0
Eje ‘y’
z
1 1
1
2
3
4
5
2 3 4 x+2y+6z-6=0 5 Plano 1 6 x
Cuando no aparece alguna de las variables en la ecuación ecuación entonces el plano es paralelo al eje de esa variable. Cuando faltan dos variables, es paralelo al plano coordenado de las variables ausentes. z
z
z
6
6
5
4 3
2
1 1
5
Paralelo al eje 'y'
4 3
Plano 3y+5z-15=0
2
Paralelo al eje 'x'
6
5
4 3
1
2
3
4
5
Plano xz
2
1
y
2
1
3
1 1
2
3
4
5
y
1 2
2
4
3
5
4
6
1 2
3
4
5
y
Paralelo al plano 'xz'
3
Plano 5x+5z-15=0
5
5 x
Plano 3y-15=0
4
6
6
x
x
Cuando no aparece el término independiente ( d = 0 ), el plano corta a los tres ejes en el origen O(0,0,0).
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y
z
Plano x+y-z=0
6 5 4 3
y=z
2 1
x=z 1 2
1 2
3
4
5
6
y
pasa por el origen
3 5
4
6 x
Distancia de un punto a un plano Ya analizamos el caso de querer calcular la distancia entre dos puntos en el espacio, pero, ¿qué pasa cuando queremos encontrar la distancia de un punto a un plano o a una recta? Primero, consideremos un plano y un punto Q que no pertenezca a éste. La dista istanc ncia ia D es la longitu gitud d del n Q segmento QR perpend perpendicul icular ar al plano plano (paralelo al vector normal n ). PQ D ProynP Q
R
Tomamos un punto cualquiera P del plano y formamos el vector PQ con
P
como el ángulo entre PQ y n . r
Donde cos
PQ n
u u u r
r
PQ n r
D
La distancia D entre el punto Q y el plano: Para el plano ax by cz d 0 con n a, b, c
u uu r
PQ cos
PQn r
n
y PQ x0 x1 , y0 y1 , z0 z1 la
distancia entre el punto Q x0 , y0 , z0 y el plano está dada por D
ax0 by0 cz0 d r
n
ax0 by0 cz0 d a 2 b2 c 2
Ejemplo: ¿Qué tan cerca pasa el plano x 2 y 6 z 6 0 del origen? ¿A qué distancia del punto Q(1,2,3)? Solución:
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De la ecuación del plano obtenemos los valores de a=1, b=2, c=6 y d = - 6. Los sustituimos junto con las coordenadas del punto dado en la fórmula: D
D
ax0 by0 cz0 d a 2 b2 c2 ax0 by0 cz0 d a 2 b2 c2
1(0) 2(0) 6(0) 6 12 22 62 1(1) 2(2) 6(3) 6 12 22 62
6 0.937 del origen. 41
17 2.655 del punto Q. 41
Distancia de un punto a una recta Si tenemos una recta que pasa por el punto P y es paralela al vector v
a, b, c
,
la distancia de un punto Q a la recta está dada por D PQsen . Con como el ángulo entre los vectores PQ y v , tal que r
PQ v
Q
D
r
PQ v sen , de donde
PQ
r
sen
PQ v u u u r
r
PQ v
v
y, por lo tanto,
P
r
D
PQ v r
v
Ejemplo:
x 1 2t Calcule la distancia entre la recta con ecuaciones y 3 t y el punto Q(2,-1,3) z 4t Solución: un punto de la recta es P(1,3,0) (cuando t=0). El vector PQ 1, 4, 3 y el vector v 2,1,4 . El producto cruz de PQ y v : uu u r
iˆ r
PQ v r
PQ v 10
ˆj
k ˆ
1 4 3 19 ˆ i 10 ˆ j 9 ˆk, 2 1 4
19 2 10 2 9 2 542 ,
r
v
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La distancia del punto a la recta: z
r
PQ v
D
Q
r
v
-1 P
y
4
3
542 5.08 21
1 2
x
SUPERFICIES EN EL ESPACIO
Los planos son un tipo de superficie en el espacio. Existen muchos otros tipos de superficies, de las cuales, vamos a estudiar algunas en esta sección.
Esferas Una esfera es el lugar geométrico de todos los puntos en el espacio que se encuentran a una misma distancia de un punto fijo. Ese punto fijo es el centro de la esfera C x0 , y0 , z 0 y la distancia el radio r. Si tomamos un punto cualquiera de la esfera P x, y, z y consideramos que la distancia a C es igual a r, entonces d PC
Ecuación canónica de la esfera:
x x0 2 y y0 2 z z0 2 r .
x x0
2
y y0
2
z z0
2
2
r
Desarrollando obtenemos la ecuación general de una esfera x2
y2
z2
Gx Hy Hy Iz Iz J
0
Ejemplo: Encuentre la ecuación de la esfera con centro en el origen y radio r = 3. Solución: Sustituimos las coordenadas del centro y el
radio: x 0
2
y 0 2 z 0 2 32
de donde obtenemos
la ecuación: x2 y2 z2 90 Esfera creada en Derive
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Ejemplo: Ejemplo: Encuentr Encuentre e las coorden coordenadas adas del del centro centro y la longit longitud ud del radio radio de la 2 2 2 esfera con ecuación x y z 8 x 6 y 4 z 4 0 7.5 5 2.5
De la ecuac ecuación ión gene general ral obten obtenemo emos s la Solución: forma canónica reordenando términos y completando completando trinomios cuadrados perfectos. x2 y2 z2 8 x 6 y 4 z 4 0 2
2
0
5
2.5
2
8 x 16 y 6 y 9 z 4 z 4 4 16 9 4 2 2 2 x 4 y 3 z 2 25 x
0
-2.5
-7.5 -5
De dond donde e obten obtenemo emos s las las coord coorden enad adas as del del centr centro o C ( 4, 3, 3, 2) 2) y el radio r 5
-2.5 0
Esfera creada en Mathematica
Cilindros Regularmente, Regularmente, cuando pensamos pensamos en un cilindro nos viene a la mente la figura del cilindro circular recto, como el que se muestra en la figura. Para obtener esta superficie imaginemos que dibujamos un círculo en un plano y hacemos pasar rectas perpendiculares al plano por cada uno de los puntos de la circunferencia.
Recta L Rectas generatrices
curva directriz C
Ahora, si tomamos una curva cualquiera C en el plano y una recta L no paralela al mismo plano y hacemos pasar rectas paralelas a L por cada punto de la curva C, entonces la superficie que obtendre obtendremos mos es un cilindro. La curva C se directriz del denomina curva directriz del cili cilind ndro ro y las las líneas paralelas a la recta L se conocen como rectas generatrices.
Si el plano que contiene a la curva C es alguno de los planos coordenados coordenados y las rectas generatrices son perpendiculares a éste, entonces la ecuación del cilindro es una expresión que contiene solamente las variables de dicho plano. Por ejemp ejemplo, lo, la gráf gráfica ica de la ecua ecuació ción n z x 2 es una parábola en el plano xz. En el espacio z x 2 representa a la superficie que se muestra en la figura. En el plano yz.
5 2.5 0
En el espacio es un cilindro
-2.5
-5 5
2
12
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0
-2
-4 -2 0
Otro ejemplo de un cilindro es la ecuación z 3 sen y en el plano yz es una curva sen senoid oidal y en el espacio cio es la sup superfic rficie ie mostrada.
¿Cómo será la superficie con ecuación y
2
2
x 1? Su traza (intersección de la superficie con el plano) en el plano xy es una hipérbola.
Superficies cuádricas La ecuación de una superficie cuádrica en el espacio es la ecuación de segundo grado de tres variables Ax2 By2 Cy2 Dxy Exz Fyz Gx Hy Iz J 0 Para Para dibu dibuja jarr una una supe superf rfic icie ie es útil útil dete determ rmin inar ar sus sus traz trazas as con con los los plan planos os coordenados y con algunos otros planos paralelos.
Elipsoide x2
y2
z2
x2
y2
z2
1 con centro a 2 b2 c2 en el origen O(0,0,0) y a,b,c como las longitudes longitudes de los semiejes semiejes en la dirección de x,y,z respectivamente. La forma canónica de la ecuación de un elipsoide es
Ejemplo: Dibuje la superficie con ecuación
9
4
1
1
Trazas con los planos coordenados. Plano xy ( z = 0). x 2 y 2 Elipse 1
9
Plano xz ( y = 0). x 2 z 2 Elipse 1
4
9
1
traza con el plano xy
Plano yz ( x = 0). y 2 z 2 Elipse 1
4
1
traza con el plano
1 0.5 0 -0.5 2
-1 1 -2 0 0 -1 2
-2
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Elipsoide
Hiperboloide de una hoja x2
La forma canónica de la ecuación del hiperbolide de una hoja es
y2
z2
1
a 2 b2 c2 (uno de los coeficientes de los términos cuadráticos es negativo, el eje es el de la variable del término negativo).
Ejemplo: Dibuje la superficie con ecuación
Trazas con los planos coordenados. Plan Plano o xy ( z = 0). 0). Plan Plano o xz ( y = 0). 0). 2 2 x y x 2 Elipse Hipérbola 1
9
4
traza con el plano xy
9
2
z
4
1
x2
9
y2
4
z2
4
1
Plan Plano o yz ( x = 0). 0). 2 2 y z Hipérbola 1
4
traza con el plano xz
4
traza con el plano yz
Hiperboloide de una hoja
Hiperboloide de dos hojas z2
La forma canónica de la ecuación del hiperbolide de una hoja es
x2
y2
1
c2 a 2 b2 (uno de los coeficientes de los términos cuadráticos es positivo, el eje es el de la variable del término positivo y no hay traza en el plano perpendicular al eje).
Ejemplo: Dibuje la superficie con ecuación Trazas con los planos coordenados. Plan Plano o xy ( z = 0). 0). Plan Plano o xz ( y = 0). 0). 14
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z2
4
x2
9
y2
4
1
Plan Plano o yz ( x = 0). 0).
x 2
9
y2
4
1
Hipérbola
z 2
4
x2
9
1
z 2
Hipérbola
4
y2
4
1
No hay traza
traza con traza
el plano xz con el plano yz
Hiperboloide de dos hojas
Cono elíptico La ecuación canónica del cono elíptico es parecida a la del hiperboloide solo que se iguala a cero en vez de igualar a uno. x2 y2 z2 Ecuación de un cono elíptico 2 2 2 0 (uno de los coeficientes de los a b c términos cuadráticos es de signo diferente a los otros dos, el eje es el de la variable de signo diferente). x2 y2 z2 Ejemplo: Dibuje la superficie con ecuación 0
9
Trazas con los planos coordenados. Plan Plano o xy ( z = 0). 0). Plan Plano o xz ( y = 0). 0). 2 2 2 2 x y x z
9
4
0
es el punto (0,0)
traza con el plano xy
9
4
0
son las rectas z
4
4
Plan Plano o yz ( x = 0). 0). 2 2 y z
4 2 x 3
traza con el plano xz
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4
0
son las rectas z y
traza con el plano yz
15
Cono elíptico
Paraboloide elíptico La ecuación canónica del paraboloide paraboloide elíptico solo tiene términos cuadráticos cuadráticos en dos de sus variables y de la tercera solo término lineal. x 2 y 2 Ecuación de un paraboloide elíptico z 2 2 (los coeficientes de los términos términos a b cuadráticos son del mismo signo, el eje del paraboloide es el de la variable sin término cuadrático). x 2 y 2 Ejemplo: Dibuje la superficie con ecuación z
9
Trazas con los planos coordenados. Plan Plano o xy ( z = 0). 0). Plan Plano o xz ( y = 0). 0). 2 2 2 x y x Parábola z 0
9
4
4
Plan Plano o yz ( x = 0). 0). y 2 Parábola z
4
9
es el punto (0,0)
traza con el plano xy traza con el plano yz
traza con el plano xz
Paraboloide hiperbólico
Paraboloide elíptico
La ecuació ecuación n canónic canónica a del parabolo paraboloide ide hiperból hiperbólico, ico, al igual igual que la superfi superficie cie anterior, solo tiene términos cuadráticos en dos de sus variables y de la tercera solo término lineal.
16
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Ecuación Ecuación de un parabol paraboloide oide hiperbó hiperbólico lico z
x 2
2
y2
(los (los coefici coeficiente entes s de los a b2 términos cuadráticos son de signo contrario, el eje del paraboloide es el de la variable sin término cuadrático). x 2 y 2 Ejemplo: Dibuje la superficie con ecuación z
9
Trazas con los planos coordenados. Plan Plano o xy ( z = 0). 0). Plan Plano o xz ( y = 0). 0). 2 x 2 y 2 x Parábola z 0
9
4
rectas y
4
Plan Plano o yz ( x = 0). 0). y 2 Parábola z
4
9
2 x 3
tr za con el plano xy traza con el plano xz
a
traza con el plano yz
curvas de nivel
En ocaciones no basta con conocer las trazas con los planos coordenados coordenados para imaginar imaginarse se a la superfi superficie cie y será necesario necesario utilizar utilizar otros planos planos paralel paralelos os a alguno de los planos coordenados para realizar cortes a la superficie y dibujar esas trazas. Por ejemplo, con planos paralelos al xy, xy, dando diferentes diferentes valores a la variable z, obtendremos las curvas de intersección con los planos a diferentes alturas. Estas gráficas se denominan curvas de nivel ( son todos los puntos que se encuentran a la misma altura con respecto al plano xy ). En topografía esas curvas de nivel se conocen como mapas de contorno, en metereología se usan para determinar zonas de temperaturas ( cada curva es una isoterma-“misma temperatura” ) ó zonas de presión presión ( isobaras ).
Para Para la super superfic ficie ie z
x 2
9
y2
4
ya obtu obtuvi vimo mos s las las traz trazas as con con los los plan planos os
coordenados las cuales no nos dan mucha información. Ahora probemos con algunas curvas de nivel.
Planos paralelos al xy
ecuación de la curva M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III
tipo de curva 17
z 4
4
x2
9
z 2 z 1
1
z 0
0
x
y2
4
2
2
y2
16
2
y
y
4
8
2
2
2
9
x
2
9
z 1
y
4
y
4
z 2
2
z 4
x 9
2
4
x 9
4
2
y
y
4
2
x
1
9
hipérbola rectas hipérbola
2
4 2
x
18
2
hipérbola
3
x
y
hipérbola
18
2
2
1
y x
9 2
x2
2
4
1
y
1
36
2
9
x
x2
2
2
x
36
y
8
y2 16
1 1
hipérbola hipérbola
2
1
0
-1
-2 -3
Cor Cortes tes con con pla planos nos z=1, z=1, z=z=-2
-2
-1
0
1
2
Curv urvas de nive nivell
3
Para arabolo boloiide hipe hiperrból bólico ico
Superficies de revolución Ya vimos que un cilindro circular recto se forma cuando hacemos girar, por un círculo, a una recta perpendicular perpendicular al plano plano que contiene contiene a ese círculo. Existe Existe un eje central paralelo a la recta generatriz y, por lo tanto, a la superficie. ¿Que pasaría si , en lugar de una recta, lo que se moviera alrededor del eje superficie de fuera fuera cualq cualquie uierr curva curva? ? Lo que que obte obtenem nemos os se deno denomin mina a una una superficie revolución. Por ejemplo, si tenemos una curva C, definida por una función que determine la dist distan anci cia a de sus sus punt puntos os a algun lguno o de los los ejes ejes coor coorde dena nado dos. s. Diga Digamo mos, s, y r( x) x , para una curva en el plano xy. Cuando hacemos girar la curva alrededor del eje x nos genera la superficie de revolución.
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M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III
2 2 Paraboloide circular x y z
C es la curva generatriz de la superficie de revolución
y r( x) es la función radio de los círculos paralelos paralelos al plano yz que se forman al gira girarr todo todos s los los punt puntos os de C alre alrede dedo dorr del del eje eje x. Para Para cada cada valo valorr x o de x
obtendre obtendremos mos un círculo círculo de radio radio r ( x0 ) con ecuació ecuación n
y2 z2
r x0
2
.
Si
hacemos que x pueda tomar cualquier valor del dominio de r ( x) entonces la 2
2 2 ecuación de la superficie de revolución es y z r x .
En el ejemplo, la función radio es y r( x) 2 2 y z r x
y2 z2
x
x , la ecuación de la superficie es
2
2
ecuación de un paraboloide.
y2 z2 x
Ecuación de la superficie de revolución Si el eje de giro es alguno de los ejes coordenados, la ecuación toma la forma: 2
y2 z2
Alrededor del eje y:
r x 2 x2 z2 r y
Alrededor del eje z:
x2 y2
Alrededor del eje x:
r z
2
Ejemplo: Hallar Hallar la ecuación ecuación de la superficie que que se genera al girar la gráfica gráfica de 2 2 4 x 9 z 36 0 alrededor del eje z . Bosqueje su gráfica Solución: La curva C está en el plano xz y gira alrededor del eje z , debemos obtener una función radio x r( z) despejando la variable x , tenemos
4 x2 9 z2 36 0 4 x2 36 9 2z 2
36 9 x 4
2
36 9 x 4 z
2
36 9 func funció iónn radi radioo (r ) z 4
z
2
z
para para la ecua ecuaci ción ón de la supe superf rfic icie ie toma tomamo mos s la terc tercer era a opci opción ón (alrededor de z) 2
x2 y2
r z 2 2 36 9 z x 2 y 2 4 36 9 z 2 x 2 y 2 4
2
2
2
4 x 4 y 9 z 36
x2
9
y2
9
z2
4
1 Elipsoide
M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III
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Ejemplo: Hallar Hallar la ecuación ecuación de la superficie que que se genera al girar la gráfica gráfica de yz 1 alrededor del eje y . Bosqueje su gráfica Solución: La curva C está en el plano yz y gira alrededor del eje y , debemos obtener una función radio z r( y) despejando la variable z, tenemos
yz 1
z
1 y
Alrededor del eje y:
20
función radio ( r ) y x2 z2
M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III
1 , y 2
r y
x2 z2
1 y 2
