UNIVERSIDAD DE LOS ANDES LABORATORIO 8: RECIPIENTES DE PARED DELGADA Departamento de Ingeniería Mecánica, Universidad de Los Andes; Bogotá, Colombia
Adriana Catalina Mora Celemín - 201214194 Email:
[email protected] Sergio David Lobo Bolaño - 201218661 Email:
[email protected]
RESUMEN: El objetivo de esta práctica experimental es medir las deformaciones y estimar los esfuerzos que se producen en un recipiente de pared delgada sometido a una presión interna. En la práctica, cada vez que se aumenta la presión se miden las deformaciones generadas y con el modelo teórico se calculan los esfuerzos generados. Además se estima la presión máxima que puede soportar el recipiente. Finalmente para comprobar el funcionamiento del modelo teórico se calcula el módulo de elasticidad del material y se compara con el teórico.
PALABRAS CLAVE: Deformación, dirección anular, dirección axial, esfuerzo, Pared delgada, presión, recipiente cilíndrico.
ABSTRACT: The aim of this experimental practice is to measure the deformations and to estimate the efforts that take place in a container of thin wall submitted to an internal pressure. In the practice, whenever the pressure increases the generated deformations measure up and with the theoretical model the generated efforts are calculated. Besides there is estimated the maximum pressure that can support the container. Finally to verify the functioning of the theoretical model there is calculated the module of elasticity of the material and is compared by the theoretical one.
2.
DEDUCCIÓN ANALITICA PARA EL MODELO DEL ESFUERZO TANGENCIAL DE UN CILINDRO.
Cuando se habla de un recipiente de pared delgada, se refiere refiere a un recipiente con una relación de radio interior a espesor de pared de 10 o más (r/t > 10). Específicamente Específicamente cuando r/t = 10 los resultados de un análisis de pared pared delgada conducen a un esfuerzo que es casi casi 4% menor que el esfuerzo máximo real en el recipiente. Cuando la pared del recipiente es delgada, la distribución del esfuerzo a través de su espesor t no variará de manera significativa y por tanto se supondrá que es uniforme o constante. Por otro lado, se entiende que la presión dentro del reciente es la presión manométrica, debido a que mide la presión por encima de la presión atmosférica. atmosférica. Debido a la uniformidad de esta carga, un elemento del recipiente suficientemente alejado del extremo y orientado como se muestra en la figura 1, está sometido a los esfuerzos normales en la dirección anular o circunferencial y en la dirección longitudinal o axial. Estas dos componentes de esfuerzo ejercen tensión sobre el material.
KEYWORDS: Deformation, annular direction, axial direction, effort, thin wall, pressure, cylindrical cylindrical container.
1.
INTRODUCCIÓN:
Los recipientes cilíndricos o esféricos son de uso común en la industria como calderas o tanques. Esta clase de recipientes soportan en la mayoría de los casos presiones. Es por esto que se necesita un diseño apropiado en cuanto a la selección de material y el estudio de esfuerzos generados para que el material no falle cuando este se encuentre en servicio. En esta práctica experimental, estudiaremos una lata cilíndrica que se considera de pared delgada que se somete a varias presiones. Partiendo de este hecho y mediante cálculos y análisis teóricos se hallan los esfuerzos esfuerzos en la dirección anular o circunferencial y en la dirección longitudinal o axial.
Gráfica 1. Esfuerzos tangenciales y longitudinales sobre la superficie del recipiente
Para hallar el esfuerzo anular, se considera que el recipiente es seccionado. En la figura 2 se muestra un diagrama de cuerpo libre del segmento posterior junto con el gas o fluido que contiene.
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Donde
es el esfuerzo de fluencia del material en este caso
aluminio 2014-T6 [1] (60Ksi), n es el factor de seguridad que se tomó como 1 ya que indica que el punto de falla es igual al esfuerzo de fluencia. Puede verse en la Figura 1que sobre la superficie del recipiente se tiene un estado de esfuerzos principales ya que es 0
( ) ( )
por lo cual
y
. Remplazando
ecuación de Von Mises se tiene
y
en la
Resolviendo para p:
D= diámetro interno. Gráfica 2.
Sección del recipiente de pared delgada. [1]
En esta figura se muestran sólo las cargas en la dirección x. Estas cargas se desarrollan por el esfuerzo circunferencial uniforme que actúa a través de la pared del recipiente y la presión que actúa sobre la cara vertical del gas o fluido seccionado. Para el equilibrio en la dirección x se requiere:
Calculo de la incertidumbre asociada a la presión:
∑ [] ]
Para obtener el esfuerzo longitudinal se tiene que el radio medio es aproximadamente igual al radio interior del recipiente, el equilibrio en la dirección requiere:
∑
= esfuerzo normal en las direcciones circunferenciales y longitudinal, respectivamente. respectivamente. Se supone que son constantes a través través de la pared del cilindro y que so meten el material a tensión. [1] = presión manométrica interna desarrollada por el gas o fluido contenido. = radio interior del cilindro. = espesor de la pared.
3.
PRESENTACIÓN DE RESULTADOS: 3.1 PRESIÓN MÁXIMA
Promedio Error Aleatorio
5,271 Promedio
0,014 DesVest
0,003 Error Aleatorio
0,0125
0,0030
Para calcular la incertidumbre de la deformación se tuvo en cuenta que la resolución de la galga (de acuerdo a los datos obtenidos) es de 0.000001, además se calculó la desviación estándar de los datos para cada deformación y se encontró el error aleatorio usando la fórmula
0,0007
√
Donde es la desviación estándar de los datos. De esta manera, la incertidumbre de cada deformación viene dada por
Los datos de deformación se presentan a continuación Deforma Deformació ción n (in/in) (in/in) DesVest DesVest Error Error Alea. Erro Errorr Sesgo Sesgo Error Error total total (in/in) (in/in) 0, 00 000478 3, 36 36E- 06 06 4, 19 19E- 08 08 0, 00 000001 1, 0E 0E- 06 06 0, 00 000644 2, 57 57E- 06 06 3, 09 09E- 08 08 0, 00 000001 1, 0E 0E- 06 06 0, 00 000811 1, 89 89E- 06 06 2, 28 28E- 08 08 0, 00 000001 1, 0E 0E- 06 06 0, 00 001013 3, 55 55E- 06 06 4, 27 27E- 08 08 0, 00 000001 1, 0E 0E- 06 06 0, 00 001388 1, 84 84E- 06 06 2, 22 22E- 08 08 0, 00 000001 1, 0E 0E- 06 06
Tabla 2.
A continuación se presentan las dimensiones de la lata, puede verse que efectivamente si se trata de un recipiente de pared delgada.
DesVest
3.2 DATOS ADQUIRIDOS
Datos de deformación.
De la misma manera se calculó la incertidumbre de los esfuerzos, esta proviene de la incertidumbre de la presión, del diámetro y del espesor de la lata. La expresión para calcular la incertidumbre del esfuerzo es
Este error es función de la presión por lo cual es diferente para cada esfuerzo. En la Tabla 3 puede encontrarse el valor del esfuerzo
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La presión se midió en bares ya que se usó la escala secundaria de la válvula. La incertidumbre incertidumbre usada fue de 0,1 bares. Teniendo todo completado, la Tabla 4 muestra el resumen de las tablas 3 y 2, es decir, los esfuerzos con sus deformaciones correspondientes y las incertidumbres de ambos Esfuerzo (Ksi)
Incertidumbre (Ksi) Deformación Deformación (in/in) Incertidumbre (in/in)
2,55
0,02
0,000478
0,000001
3,82
0,03
0,000644
0,000001
5,10
0,03
0,000811
0,000001
6,37
0,04
0,001013
0,000001
9,56
0,08
0,001388
0,000001
Tabla 4. Esfuerzos y deformaciones sobre la superficie externa del recipiente.
Para observar mejor el comportamiento de los datos en la Tabla 5 es mejor graficarlos y obtener la información necesaria. En la Gráfica 3 puede verse dicho comportamiento. comportamiento. 10 9 ) i s K ( o z r e u f s E
8 7 6 5 4
y = 7.618,521x - 1,125 R² = 0,998
3 2 0,0004
0,0006
0,0008
0,0010
0,0012
0,0014
Deformación(in/in) Gráfica 3.
Regresión lineal de los datos de la Tabla 5.
De acuerdo a la Ley de Hooke, la pendiente de la gráfica anterior es el módulo de elasticidad del material, en este caso, aluminio. El módulo del aluminio encontrado entonces es E = 7.6x103Ksi.
4.
DIFERENCIA PORCENTUAL
El módulo de elasticidad del aluminio encontrado en la literatura es 10.0x103Ksi [1]. El error porcentual entre el módulo encontrado en este laboratorio y el encontrado en la literatura es 24%.
5.
DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZO
De acuerdo a lo demostrado al comienzo de este informe, el esfuerzo es una función lineal del radio (así como de la presión). Explícitamente puede verse que si la presión se mantiene contante, entonces el esfuerzo está dado por
Donde P/r es una constante. Se esp era entonces que la distribución de esfuerzos sea lineal. La gráfica se muestra a continuación. 10 9
y = 0.3626x P = 43.51Psi
8 ) i s 7 K ( o z 6 r e u
y = 0.2417x P = 29.01Psi
y = 0.1934x P = 23.21Psi
Puede observarse que la pendiente de cada recta es exactamente la presión a la cual está dicha distribución de esfuerzos dividida por el espesor de la lata. La d iferencia entre el inicio y el final de la recta es demasiado pequeña, es por eso que parecen líneas horizontales. Específicamente, dicha diferencia se puede calcular de manera porcentual, en la siguiente siguiente tabla se presenta. Esfuerzo Esfuerzo in (ksi) (ksi) Esfuerzo Esfuerzo out out (ksi) (ksi) Diferencia Diferencia (%) 0, 002537 0, 002548 0, 45532 0, 003805 0, 003822 0, 45532 0, 005073 0, 005096 0, 45532 0, 006342 0, 006371 0, 45532 0, 009512 0, 009556 0, 45532 Tabla 5. Diferencia porcentual entre los esfuerzos sobre la superficie exterior e interior del recipiente.
6.
CONCLUSIONES:
La relación entre el radio de la lata y su espesor es 220, claramente mayor a 10. Por esta razón la lata pudo ser tratada como recipiente de pared delgada. Se observa que aunque el esfuerzo más importante a la hora de analizar este tipo de recipientes es el 1 o esfuerzo tangencial, a la hora de calcular la presión máxima con la teoría de la energía máxima de distorsión se usaron ambos esfuerzos. esfuerzos. El esfuerzo 1 es el doble que el 2 por lo cual la lata se romperá preferiblemente en la dirección tangencial. Los datos de esfuerzo-deformación se ajustan muy bien sobre una línea recta, de esto se calculó que el módulo de elasticidad del aluminio usado en las lastas es 7.6x10 3ksi. Además, tomando un esfuerzo de fluencia de 60 ksi, se encontró que la presión necesaria para que la lata falle (se deforme plásticamente) es de 0.55 ± 0.05 ksi. Con respecto presión utilizada en este laboratorio, sería necesario aplicar casi 13 veces la presión máxima para qu e la lata falle. Por esta razón, el rango de presiones es aceptable. El esfuerzo sobre la superficie interna y externa es prácticamente igual debido al espesor tan pequeño. La diferencia porcentual de estos valores es la misma para todas las presiones. De hecho, este valor puede calcularse teóricamente y es igual a 0,4553.
7.
, esto es
REFERENCIAS
[1] R. Hibbeler, Mecánica Mecánica de Materiales, Materiales, Mexico: Pearson Educación, Educación, 2006.
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8.
ANEXOS
A continuación se muestra la gráfica de datos de deformación contra tiempo y los datos tomados para la correcta medición del diámetro y el espesor de la lata.
0,0020 0,0015 0,0010 n ó i 0,0005 c a 0,0000 m r o f e -0,0005 D
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
-0,0010 -0,0015 -0,0020
t( cm)
D[ cm] 0,008 0,010 0,010 0,018 0,014 0,014 0,018 0,014 0,014 0,010 0,010 0,014 0,010 0,010 0,010 0,014 0,014 0,012
5,254 5,252 5,248 5,256 5,286 5,270 5,274 5,276 5,286 5,286 5,286 5,276 5,280 5,288 5,260 5,250 5,276 5,266
