11.55 Rectas y planos en el espacio 11. Dar un conjunto de ecuaciones paramétricas para una recta en el espacio. Dar una ecuación lineal para representar un plano en el espacio. Dibujar el plano dado por una ecuación lineal. Hallar las distancias entre puntos, planos y rectas en el espacio. Rectas en el espacio En el plano se usa la pendiente para determinar una ecuación de una recta. En el espacio es más conveniente usar vectores para determinar la ecuación de una recta.
La recta L y su vector de dirección v Figura 11.4 En la figura figura 11.43 11.43 se conside considera ra la recta recta L a trav través és del punto punto P ( x 1 , y 1 , z 1) y paralela al vector v =⟨ a , b , c ⟩ . El vector es un vector de dirección o director de la recta L y a , b y c son los directores). Una manera de descriir la recta L es decir !ue consta de n!meros de dirección (o directores). para los !ue el vector PQ es paralelo a v . Esto significa !ue PQ es un un m"ltip m"ltiplo lo escalar escalar de v y se puede escriir a PQ =t v donde t es un escalar (un n"mero real).
todos los puntos
Q ( x , y , z )
PQ =⟨ x − x1 , y − y 1 , z − z1 ⟩= ⟨ at ,bt ,ct ⟩=t v
#gualando #gualando los componentes correspondient correspondientes$ es$ se otienen otienen las ecuaciones ecuaciones paramétricas paramétricas de una recta en el espacio.
"#$R#%& 11.11 #'(&')$*#+ &R&%-"R)'&+ D# (*& R#'"& #* # #+&')$ Una Una rect recta a L para parale lela la al vecto vectorr v =⟨ a , b , c ⟩ y !ue !ue pasa asa por por el punt punto o representa por medio de las ecuaciones paramétricas
P ( x 1 , y 1 , z 1)
se
x = x 1+ at, y = y 1 +bt y z = z 1 +ct
%i todos los n"meros directores a , b y c son distintos de cero$ se puede eliminar el parámetro t para otener las ecuaciones simétricas (o cartesianas) de la recta. x − x 1 y − y 1 z − z1 Ecuaciones Ecuaciones simétricas simétricas = = a b c EJEMPLO 1 Hallar las ecuaciones paramétricas y simétricas
&allar las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta L !ue pasa por el punto ( 1,−2, 4 ) y es paralela a v =⟨ 2,4, −4 ⟩
El vector v es paralelo a la recta L Figura 11.44
+olución 'ara allar un conunto de ecuaciones paramétricas de la recta$ se usan las coordenadas x 1=1, y 1=−2 , y z 1=4 $ y los n"meros de dirección a =2, b = 4 y c =−4 (ver figura 11.44). 11.44). x =1 + 2 t , y =−2 + 4 t , z =4 − 4 t Ecuaciones paramétricas paramétricas..
*omo a , b y c son todos diferentes de cero$ un conunto de ecuaciones simétricas es x − 1 y + 2 z −4 Ecuaciones simétricas = = −4 2 4
x = x 1+ at, y = y 1 +bt y z = z 1 +ct
%i todos los n"meros directores a , b y c son distintos de cero$ se puede eliminar el parámetro t para otener las ecuaciones simétricas (o cartesianas) de la recta. x − x 1 y − y 1 z − z1 Ecuaciones Ecuaciones simétricas simétricas = = a b c EJEMPLO 1 Hallar las ecuaciones paramétricas y simétricas
&allar las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta L !ue pasa por el punto ( 1,−2, 4 ) y es paralela a v =⟨ 2,4, −4 ⟩
El vector v es paralelo a la recta L Figura 11.44
+olución 'ara allar un conunto de ecuaciones paramétricas de la recta$ se usan las coordenadas x 1=1, y 1=−2 , y z 1=4 $ y los n"meros de dirección a =2, b = 4 y c =−4 (ver figura 11.44). 11.44). x =1 + 2 t , y =−2 + 4 t , z =4 − 4 t Ecuaciones paramétricas paramétricas..
*omo a , b y c son todos diferentes de cero$ un conunto de ecuaciones simétricas es x − 1 y + 2 z −4 Ecuaciones simétricas = = −4 2 4
+i las ecuaciones paramétricas ni las ecuaciones simétricas de una recta dada son "nicas. ,s-$ en el eemplo eemplo 1$ tomando tomando t =1 en las ecuaciones ecuaciones paramétricas paramétricas se otiene otiene el punto (3,2,0 ) . Usando este punto con los n"meros de dirección a =2, b = 4 y c =−4 se otiene un conunto diferente de ecuaciones paramétricas x =3 + 2 t , y =2 + 4 t , y z=−4 t y EJEMPLO 2 #cuaciones paramétricas de una recta /ue pasa por dos puntos
&all &allar ar un con conun untto de ecua ecuaci cion ones es para paramé méttrica ricass de la rect recta a !ue !ue pasa asa por por los los punt puntos os (−2,1,0 ) y (1,3,5 ).
+olu +o luci ción ón %e empiea por usar los puntos
P (−2,1,0 ) y Q (1,3,5 ) .
para para al alla larr un vect vector or de de
dirección de la recta !ue pasa por P y Q , dado por v = PQ PQ =⟨ 1 −(− −(−2 ), 3 −1,5 −0 ⟩ = ⟨ 3,2,5 ⟩ =⟨ a , b , c ⟩ .
⃗
Usan Usando do los los n"me n"meros ros de dire direcc cció ión n a =3, b =2 otienen las ecuaciones paramétricas x =−2+ 3 t , y =1 + 2 t , y z =5 t
y
c =5
unt unto o con con el punt punto o
P (−2,1,0 )
se
*omo t var-a sore todos los n"meros reales$ las ecuaciones paramétricas del eemplo / *$"& *omo determi determinan nan los puntos puntos ( x , y , z ) sore sore la recta. recta. En partic particula ular$ r$ ay !ue oservar oservar !ue t =0 y t =1 dan los puntos originales (−2,1,0 ) y ( 1,3,5 ) .
lanos en el espacio %e a visto cómo se puede otener una ecuación de una recta en el espacio a partir de un punto sore la recta y un vector paralelo a ella. ,ora se verá !ue una ecuación de un plano en el espacio se puede otener a partir de un punto en el plano y de un vector normal (perpendicular) (perpendicular) al plano.
El vector normal n es ortogonal a todo vector en el plano Figura 11.45 *onsiderar el plano !ue contiene el punto P ( x 1 , y 1 , z 1) y !ue tiene tiene un vector vector normal normal distint distinto o de cero n =⟨ a , b , c ⟩ , como se muestra en la figura 11.40. Este plano consta de todos los puntos PQ . Usando el producto vectorial$ se puede Q ( x , y , z ) para los cuales el vector es ortogonal ortogonal a PQ. escriir n∙PQ = 0
⟨ a , b , c ⟩ ∙ ⟨ x − x
1
, y − y 1 , z − z 1 ⟩= 0
a ( x x − x 1 ) + b ( y − y 1) + c ( z z − z1 ) =0
La tercera ecuación del plano se dice !ue está en 0orma canónica o estndar .
"#$R#%& 11.12 11.12 #'(&')3* '&*3*)'& ' &*3*)'& $ #+"*D&R D# (* &*$ #* # #+&')$ #+&')$ El plan plano o !ue !ue cont contie iene ne el punt punto o ( x 1 , y 1 , z 1) y tien tiene e un vect vector or norm normal al representarse en 0orma canónica o estndar $ por medio de la ecuación
n =⟨ a , b , c ⟩
puede
a ( x x − x 1 ) + b ( y − y 1) + c ( z z − z1 ) =0
eagrupando términos$ se otiene la 0orma general de la ecuación de un plano en el espacio. ax + by + cz + d =0 Forma general de laecuación la ecuación de un plano en el espacio .
2ada la forma general de la ecuación de un plano$ es fácil allar un vector normal al plano. %implemente se usan los coeficientes de x , y y z para escriir n =⟨ a , b , c ⟩ . EJEMPLO 3 Hallar una ecuación de un plano p lano en el espacio tridimensional
&allar la ecuación general del plano !ue contiene a los puntos
( 2,1,1 ) , (0,4,1) y (−2,1,4 )
Un plano determinado por u y v Figura 11.4
+olución 'ara aplicar el teorema 11.1/ se necesita un punto en el plano y un vector !ue sea normal al plano. &ay tres opciones para el punto$ pero no se da ning"n vector normal. 'ara otener un vector normal$ se usa el producto vectorial de los vectores u y v !ue van del punto (2,1,1 ) a los punt puntos os (0,4,1) y (−2,1,4 ) $ como como se muestra muestra en la figura figura 11.4 11.4.. Los vectores vectores u y v dados mediante sus componentes son u= ⟨ 0 −2, 4 −1,1 1, 1 −1 ⟩ = ⟨ −2,3,0 ⟩
v =⟨−2−2, 1−1, 4 −1 ⟩= ⟨−4,0,3 ⟩
as- !ue
|
i
n = u× v = −2
−4
|
!
3 0
0 3
=9 i + 6 + 12 ! = ⟨ a , b , c ⟩
x 1 , y 1 , z 1 )= (2,1,1 ) , es normal al plano dado. Usando los n"meros de dirección para n y el punto ( x se
puede determinar !ue una ecuación del plano es a ( x x − x 1 ) + b ( y − y 1) + c ( z z − z1 ) =0
9 ( x −2 ) + 6 ( y −1 ) + 12 ( z −1 )=0 Forma canónica o est"ndar . 9 x + 6 y + 12 z −36 =0 Forma general . 3 x + 2 y + 4 z −12=0. Forma generalsimpli#icada .
*$"& En el eemplo 3$ verificar !ue cada uno de los tres puntos originales satisfacen la ecuación 3 x + 2 y + 4 z −12=0.
ngulo $ entre dos planos Figura 11.46 2os planos distintos en el espacio tridimensional o son paralelos o se cortan en una recta. %i se cortan$ se puede determinar el ángulo (0 %$% & / 2) entre ellos a partir del ángulo entre sus vectores normales$ como se muestra en la figura 11.45. Espec-ficamente$ si los vectores n1 y n2 son normales a dos planos !ue se cortan$ el ángulo ángulo entre los dos planos y está dado por
$ entre los vectores normales es igual al
| n . n | 'ngulo entre dos planos . ‖n ‖‖n ‖
cos $ =
1
1
2
2
'or consiguiente$ dos planos con vectores normales n1 y n 2 son
1. perpendiculares si n1 .n 2=0 2. paralelos si n1 es un m"ltiplo escalar de n2 . EJEMPLO 4 Hallar la recta de intersección de dos planos
&allar el ángulo entre los dos planos dados por
x −2 y + z =0 Ecuación de plano 1. 2 x + 3 y − 2 z =0 Ecuación de plano 2.
y allar las ecuaciones paramétricas de su recta de intersección (ver figura 11.46).
Figura 11.47 +olución Los vectores normales a los planos son n1= ⟨ 1,−2, 1 ⟩ y n2= ⟨ 2,3,−2 ⟩ . 'or consiguiente$ el ángulo entre los dos planos está determinado como sigue.
| n . n | (oseno del "ngulo entre n ‖n ‖‖n ‖ 1
cos $ =
1
¿
¿
2
1
y n2 .
2
|−6|
√ 6 √ 17 6
√ 102
) 0.59409
Esto implica !ue el ángulo entre los dos planos es $ ) 53.55 * . La recta de intersección de los dos planos se puede allar resolviendo simultáneamente las dos ecuaciones lineales !ue representan a los planos. Una manera de acer esto es multiplicar la primera ecuación por 7/ y sumar el resultado a la segunda ecuación. x −2 y + z =0 −2 x + 4 y −2 z =0 ⇒
2 x + 3 y − 2 z =0 ⇒ 2 x + 3 y − 2 z = 0
7 y − 4 z =0 ⇒ y =
4 z 7
y = 4 z / 7
%ustituyendo
en una de las ecuaciones originales$ se determina !ue 8inalmente$ aciendo t = z /7, se otienen las ecuaciones paramétricas
x = z / 7.
x =t , y = 4 t y z =7 t +ecta deintersección
lo cual indica !ue 1$ 4 y 5 son los n"meros de dirección de la recta de intersección. &ay !ue oservar !ue los n"meros de dirección del eemplo 4 se pueden otener a partir del producto vectorial de los dos vectores normales como sigue.
|
i
n1 ×n2= 1 2
−2 3
!
|
1 −2
| || || |
¿ −2 3
1 2
i− 1 2
1 −2
+ 1 −2 ! 2
3
¿ i+ 4 +7 ! Esto significa !ue la recta de intersección de los dos planos es paralela al producto vectorial de sus vectores normales.
"ra8ado de planos en el espacio %i un plano en el espacio corta uno de los planos coordenados$ a la recta de intersección se le llama la tra8a del plano dado en el plano coordenado. 'ara diuar un plano en el espacio$ es "til allar sus puntos de intersección con los ees coordenados y sus traas en los planos coordenados. 'or eemplo$ considerar el plano dado por 3 x + 2 y + 4 z =12 Ecuación del plano
%e puede allar la traa xy , aciendo z =0 y diuando la recta 3 x + 2 y = 12 raza xy
en el plano xy . Esta recta corta el ee x en ( 4,0,0 ) y el ee y en (0,6,0 ) . En la figura 11.49 se contin"a con este proceso encontrando la traa yz región triangular !ue se encuentra en el primer octante.
y la traa xz , y somreando la
Figura 11.49 %i en una ecuación de un plano está ausente una variale$ como en la ecuación 2 x + z =1, el plano dee ser paralelo al eje correspondiente a la variale ausente$ como se muestra en la figura 11.0:. %i en la ecuación de un plano faltan dos variales$ éste es paralelo al plano coordenado correspondiente a las variales ausentes$ como se muestra en la figura 11.01.
El plano
2 x + z =1
es paralelo al ee y Figura 11.5:
Figura 11.51
Distancias entre puntos, planos y rectas
La distancia de un punto a un plano Figura 11.52 Esta sección concluye con el análisis de dos tipos ásicos de prolemas sore distancias en el espacio. 1. *alcular la distancia de un punto a un plano. 2. *alcular la distancia de un punto a una recta. Las soluciones de estos prolemas ilustran la versatilidad y utilidad de los vectores en la geometr-a anal-tica; el primer prolema usa el producto escalar de dos vectores$ y el segundo prolema usa el producto vectorial . La distancia D de un punto Q a un plano es la longitud del segmento de recta más corto !ue une a Q con el plano$ como se muestra en la figura 11.0/. %i P es un punto cualquiera del plano$ esta distancia se puede allar proyectando el vector PQ sore el vector n. La longitud de esta proyección es la distancia uscada.
"#$R#%& 11.1 D)+"&*')& D# (* (*"$ & (* &*$ La distancia de un punto a un plano Q (no en el plano) es PQ . n| ⃗ | ⃗
- =‖ proy n PQ‖=
‖n‖
donde P es un punto en el plano y n es normal al plano. 'ara encontrar un punto en el plano dado por ax + by + cz + d =0 ( a 0 ) , se ace y =0 y z =0. Entonces$ de la ecuación ax + d = 0, se puede concluir !ue el punto (−d / a , 0,0 ) está en el plano. EJEMPLO 5 'alcular la distancia de un punto a un plano
*alcular la distancia del punto Q (1,5,−4 ) al plano dado por
3 x − y +2 z =6.
+olución %e sae !ue n =⟨ 3,−1, 2 ⟩ es normal al plano dado. 'ara allar un punto en el plano$ se ace y =0 y z =0, y se otiene el punto P (2,0,0) . El vector !ue va de P a Q está dado por PQ =⟨ 1 −2,5 −0,− 4 −0 ⟩= ⟨−1,5,− 4 ⟩
Usando la fórmula para la distancia dada en el teorema 11.13 se tiene -=
¿
¿
| ⃗ PQ . n| |⟨− 1,5,− 4 ⟩ . ⟨ 3,−1, 2 ⟩| -istancia de un punto a un plano . = ‖n‖ √ 9 +1 +4
|−3 −5− 8|
√ 14 16
√ 14
*$"& El punto P !ue se eligió en el eemplo 0 es aritrario. %eleccionar un punto diferente en el plano para verificar !ue se otiene la misma distancia. 2el teorema 11.13 se puede determinar !ue la distancia del punto ax + by + cz + d =0 es
Q ( x 0 , y 0 , z0 )
y z (¿ ¿ 0 − z 1) (¿ ¿ 0 − y 1)+ c ¿ a ( x 0− x 1 ) + b ¿ ¿ ¿ - =¿
o -=
|a x + b y + c z + d| 0
0
0
√ a +b + c 2
2
2
-istancia de un punto a un plano .
2onde P ( x 1 , y 1 , z 1) es un punto en el plano y d =−( a x 1 + b y 1 + c z 1 ) . EJEMPLO 6 #ncontrar la distancia entre dos planos paralelos
al plano dado por
Encontrar la distancia entre los dos planos paralelos dados por 3 x − y +2 z −6= 0 y 6 x −2 y + 4 z + 4 =0
La distancia entre los planos paralelos es apro
+olución Los dos planos se muestran en la figura 11.03. 'ara allar la distancia entre los planos$ 2,0,0
elegir un punto en el primer plano$ digamos
( x 0 , y 0 , z0 )=¿ ). 2espués$ del segundo plano$ se puede
determinar !ue a =6, b=−2, c =4 y d = 4, y concluir !ue la distancia es -=
¿
¿
|a x + b y + c z + d| 0
0
0
√ a +b + c 2
2
2
-istancia de un punto a un plano .
|6 (2 )+(−2)( 0 )+( 4 )( 0 )+ 4| √ 6 2+(−2)2 + 4 2 16
=
8
√ 56 √ 14
) 2.14
La fórmula para la distancia de un punto a una recta en el espacio se parece a la de la distancia de un punto a un plano$ e
"#$R#%& 11.14 D)+"&*')& D# (* (*"$ & (*& R#'"& #* # #+&')$ La distancia de un punto Q a una recta en el espacio está dada por - =
PQ× u‖ ‖ ⃗ ‖u‖
donde
es un vector de dirección para la recta y P es un punto sore la recta.
2istancia de un punto a una recta Figura 11.54
D#%$+"R&')3* En la figura 11.04$ sea 2 la distancia del punto = a la recta dada. Entonces - =‖ PQ‖sen$, donde $ es el ángulo entre u y PQ 'or el teorema 11.6$ se tiene ‖u‖‖ PQ‖sen$ =‖u×PQ‖=‖ PQ× u‖.
⃗
'or consiguiente$
⃗
PQ ×u‖ ‖ ⃗ ‖u‖
- =‖ PQ‖sen$ =
EJEMPLO 7 Hallar la distancia de un punto a una recta
&allar la distancia del punto Q ( 3,−1, 4 ) a la recta dada por x =−2+ 3 t , y =−2 t y z =1 + 4 t
La distancia del punto Q a la recta es √ 6 ) 2.45 Figura 11.55
+olución Usando los n"meros de dirección 3$ 7/ y 4$ se sae !ue un vector de dirección de la recta es
u= ⟨ 3,−2, 1 ⟩ /ector de dirección de larecta.
. 'ara determinar un punto en la recta$ se ace
t =0
y se otiene
P (−2,0,1 ) Punto sobrela recta.
,s-$ PQ =⟨ 3−(−2 ) ,−1− 0, 4 −1 ⟩ =⟨ 5, −1,3 ⟩
⃗
y se puede formar el producto vectorial
|
i ⃗ PQ ×u = 5 3
|
!
−1 −2
3 4
=2 i−11 −7 ! =⟨ 2, −11,− 7 ⟩
'or "ltimo$ usando el teorema 11.14$ se encuentra !ue la distancia es - =
PQ× u‖ ‖ ⃗ ‖u‖
¿ √
174
29
¿ √ 6 ) 2.45 /er #igura 11.55 .
11;5 #jercicios #n los ejercicios 1 y 2, la 0igura muestra la gr0ica de una recta dada por las ecuaciones paramétricas. a< Dibujar una 0lec=a sobre la recta para indicar su dirección. b< Hallar las coordenadas de dos puntos, P y Q , en la recta. Determinar el vector PQ . >'ul es la relación entre las componentes del vector y los coe0icientes de t en las ecuaciones paramétricas? >'ul es la ra8ón de esta relación? c < Determinar las coordenadas de todos los puntos de intersección con los planos coordenados. +i la recta no corta a uno de los planos coordenados, e@plicar por /ué. 1. x =1 + 3 t , y =2−t , z = 2+ 5 t
%olución;
2. x =2−3 t , y =2, z =2 −t
%olución;
#n los ejercicios y 4, determinar si cada punto yace sobre la recta. 3. x =−2 + t , y =3 t , z =4 + t
a ¿ ( 0,6,6 ) b ¿ (2,3,5 )
%olución; 4.
x −3 y −7 = = z + 2 2
8
a ¿ ( 7,23,0 ) b ¿( 1, −1,−3 )
%olución;
#n los ejercicios 5 a 1:, =allar conjuntos de a< ecuaciones paramétricas y b< ecuaciones simétricas de la recta por el punto paralela al vector o recta dado Asi es posible<. Aara cada recta, escribir los n!meros de dirección como enteros.< Punto
Paralela a
5. ( 0,0,0 ) v =⟨ 3,1,5 ⟩
%olución;
6. ( 0,0,0 ) v =
⟨
5 −2, , 1 2
⟩
%olución;
7. (− 2,0,3 ) v =2 i + 4 −2 !
%olución;
8. (−3,0,2 ) v =6 + 3 !
%olución;
9. ( 1,0,1 ) x =3 + 3 t , y =5 −2 t , z =−7 + t
%olución;
10. (−3,5,4 )
x − 1 y + 1 3
=
−2
= z −3
%olución;
#n los ejercicios 11 a 14, =allar conjuntos de a< ecuaciones paramétricas y b< ecuaciones simétricas de la recta /ue pasa por los dos puntos Asi es posible<. Aara cada recta, escribir los n!meros de dirección como enteros.< 11. ( 5,−3,− 2 ) ,
(
−2 , 3
%olución;
12. ( 0, 4,3 ) , (−1,2,5 )
%olución;
2
)
− ,1 3
13. ( 7, −2,6 ) , (−3,0,6 )
%olución; 14. ( 0,0,25 ) , (10,10,0 )
%olución;
#n los ejercicios 15 a 22, =allar un conjunto de ecuaciones paramétricas de la recta. 10. La recta pasa por el punto (2,3,4 ) y es paralela al plano xz y al plano yz . %olución;
1. La recta pasa por el punto (−4,5,2 ) y es paralela al plano xy y al plano yz . %olución;
15. La recta pasa por el punto (2,3,4 ) y es perpendicular al plano dado por %olución;
16. La recta pasa por el punto (−4,5,2 ) y es perpendicular al plano dado por %olución;
3 x + 2 y − z =6.
− x + 2 y + z =5.
19. La recta pasa por el punto (5,−3, −4 ) y es paralela a v =⟨ 2, −1,3 ⟩ . %olución;
/:. La recta pasa por el punto (−1,4,−3 ) y es paralela a v =5 i − . %olución;
/1. La recta pasa por el punto (2,1,2 ) y es paralela a la recta x =−t , y =1 + t , z =−2 + t . %olución;
//. La recta pasa por el punto (−6,0,8 ) y es paralela a la recta %olución;
x = 5− 2 t , y =−4 + 2 t , z = 0.
#n los ejercicios 2 a 2, =allar las coordenadas de un punto P sobre la recta y un vector v paralelo a la recta. 23. x =3−t , y =−1 + 2 t , z =−2
%olución;
24. x =4 t , y =5− t , z =4 + 3 t
%olución;
25.
x −7 y + 6 = = z + 2 4
2
%olución;
26.
x + 3 y z −3 = = 5
%olución;
8
6
#n los ejercicios 26 a :, determinar si algunas de las rectas son paralelas o idénticas. 27. L1 : x =6 −3 t , y =−2 +2 t , z =5 + 4 t
L2 : x =6 t , y =2− 4 t , z =13 −8 t L3 : x =10 −6 t , y = 3 + 4 t , z =7 + 8 t L4 : x =−4 + 6 t , y =3 + 4 t , z =5 −6 t
%olución;
28. L1 : x =3 + 2 t , y =−6 t , z =1 −2 t
L2 : x =1 + 2 t , y =−1− t , z =3 t L3 : x =−1 + 2 t , y =3 −10 t , z =1− 4 t
L4 : x =5 + 2 t , y =1 −t , z =8 + 3 t
%olución;
29. L1 :
x − 8 4
=
y + 5
−2
z + 9
=
3
L2 :
x + 7 y −4 z + 6 = =
L3 :
x + 4 y −1 z + 18 = = 4 −8 −6
2
L4 :
1
5
x − 2 y + 3 z− 4 = = 1 1.5 −2
%olución; 30. L1 :
x −3 y −2 z + 2 = = 2
1
2
L2 :
x −1 y −1 z + 3 = =
L3 :
x + 2 y −1 z −3 = =
4
L4 :
2
1
x −3 2
4
0.5
=
y + 1 4
1
=
z −2
−1
%olución;
#n los ejercicios 1 a 4, determinar si las rectas se cortan, y si es asB, =allar el punto de intersección y el coseno del ngulo de intersección. 31. x = 4 t + 2, y =3, z =−t + 1
x =2 s + 2, y =2 s + 3, z = s + 1
%olución;
32. x =−3 t + 1, y =4 t + 1, z =2 t + 4
x = 3 s + 1, y =2 s + 4, z =−s + 1
%olución;
33.
x y −2 x −1 z + 3 = = z + 1, = y +2= 3 4 −1 −3
%olución;
34.
x −2 y −2 x −3 z +2 = = z −3, = y + 5= −3 6 2 4
%olución;
#n los ejercicios 5 y , usar un sistema algebraico por computadora para representar gr0icamente el par de rectas /ue se cortan y =allar el punto de intersección.
35. x = 2 t + 3, y =5 t −2, z =−t + 1
x =−2 s + 7, y = s + 8, z =2 s− 1
%olución;
36. x = 2 t −1, y =−4 t + 10, z =t
x =−5 s −12, y =3 s + 11, z =−2 s −4
%olución;
Producto vectorial #n los ejercicios 6 y 7, a< =allar las coordenadas de tres puntos P , Q y R en el plano, y determinar los vectores PQ y P+ b< Hallar PQ × P+ >'ul es la relación
entre las componentes del producto vectorial y los coe0icientes de la ecuación del plano?
37.4 x −3 y − 6 z =6
%olución;
38.2 x + 3 y + 4 z = 4
%olución;
#n los ejercicios 9 y 4:, determinar si el plano pasa por cada punto. 39. x + 2 y − 4 z −1= 0
a ¿ (−7,2,−1 ) b ¿( 5,2,2 )
%olución;
40.2 x + y + 3 z −6 =0
a ¿ ( 3,6,2 ) b ¿(−1,5, −1)
%olución;
#n los ejercicios 41 a 4, =allar una ecuación del plano /ue pasa por el punto y es perpendicular al vector o recta dado. Punto
Perpendicular a
41. ( 1,3, −7 ) n=
%olución; 42. ( 0,−1, 4 ) n= !
%olución; 43. ( 3,2,2 ) n=2 i + 3 − !
%olución;
44. ( 0,0,0 ) n =−3 i + 2 !
%olución;
45. (−1, 4,0 ) x =−1 + 2 t , y =5 −t , z =3− 2 t
%olución; 46. ( 3,2,2 )
x −1 4
z + 3 = y + 2 = −3
%olución;
#n los ejercicios 46 a 57, =allar una ecuación del plano. 46. El plano !ue pasa por ( 0,0,0) , (2,0,3 ) y (−3, 0 1,5 ) . %olución;
47. El plano !ue pasa por ( 3, 0 1, 2) , (2,1,5 ) y (1,−2, 0 2 ) . %olución;
49. El plano !ue pasa por ( 1,2,3 ) , (3,2,1 ) y (−1,−2, 2) . %olución;
5:. El plano !ue pasa por el punto (1,2,3 ) y es paralelo al plano yz . %olución;
51. El plano !ue pasa por el punto (1,2,3 ) y es paralelo al plano xy . %olución;
52. El plano contiene el ee y y forma un ángulo de & / 6 con el ee x positivo. %olución;
5. El plano contiene las rectas dadas por x − 1 x −2 y −1 z −2 = y −4 = z y = = 4 −2 −3 −1
%olución;
54. El plano pasa por el punto (2,2,1 ) y contiene la recta dada por x y − 4 = = z . −1 2
%olución;
55. El plano pasa por los puntos 2 x −3 y + z =3.
(2,2,1 )
y
(−1,1,−1 )
y es perpendicular al plano
( 3,1, −5 )
y es perpendicular al plano
%olución;
5. El plano pasa por los puntos 6 x + 7 y + 2 z =10.
( 3,2,1 )
y
%olución;
56. El plano pasa por los puntos (1,−2, −1) y (2,5,6 ) y es paralelo al ee x . %olución;
57. El plano pasa por los puntos (4,2,1) y (−3,5,7 ) y es paralelo al ee z . %olución;
#n los ejercicios 59 y :, representar gr0icamente la recta y =allar los puntos de intersección Asi los =ay< de la recta con los planos xy , xz y yz . 59. x =1 −2 t , y =−2 + 3 t , z =−4 + t
%olución;
60.
x −2 3
z −3 = y + 1 = 2
%olución;
#n los ejercicios 1 a 4, =allar una ecuación del plano /ue contiene todos los puntos e/uidistantes de los puntos dados 61. (2,2,0 ) , ( 0,2,2 )
%olución;
62. (1,0,2 ) , ( 2,0,1 )
%olución; 63. (−3,1,2 ) , ( 6, −2, 4 )
%olución;
64. (−5,1,−3 ) , ( 2, −1,6 )
%olución;
#n los ejercicios 5 a 6:, determinar si los planos son paralelos, ortogonales, o ninguna de las dos cosas. +i no son ni paralelos ni ortogonales, =allar el ngulo de intersección. 65.5 x −3 y + z = 4, x + 4 y + 7 z =1
%olución;
66.3 x + y − 4 z =3, −9 x −3 y + 12 z = 4
%olución;
67. x −3 y + 6 z =4, 5 x + y − z =4
%olución;
68.3 x +2 y − z =7, x −4 y + 2 z = 0
%olución;
69. x −5 y − z =1, 5 x − 25 y −5 z =−3
%olución;
70.2 x − z =1, 4 x + y + 8 z =10
%olución;
#n los ejercicios 61 a 67, marcar toda intersección y dibujar la gr0ica del plano 71.4 x + 2 y + 6 z =12
%olución;
72.3 x +6 y + 2 z =6
%olución;
73.2 x − y + 3 z = 4
%olución;
74.2 x − y + z = 4
%olución;
75. x + z =6
%olución;
76.2 x + y =8
%olución;
77. x =5
%olución;
78. z = 8
%olución;
#n los ejercicios 69 a 72, usar un sistema algebraico por computadora para representar gr0icamente el plano 79.2 x + y − z =6
%olución;
80. x −3 z =3
%olución;
81.−5 x + 4 y −6 z =− 8
%olución;
82. 2.1 x − 4.7 y − z =−3
%olución;
#n los ejercicios 7 a 7, determinar si algunos de los planos son paralelos o idénticos. 83. P 1 : 15 x −6 y + 24 z =17
P2 : −5 x + 2 y −8 z =6
P3 : 6 x − 4 y + 4 z =9 P4 : 3 x −2 y −2 z =4
%olución; 84. P 1 :2 x − y + 3 z =8
P2 : 3 x −5 y − 2 z =6 P3 : 8 x − 4 y + 12 z =5
P4 : −4 x −2 y + 6 z =11
%olución; 85. P 1 :3 x −2 y + 5 z = 10
P2 : −6 x + 4 y −10 z =5 P3 : −3 x + 2 y + 5 z =8
P4 : 75 x −50 y + 125 z =250
%olución;
86. P 1 : −60 x + 90 y + 30 z =27
P2 : 6 x − 9 y −3 z =2 P3 : −20 x + 30 y + 10 z = 9 P4 : 12 x − 18 y + 6 z =5
%olución;
#n los ejercicios 76 a 9:, describir a la 0amilia de planos representada por la ecuación, donde c es cual/uier n!mero real.
87. x + y + z = c
%olución;
88. x + y = c
%olución;
89. cy + z =0
%olución;
90. x + cz =0
%olución;
#n los ejercicios 91 y 92, a< encontrar el ngulo entre los dos planos y b< =allar un conjunto de ecuaciones paramétricas de la recta de intersección de los planos. 91.3 x +2 y − z =7, x − 4 y + 2 z =0
%olución;
92.6 x −3 y + z =5,− x + y + 5 z =5
%olución;
#n los ejercicios 9 a 9, =allar el o los puntos de intersección Asi los =ay< del plano y la recta. )nvestigar adems si la recta se =alla en el plano. 93.2 x −2 y + z =12, x −
%olución;
1 2
=
y +( 3 / 2) z + 1
−1
=
2
94.2 x +3 y +¿− 5,
x −1 y z−3 = = 4
2
6
%olución;
95.2 x +3 y =10,
x −1 y + 1 = = z −3 3 −2
%olución;
96.5 x + 3 y =17,
%olución;
x −4 2
y + 1
=
−3
z + 2
=
5
#n los ejercicios 96 a 1::, =allar la distancia del punto al plano 97. ( 0,0,0 ) 2 x + 3 y + z =12
%olución;
98. ( 0,0,0 ) 5 x + y − z = 9
%olución;
99. ( 2,8,4 ) 2 x + y + z =5
%olución;
100. ( 1,3,−1 ) 3 x −4 y + 5 z =6
%olución;
#n los ejercicios 1:1 a 1:4, veri0icar /ue los dos planos son paralelos, y =allar la distancia entre ellos 101. x −3 y + 4 z =10, x −3 y + 4 z = 6
%olución;
102. 4 x − 4 y + 9 z =7, 4 x − 4 y + 9 z =18
%olución;
103.−3 x + 6 y + 7 z =1,6 x − 12 y −14 z =25
%olución;
104.2 x − 4 z =4, 2 x −4 z =10
%olución;
#n los ejercicios 1:5 a 1:7, =allar la distancia del punto a la recta dada por medio del conjunto de ecuaciones paramétricas 105. ( 1,5,−2 ) 1 x =4 t −2, y =3, z =−t + 1
%olución;
106. ( 1, −2, 4 ) 1 x =2 t , y =t −3, z =2 t + 2
%olución;
107. (−2,1,3) 1 x =1− t , y =2 + t , z =−2 t
%olución;
108. ( 4,−1, 5 ) 1x =3, y =1+ 3 t , z =1+ t
%olución;
#n los ejercicios 1:9 y 11:, veri0icar /ue las rectas son paralelas y =allar la distancia entre ellas 109. L1 : x =2−t , y =3 + 2 t , z =4 + t
L2 : x =3 t , y =1−6 t , z = 4 −3 t
%olución;
110. L1 : x =3 + 6 t , y =−2+ 9 t , z =1−12 t
L2 : x =−1 + 4 t , y =3 + 6 t , z =−8 t
%olución;
Desarrollo de conceptos 111. 2ar las ecuaciones paramétricas y las ecuaciones simétricas de una recta en el espacio. 2escriir !ué se re!uiere para allar estas ecuaciones. %olución;
112. 2ar la ecuación estándar de un plano en el espacio. 2escriir !ué se re!uiere para allar esta ecuación. %olución;
11. 2escriir un método de allar la recta de intersección entre dos planos. %olución;
114. 2escriir toda superficie dada por las ecuaciones x =a , y =b , y z =c . %olución;
Desarrollo de conceptos Acontinuación< a1 x + b1 y + c1 z+ d 1=0 115. 2escriir un método para determinar cuándo dos planos a2 x + b2 y + c2 z+ d 2=0 son a) paralelos y b) perpendiculares. E
y
L1 y L2 rectas no paralelas !ue no se cortan. >Es posile allar un vector distinto v de cero tal !ue v sea perpendicular a amos L1 y L2 ? E
11. %ean %olución;
116. &allar una ecuación del plano con intersección en x (a , 0, 0) , intersección en y (0, b , 0 ) e intersección en z (0,0, c ). (%uponer !ue a$ b y c son distintos de cero.) %olución;
ara discusión 117. Encontrar la correspondencia entre la ecuación o conunto de ecuaciones !ue cumple con la descripción indicada. a) *onunto de ecuaciones paramétricas de una recta b) *onunto de ecuaciones simétricas de una recta c ) Ecuación estándar de un plano en el espacio d ) 8orma general de la ecuación de un plano en el espacio i ¿( x −6 )/ 2=( y + 1)/− 3= z / 1 ii ¿ 2 x −7 y + 5 z + 10= 0
iii ¿ x = 4 + 7 t , y =3 + t , z =3 −3 t iv ¿ 2 ( x −1 ) + ( y + 3 )−4 ( z −5 )=0
%olución;
119. 2escriir y allar una ecuación para la superficie generada por todos los puntos están a cuatro unidades del punto ( 3,−2, 5 ) .
( x , y , z ) !ue
%olución;
12:. 2escriir y allar una ecuación para la superficie generada por todos los puntos están a cuatro unidades del plano 4 x −3 y + z =10.
( x , y , z )
!ue
%olución;
121. Modelado matemático Los consumos per cápita (en galones) de diferentes tipos de lece en Estados Unidos desde 1999 asta /::0 se muestran en la tala. El consumo de lece descremada y semidescremada$ lece reducida en grasas y la lece entera se representa por las variales x , y y z , respectivamente. ( Fuente: U.S. Department of Ariculture )
Un modelo para los datos está dado por
0.92 x −1.03 y + z = 0.02 .
a) &acer un cuarto renglón de la tala usando el modelo para apro
z
con los valores dados
de x y y . *omparar las apro
!ué efecto en el consumo del tercer tipo? %olución;
122. Die!o i"dutrial Un colector en la parte superior de un montacargas de grano canalia el grano a un contenedor. &allar el ángulo entre dos lados adyacentes.
%olución;
12. Dita"cia 2os insectos se arrastran a lo largo de rectas diferentes en el espacio. En el instante t (en minutos)$ el primer insecto está en el punto ( x , y , z ) sore la recta x = 6 + t , y =8 −t , z = 3 + t . @amién$ en el instante t , el segundo insecto está en el punto ( x , y , z ) sore la recta x =1 + t , y =2 + t , z =2 t . %uponer !ue las distancias se dan en pulgadas. a! &allar la distancia entre los dos insectos en el instante
t =0 .
b! Usar una erramienta de graficación para representar la distancia entre los insectos desde t =0 asta t =10. c! Usando la gráfica del inciso b)$ >!ué se puede concluir acerca de la distancia entre los
insectos? d! >=ué tanto se acercan los insectos? %olución;
124. &allar la ecuación estándar de la esfera con el centro en (−3,2,4 ) !ue es tangente al plano dado por 2 x + 4 y −3 z =8. %olución;
125. &allar el punto de intersección del plano y !ue es perpendicular a este plano. %olución;
12. Aostrar !ue el plano 2 x − y −3 z =4 allar la distancia entre amos. %olución;
3 x − y + 4 y =7
con la recta !ue pasa por (5,4,−3 )
es paralelo a la recta x =−2+ 2 t , y =−1 + 4 t , z = 4,
126. &allar el punto de intersección de la recta !ue pasa por dado por x − y + z =2. %olución;
(1,−3, 1)
y
y
(3,− 4,2 ) $ y el plano
127. &allar un conunto de ecuaciones paramétricas de la recta !ue pasa por el punto (1,0,2 ) y es paralela al plano dado por x + y + z =5, y perpendicular a la recta x =t , y =1 + t , z =1+ t . %olución;
#$erdadero o %alo& #n los ejercicios 129 a 14, determinar si la declaración es verdadera o
0alsa. +i es 0alsa, e@plicar por /ué o dar un ejemplo /ue pruebe /ue es 0alsa. 129. %i v =a1 i+ b 1 + c 1 ! es cual!uier vector en el plano dado por a2 x + b2 y + c2 z+ d 2=0 , entonces a1 a2 + b1 b2 + c 1 c 2=0. %olución;
1:. @odo par de rectas en el espacio o se cortan o son paralelas %olución;
11. 2os planos en el espacio o se cortan o son paralelos. %olución; 12. %i dos rectas L1 y L2 son paralelas a un plano '$ entonces L1 y L2 son paralelas. %olución;
1. 2os planos perpendiculares a un tercer plano en el espacio son paralelos. %olución; 14. Un plano y una recta en el espacio se intersecan o son paralelos. %olución; R$C#'"$ D# "R&&E$ Distancias en el espacio En esta sección se an visto dos fórmulas para distancia$ la distancia de un punto a un plano$ y la distancia de un punto a una recta. En este proyecto se estudiará un tercer prolema de distancias$ la distancia de dos rectas !ue se cruan. 2os rectas en el espacio son oblicuas si no son paralelas ni se cortan (ver la figura). a) *onsiderar las siguientes dos rectas en el espacio.
