PLANOS TANGENTES RECTAS NORMALES A LA SUPERFICIE Sea S la superficie dada por F ( x, y , z ) = 0 y sea P( x0 , y0 , z0 ) un punto de S. Sea C una curva sobre S que pasa por P, definida por la función vectorial r (t ) = x(t )iˆ + y(t) ˆj + z(t) kˆ , entonces, para todo t F ( x( t ), y(t ), z(t ) ) = 0 Si F es diferenciable y existen x′(t ), y′(t ), z′(t ) 0 = F ′(t ) =
En
se sigue de la regla de la cadena que
∂F ∂F ∂F x′ (t ) + y′(t )´+ z ′(t ) ∂ x ∂y ∂z
( x0 , y0 , z0 ) la forma vectorial equivalente es: ∇F ( x0 , y0 , z 0 ). r ′(t 0 ) = 0
producto escalar del gradiente por el vector tangente.
es decir el
Si la superficie está definida de manera implícita por la ecuación F ( x, y, z ) = 0 , entonces: Teorema Si F es diferenciable en ( x0 , y0 , z0 ) una ecuación del PLANO TANGENTE a la superficie dada por F ( x, y , z ) = 0 en ( x0 , y0 , z0 ) es:
∂F(x0 , y0 , z0 ) ∂F (x0 , y0 , z0 ) ∂F (x0 , y0 , z0 ) ( x − x0 ) + ( y − y0 ) + (z − z0 ) = 0 ∂ x ∂y ∂z Y las ecuaciones de la RECTA NORMAL en ( x0 , y0 , z0 ) es ( x − x0 )
( y − y0 )
(z − z0 )
del coseno del ángulo entre planos que el ángulo de inclinación de un plano con vector n • k normal n viene dado por: cos θ = n
RECTA TANGENTE Y PLANO NORMAL A UNA CURVA EN EL ESPACIO. Una curva en el espacio se puede definir paramétricamente por las ecuaciones x = x(t ); y = y(t ); z = z(t ) en el punto p0 ( x0 , y0 , z0 ) de la curva las ecuaciones de la recta tangente son:
x − x 0 y − y0 z − z0 = = dx dy dz dt
dt
dt
EJERICIOS RESUELTOS En los problemas del 1 al 8 determine la ecuacion del plano tangente a la superficie dada en el punto indicado.
(
) ; ∇f ( 2, 3, 3 ) = 2
1. x 2 + y 2 + z 2 = 16; 16; 2,3 2,3,, 3
∇ f ( x, y , z ) = 2 x , y , z
2, 3, 3
(
)
Plano tangente: 2 ( x − 2 ) + 3 ( y − 3) + 3 z − 3 = 0 ó 2 x + 3y + 3z = 16
⎛ 2⎞ 2. 8 x 2 + y 2 + 8 z 2 = 16; ⎜⎜1, 2, ⎟⎟ 2 ⎝ ⎠
(1, −2, −1) es normal a la superficie en (1,0,1) y el plano tangente es 1( x − 1) − 2 ( y − 0 ) − 1( z − 1) = 0 o x − 2 y − z = 0
Entonces
1
1
7. z = x + y 2 ; (1,4,3) 2
⎛1⎞ Δ f ( x, y ) = ⎜ ⎟ ⎝2⎠
1 x
,
1 y
; Δf (1, 4) =
1 1 , 2 4
1 1 3 ⎛1⎞ ⎛1⎞ Plano tangente z − 3 = ⎜ ⎟ ( x − 1) + ⎜ ⎟ ( y − 4 ) ó x + y − z = − 2 4 2 ⎝2⎠ ⎝4⎠
8. Determine todos los puntos sobre la superficie z = x 2 − 2 xy − y 2 − 8x + 4 y donde el
F ( −1, 2 ) = 0 y ∇F ( 0, −1, 1, 2 ) = 2 ( 0, 2, 2, 2 ) = 4 ( 0,1,1) .
Para G ( x, y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 − 6 z + 7 = 0, ∇G ( x , y , z ) = ( 2x , 2y , 2z − 6) = 2 ( x , y , z − 3) G ( 0, −1, 2) = 0 y ∇G ( 0, −1, 1, 2 ) = 2 ( 0, − 1, 1, − 1) = − 2 ( 0,1,1) .
( 0,1,1) Es normal que en las dos superficies en ( 0, −1, 2 ) por lo que la superficie del plano tangente mismo, por lo que son tangentes entre sí en sí en ( 0, −1, 2 ) . 11. Demuestre que las superficies z = x 2 y y y =
1 4
x + 2
3 4
se cortan en (1,1,1) y tienen
12. Demuestre que la ecuación del plano tangente al elipsoide
( x0 , y0 , z 0 ) se puede escribir en la forma Sea F ( x, y, z ) =
x
2
y
2
z
x0 x a
2
+
y0 y b
2
+
z0z c
2
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
= 1 en
= 1.
2
+ 2 + 2 = 1. 2 a b c ⎛ z y z ⎞ ⎛ 2 x 2 y 2 z ⎞ ∇F ( x, y , z ) = ⎜ 2 , 2 , 2 ⎟ ⇒ ∇F ( x0 , y 0 , z 0 ) = 2 ⎜ 02 , 02 , 02 ⎟ . ⎝a b c ⎠ ⎝a b c ⎠ x ( x − x ) y ( y − y ) z ( z − z ) La tangente en el plano en ( x0 , y0 , z0 ) es 0 2 0 + 0 2 0 + 0 2 0 = 0 . a b c ⎛ x02 y 02 z 02 ⎞ + 2 + 2 −⎜ 2 + 2 + 2 ⎟ = 0 a2 b c c ⎠ ⎝a b
x0 x
y0 y
z0 z
Por
lo
tanto,
x0 x a
2
+
y0 y b
2
+
z0 z c
2
=1
desde
En los problemas siguientes, determine el vector gradiente de la función dada en el punto indicado p , y Luego determine la ecuación del plano tangente en p . 16. f ( x, y ) = x 2 y − xy 2 , p = ( −2, 3)
∇ f ( x, y ) = ( 2 xy − y 2 , x 2 − 2xy ) ⇒ ∇f ( −2, 3) = ( − 21,16 ) z = f ( −2, 3) + ( −21,16 ) ( x + 2, y − 3 ) = 30 + (− 21x − 42 + 16 y − 48 ) z = −21+ 16 y − 60
17. f ( x, y ) = x 3 y + 3xy 2 , p = ( 2, − 2)
∇ f ( x, y ) = ( 3x 2 y + 3 y ,2 x 3 + 6xy ) así ∇ f ( 2, −2 ) = ( −12,16 )
Plano tangente: ω =
f (1, 2, −1) + ∇f (1, 2, − 1) ( x − 1, y − 2, z + 1) = ( 7, − 8,− 2) ( x − 1, y − 2, z + 1) =
= −4 + ( 7 x − 7 − 8 y + 16 − 2z − 2) ⇒ ω = 7x − 8y − 2z + 3
21. f ( x, y , z ) = xyz + x 2 , p = ( 2, 0, − 3)
∇ f ( x, y, z ) = ( yz + 2x , xz , xy ) ⇒ ∇f ( 2, 0, − 3) = ( 4, − 6, 0) ω
= f ( 2, 0, −3) + ( 4, −6, 0) ( x − 2, y , z + 3) = 4 + ( 4x − 8 − 6y + 0) ⇒ ω = 4x − 6y − 4
22. Una abeja sentada en el punto (1, 2,1) sobre el elipsoide x 2 + y 2 + 2 z 2 = 6 (distancias
Puntos de intersección del plano tangente a los ejes de coordenadas son ,0,0 ) , ( 0,3b,0 ) ( 3a,0,0 ( 0,0,3c ) . El volumen del tetraedro es (área de la base) y 9 abc 9k 1⎛ 1 ⎞ = (altitud) = ⎜ 3a 3b ⎟ ( 3c ) = . 3⎝ 2 2 2 ⎠
24. Determine y simplifique la ecuación del plano tangente en ( x0 , y0 , z0 ) a la superficie x +
y+
z = a . Luego demuestre que la suma de las intersecciones de este plano con
el eje coordenadas es a 2 . ⎛ 1 1 1 ⎞ Si F ( x, y, z ) = x + y + z , entonces ΔF ( x, y, z ) = 0.5 ⎜ , , ⎜ x y z ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎛
⎞
Por tanto, el plano tangente a la superficie y la recta normal a la misma son respectivamente: −2 ( X − 1) + Z = 0 ⇒ X − 1 = −2λ ⇒ Y = 0 ⇒ Z = λ 27. x 2 + 2 xy − y 2 + z 2 = 7, P0 (1, −1, 3) 2 2 2 x + 2 xy − y + z = 7, P0 (1, −1, 3) .
Es
superficie
de
nivel
de
la
función
h ( x, y, z ) = x 2 + 2 xy − y 2 + z 2 D1 f ( x, y, z ) = 2 x + 2 y ⇒ D2 f ( x, y, z ) = 2 x − 2 y ⇒ D3 f ( x, y, z) = 2 z
4, 6) ∇h (1, −1, 3) = ( 0, 4,
Por tanto, el plano tangente a la superficie y la recta normal a la misma son
3⎞ ⎛ ⎛ 9 −12 ⎞ , , −1⎟ es perpendicular a la gráfica de f en ⎜ 3, −4, ⎟ ; el plano tangente vector ⎜ 5⎠ 125 125 125 ⎝ 125 ⎠ ⎝ y la recta normal son respectivamente: 9 125
( X − 3) −
30. z = La
⎛ ⎝
12
3⎞
9
12
3
λ ⇒Y +4 = − λ ⇒ Z − = −λ ( Y + 4) − ⎜ Z − ⎟ = 0 ⇒ X − 3 = 125 5 125 125 5
⎠
( x + y ) , (1,2,3) ( xy − 1)
superficie
D1 f ( x, y ) = −
es
y + 1 2
(
1)
2
la
gráfica
⇒ D2 f ( x, y ) = −
de x +1 2
(
1)
2
la
función
f ( x, y ) =
x + y xy − 1
:
. Entonces ∇ f (1, 2) = ( 5, 2) y el vector
33. Hallar los puntos de la superficie xy + yz + zx − x − z 2 = 0 en los que el plano tangente es paralelo al XY . La
superficie
es
superficie
de
nivel
de
la
función
2 f ( x, y, z ) = xy + yz + zx − x − z = x ( y + z −1) + z ( y − z) . Para que dos planos sean
paralelos debe ocurrir que los respectivos vectores normales sean paralelos. Como
∇ f ( x, y, z ) es normal al plano tangente, y ( 0,0,1) es normal al plano XY , lo dicho antes es
equivalente
a
que
D1 f ( x, y, z ) = D2 f ( x, y, z ) = 0 ;
D1 f ( x, y, z ) = y + z − 1 ⇒ D2 f ( x, y, z ) = x + z . Por tanto, los puntos ( x, y, z ) buscados son
aquellos que verifican y + z − 1 = 0 ⇒ x + z = 0 ⇒ x ( y + z −1) + z ( y − z ) = 0 . Estos puntos coinciden
la
35. Hallar las rectas tangentes a las curvas siguientes en los puntos dados: Como ya sabemos, ∇ f ( x0 , y0 ) es un vector normal a la curva de nivel f ( x, y ) = f ( x0 , y0 ) , por tanto, la ecuación de la recta tangente es D1 f ( x0 ) ( X − x0 ) + D2 f ( x0 , y0 ) ( Y − y0 ) . a) x 2 + y 2 = 4, P0 2 2 x + y = 4, P0
(
(
2, 2
)
)
2 , 2 ; D1 f ( x, y ) = 2 x ⇒ D2 f ( x, y ) = 2 y .
(
)
Recta: 4 ( x − 2) + 2 2 y − 2 = 0 2
2
(
)
(
2
(
2
D1 f ( x, y, z ) = x x + y + z 2
D3 f ( x, y, z ) = z x + y + z 2
Por tanto, V ( x, y, z ) = −
2
2
)
−
)
3 2
−
=
3 2
=
x r3
⇒ D2 f ( x , y , z ) = y ( x + y + z 2
)
−
3 2
=
y r 3
r 3
x + y + z 2
2
z
GMm 2
2
2
. El hecho de que F = −∇V sea ortogonal a las
superficies de nivel de V es una propiedad fundamental del vector gradiente 37. Determine todos los puntos ( x, y ) en los que el plano tangente a la gráfica de 2 2 z = x − 6 x + 2 y − 10 y + 2 xy sea horizontal.
a) El punto ( 2,1,9 ) proyectos para ( 2,1,0 ) en el plano xy . La ecuación de un plano que contiene a este punto y paralelo al eje x viene dado ¡por error! No Se pueden Crear Objetos modificando Códigos de campo. El plano tangente a la superficie en el punto
( 2,1,9) está dada por z = f ( 2,1) + Δf ( 2,1) ( x − 2, y − 1) = 9 + (12,10) ( x − 2, y − 1) = 12x + 10 1 0 y − 25
La línea de intersección de los dos planos es la recta tangente a la superficie, pasando por el punto ( 2,1,9 ) , cuya proyección en el xy plano es paralelo al eje de abscisas. Esta línea de intersección es paralelo al del producto vectorial de los vectores normales de los 12,10,, −1) y ( 0,1,0 ) del plano tangente y el plano aviones. Los vectores normales (12,10
Por lo tanto, las ecuaciones paramétricas para la deseada tangente es x = 2 − t ; y = 1 − t ; z = 9 − 22t
40. Determine ecuaciones paramétricas para la recta tangente a la superficie z = x 2 y 3 en el punto ( 3,2,72 ) cuya proyección sobre el plano xy es: a) paralela al eje x b) paralela al eje y c) paralela a la recta x = − y El punto ( 3,2,72) en la superficie es el punto de ( 3,2,0) cuando se proyecta en el plano xy . La ecuación de un plano que contiene a este punto y paralelo al eje x viene dada por y = 2 . El plano tangente a la superficie en el punto
f ( 3 2 ) + Δf ( 3 2 ) (
3
2)
72 + ( 48 48 108 ) (
3
2)
( 3,2,72) está dada por 48 + 10 108
288
41. Determine la ecuación del plano tangente a z = − 10 xy en (1, −1) . Recuerde:
d x dx
=
x x
para x ≠ 0 .
⎛ ⎛ 1 xy ∇ f ( x, y ) ⎜ −10 ⎜ ⎜ 2 xy xy ⎜ ⎝ ⎝
⎞ ⎛ 1 xy ⎞ ⎞ −5xy y ⎟ , −10 ⎜ x ⎟= y, x) ⎟ ⎜ 2 xy xy ⎟⎟ ⎟ xy 3/ 2 ( ⎠ ⎝ ⎠⎠
a a⎤ ⎡ tenga en cuenta que = ⎢⎣ a a ⎥⎦ ∇ f (1, −1) = ( −5, 5 )
Plano tangente z = f (1, −1) + ∇f (1, −1) ( x − 1, y + 1) = − 10 + (− 5, 5 ) ( x − 1, y + 1) = − 10 + (− 5x + 5 + 5y + 5 ) z = −5 x + 5 y