Colegio Creación Osorno Electivo Geometría - NM4 Prof. Heriberto Álvarez V.
PRUEBA DE ELECTIVO GEOMETRÍA – NM4 UNIDAD: “GEOMETRÍA VECTORIAL EN EL ESPACIO” Nombre: Puntaje Ideal : 48 puntos
Curso: 4º medio
Fecha:
Tiempo: 80
Puntaje Obtenido:
Nota :
minutos
Contenido: Ecuaciones de la Recta en el espacio (Vectorial, Paramétrica, Continua e Implícita), posiciones relativas (Paralelas, Objetivos:
Coincidentes, Coincidentes, Secantes, Cruzadas). Ecuaciones del Plano (Vectorial, Paramétrica, Canónica y General) - Determinar las ecuaciones de una recta en el espacio dados algunos elementos. Convierten entre distintos tipos de ecuaciones de la recta. - Determinar las posiciones relativas de dos rectas en el espacio. - Determinar la ecuación del plano dados algunos elementos. Convertir Convertir entre distintos los tipos de ecuaciones del plano. - Aplicar la ecuación de la recta y del plano en el espacio en resolución de problemas.
INSTRUCCIONES GENERALES: 1. 2. 3. 4.
Al contestar las respuestas de la prueba utiliza lápiz grafito, pasta azul o negro. Marc Marca a sól sólo o una una opc opció ión, n, ya que que NO SE ADMITEN CORRECCIONES. Está Está proh prohib ibid ido o el el uso uso de calc calcul ulad ador ora. a. Revisa Revisa tu prueba prueba antes de entreg entregar, ar, conside considerando: rando: presentaci presentación, ón, orden orden y letra letra legible. legible.
SELECCIÓN MÚLTIPLE: Selecciona la alternativa alternativa que consideres correcta. (2 pts c/u) ( ) ( ) A 1 , 7 , 3 B 1 , 3 , 0 2. ¿Cuál de de estos puntos puntos pertenece pertenece a la 1. Sea ean n y dos recta (x, y, z) = (1, 1, 0) + t(2, -1, 4)? puntos, entonces las coordenadas del vector AB son: a) (0, 0, 0) b) (3, 0, -4) a) 2 , 4 ,3 c) (3, 0, 4) b) −2,−4,−3 d) (2, -1, 4) c) −2 , 4 , −3 e) (-1, 0, -4) d) 0 ,10,3 e) 0 , −10, −3 I.
=
=
−
3. ¿Cuál de de éstos vecto vectores res es perpendicular al plano de ecuación x + 2y – z + 2 = 0 ? a) b) c) d) e)
I. La recta pasa por el origen del sistema de coordenadas. II. La recta es paralela al vector
1,2 ,2 2,
1,2
− − − − − 1,2 ,
1
2,4 ,
2
2 ,2 ,
1
4. ¿Cuál(es) de las las siguientes siguientes afirmación(es) afirmación(es) es(son) verdaderas con respecto a la recta (x, y, z) = (1, 1, 1) + t(1, 1, 1) ?
−4 ,−4 ,−4 III. La recta es perpendicular con el eje X. a) b) c) d) e)
6. ¿Qué valor valor debe tener m y k para que la recta (x, y, z) = (1, -1, 1) + t(m, k, 2) pase por el origen del sistema de coordenadas?
5. ¿Cuál de de las siguiente siguientes s rectas rectas es paralela a la recta a) b) c) d) e)
x 3
=
y − 3 2
=
z + 2 ?
(x, y, z) = (3, 2, 1) + t(0, -3, 2) (x, y, z) = (1, 1, 0) + t(3, 2, 2, 0) (x, y, z) = (0, 1, 0) + t(-3, -2, 1) 1) (x, y, z) = (0, 3, -2) + t(2, -1, 4) (x, y, z) = (0, 0, 0) + t(6, 4, 2)
7. El valor valor de la determ determinante inante es: a) 0
Sólo I Sólo II Sólo III I y II I, II II y III
a) b) c) d) e)
−1
3
2
0
1
3
−5
4
2
m = -1/2 m=2 ; m = -2 ; m=2 ; m = -2 ;
; k=2 k = -2 k=2 k = -1/2 k = -1/2
8. ¿Cuál debe debe ser el valor valor del parámetro parámetro t para que la recta (x, y, z) = (3, 2, 1) + t(5, -3, 2) pase por un punto cuyas componentes x e y sean iguales? a) 8 1
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b) c) d) e)
-5 -15 25 -25
b) c) d) e)
9. Dado los puntos A(0, 0, 0), B(0, 1, 1) y C(1, 0, 0) la ecuación del plano que pasa por A, B y C es: a) b) c) d) e)
II.
1/8 -1/8 -8 No se puede determinar
10.Dada la ecuación paramétrica del plano x = 1+ λ + µ y = 2 − λ + 2µ z = 4λ − 3µ un vector normal al plano es:
x +y –z =0 x –z =0 y –z –2 =0 y –z =0 x–z–1=0
a) b) c) d) e)
−8 , 4 ,3 −6 ,3 ,0 − − − − −
8,
4,
3
14,7 ,0
5,
7,
3
DESARROLLO:
1. Comprueba si los puntos A(1, –2, 1), pts)
B(2,
3, 0) y C(–1, 0, –4) están alineados. (4
2. Determina en cada caso una ecuación de recta en forma vectorial. a) Que pasa por los puntos A(2, 4, -5) y B(3, 1, 3). (3 pts) x − 1
b) Que pasa por el origen y es paralela a la recta de ecuación:
2
=
y + 3 2
=
z − 4
(3
pts) 3. Determina la posición relativa de las rectas de ecuación
r :
x − 4 4
=
y − 4 1
=
z − 5 2
1
z
−
−
−
s:
y 1
x 1 =
2
=
−
2
1
y
(4 pts)
4. Determina la posición relativa de las rectas
r :
x 1
y 1 −
−
2
=
3
=
z 4
y
x = 3 + 4t s : y = 3 + 6t z = 4 + 8t
(4 pts)
x − 2 y − 1= 0 5. Dada la recta de ecuación implícita: s : transfórmala a su forma vectorial. 3 y − z + 1= 0
(4
pts) 6. Determina en cada caso la ecuación general del plano a) Que contiene al punto (-8, 3, 2) y es perpendicular a la recta pts) b) Que es paralelo al vector t(2, -1, 0) (3 pts)
−2, 4 , −3
r :
x 3
=
y + 1 3
=
z 4
(3
y contiene a la recta (x, y, z) = (1, 0, 1) +
2
