RECTAS Y PLANOS
ING. CIVIL
EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Hallar Hallar la ecuación ecuación paramétrica paramétrica vectoria vectoriall de la recta que pasa por por los puntos S ( 1, - 2, -3 ) y T ( 2, -3, 2 ) 2. Hall Hallar ar la rect recta a que que inte interc rcep epte te en !n"u !n"ulo lo rect recto o a la rect recta a 1 # {( 1, 2, 3 ) $ t ( 2, 1, -1 ) } y que pasa por por ! # ( 2, %, 1 ). 3. Hallar Hallar la ecuación ecuación vectorial vectorial de la recta recta que intercept intercepta a en &n"ulo recto a las las rectas rectas 1 # {( 3, 3, ', ', ' ) $ t ( 2, 2, 2, 2, 3 ) t ∈ * } 2 # {( 1, +, -1 ) $ r ( -1, 2, % ) r ∈ * } '. Hallar Hallar la ecuac ecuación ión de la recta recta que que pasa por por el punto punto (3, %, 1 ) y es perp perpen endi dicu cula lar, r, en su punt punto o de inte inters rsec ecci ción ón con con la rect recta a 1 # {( 2, 3, 2 ) $ t ( 2, -1, % ) t ∈ * } . Hallar Hallar la ecuaci ecuación ón de la recta recta que pasa pasa por la inters intersecc ección ión de las rectas rectas 1 # {( -1 -1, ', ', -3 -3 ) $ t ( (, -2 -2, 2 ) t ∈ * } y 2 # {( -2, ', ', 13 ) $ r ( 3, -1, -1, -1% ) r ∈ * } y es perpendicular perpendicular al plano ormado por 1 y 2 +. Hallar Hallar la ecuación ecuación de la la recta que que pasa por por ( %, 1, 1 ) y corta corta a las rectas 1/ { 0 # y 20 # } y 2 # {( 1, -2, % ) $ t ( 1, 2, 1 ) } x −1 y +2 5 − z L1 : = = . 4ada 4adas s las las rect rectas as que que se se cru cruan an y 2 3 4
L2 : x =2,
x −1 z +2 1
=
2
11. 11. Hallar Hallar la ecuación ecuación del plano que contiene contiene a las rectas concurren concurrentes tes
x − 1 1 /
2
=
y +3 4
z
=
x − 1 2 /
7
Hallar la ecuacion ecuacion de la recta que pasa
por T( -1, -2, 1 ) y es perpendicular a 1 (en el espacio) y corta a 2 5. Hallar Hallar la la ecuaci ecuación ón de la la recta recta que pasa pasa por por ( 1, , , 1 ) y que es es perpendicular a 1 # {( 1, -1, 1 ) $ t ( 3, 1, 2 ) t ∈ * } 6. os puntos puntos medios medios de los lados lados de un tri&n"ulo tri&n"ulo son 71 # ( 2, 3, 3 ), 72 # (', ', ' ) y 7 3 # ( 3, 3, 2 ). 89u&l es la ecuación de la recta recta perpendicular al lado en que esta 71 y pasa por el vértice opuesto a dic:o lado; 1%.
=
y +3 5
=
z −
2
12. Hallar Hallar la distancia distancia del punto S( 3, -1, ) a la recta que pasa pasa por los puntos !(3, !(3, -2, ' ) y = ( %, ', + ) 13. Hallar la distancia del punto T( -1, 2, 3 ) a la recta # {( , - 3, % ) $ t ( +, -2, 3 ), t ∈ * } 1'. Hallar Hallar la distancia distancia entre las rectas rectas 1 # {( 1, 2, -2 ) $ t ( %, ', ', 2 ) t ∈ * } y 2/ 0 $ ' # % , y $ # + 1. Hallar la ecuación del plano plano que pasa por los puntos puntos ! # ( 1, 2, -' ), = # ( ', -3, 2 ) y 9 # ( - ', , 1% ) 1+. >l pie de la perpendicul perpendicular ar traada traada desde el ori"en a un plano es el punto ? # ( 1, -2, 1 ). Hallar la ecuación ecuación del plano 1. Hallar Hallar la ecuación ecuación del plano que que pasa por el punto punto # ( 2, -1, ) y es orto"onal a un recta que que tiene por n@meros directores directores a 3, ' y -2 15. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto ! # ( -3, 2, 1 ) y es paralelo al plano 1 cuya ecuación es 30 - 'y $ - # % 16. Hallar Hallar la ecuación ecuación del plano que pasa pasa por el punto # ( -2, 3, 1 ), y es orto"onal a los dos planos 30 $ 2y - # 1 y 20 A y $ ' # 2%. Hallar Hallar la ecuación del plano plano
,
1
vectores
a ⃗
# ( 2, -3, -1 ),
π
que pasa por los e0tremos e0tremos de los
b
# ( %, %, -1, -1, ' ), ),
c ⃗
# ( 2, 1, -
3 ) si los tres vectores tienen tienen su ori"en en el punto # (1, %, 3 ) 21. Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos ! # ( 2, %, -1 ) , = # ( %, 2, ), y que es orto"onal al plano 30 $ y - A # % 22. Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta de intersección intersección de los planos 30 - y $ 2 # , y 50 $ 2y - # 3, y que contiene al ori"en 23. 4ados los los puntos puntos 7( 3, -1, 2 ) y *( ', -2, -1), :allar :allar la ecuació ecuación n del plano que pasa por 7 y es perpendicular al vector 7* 2'. Hallar Hallar la ecuación ecuación del plano que pasa pasa por el puto S( 3, ', - ) y es paralelo a los vectores
a ⃗ # ( 3, 1, -1 ) y
b
# ( 1, -2, 1 ).
2. Hallar Hallar la ecuación del plano plano que pasa por los puntos puntos B(3, -1, 2 ), *( ', -1, -1 ) y S(2, %, 2 ).
RECTAS Y PLANOS
ING. CIVIL
2+. 4eterminar para que valores de
CaD
y CED, los planos
1/ 20 $ ay $ 3 A 6 # % y 2/ E0 A +y A + $ 2 # % son paralelos 2. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto S( 2, -1, 1 ) y es
perpendicular a los planos 1/ 20 A $ 1 # % y 2/ y # % 25. ara que valores de a y E la recta / 0 # 3 $ 't, y # 1 A 't, # -3 $ t, est& contenida en el plano
: a0 $ 2y A ' $ E # %
TAREA DOMICILIARIA
26. ara que valores de ! y = el plano
3
32.
x
3'.
3.
3+.
y −1 2
z −2
=
1
=
y −6 2
=
y es perpendicular al plano
4
2 $ ' # % Hallar la ecuación /
33.
=
del
plano
determinado
por
/ 20 $ y $
la
recta
z +3 1
−
y el punto p( ', -3, 2)
>ncontrar la ecuación del plano que pasa por los puntos !( -2, , 3) y =( ', 5, -5 ) y es perpendicular al plano GF Hallar la ecuación de cada plano que tiene intercepto G i"ual a 2, intercepto > i"ual a 3, y que se :alla a la distancia + del ori"en Hallar la ecuación de cada uno de los planos que se :allan a dos unidades del ori"en y tienen una normal que :ace &n"ulos de +% con los semieIes positivos JG y JK. 4emostrar que si a, E y c son los interceptos G, K e F de un lano,
#
que pasa por los puntos ! # ( 1, 3, % ).
( ', %, % ), y que orma un !n"ulo de 3% con el plano
1/ 0 $ y $ # 1 35.
( 3, ', % )} y 2 # {( 1, 1, 2 ) $ r ( - ', 3, % ) }, ormando un &n"ulo
θ= arc tg √ 2
con cada una de ellas
'%. os n@meros directores de dos rectas 1 y 2 son ( -1, - +, ) y ( 3, 2, - ' ), respectivamente. >l &n"ulo ormado por 1 y una recta es de +%L. Hallar los n@meros directores de , si se saEe que es perpendicular a 2 '1. 4esde el punto ( 3, +, ) se raa una perpendicular a la recta 2 # {( 1, 1, 2 ) $ r ( 2, -1, 3 ) }, a que distancia del punto ( ', ', ) se :alla dic:a perpendicular '2. Sea 1 la recta que pasa por ( 1, 2, 1 ) y ( 3, -2, 1 ). Sea 2 la reta que pasa por ( 2, 3, 2 ) paralela a ( 1, 2, 1 ). 4eterminar la ecuación de la recta que pasa por ( 2, %, -3 ) y es orto"onal a amEas 1 y 2 '3. 4emuestre que los puntos 1, 2 y 3 son colineales si y solo si (2 A 1 ) 0 (3 A 1 ) # % ''. 4ada la recta # {( -, %, 1% ) $ r ( 3, 2, -3 ) r ∈ * } y el punto ? # ( , ', 5 ), encontrar dos puntos ! y = en , que ormen con ? un tri&n"ulo isósceles de &rea '. '+.
'.
entonces su ecuación es/
Hallar la ecuación del plano =
/ !0 $ =y $ 3 - # % es
perpendicular a la recta / 0 # 3 $ 2t, y # A 3t, # - 2 A 2t 3%.
x +1
3.
x y z + + −1 =0 a b c '5.
24 √ 11 u2
Hallar la distancia del punto ( , - , ' ) al plano : 20 $ y $ 2 # -1% 4eterminar el punto de la recta , que pasa por ( 1, 3, 1 ) y es orto"onal al lano : +0 A 'y $ 1% # 3% , intercepta al plano 4adas 1 # { t( 1, 2, -2 ) } y 2 # {( 3, 1, ) $ t ( -1, 1, % ) }, Hallar una recta equidistante de amEas ( 1 y 2 ) y que sea paralela a 2 (1 y 2 no son paralelas) Hallar las ecuaciones de los planos paralelos a 20 $ 3y $ # 2% y que este a una distancia i"ual a ' unidades del punto ( 3, ', %)
RECTAS Y PLANOS
'6.
%.
ING. CIVIL
Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta 0 # 2t $ 1, y # -3t $ 2, # 2t A 3 y por el punto ! ( 2, - 2, 1 ) Hallar la ecuación de una recta que pasa por ( 3, 1, 2 ) y corta a las rectas 1# {( 2, ', -1 ) $ r ( %, 1, 2 ) }, 2 #
1.
{
x − y + z =4 2 x + z =6
Hallar una recta en el plano determinado por los puntos !(%, %, %), =(2, 2, % ) y 9( %, 1, -2) y que corta orto"onalmente a la recta
L1 :
x +1 2
=
y −1 2
2 z
=
2.
Hallar las ecuaciones paranéricas de la recta que pasa por el punto % (3, -3, ' ) y que es orto"onal a cada una de las rectas 1 # {( -2, 3, -2 ) $ t ( 2, -1, ) }, y
L1 :
x −3 1
=
2 y −7 2
=
3− z 3
−
