Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería Mecánica
Experiencia2: Orificio en Pared Delgada Nombre: Oscar Santiago Silva José Padilla Lobos Carrera: Ingeniería Civil en Minas (Diurno) Asignatura: Mecánica de Fluidos Profesor: Iván Gallardo Aravena Fecha de Realización: Fecha de Entrega:
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Índice Índice Temático Resumen........................................................................................................... 3 Objetivos........................................................................................................... 3 Instrumentos a utilizar................................................................................... 3 Descripción del Método Experimental.........................................................6 Presentación de Resultados..........................................................................7 Análisis de Resultados y Conclusiones......................................................16 Apéndice......................................................................................................... 18 Teoría Experimental....................................................................................... 18 Desarrollo de Resultados............................................................................... 21 Bibliografía..................................................................................................... 24
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Índice de Ilustraciones Ilustración 1: Cronómetro Digital........................................................................3 Ilustración 2: Termómetro de Resistencia............................................................4 Ilustración 3: Probeta.......................................................................................... 4 Ilustración 4: Pié de Metro................................................................................... 4 Ilustración 5: Papel Milimetrado alineado con salida de chorro...........................5 Ilustración 6: Estanque....................................................................................... 5 Ilustración 7: Medición de Altura.........................................................................6 Ilustración 8: Toma de tiempo y distancia horizontal..........................................6 Ilustración 9: Gráfica de Coeficientes respecto a la Altura de Carga, basados con Área Real Ao............................................................................................... 11 Ilustración 10: Gráfica de Coeficientes respecto al Caudal de Flujo de Agua, basados con Área Real Ao................................................................................. 11 Ilustración 11: Gráfica de Coeficientes respecto a la Altura de Carga, basados con Área Real Ao' [Experimental con pie de metro]..........................................12 Ilustración 12: Gráfica de Coeficientes respecto al Caudal de Flujo de Agua, basados con Área Real Ao' [Experimental con pie de metro]............................13 Ilustración 13: Gráfica Velocidad Real Vo respecto a la Altura de Carga h........14 Ilustración 14: Gráfica Velocidad Real Vo respecto a la Distancia x recorrida.. .14 Ilustración 15: Vena Contracta..........................................................................17 Ilustración 16: Diseño Experimental.................................................................18 Ilustración 17: Gráfico Diámetro Chorro respecto a la Altura de Carga de flujo. .......................................................................................................................... 20
Índice de Tablas Tabla 1: Constantes Experimentales...................................................................8 Tabla 2: Toma de datos INCOMPLETA..................................................................8 Tabla 3: Toma de datos COMPLETA......................................................................9 Tabla 4: Resultados de variables del experimento..............................................9 Tabla 5: Coeficientes de Velocidad, Contracción y Descarga.............................10 Tabla 6: Valores promedios de Coeficientes de Velocidad, Contracción y Descarga........................................................................................................... 10 Tabla 7: Viscosidad Cinemática (Anexo)............................................................22 Tabla 8: Ejemplo Dato N°3................................................................................ 22
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Resumen En el presente trabajo se realiza un análisis a cabalidad de la salida de un flujo de agua por un orificio de pared delgada, aplicando el Principio de Bernoulli y Continuidad. Se calculan diversas variables del experimento mediante distintas metodologías, tales como el Caudal, Velocidad de Salida, tiempo de vaciado, etc. y se interpretan los distintos Coeficientes de Velocidad, Contracción y Descarga (propios de un orificio de un depósito) de acuerdo a sus valores y gráficas que se comparan con las diversas variables.
Objetivos Estudiar las características de la salida de un flujo por un orificio de pared delgada y específicamente: -
Determinar los coeficientes de velocidad, contracción y descarga que hace que el valor teórico varíe del real, además el Número de Reynolds.
-
Analizar y graficar dichos coeficientes en función del caudal y la altura de carga.
-
El tiempo de vaciado del estanque.
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Instrumentos a utilizar -
Cronómetro: reloj de alta precisión, en este caso, digital.
Ilustración 1: Cronómetro Digital
-
Termómetro: en este caso, de resistencia, que mide la temperatura de acuerdo a los cambios en la resistencia eléctrica presente en él.
Ilustración 2: Termómetro de Resistencia
-
Probeta: recipiente graduado que mide el volumen de líquidos con un diámetro de 3 cm.
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Ilustración 3: Probeta
-
Pie de Metro: instrumento para medir longitudes más pequeñas de lo normal a escalas milimétricas.
Ilustración 4: Pie de Metro
-
Papel milimetrado: papel graduado de la misma manera que una regla indicando de manera fuerte centímetros y milímetros.
Ilustración 5: Papel Milimetrado alineado con salida de chorro
-
Estanque con orificio de pared delgada: estanque con indicador de altura de llenado y reguladores que permiten controlar la velocidad de vaciado. Además, posee un orificio y este es de pared delgada.
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Ilustración 6: Estanque
Descripción del Método Experimental -
En una primera parte, una vez llenado el estanque hasta los 60 cm de altura indicados por el medidor, se da la llave de salida y luego se controla mediante los reguladores (Mangueras de la Ilustración 6), para lograr una observación buena del chorro que sale por el orificio. Una vez hecho esto se efectúa el siguiente procedimiento cada 5 cm de altura en lo posible: 1) Se mide la distancia horizontal que recorre el chorro con la ayuda del papel milimetrado. 2) A su vez, con la ayuda del cronómetro y la probeta se mide el caudal del chorro con la organización y planificación de 2 compañeros. 3) Se mide humanamente con el pie de metro el diámetro de la vena contracta. Esto permitirá el cálculo de los distintos coeficientes tanto de descarga, contracción y velocidad.
-
En una segunda parte, se mide el tiempo de vaciado total del estanque respecto a una altura específica de llenado. A su vez, esto permitirá medir el tiempo real de vaciado del estanque comparándose con el tiempo experimental medido con un cronómetro.
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Ilustración 7: Medición de Altura
-
Luego, de una forma anexa, se mide: o Altura del chorro (que siempre es la misma) o Temperatura del agua que permite conocer cinemática de esta o Diámetro del Orificio o Diámetro del estanque
la
viscosidad
Presentación de Resultados Midiendo las variables que permanecen constantes en la experiencia se tiene que: Constantes Experimentales Gravedad g (m/s^2) Temperatura T (°C)
9,81
13
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Diametro Orificio Do (m) Area Teórica Orificio A (m^2)
0,0132
0,000137
Altura Chorro Yo (m) Diametro Estanque Dest (m) Area Superficie Libre Estanque Aest (m^2)
0,23 0,3 0,070686
Tabla 1: Constantes Experimentales.
Luego, al repetir la primera parte de la experiencia 13 veces, se tomaron los siguientes datos:
Exp
Altura h Volumen (cm) (cm^3)
Volumen (m^3)
Distancia Horizontal Chorro x (m) 0,590 0,570 0,540 0,520 0,490 0,460 0,420 0,380 0,350 0,300 0,230 0,150
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0,60 0,55 0,50 0,44 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05
1540 1600 1420 1520 1620 1740 1440 1580 1520 1600 1540 1560
0,00154 0,00160 0,00142 0,00152 0,00162 0,00174 0,00144 0,00158 0,00152 0,00160 0,00154 0,00156
13
0,0
1300
0,001300
Tiempo t (seg)
4,9960 5,2970 4,6130 5,3710 5,7570 7,0350 6,1150 7,6910 7,8850 9,3290 10,9410 16,5650 23,87600 7,0000E-02 0
Diametro Experimenta l [Pie de Metro] Chorro DEch (m) 0,01240 0,01230 0,01220 0,01208 0,01200 0,01190 0,01180 0,01170 0,01160 0,01150 0,01140 0,01130 0,011240
Tabla 2: Toma de datos completa
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Tabla 3: Toma de datos COMPLETA.
Así, efectuando los cálculos correspondientes se llegan a los siguientes resultados:
Exp
Velocidad Teórica V (m/s)
Velocidad Real Vo (m/s)
1
3,431035
2,724630
2
3,284966
2,632270
3
3,132092
2,493730
4
2,938163
2,401369
5
2,801428
2,262829
6
2,620496
2,124288
7
2,426108
1,939567
8
2,214723
1,754847
9
1,980909
1,616306
10
1,715517
1,385405
11
1,400714
1,062144
12
0,990454
0,692703
13
0,626418 391
0,323261 235
Area Real Area Real Vena Empirica Contracta Ao' (m^2) Ao (m^2) 1,1313336E 0,000308 0,000121 -04 1,1475182E 0,000302 0,000119 -04 1,2343989E 0,000308 0,000117 -04 1,1784998E 0,000283 0,000115 -04 1,2435611E 0,000281 0,000113 -04 1,1643183E 0,000247 0,000111 -04 1,2141187E 0,000235 0,000109 -04 1,1706716E 0,000205 0,000108 -04 1,1926644E 0,000193 0,000106 -04 1,2379641E 0,000172 0,000104 -04 1,3251965E 0,000141 0,000102 -04 1,3595222E 0,000094 0,000100 -04 0,00016843 9,92253E5,4448E-05 3 05 Caudal Real Qo (m^3/s)
Numero de Reynolds Re 29567 28565 27061 26059 24556 23052 21048 19043 17540 15034 11526 7517 3508
Tabla 4: Resultados de variables del experimento.
Exp
1 2
Coeficiente Coeficiente Coeficient Coeficient de de Coeficiente e de e de Contracción Descarga de Descarga Velocidad Contracci Experiment Experiment Cq Cv ón Ca al [Pie de al [Pie de Metro] Ca' Metro] Cq' 1,259266 0,826710 0,882461 1,041047 1,111253 1,247959 0,838536 0,868285 1,046459 1,083584
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3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1,255987 1,223536 1,238020 1,233588 1,250850 1,262061 1,225578 1,238278 1,318761 1,429841 1,937808 567
13
0,902023 0,854224 1,132930 0,861176 0,837502 1,053680 0,908719 0,826446 1,125012 0,850813 0,812730 1,049552 0,887204 0,799128 1,109759 0,855455 0,785640 1,079637 0,871526 0,772268 1,068123 0,904629 0,759011 1,120182 0,968373 0,745868 1,277052 0,993456 0,732840 1,420484 1,230808 0,72507805 2,38507083 284 3 6
1,072894 1,024715 1,023157 1,002573 0,999589 0,991526 0,946475 0,939866 0,983621 1,047844 1,4050624 63
Tabla 5: Coeficientes de Velocidad, Contracción y Descarga.
Nota: El cálculo de la vena contracta se hizo a partir del método algebraico Qo = Ao x Vo y a partir de una medida empírica; el diámetro medido con un pie de metro. Esto conlleva a la siguiente tabla a analizar 2 tipos de valores para los coeficientes de contracción y por ende de descarga. Coeficiente de Velocidad Promedio Cv
1,265311
Coeficiente de Contracción Promedio Ca
0,889052
Coeficiente de Contracción Promedio Ca'
0,806367
Coeficiente de Descarga Promedio Cq Coeficiente de Descarga Promedio Cq'
1,126993
1,018925
Tabla 6: Valores promedios de Coeficientes de Velocidad, Contracción y Descarga.
Por otra parte, se presenta el tiempo experimental de vaciado del estanque medido con el cronómetro y la altura de vaciado en la segunda parte de la experiencia:
'
t obs=4 17 371
''
∆ h=0,58(m)
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Así, los tiempos reales de vaciado obtenidos tanto para el método algebraico como calculando el área a partir del diámetro medido con pie de metro corresponde a:
min ¿=2 46 ' 6 ' ' t real Ao=166,1010 ( s )=2,7684 ¿
t real Ao ' =183,1329 ( s )=3,0522 ( min )=3 3' 8 ' '
A continuación se presentan gráficas que comparan los valores de los distintos coeficientes respecto a la altura de carga h y al caudal de flujo de agua:
Coéficientes / Altura
Cv Cq Ca
Ilustración 8: Gráfica de Coeficientes respecto a la Altura de Carga, basados con Área Real Ao.
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Coeficientes / Caudal
Cv Cq Ca
Ilustración 9: Gráfica de Coeficientes respecto al Caudal de Flujo de Agua, basados con Área Real Ao.
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Coeficientes / Altura (Exp)
Cv' Ca' Cq'
Ilustración 10: Gráfica de Coeficientes respecto a la Altura de Carga, basados con Área Real Ao' [Experimental con pie de metro].
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Coeficientes / Caudal (Exp)
Cv' Ca' Cq'
Ilustración 11: Gráfica de Coeficientes respecto al Caudal de Flujo de Agua, basados con Área Real Ao' [Experimental con pie de metro].
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Finalmente, se presentan comparaciones de la Velocidad Real Vo del chorro respecto a la Altura de Carga h y la Distancia x que recorre dicho chorro.
Velocidad Real Vo / Altura h f(x) = - 5.41x^2 + 7.14x + 0.33 R² = 0.99
Polynomial ()
Ilustración 12: Gráfica Velocidad Real Vo respecto a la Altura de Carga h.
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Velocidad Real Vo / Distancia x f(x) = 4.62x + 0 R² = 1
Linear ()
Ilustración 13: Gráfica Velocidad Real Vo respecto a la Distancia x recorrida.
Análisis de Resultados y Conclusiones En primer lugar, se puede ver directamente a partir de los resultados en esta experiencia que se cumple una relación directamente proporcional entre el Caudal y la Velocidad Real del chorro correspondiente a la Vena Contracta. A su vez, a medida que la Vena Contracta se hace más grande, la Velocidad Real del chorro disminuye, es casi empírico, pero se comprueba numéricamente. De acuerdo a los cálculos correspondientes efectuados para determinar los distintos coeficientes de velocidad, contracción y descarga, la Tabla N°6 que describe los valores promedios de dichos coeficientes en relación a todas las repeticiones en que se hizo la toma de datos, evidencian varías conclusiones: -
La primera de ellas, es que el Coeficiente de Velocidad arroja un muy buen valor, es decir, las aproximaciones están bien hechas y estos ocurre debido a que el método de la trayectoria es bastante preciso para determinar la Velocidad Real y más aún, el Principio de Bernoulli en el experimento es casi 100% compatible con las propiedades del agua, ya que lo hace comportarse como un fluido ideal; de esta manera, la expresión para calcular la Velocidad Teórica a partir de las distintas alturas de carga es positivamente exacta.
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-
En segundo lugar, existe una divergencia de acuerdo a los valores arrojados por el Coeficiente de Contracción. Se evidencia matemáticamente que al medir el diámetro del chorro con el pie de metro, calcular el Área Real del chorro Ao hace mucho más exacto y cercanos a 1 los valores del Coeficiente de Contracción, comparándose notablemente calcular el Área Real del Chorro a partir de la ecuación de caudal que radica fundamentalmente en la toma de medida del volumen arrojado en la probeta junto con el registro del tiempo en que demora alojarla (Este procedimiento tiene mucho error) por lo que el Coeficiente de Contracción está mucho más alejado de la unidad.
En relación al análisis gráfico se interpreta que: -
Las curvas obtenidas de Coeficiente de Velocidad y Contracción sean cual sean las variables a comparar o el caso, siempre mantienen un paralelismo, es decir, los datos del experimento con precisos, pero no tan exactos. No obstante, la curva del Coeficiente de Descarga está por sobre las otras 2 debido a que es una ponderación de ambas funciones.
-
Dentro de todas las curvas, en general, en relación a los datos centrales se ve un notable comportamiento lineal. Esto concluye que los distintos Coeficientes son directamente proporcionales a la Altura de Carga y al Caudal de Flujo de Agua.
-
Complementando lo anterior, si el Coeficiente crece demasiado, por ende la velocidad de salida también lo hace, y esto concuerda con que todos los flujos que salen por el orificio son turbulentos con Números de Reynolds superiores a 10.000.
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Apéndice Teoría Experimental Un orificio es una abertura usualmente redonda, por la cual fluye un fluido, que puede utilizarse para medir el caudal de salida de un depósito o a través de una tubería. Puede estar ubicado en la pared o en el fondo. La física de cómo actúa un fluido al pasar por un orificio depende netamente del tipo de fluido y del grosor de la pared de la tubería o estaque, ya que al momento de que un fluido circule por un orificio de pared gruesa, este se comportará como una tubería. Cuando el fluido se escapa del depósito o estanque por el orificio, mantiene una componente de velocidad radial que reduce el área del chorro. El área de la sección transversal donde la contracción es máxima se conoce como la vena contracta. Así, la sección transversal del orificio siempre será mayor a la vena contracta.
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Ilustración 14: Vena Contracta.
Con esto, se puede cuantificar o diferenciar las velocidades, áreas y descargas (caudal) que existen tanto en la sección transversal del orificio (A teórica) como en la vena contracta (Ao Real). Dicha cuantificación se hace mediante los coeficientes respectivos: -
Cv=
-
Ca=
-
Coeficiente de Velocidad con Vo (Velocidad Real) y V (Velocidad Teórica):
V0 V
Coeficiente de Contracción con Ao (Área de la Vena Contracta Real) y V (Área del Orificio Teórica):
A0 A Coeficiente de Descarga:
CQ =Cv ∙ Ca Así, una metodología para calcular la Velocidad Teórica V que pasa por el orificio, es aplicando el principio de Bernoulli. Considerando la Ilustración 14 y el Principio de Bernoulli que enuncia que la energía de un fluido (Cinética, de flujo y potencial) es constante para un fluido newtoniano con caudal constante e incompresible, dentro de una tubería o recipiente y se expresa como sigue:
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∑ Energía del Fluido=cte ECinetica + EFlujo + E Potencial=cte V2 P + + z=cte 2g γ
Ilustración 15: Diseño Experimental.
Entonces, para el caso particular, considerando la superficie libre del estanque (1) y la sección transversal de orificio (2) ubicado a una cierta altura de carga en el recipiente de pared delgada se puede escribir la ecuación como sigue:
V 12 P1 V 2 P + + z1 = 2 + 2 + z 2 2g γ 2g γ Donde
V 1=0
libre) ,
P1=P2 (dado que la presión tanto atmosférica como manométrica es
la
misma).
(por caída libre de cada molécula de fluido en la superficie
z 2=0
por
sistema
de
referencia
y
z 1=h
(por
diseño
experimental). Quedando la ecuación:
V 2=V =√ 2 gh Que corresponde a la Velocidad Teórica en el Orificio. Por otro lado, se puede calcular la Velocidad Real de la Vena Contracta Vo, mediante el método de la trayectoria, considerando que el chorro de agua que
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cae tiene un movimiento parabólico donde la velocidad horizontal con la que avanza es constante y en la vertical se ve influenciada por la gravedad.
x 0=V 0 t
y 0=
gt 2
2
Despejando e igualando el tiempo en cada ecuación se obtiene:
V 0=
√
g x 2 y0 0
Que corresponde a la Velocidad Real en la Vena Contracta. Por último, el Área Teórica A es casi trivial calcularla y el Área Real de la Vena Contracta Ao se puede calcular de 2 maneras diferentes: 1) Despejando la ecuación que define el caudal de un flujo, es decir:
Q 0= A 0 ∙ V 0 Donde el caudal Qo se obtiene a partir de la probeta y el cronómetro, y, la velocidad Vo a partir del método de la trayectoria descrito anteriormente. 2) Midiendo empíricamente y humanamente con un pie de metro, el diámetro de la Vena Contracta DEch, para así calcular el área transversal. Por otro lado, el tiempo de vaciado del estanqe depende directamente del coeficiente de contracción, la gravedad, las alturas de vaciado y las secciones transversales tanto del orificio como la superfcie libre:
Y √ H−√ ¿ 2 ∙ A Estanque t real= ∙¿ C A ∙ AOrificio ∙ √ 2 g Donde Ca puede calcularse mediante los 2 métodos y H corresponde a la altura inicial antes de iniciar el vaciado e Y la altura final.
Desarrollo de Resultados
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Determinación de viscosidad cinemática Habiendo registrado la temperatura igual a 11°C se busca en una tabla anexa de valores cercanos donde:
T (°C)
10 20
Viscocid ad Cinemát ica v (m^2/s) 1,307E06 1,01E06
Tabla 7: Viscosidad Cinemática (Anexo).
Interpolando
v ( T )=
T −T 1 ( v −v ) + v 1 T 2−T 1 2 1
Se obtiene: 2
( )
1 3−10 ( m v ( 13 )= 1,01∙ 10−6−1,307 ∙ 10−6 ) +1,307 ∙10−6=1,2160 ∙10−6 20−10 s
Calculo de Coeficiente de Velocidad, Contracción y Descarga A modo de ejemplo, operando el Dato N° 3 se tiene que:
Exp
3
Volumen Volumen Altura h (m) (cm^3) (m^3) 0,50
1420
0,00142
Distancia Horizontal Chorro x (m)
Tiempo t (seg)
0,540
4,6130
Diametro Experimenta l [Pie de Metro] Chorro DEch (m) 0,01220
Tabla 8: Ejemplo Dato N°3.
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Así, calculando la Velocidad Teórica Vo por Bernouli y la Velocidad Real por el Método de la Trayectoria con Yo = 0,23 (m) se tiene que:
V = √2 ∙ 9,81∙ 0,5=3,132092
V 0=
√
[ ] m s
[ ]
9,81 m ∙ 0,54=2,724630 2∙ 0,23 s
Teniendo en cuenta que el diámetro del orificio es de 13,2 (mm) o 0,0132 (m) se puede calcular el Área Teórica A del orificio:
0,0132 2 A=π ∙ =0,000137 (m2) 2
(
)
Luego, con el volumen que se arrojó en la probeta y el tiempo tomado con el cronómetro se puede calcular el Caudal Real Qo:
Q 0=
[ ]
0,00142 m3 =0,000307 4,6130 0 s
Entonces el Área Real de la Vena Contracta Ao se puede calcular de las 2 maneras descritas: 2
m
0,000307 =1,2349890 ∙ 10−4 ¿ ) (Despeje algebraico) 2,724630
1)
A 0=
2)
A 0=π
(
0,01220 2 =0,000117 (m2) (Pie de metro) 2
)
Luego, se calculan los distintos coeficientes: -
Coeficiente de Velocidad
Cv=
-
2,724630 =0,869907 3,132092
Coeficiente de Contracción (Con Ao por despeje)
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−4
Ca= -
1,2349890∙ 10 =3,94301 ∙10−5 0,000137
Coeficiente de Contracción (Con Ao por pie de metro) '
Ca =
-
0,000137 =1,170942 0,000117
Coeficiente de Descarga (Con Ao por despeje y
Ca )
CQ =1,132930 -
Coeficiente de Descarga (Con Ao por pie de metro y
Ca ' )
'
CQ =1,072894
Calculo de tiempo de vaciado -
Coeficiente de Contracción Promedio Ca = 0,889052 Coeficiente de Contracción Promedio Ca'= 0,806367
-
m H=0,6 (m)Y =0,02¿ )
-
A Orificio =0,000137( m )
-
A Estanque=0,070686
2
(m 2)
Se obtienen los tiempos de vaciados que corresponden a una diferencia de 0,592 (m) :
min ¿ t realAo=
2 ∙0,070686 ∙ ( √ 0,6−√ 0,02 )=161,3305 ( s )=2,6888¿ 0,889052∙ 0,000137 ∙ √2 ∙ 9,81
t real Ao ' =
2∙ 0,070686 ∙ ( √ 0,6−√ 0,02 )=184,5641 ( s )=3,0761 ( min ) 0,806367 ∙ 0,000137 ∙ √ 2 ∙ 9,81
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Bibliografía Victor Streeter, “Mecánica de fluidos”. Claudio Mataix, “Mecánica de fluidos”.
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