Vectores en R2 y R3
Anteriormente vimos que un vector es un objeto matemático con dirección y magnitud. La palabra ³vectores´ se refiere refiere a los elementos elementos de cualquier Rn. En R1 = R el vector es un punto, que llamamos llamamos escalar. En R2 el vector es de la forma (x1, x2) y en R3 el vector es de la forma (x 1, x2, x3). En R2: vectores en R2,
1. la suma de dos vectores se define por: sean a y entonces a + b = (a1, a2) + (b 1, b2) = (a 1 + b1, a2 + b2).
b
2. el producto escalar se define define por: sea R y entonces a = (a1, a2) = ( a1, a2).
un vector en R2 ,
a
Veamos el significado geométrico de la suma de vectores y el producto escalar en R2.
(a1 + b1, a2 + b2) a
b
Observa que si a = (a1, a2) y b = (b1, b2), entonces la suma de los vectores a + b = (a1, a2) + (b 1, b2) = (a1 + b 1, a 2 + b 2). El cual se obtiene trasladando la representación de los vectores a y b. De manera, que se puede obtener obtener a + b dibujando un paralelogramo. paralelogramo. A esta regla de suma se le llama la regla del paralelogramo.
a
a
Para el producto escalar a, se puede observa que si > 0 se alarga o se acorta el vector a por un factor . Si < 0 se invierte la dirección del vector a. En R3: 1. la suma de vectores se define por: sean a, b R3, entonces a + b = (a 1, a2, a3) + (b1, b2, b3) = (a 1 + b1, a2 + b2, a3 + b3). 2. el producto escalar se define por: sea R y entonces a = (a1, a2, a3) = ( a 1, a2, a3).
a
un vector en R3 ,
Sean a y b vectores en Rn, tal que a = (a1, a2, a3, «, an) y b = (b 1, b 2, b 3, «, bn). El producto interno de a y b representado por a · b ó
, es el escalar que se obtiene multiplicando los componentes correspondientes de los vectores y sumando luego los productos resultantes, esto es: a · b = = (a 1 · b1 + a2 · b2 + a3 · b3 + « + an · bn). Definición:
Los vectores a y b se llaman ortogonales si su producto interno es igual a cero. Ejemplo
1. 2. 3. 4.
(para discusión): Halla el producto interno de:
a = (1, 1) y b = (1, -1) en R2 a = (3, 5) y b = ( 6, 10) en R2 a = (2, -3, 6) y b = ( 8, 2, -3) en R3 a = (1, -2, -3) y b = (2, -5, 4) en R 3
Sea a = (a1, a2, a3, «, an) un vector en Rn, la norma (magnitud o longitud) del vector , representada de la forma a ó a , se define como la raíz cuadrada no negativa de a · a = . Esto es: Definición:
a
Ejemplos
!
a
!
a a
!
2
a1
2
a2
2
a3
... a n2
(para discusión): Calcula la norma de:
1. a = (2, 2) en R2 2. a = (1, 3, -2) en R3 Notas:
1. El vector cero tiene magnitud cero. Como el punto inicial y el punto terminal coinciden, se dice que el vector no tiene dirección. 2. Como la línea recta es la distancia más corta entre dos puntos, se dice que: a + b a + b. 3. Ejemplo para discusión: Sean a = (1, 5) y b = (3, 1). Compara a + b y a + b. Sean a y b vectores en Rn, donde a = (a1, a2, a3, «, an) y b = (b1, b2, b3, «, bn). La distancia entre a y b representada por d(a, b) está definida por: Definición:
d ( a, b)
Ejemplos
!
(a1
b1
)2
(a 2
b2
)2
(a3
b3
)2
... (an
bn
)2
(para discusión): Halla la distancia de:
1. a = (1, 7) y b = (6, -5) en R2 2. a = (3, -5, 4) y b = (6, 2, -1) en R3 Ejercicios:
1. Halla el producto interno a · b de: a) a = (3, -5, 2) y b = (4, 1, -2) b) a = (1, -8, 0, 5) y b = (3, 6, 4, 0) c) a = (3, -1) y b = (2, 4) 2. Halla el valor de k para que los vectores a = (1, k, -3) y b = (2, -5, 4) sean vectores ortogonales.
3. Halla la norma de los siguientes vectores: a) (2, -7) b) (3, -12, -4) 2. Determina el valor de k tal que a = ¥39 si a = (1, k, -2, 5). 3. Un vector
unitario a es un vector cuya norma (longitud ¨ 1 3 ¸ © , ¹ ©2 2 ¹ º es un vector unitario. si el vector ª
o magnitud) es 1.
Verifica 4. Halla la distancia entre:
a. (1, 5) y (1, 1) en R2 b. (3, 4, 5) y (2, 3, 5) en R3 c. (-2, -1, 2) y (-5, 1, 2) en R3 5. Halla el valor de k tal que d(a, b) = 6 si a = (2, k, 1, -4) y b = (3, -1, 6, -3). 6. Demuestra que a2 = siendo a un vector en Rn. 7. Demuestra que = , donde a y
b son vectores en Rn.
