UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ACATLÁN
MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS APLICADAS Y COMPUTACIÓN
CÁLCULO IV
PROYECTO FINAL
Prof. Miguel Ágel Moro! Ro"r#gue$ %& M'!o %()&
Aguil'r Mor'le* Li$+e,Ro"r#gue$ C'ro' C'rl' D'iel'
ÍNDICE
Doble Integral
) Defii/i0 "el l#i,e "e u' *u' "e Rie' "e u' fu/i0 "e "o* 1'ri'+le*2222222 % Defii/i0 "e l' i,egr'l "o+le2222222222222222222222222222222222222222222 3 Teore Teore'' E4e5lo ) 6 Teore Teore'' E4e5lo % & Teore Teore'' 7 Teore Teore'' 8 Teore Teore'' 9 Teore Teore'' : Teore Teore'' E4e5lo 3 E4e5lo 6 E4e5lo & E4e5lo 7 E4e5lo 8
Aplicación de la Integral Doble
E4er/i/io ) ) Defii/i0 "e oe,o "e ier/i' re*5e/,o ' u e4e E4er/i/io % % Defii/i0 "e oe,o 5ol'r "e ier/i' E4er/i/io 3
pág. 1
3 Defii/i0 "e r'"io "e giro E4er/i/io 6 6 Teore' E4er/i/io & & Teore' E4er/i/io 7
Bibliografía
pág. 2
Introducción
Coo 5'r,e "e l' for'/i0 "el /ur*o "e C;l/ulo IV< el /oo/iie,o *o+re i,egr'/i0 =l,i5le ! l' '5li/'/i0 "e lo* e4er/i/io* ',e;,i/o* e* "e 1i,'l i5or,'/i' 5'r' "e*'rroll'r -'+ili"'"e* ! "e*,re$'* e l' '5li/'/i0 "e l'* i,egr'le* "o+le*< ,'le* /oo "e,eri'r /e,ro* "e '*'< oe,o* "e ier/i' ! ;re' "e u' *u5erfi/ie. L' fi'li"'" "e ue*,r' i1e*,ig'/i0 e* >ue >uie l' le' /o5re"' lo* /o/e5,o* +;*i/o*< ' +'*e "e "efii/ioe* ! ,eore'* "e l'* i,egr'le* "o+le*? /o e4e5lo*< "e*'rrolle ;* ' fo"o *u* /oo/iie,o* '/er/' "el ,e' ! 5'r' fi'li$'r< '5li/'/ioe* e el ;re' "e l' F#*i/'. E l' 5rier' *e//i0 '+or"'reo* el 'r/o /o/e5,u'l *o+re l' i,egr'l "o+le +'*;"oo* e "efii/ioe* ! ,eore'*? ,'+i@ o*,r'reo* e4e5lo* *e/illo* 5'r' u' '!or /o5re*i0 "el ,e'. E l' *egu"' *e//i0 '5li/'reo* l' "o+le i,egr'l e 5ro+le'* "e F#*i/'< "o"e re'li$'reo* e4er/i/io* 5r;/,i/o* '"'5,'"o* ' "e,eri'r el /e,ro "e '*'< oe,o* "e ier/i' ! ;re' "e u' *u5erfi/ie.
Problema
C0o re*ol1er 5ro+le'* "e F#*i/' e"i',e l' '5li/'/i0 "e i,egr'le* =l,i5le* /o @f'*i* e l' "o+le i,egr'lB
Objetivo
). Co5re"er lo* /o/e5,o* +;*i/o* "e l' i,egr'/i0 =l,i5le< e*5e/i'le,e lo rel'/io'"o ' l' "o+le i,egr'l. %. A5li/'r l' "o+le i,egr'l e 5ro+le'* "e F#*i/'.
pág. 3
Integrale Doble
E el e*,u"io "e l' i,egr'l "o+le "e u' fu/i0 "e "o* 1'ri'+le*< *e 5e"ir; >ue l' fu/i0 @*,e "efii"' e u' regi0 /err'"' "e
R
2
.
2 El ,i5o ;* *i5le "e regi0 /err'"' e R e* l' regi0 re/,'gul'r /err'"'< l'
/u'le* "efiir; ' /o,iu'/i0. Do* 5u,o* "ifere,e* a1 ≤b 1
!
a2 ≤ b2
A ( a 1, a2)
! B (b1 , b2 ) < ,'le* >ue
< "e,eri' u re/,;gulo /u!o* l'"o* *o 5'r'lelo* ' lo* e4e*
/oor"e'"o*. Refi@r'*e ' l' figur' ). Lo* "o* 5u,o*< 4u,o /o lo* 5u,o*
(b1 , a2 )
!
(a1 , b2 ) < *e "eoi' v!rtice "el re/,;gulo. Lo* *ege,o* "e re/,' >ue ue
1@r,i/e* /o*e/u,i1o* *e ll'' lado "el re/,;gulo. El /o4u,o "e ,o"o* lo* 5u,o* i,eriore* "el re/,;gulo re/i+e el o+re "e región rectangular abierta< ! el /o4u,o "e ,o"o* lo* 5u,o* "e u re/,;gulo '+ier,o 4u,o /o lo* 5u,o* "e *u* l'"o* *e "eoi' región rectangular cerrada. Co*i"ere l' regi0 re/,'gul'r /err'"' "e l' figur' )< l' /u'l *e "eo,'r; 5or R, ! *e' f u' fu/i0 "efii"' *o+re R. L' regi0 R *e /o*i"er'r' /oo u' regi0 "e i,egr'/i0. El 5rier 5'*o e el e*,u"io "e l' i,egr'l "o+le e* "efiir u' 5'r,i/i0 ∆ "e R. Al "i+u4'r re/,'* 5'r'lel'* ' lo* e4e* /oor"e'"o* *e o+,iee u' re" "e *u+regioe* re/,'gul're* >ue /u+re ' R. L' or' "e e*,' 5'r,i/i0< "eo,'"' 5or ||∆||, e*,; "e,eri'"' 5or l' logi,u" "e l' "i'go'l ;* gr'"e "e l'* *u+regioe* re/,'gul're* "e l' 5'r,i/i0. Se elige l' logi,u" "e l' "i'go'l "e+i"o ' >ue re5re*e,' l' "i*,'/i' ;* gr'"e e,re "o* 5u,o* /u'le*>uier' "e u' *u+regi0 re/,'gul'r. Nuere l'* *u+regioe* "e 'er' 'r+i,r'ri' ! /o*i"ere >ue *e ,iee e ,o,'l . Deo,e el '/-o "e l' i@*i' *u+regi0 5or Δi x ui"'"e* ! *u logi,u" 5or Δi y ui"'"e*. A-or' +ie< *i Δ i A
ui"'"e* /u'"r;,i/'* e* el ;re' "e l' i@*i' *u+regi0 re/,'gul'r< e,o/e*
Δ i A = Δi x Δi y
Se' ( ui , v i) u 5u,o 'r+i,r'rio "e l' i@*i' *u+regi0 ! *e' fu/i0 e e*e 5u,o. Co*i"ere el 5ro"u/,o
f ( ui , v i) Δi A
f ( ui , v i)
el 1'lor "e l'
. A*o/i'"o /o /'"' u' "e l'*
n *u+regioe* *e ,iee uo "e e*,o* 5ro"u/,o*< ! *u *u' e*
pág. 4
n
f ( u , v ) Δ A ( 1 ) ∑ = i
i
i
i 1
ll''"' uma de "iemann "e u' fu/i0 "e "o* 1'ri'+le*. Ei*,e u/-'* *u'* "e Rie' '*o/i'"'* /o u' fu/i0 5'r,i/ul'r "e+i"o ' >ue l' or' "e l' 5'r,i/i0 5ue"e *er /u'l>uier =ero 5o*i,i1o ! /'"' 5u,o (ui , v i) 5ue"e *er /u'l>uier 5u,o "e l' i @*i' *u+regi0. Si ,o"'* e*'* *u'* "e Rie' *e 5ue"e '/er/'r 'r+i,r'ri'e,e ' u =ero L ,o'"o 5'r,i/ioe* /o or'* *ufi/ie,ee,e 5e>ue'*< e,o/e* *e "efie L /oo el límite "e e*,'* *u'* /ofore ' l' or' "e l' 5'r,i/i0 "e R *e '5roi' ' /ero. E*,' "i*/u*i0 /o"u/e ' l' *iguie,e "efii/i0.
# Definición del límite de una uma de "iemann de una función de do variable
Se' f u' fu/i0 "efii"' e u' regi0 re/,'gul'r /err'"' R. El =ero L e* el l#i,e n
"e l'* *u'* "e l' for' /u'l>uier
ϵ > 0
ei*,e u'
f ( u , v ) Δ A ∑ = i
i 1
δ > 0
i
i
*i L *',i*f'/e l' 5ro5ie"'" "e >ue 5'r'
,'l >ue 5'r' /u'l>uier 5'r,i/i0 ∆ 5'r' l' /u'l
‖ Δ‖< δ ! 5'r' ,o"' ele//i0 5o*i+le "el 5u,o
(ui , v i) e el i@*io re/,;gulo<
i=1,2,...,n, e,o/e*
|∑ (
|
n
i =1
f ui , v i) Δi A − L < ϵ
Si ,'l =ero L ei*,e< *e e*/ri+e n
lim
∑ f ( u , v ) Δ A = L
‖ Δ ‖→ 0 i =1
i
i
i
Pue"e "eo*,r'r*e >ue el =ero L >ue *',i*f'g' e*,' "efii/i0 *er; =i/o.
$ Definición de la integral doble
pág. 5
Se' f u' fu/i0 "e "o* 1'ri'+le* "efii"' e u' regi0 re/,'gul'r /err'"' R. L' ❑
integral doble "e f e R< "eo,'"' 5or
∬ f ( x , y ) dA R
< e*,; "efii"' 5or
n
f ( x , y ) dA =¿ lim
∑ f (u , v ) Δ A
‖ Δ‖→ 0 i = 1
i
i
i
❑
∬¿ R
*i e*,e l#i,e ei*,e.
Si l' i,egr'l "o+le "e f e R ei*,e< e,o/e* *e "i/e >ue f e* i,egr'+le e R. El ,eore' *iguie,e< eu/i'"o *i "eo*,r'/i0< 5ro5or/io' u' /o"i/i0 *ufi/ie,e 5'r' >ue u' fu/i0 "e "o* 1'ri'+le* *e' i,egr'+le.
% &eorema
Si u' fu/i0 "e "o* 1'ri'+le* e* /o,i=' e u' regi0 re/,'gul'r /err'"' R< e,o/e* f e* i,egr'+le e R.
Ejemplo #
O+,eg' u 1'lor '5roi'"o "e l' i,egr'l "o+le ❑
∬ ( 3 y −2 x ) dA 2
R
"o"e R e* l' regi0 re/,'gul'r >ue ,iee 1@r,i/e* e (-1,1 ! (2,3). Co*i"ere u' 5'r,i/i0 "e R geer'"' 5or l'* re/,'* x=0, x=1 < ! y=2< ! ,oe el /e,ro "e l' i@*i' *u+regi0 /oo ( ui , v i) . 'olución
Refi@r'*e ' l' figur' %< l' /u'l ue*,r' l' regi0 R "i1i"i"' e *ei* *u+regioe* >ue *o /u'"r'"o* /u!o* l'"o* i"e ) ui"'". A*#< 5'r' /'"' i, Δi A =1 . E /'"' *u+regi0 el 5u,o (ui , v i)
e* el /e,ro "el /u'"r'"o.
pág. 6
Co
f ( x , y ) =3 y − 2 x
2
< u' '5roi'/i0 "e l' i,egr'l "o+le e*,; "'"' 5or
❑
∬ ( 3 y −2 x ) dA = f ( −0.5,1 .5) ∙ 1 + f ( 0.5,1.5 ) ∙ 1 + f ( 1.5,1.5 ) ∙ 1 + f ( 1.5,2.5 ) ∙ 1 + f ( 0.5,2.5 ) ∙ 1+ f ( −0.5,2.5 ) ∙ 1 2
R
¿ 4 ∙ 1 + 4 ∙ 1 + 0 ∙ 1+ 3 ∙ 7 + 7 ∙ 1 + 7 ∙ 1 ¿ 25
El 1'lor e'/,o "e l' i,egr'l "o+le "el e4e5lo ) e* %6< /oo *e 1er; e el e4e5lo 3. A-or' *e /o*i"er'r; l' i,egr'l "o+le "e u' fu/i0 *o+re u' regi0 ;* geer'l. Re/uer"e >ue u' /ur1' li*' e* l' gr;fi/' "e u' fu/i0 li*'< e* "e/ir< '>u@ll' /u!' "eri1'"' e* /o,i='. Se' R u' regi0 /err'"' /u!' fro,er' /o*i*,e "e u =ero fii,o "e 'r/o* "e /ur1'* li*'* >ue *e ue 5'r' for'r u' /ur1' /err'"' *i5le. Coo *e -i$o /o u' regi0 re/,'gul'r< *e "i+u4' re/,'* 5'r'lel'* ' lo* e4e* /oor"e'"o*< lo /u'l 5ro5or/io' u' 5'r,i/i0 re/,'gul'r "e R. Si *e "e*/'r,' l'* *u+regioe* >ue /o,iee 5u,o* >ue o 5er,ee/e ' R< *e ,e"r; *0lo '>u@ll'* /o,ei"'* /o5le,'e,e e R. Se' n el =ero "e e*,'* *u+regioe*< *o+re'"'* e l' figur' 3. Al 5ro/e"er "e 'er' ';log' ' l' "e*/ri,' 5'r' u' regi0 re/,'gul'r< *e 5ue"e '5li/'r l'* "efii/ioe* ) ! % 5'r' e*,' regi0 R ;* geer'l. Cofore l' or' "e l' 5'r,i/i0 *e '5roi' ' /ero< n /re/e *i l#i,e< ! el ;re' "e l'* regioe* oi,i"'* Ge* "e/ir< lo* re/,;gulo* "e*/'r,'"o* ,ie"e ' /ero. Si u' fu/i0 e* i,egr'+le e u' regi0 R< *e 5ue"e "eo*,r'r >ue el l#i,e "e l'* *u'* "e Rie' e* el i*o *i i5or,'r /oo *e *u+"i1i"' R< *ie5re ! /u'"o *e ,eg' u' for' e"i',e l' /u'l *e 5ue"' '*ig'r u ;re' ' /'"' *u+regi0. A*# /oo *e i,er5re,' geo@,ri/'e,e l' i,egr'l "e u' fu/i0 "e u' 1'ri'+le e ,@rio* "el ;re' "e u' regi0 5l''< l' i,egr'l "o+le 5ue"e i,er5re,'r*e geo@,ri/'e,e e ,@rio* "el 1olue "e u *0li"o ,ri"ie*io'l. Su5og' >ue l' 2 fu/i0 f e* /o,iu' e u' regi0 /err'"' R "e R . A"e;*< 5'r' *i5lifi/'r l'
"i*/u*i0< *u5og' >ue f(x,y) e* o eg',i1' e R. L' gr;fi/' "e l' e/u'/i0 z=f(x,y) e* u' *u5erfi/ie >ue *e e/ue,r' 5or 'rri+' "el 5l'o xy < /oo *e ue*,r' e l' figur' 6. E*,' figur' 5re*e,' u' *u+regi0 5'r,#/ul' "e R< /u!'* "ie*ioe* *o Δi x ! Δ i y . L' figur' ,'+i@ ue*,r' u *0li"o re/,'gul'r >ue ,iee e*,' *u+regi0 /oo +'*e< ! f ( ui , v i) /oo e"i"' "e *u 'l,ur'< "o"e (ui , v i) e* u 5u,o "e l' i@*i' *u+regi0. El 1olue "el *0li"o re/,'gul'r e*,; "e,eri'"o 5or
pág. 7
Δ i V = f ( u i , v i ) Δi A
¿ f ( ui , v i) Δi x Δi y
El =ero Δ i V e* l' e"i"' "el 1olue "el *0li"o re/,'gul'r "elg'"o >ue "eue*,r' e l' figur' 6? "e o"o >ue l' *u' "'"' e G) e* l' *u' "e l'* e"i"'* "e lo* 1ol=ee* "e lo* n *0li"o* /oo @*,e. E*,' *u' '5roi' l' e"i"' "el 1olue "el *0li"o ,ri"ie*io'l >ue '5're/e e l' figur' 6. El *0li"o e*,; lii,'"o e l' 5'r,e *u5erior 5or l' gr;fi/' "e f ! e l' 5'r,e iferior 5or l' regi0 R "el 5l'o xy . L' *u' "e G) ,'+i@ '5roi' el =ero 5ro5or/io'"o 5or l' i,egr'l "o+le ❑
∬ f ( x , y ) dA R
! el 1olue "el *0li"o ,ri"ie*io'l "e l' figur' 6 e* el 1'lor "e e*,' i,egr'l. E*,e -e/-o *e e*,'+le/e e el *iguie,e ,eore'< oi,i@"o*e *u "eo*,r'/i0 for'l.
( &eorema
Se' f u' fu/i0 "e "o* 1'ri'+le* ! /o,iu' e u' regi0 /err'"' R "el 5l'o xy ! ,'l >ue f ( x , y )≥ 0 5'r' ,o"o (x,y) "e R. Si V ui"'"e* /=+i/'* e* el 1olue "el *0li"o S >ue ,iee l' regi0 R /oo *u +'*e ! /u!' 'l,ur' e* f(x,y) ui"'"e* e el 5u,o (x,y) "e R< e,o/e* n
V = lim
∑ f ( u , v ) Δ A
‖ Δ‖→ 0 i =1
i
i
i
❑
¿∬ f ( x , y ) dA R
Ejemplo $
E5re*e el 1olue "e *0li"o lii,'"o 5or l' *u5erfi/ie
pág. 8
1 9
2
f ( x , y ) =4 − x −
1 2 y 16
lo* 5l'o* x=3, y=2 ! lo* ,re* 5l'o* /oor"e'"o* /oo u' i,egr'l "o+le. A fi "e o+,eer u 1'lor '5roi'"o "e l' i,egr'l "o+le< /o*i"ere l' 5'r,i/i0 "e l' regi0 "el 5l'o xy geer'"' 'l "i+u4'r l'* re/,'* x=1, x=2 ! y=1< ! ,oe el /e,ro "e l' i@*i' *u+regi0 /oo ( ui , v i) . 'olución
E l' figur' & *e ue*,r' el *0li"o. L' regi0 re/,'gul'r R e* el re/,;gulo "el 5l'o xy lii,'"o 5or lo* e4e* /oor"e'"o* ! l'* re/,'* x=3 ! y=2. Del ,eore' 6< *i V ui"'"e* /=+i/'* e* el 1olue "el *0li"o< e,o/e*
∬ ( 4 − 19 x − 161 y ) dA 2
V =
2
R
L' figur' & ,'+i@ ue*,r' l' regi0 R "i1i"i"' e *ei* *u+regioe* >ue *o /u'"r'"o* /u!o* l'"o* i"e ) ui"'". Por ,',o< 5'r' /'"' i< Δ i A =1 . El 5u,o (ui , v i) "e /'"' *u+regi0 e* el /e,ro "el /u'"r'"o. E,o/e* u' '5roi'/i0 "e V @*,' "'"' 5or u' '5roi'/i0 "e l' i,egr'l "o+le. Por ,',o V ≈ f ( 0.5,0 .5) ∙ 1 + f ( 1.5,0 .5 ) ∙ 1 + f ( 2.5,0.5 ) ∙ 1 + f ( 0.5,1.5 ) ∙ 1+ f ( 1.5,1.5 ) ∙ 1+ f ( 2.5,1 .5) ∙ 1
Si *e e5le' u' /'l/ul'"or' 5'r' "e,eri'r lo* 1'lore* "e l' fu/i0< *e o+,iee V ≈ 3.957 + 3.734 + 3.290 + 3.832 + 3.609 + 3.165 ≈ 21.59
Co/lu*i0H El 1olue e* '5roi'"'e,e %).&: ui"'"e* /=+i/'*. El 1olue e'/,o "el 5ro+le' ',erior e* %).& ui"'"e* /=+i/'*< /oo *e o*,r'r; e el e4e5lo 6. V'ri'* 5ro5ie"'"e* "e l' i,egr'l "o+le *o ';log'* ' l'* 5ro5ie"'"e* "e l' i,egr'l "efii"' "e u' fu/i0 "e u' 1'ri'+le. L'* ;* i5or,',e* *e "' e lo* /i/o ,eore'* *iguie,e*.
) &eorema
pág. 9
Si c e* u' /o*,',e ! l' fu/i0 f e* i,egr'+le e u' regi0 /err'"' R< e,o/e* cf e* i,egr'+le e R !
∬ cf ( x , y ) dA =c ∬ f ( x , y ) dA R
R
L' "eo*,r'/i0 "e e*,e ,eore' ! "el *iguie,e< *e "e"u/e ie"i','e,e "e l' "efii/i0 "e i,egr'l "o+le.
* &eorema
Si l'* fu/ioe* f ! g *o i,egr'+le* e u' regi0 /err'"' R< e,o/e* l' fu/i0 f + g e* i,egr'+le e R !
∬ [ f ( x , y ) + g ( x , y)] dA =∬ f ( x , y ) dA +∬ g ( x , y ) dA R
R
R
El re*ul,'"o "e e*,e ,eore' 5ue"e e,e"er*e ' /u'l>uier =ero fii,o "e fu/ioe* i,egr'+le*.
+ &eorema
Si l'* fu/ioe* f ! g *o i,egr'+le* e u' regi0 /err'"' R ! '"e;* f ( x , y ) ≥ g ( x , y ) 5'r' ,o"o (x,y) "e R< e,o/e*
∬ f ( x , y ) dA ≥∬ g ( x , y ) dA R
R
, &eorema
Se' f u' fu/i0 i,egr'+le e u' regi0 /err'"' R< ! *u5og' >ue m ! M *o "o* =ero* ,'le* >ue m ≤ f ( x , y )≤ M 5'r' ,o"o (x,y) "e R. Si A e* l' e"i"' "el ;re' "e l' regi0 R< e,o/e*
pág. 10
❑
∬ f ( x , y ) dA≤ MA
mA ≤
R
- &eorema
Su5og' >ue l' fu/i0 f e* /o,iu' e l' regi0 /err'"' R ! >ue l' regi0 R *e /o5oe "e "o* *u+regioe* R1 ! R2 >ue o ,iee 5u,o* e /o= e/e5,o 'lguo* 5u,o* e l' 5'r,e "e *u* fro,er'*. E,o/e* ❑
❑
❑
R
R1
R2
∬ f ( x , y ) dA =∬ f ( x , y ) dA +∬ f ( x , y ) dA
L' "eo*,r'/i0 "e e*,e ,eore' "e5e"e "e l' "efii/i0 "e l' i,egr'l "o+le ! "e lo* ,eore'* "e l#i,e*. P'r' fu/i0 "e u' 1'ri'+le< el *egu"o ,eore' fu"'e,'l "el C;l/ulo 5ro5or/io' u @,o"o 5'r' e1'lu'r l' i,egr'l "efii"' e"i',e u' ',i"eri1'"'< o i,egr'l i"efii"'< "el i,egr'"o. U @,o"o /orre*5o"ie,e 5'r' e1'lu'r u' i,egr'l "o+le i5li/' re'li$'r i,egr'/ioe* i"efii"'* *i5le* e for' *u/e*i1'. U "e*'rrollo riguro*o "e e*,e 5ro/e"iie,o /orre*5o"e ' u /ur*o "e C;l/ulo '1'$'"o. Priero *e "e*'rroll'r; el @,o"o 5'r' l' i,egr'l "o+le e u' regi0 re/,'gul'r. Se' f u' fu/i0 i,egr'+le e u' regi0 re/,'gul'r /err'"' R "el 5l'o xy lii,'"' 5or l'* re/,'* x =a1 < x =b1 < y = a2 ! y =b 2 . Su5og' >ue f ( x , y )≥ 0 5'r' ,o"o (x,y) "e R. Refi@r'*e ' l' figur' 7< l' /u'l ue*,r' l' gr;fi/' "e l' e/u'/i0 z=f(x,y)< "o"e (x,y) 5er,ee/e ' R. El =ero >ue re5re*e,' el 1'lor "e l' i,egr'l "o+le ❑
∬ f ( x , y ) dA R
e l' e"i"' "el 1olue "el *0li"o e,re l' *u5erfi/ie ! l' regi0 R. E*,e =ero 5ue"e "e,eri'r*e e"i',e el @,o"o "e re+''"o /oo *e ue*,r' ' /o,iu'/i0. Se' y u =ero "el i,er1'lo
[a
2
, b2 ]
. Co*i"ere el 5l'o 5'r'lelo 'l 5l'o xz
>ue 5'*' 5or el 5u,o (0,y,0) . Se' A(y) ui"'"e* /u'"r'"'* el ;re' "e l' regi0 5l''
pág. 11
"e i,er*e//i0 "e e*,e 5l'o /o el *0li"o. L' e"i"' "el 1olue "el *oli"o *e e5re*' 5or b2
∫ A ( y ) dy a2
Coo el 1olue "el *0li"o ,'+i@ e*,; "e,eri'"o 5or l' i,egr'l "o+le< e,o/e* ❑
b2
R
a2
∬ f ( x , y ) dA =∫ A ( y ) dy (2)
A*#< 5ue"e /'l/ul'r*e el 1'lor "e l' i,egr'l "o+le "e l' fu/i0 f e R 'l e1'lu'r u' i,egr'l *i5le "e A(y). A-or' "e+e o+,eer*e A(y) /u'"o ! e*,; "'"'. Coo A(y) ui"'"e* /u'"r'"'* e* el ;re' "e l' regi0 5l''< e*,e =ero 5ue"e o+,eer*e e"i',e i,egr'/i0. O+*er1e e l' figur' 7 >ue l' fro,er' *u5erior "e l' regi0 5l'' e* l' gr;fi/' "e l' e/u'/i0 z=f(x,y) /u'"o x 5er,ee/e '
[a
1
, b1 ]
. Por
b1
f ( x , y ) dx . Al *u*,i,uir "e e*,' e/u'/i0 e G)< *e o+,iee ,',o< A ( y )=∫ a 1
❑
b2
[
b1
∬ f ( x , y ) dA =∫ ∫ f ( x , y ) dx R
a2
a1
]
dy ( 3 )
L' e5re*i0 "el ie+ro "ere/-o "e G3 *e "eoi' i,egr'l i,er'"'. De+i"o ' >ue lo* /or/-e,e* *e oi,e regul're,e /u'"o *e e*/ri+e u' i,egr'l i,er'"'< e,o/e* G3 5ue"e e5re*'r*e /oo ❑
b2 b1
R
a2 a1
∬ ( x , y ) dA =∫∫ f ( x , y ) dxdy ( 4 )
Al e1'lu'r l' i,egr'l i,erior "e G6< re/uer"e >ue x e* l' 1'ri'+le "e i,egr'/i0 y *e /o*i"er' ' y /oo u' /o*,',e. E*,o e* ';logo ' ,o'r ' y /oo u' /o*,',e /u'"o *e o+,iee l' "eri1'"' 5'r/i'l "e f(x,y) /o re*5e/,o ' x .
pág. 12
Si *e /o*i"er' *e//ioe* 5l''* 5'r'lel'* 'l 5l'o yz *e o+,iee u' i,egr'l i,er'"' e l' >ue *e i,er/'+i' el or"e "e i,egr'/i0< e*,o e* ❑
b1 b2
R
a1 a2
∬ f ( x , y ) dA =∫∫ f ( x , y ) d y dx ( 5 )
U' /o"i/i0 *ufi/ie,e 5'r' >ue G6 ! G& *e' 1;li"'* e* >ue l' fu/i0 *e' /o,i=' e l' regi0 re/,'gul'r R.
Ejemplo %
E1'l=e l' i,egr'l "o+le ❑
∬ ( 3 y −2 x ) dA 2
R
*i R e* l' regi0 "el 5l'o xy >ue /o*i*,e "e ,o"o* lo* 5u,o* (x,y) 5'r' lo* /u'le* −1 ≤ x ≤ 2 ! 1 ≤ y ≤ 3 . 'olución
Co a1=−1, b1=2, a 2=1 y b 2=3 < "e G6 *e ,iee ❑
3
2
∬ ( 3 y −2 x ) dA =∫∫ ( 3 y − 2 x ) dx dy 2
2
1
R
3
¿∫ 1
3
[
]
2
∫ (3 y −2 x ) dx dy 2
−1
[
2 3
¿∫ 3 xy − x 3 1
−1
]−
2 dy 1
3
¿∫ ( 9 y −6 ) dy 1
pág. 13
9 2
¿ y 2− 6 y ] 3 =24 1
E el e4e5lo ) *e o+,u1o u 1'lor 'l '5roi'"o "e %& 5'r' l' i,egr'l "o+le "el e4e5lo ',erior.
Ejemplo (
C'l/ule el 1olue "el *0li"o lii,'"o 5or l' *u5erfi/ie 1 9
2
f ( x , y ) =4 − x −
1 2 y 16
'*# /oo 5or lo* 5l'o* x=3 ! y=2< ! lo* ,re* 5l'o* /oor"e'"o*. 'olución
L' figur' 8 ue*,r' l' gr;fi/' "e l' e/u'/i0 z=f(x,y ! el *0li"o "'"o e el 5rier o/,',e. Si V ui"'"e* /=+i/'* e* el 1olue "el *0li"o< e,o/e* 5or el ,eore' 6 n
V = lim
∑ f ( u , v ) Δ A
‖ Δ‖→ 0 i =1
i
i
i
❑
¿∬ f ( x , y ) dA R
3
2
0
0
1 9
¿∫ ∫ ( 4 − x 2− 3
¿∫ 0
[
1 2 y ) d ydx 16
]
1 2 1 3 2 4 y − x y − y dx 9 48 0
47 6 −2 2 (¿ x ) dx 9 3
¿∫ ¿ 0
pág. 14
¿
47 2 3 3 x− x =21.5 6 27 0
]
Co/lu*i0H El 1olue e* %).& ui"'"e* /=+i/'*. E el e4e5lo % *e o+,u1o u 1'lor '5roi'"o "e %).&: 5'r' el 1olue "el *0li"o "el e4e5lo ',erior. Su5og' '-or' >ue R e* l' regi0 "el 5l'o xy lii,'"' 5or l'* re/,'* x=a ! x=b< "o"e 'J+ ! 5or l'* /ur1'* y = ϕ1 ! y = ϕ2 < "o"e ϕ 1 ! ϕ2 *o fu/ioe* /o,iu'* e el i,er1'lo [a,b]. A"e;*< *u5og' >ue ϕ1 ≤ ϕ2 *ie5re >ue a ≤ x ≤ b G/o*ul,e figur' 9. Se' ∆ u' 5'r,i/i0 "el i,er1'lo Δ : a = x 0 < x 1< ... < x n= b .
[a,b]
"efii"' 5or
Co*i"ere l' regi0 R "e l' figur' 9 "i1i"i"' e fr'4'* 1er,i/'le* "e '/-o
Δ i x
ui"'"e*. E e*,' figur' *e ue*,r' u' fr'4' 5'r,i/ul'r. L' i,er*e//i0 "e l' *u5erfi/ie x =ui < "o"e x i−1 ≤u i ≤ x i < e* u' /ur1'. U' 5or/i0 "e e*,' /ur1' z=f(x,y) ! el 5l'o *e e/ue,r' *o+re l' i@*i' fr'4' 1er,i/'l. L' regi0 "e+'4o "e e*,e *ege,o "e /ur1' ! *o+re el 5l'o xy *e ue*,r' e l' figur' : ! l' e"i"' "e l' ;re' "e e*,' regi0 e*,; "'"' 5or GF0rul' L' e"i"' "el 1olue "el *0li"o lii,'"o *u5eriore,e 5or l' *u5erfi/ie z=f(x,y) e iferiore,e 5or l' i@*i' fr'4' 1er,i/'l e* '5roi'"'e,e igu'l ' GF0rul' Si *e ,o' el l#i,e< /ofore l' or' "e ∆ ,ie"e ' /ero< l' *u' "e l'* e"i"'* "e lo* 1ol=ee* 5'r' l'* n fr'4'* 1er,i/'le* "e R "e*"e x=a -'*,' x=b< *e o+,iee l' e"i"' "el 1olue "el *0li"o lii,'"o e l' 5'r,e *u5erior 5or l' *u5erfi/ie $KfGue l' f0rul' G7 *e' 1;li"' *o >ue f *e /o,i=' e l' regi0 /err'"' R ! >ue ϕ 1 ! ϕ2 *e' fu/ioe* li*'*.
pág. 15
Ejemplo )
E5re*e /oo u' i,egr'l "o+le ! u' i,egr'l i,er'"' l' e"i"' "el 1olue "el *0li"o >ue *e e/ue,r' 5or 'rri+' "el 5l'o ! "elii,'"o 5or el 5'r'+oloi"e el#5,i/o $K%6!% ! el /ili"ro %6!%K6. E1'l=e l' i,egr'l i,er'"' 5'r' /'l/ul'r el 1olue "el *0li"o. 'olución
L' figur' )) ue*,r' el *0li"o. Se o+,e"r; el 1olue "e l' 5or/i0 "el *0li"o "el 5rier o/,',e< el /u'l< 5or l'* 5ro5ie"'"e* "e *ie,r#'< e* u /u'r,o "el 1olue re>ueri"o. L' regi0 R "el 5l'o ! e* '>u@ll' lii,'"' 5or lo* e4e* ! !< '*# /oo 5or l' eli5*e %6!%K6. E*,' regi0 *e 5re*e,' e l' figur' )%< l' /u'l ,'+i@ ue*,r' l' i@*i' *u+regi0 "e u' 5'r,i/i0 re/,'gul'r "e R< "o"e Gui<1i e* /u'l>uier 5u,o "e e*,' *u+regi0. Si V ui"'"e* /=+i/'* e* el 1olue "el *0li"o "'"o< e,o/e*< 5or el ,eore' 6 GFF0rul'* A fi "e e5re*'r V /oo u' i,egr'l i,er'"'< *e "i1i" l' regi0 R e fr'4'* 1er,i/'le*. L' figur' )3 ue*,r' l' regi0 R ! l' i@*i' fr'4' 1er,i/'l /u!o '/-o e* "e i ui"'"e* ! *u logi,u" e* )%6ui% ui"'"e*< "o"e i)JKuiJKi. De G7 Co/lu*i0H El 1olue e* 6Q ui"'"e* /=+i/'*.
Su5og' >ue l' regi0 R e*,; lii,'"' 5or l'* /ur1'* Kl)G! ! Kl%G! ! l'* re/,'* !K/ ! !K"< "o"e /J"< ! l) ! l% *o "o* fu/ioe* /o,iu'* e el i,er1'lo /err'"o /<" 5'r' l'* /u'le* l)G!JKl%G! *ie5re >ue /JK!JK". Co*i"ere u' 5'r,i/i0 "el i,er1'lo /<" ! "i1i"' l' regi0 R e fr'4'* -ori$o,'le* "e '/-o i! ui"'"e*. Co*ul,e l' figur' )6< l' /u'l ue*,r' l' i@*i' fr'4' -ori$o,'l. L' i,er*e//i0 "e l' *u5erfi/ie $KfGue *e o+,u1o l' f0rul' G7< l' e"i"' "el 1olue "el *0li"o lii,'"o *u5eriore,e 5or l' *u5erfi/ie $KfG
pág. 16
L'* /o"i/ioe* *ufi/ie,e* 5'r' >ue l' f0rul' G8 *e' 1;li"' *o >ue l) ! l% *e' fu/ioe* li*'* ! >ue f *e' /o,i=' e R. Al '5li/'r l'* forul'* G7 ! G8< e o/'*ioe* 5ue"e *er e/e*'rio "i1i"ir l' regi0 R e *u+regioe* e l'* /u'le* *e /u5l' e*,'* /o"i/ioe*.
Ejemplo *
E5re*e el 1olue "el *0li"o "el e4e5lo & e"i',e u' i,egr'l i,er'"' e l' >ue el or"e "e i,egr'/i0 *e' /o,r'rio 'l "e "i/-o e4e5lo. C'l/ule el 1olue "el *0li"o. 'olución
O,r' 1e$ *e o+,e"r; el 1olue "el *0li"o /orre*5o"ie,e 'l 5rier o/,',e< ! "e*5u@* *e ul,i5li/'r; el re*ul,'"o 5or 6. L' figur' )& ue*,r' l' regi0 R "el 5l'o ! ! l' i@*i' fr'4' -ori$o,'l /u!o '/-o e* i! ui"'"e* ! *u logi,u" e* %)1i% ui"'"e*. E,o/e*< 5or G8< GF0rul' Co/lu*i0H El 1olue e* 6Q ui"'"e* /=+i/'*< lo /u'l /o/uer"' /o l' re*5ue*,' "el e4e5lo &.
De l'* *olu/ioe* "e lo* e4e5lo* & ! 7 *e o+*er1' >ue l' i,egr'l "o+le Gf0rul' 5ue"e e1'lu'r*e 5or e"io "e l'* i,egr'le* i,er'"'* GForul' Si e G7 o G8< *e /o*i"er' fG
Ejemplo +
C'l/ule e"i',e i,egr'/i0 "o+le el ;re' "e l' regi0 "el 5l'o ! lii,'"o 5or l'* /ur1'* !K% ! !K6%. 'olución
E l' figur' )7 *e ue*,r' l' regi0. De G9 *e ,iee GFF0rul'*
pág. 17
Co/lu*i0H El ;re' "e l' regi0 e* 93 ui"'"e* /u'"r'"'*.
Aplicacione de la integrale doble
E l' *e//i0 ',erior *e e*,u"i0 /0o '5li/'r l'* i,egr'le* "o+le* ' fi "e /'l/ul'r 1ol=ee* "e *0li"o*. E e*,' *e//i0 *e ,r','r; o,r'* '5li/'/ioe* "e l'* i,egr'le* "o+le*< ,'le* /oo "e,eri'r /e,ro* "e '*'< oe,o e "e ier/i' ! el ;re' "e u' *u5erfi/ie. Su5og' >ue *e ,iee u' l;i' /u!' for' e* l' "e u' regi0 /err'"' R "el 5l'o !. Se' 5Guier 5u,o Guier 5u,o "el i e*io re/,;gulo >ue ,iee ;re' iA ui"'"e* /u'"r'"'*< e,o/e* u' '5roi'/i0 "e l' e"i"' "e l' '*' ,o,'l "el i@*io re/,;gulo e* 5Gui<1iiA< ! l' e"i"' "e l' '*' ,o,'l "e l' l;i' e*,; '5roi'"' 5or GF0rul' Al ,o'r el l#i,e "e l' *u' ',erior< /ofore ' l' or' "e ,ie"e ' /ero< l' e"i"' M "e l' '*' "e l' l;i' 5ue"e e5re*'r*e /oo GF0rul' G) L' e"i"' "el oe,o "e '*' "el i@*io re/,;gulo /o re*5e/,o 'l e4e e*,; '5roi'"o 5or 1i 5Gui<1iiA. E,o/e* l' *u' "e l'* e"i"'* "e lo* oe,o* "e '*' /o re*5e/,o 'l e4e "e lo* re/,;gulo* *er; '5roi'"' 5or l' *u' "e ,@rio* "e @*,o*. L' e"i"' M "el oe,o "e '*' /o re*5e/,o 'l e4e "e l' l;i' /o5le,' e*,; "'"' 5or GF0rul' De 'er' ';log'< l' e"i"' Mu! "e *u oe,o "e '*' /o re*5e/,o 'l e4e ! e*,' "'"' 5or GF0rul' G% El /e,ro "e '*' "e l' l;i' *e "eo,' 5or el 5u,o G
pág. 18
Ejercicio #
U' l;i' /u!' for' e* l' "e u ,ri;gulo re/,;gulo i*0*/ele*< ,iee u' "e*i"'" *u5erfi/i'l >ue 1'r#' "e '/uer"o 'l /u'"r'"o "e l' "i*,'/i' ' 5'r,ir "el 1@r,i/e "el ;gulo re/,o. Si l' '*' *e i"e e ilogr'o* ! l' "i*,'/i' e e,ro*< /'l/ule l' '*' ! el /e,ro "e '*' "e l' l;i'. 'olución
Eli4' lo* e4e* /oor"e'"o* "e o"o >ue el 1@r,i/e "el ;gulo re/,o e*,@ e el orige ! lo* /',e,o* "e logi,u" ' >ue"e *o+re lo* e4e* /oor"e'"o* G/o*ul,e l' figur' ). Se' 5Gue< "e+i"o ' l' *ie,r#'< @*,e "e+e e*,'r *o+re l' re/,' !K. Por ,',o< *i *e o+,iee < ,'+i@ *e o+,e"r; !. De G% GF0rul'* Coo MKM!< e,o/e* MK))&'&? ! "e+i"o ' >ue MK)7'6< *e o+,iee K%&'. Co/lu*i0H El /e,ro "e '*' *e e/ue,r' e el 5u,o G%&'<%&'
El oe,o "e '*' "e u' l;i' /o re*5e/,o ' u e4e *e "eoi'< e o/'*ioe*< 5rier oe,o "e l' l;i' /o re*5e/,o 'l e4e. O,ro oe,o "e u' l;i' /o re*5e/,o ' u e4e e* el oe,o "e ier/i'< ,'+i@ ll''"o *egu"o oe,o "e l' l;i'. El oe,o "e ier/i' e* u' e"i/i0 "e l' re*i*,e/i' 'l /'+io e el o1iie,o "e ro,'/i0. P'r' lleg'r ' l' "efii/i0 "e oe,o "e ier/i' "e u' l;i'< 5riero /o*i"ere u' 5'r,#/ul' "e '*' ilogr'o* /u!' "i*,'/i' 5er5e"i/ul'r "e*"e u e4e e" r e,ro*. El oe,o "e ier/i' "e l' 5'r,#/ul' /o re*5e/,o 'l e4e *e "efie /oo r% ilogr'o*e,ro /u'"r'"o. E,o/e* el oe,o "e ier/i' "e ue *i*,e' "e 5'r,#/ul'* re*5e/,o 'l e4e e* l' *u' "e lo* oe,o* "e ier/i' "e ,o"'* l'* 5'r,#/ul'*. E*,o* e*< *i l' i@*i' 5'r,#/ul' ,iee u' '*' "e i ilogr'o* ! *e e/ue,r' ' u' "i*,'/i' "e ri e,ro* "el e4e< e,o/e* l ilogr'o*e,ro /u'"r'"o e* el oe,o "e ier/i' "el *i*,e' re*5e/,o 'l e4e< "o"e GF0rul' Al e,e"er e*,e /o/e5,o ' u' "i*,ri+u/i0 /o,iu' "e '*' e u 5l'o< ,'l /oo u' l;i'< e"i',e 5ro/e*o* *ee4',e* ' lo* ',eriore*< *e ,iee l' "efii/i0 *iguie,e
pág. 19
# Definición de momento de inercia repecto a un eje
Su5og' >ue ,iee u' l;i' >ue o/u5' l' regi0 R e ele 5l'o ! ,'l >ue l' "e*i"'" *u5erfi/i'l e el 5u,o G
Ejercicio $
U 'l'+re re/,o -oog@eo ,iee u' "e*i"'" lie'l /o*,',e "e ilogr'o* 5or e,ro. C'l/ule el oe,o "e ier/i' "el 'l'+re /o re*5e/,o ' u e4e 5er5e"i/ul'r 'l 'l'+re >ue 5'*' 5or uo "e *u* e,reo*. 'olución
Su5og' >ue l' logi,u" "el 'l'+re e* "e ' e,ro*< ! >ue *e e,ie"e ' lo l'rgo "el e4e ' 5'r,ir "el orige. Se "e,eri'r; el oe,o "e ier/i' "el 'l'+re /o re*5e/,o 'l e4e !. Di1i"' el 'l'+re e *ege,o* "e o"o >ue l' logi,u" "el i@*io *ege,o e* i e,ro*. E,o/e*< l' '*' "el i@*io *ege,o e* i ilogr'o*. Su5og' >ue l' '*' "el i@*io *ege,o *e /o/e,r' e u 5u,o ui< "o"e i)JKuiJKi. L' e"i"' "el oe,o "e ier/i' "el i@*io *ege,o /o re*5e/,o 'l e4e ! *e e/ue,r' e,re i )%i ! i%i ! e*,; '5roi'"o 5or ui%i. Si el oe,o "e ier/i' "el 'l'+re /o re*5e/,o 'l e4e ! e* I! ilogr'o*e,ro /u'"r'"o< e,o/e* GF0rul' Co/lu*i0H El oe,o "e ier/i' e* )3'3g%.
L' *u' "e lo* =ero* "e ier/i' I e I! "e u' l;i' "el 5l'o ! *e "eoi' oe,o 5ol'r "e ier/i'< ! re5re*e,' el oe,o "e ier/i' "e l' l;i' /o re*5e/,o 'l orige o 'l e4e $.
$ Definición de momento polar de inercia
pág. 20
Su5og' >ue *e ,iee u' l;i' >ue o/u5' u' regi0 R "el 5l'o ! ,'l >ue l' "e*i"'" *u5erfi/i'l e el 5u,o G
Ejercicio %
U' l;i' re/,'gul'r -oog@e' ,iee u' "e*i"'" *u5erfi/i'l /o*,',e "e *lug* 5or 5ie /u'"r'"o. C'l/ule el oe,o "e ier/i' "e l' l;i' /o re*5e/,o ' u' e*>ui'.
)
'olución
Su5og' >ue l' l;i' e*,; lii,'"' 5or l'* re/,'* K'< !K+ ! lo* e4e* ! !. Refi@r'*e ' l' figur' %. Si I( *lug5ie /u'"r'"o e* el oe,o "e ier/i' /o re*5e/,o 'l orige< e,o/e* GF0rul' Co/lu*i0H El oe,o "e ier/i' e* )3'+G'%+% *lug5ie%.
El r'"io "e giro "e u' l;i' /o re*5e/,o ' u e4e L e* l' "i*,'/i' "e*"e L ' u 5u,o "e l' l;i' e el >ue 5ue"e *er /o/e,r'"' *u '*' *i 'fe/,'r *u oe,o "e ier/i' /o re*5e/,o ' L. E*,o e*< *i l' '*' M ilogr'o* "e l' l;i' *e /o/e,r' e u 5u,o u+i/'"o ' r e,ro* "e L< el oe,o "e ier/i' "e l' l;i' /o re*5e/,o ' L e* ' i*' >ue l' "e u' 5'r,#/ul' "e '*' M ilogr'o* ' u' "i*,'/i' "e r e,ro* "e L? e*,e oe,o "e ier/i' e* Mr% ilogr'o*e,ro /u'"r'"o. A*#< *e ,iee l' "efii/i0 *iguie,e.
% Definición
Si I e* l' e"i"' "el oe,o "e ier/i' /o re*5e/,o ' u e4e L "e u' l;i' ! M e* l' e"i"' "e l' '*' ,o,'l "e l' l;i'< e,o/e* el r'"io "e giro "e l' l;i' /o re*5e/,o ' L ,iee e"i"' r< "o"e r%KIM 1 El lug *e "efie /oo l' '*' >ue *e "e*5l'$' ' u' '/eler'/i0 "e ) f,* /u'"o *e e4er/e u' fuer$' "e u' li+r' *o+re ell' .
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Ejercicio (
Su5og' >ue u' l;i' ,iee l' for' "e u *ei/#r/ulo ! >ue l' e"i"' "e l' "e*i"'" *u5erfi/i'l "e l' l;i' e /u'l>uier 5u,o e* 5ro5or/io'l ' l' e"i"' "e l' "i*,'/i' "el 5u,o ' 5'r,ir "el "i;e,ro. Si l' '*' *e i"e e ilogr'o* ! l' "i*,'/i' e e,ro*< /'l/ule el r'"io "e giro "e l' l;i' /o re*5e/,o 'l e4e . 'olución
Eli4' lo* e4e* ! ! "e o"o >ue el *ei/#r/ulo *e' l' 5'r,e *u5erior "el /#r/ulo lii,'"o 5or l' /ir/ufere/i' %!%K'%. Co*ul,e l' figur' 3. E,o/e* l' "e*i"'" *u5erfi/i'l "e l' l;i' e el 5u,o G
L' i,egr'l "o+le 5ue"e e5le'r*e 5'r' "e,eri'r el ;re' "e l' 5or/i0 "e l' *u5erfi/ie $KfGue *e e/ue,r' *o+re l' regi0 /err'"' R "el 5l'o !. A fi "e o*,r'r e*,o< 5riero *e "efiir; lo >ue *igifi/' l' e"i"' "e e*,' ;re' ! "e*5u@* *e o+,e"r; u' f0rul' 5'r' /'l/ul'rl'. Su5og' >ue f ! *u* 5rier'* "eri1'"'* 5'r/i'le* *o /o,iu'* e R< ! >ue fGuier 5u,o "el i@*io re/,;gulo< ! /o*i"ere el 5l'o ,'ge,e ' l' *u5erfi/ie e el 5u,o Gui<1iue *e e/ue,r' *o+re el i@*io re/,;gulo. Coo ei*,e "e e*,'* 5or/ioe*< l' *u'
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GFF0rul' G3 e* u' '5roi'/i0 "e l' e"i"' o "el ;re' "e l' 5or/i0 "e l' *u5erfi/ie u+i/'"' *o+re R. E*,o /o"u/e ' "efiir o /oo *igueH GF0rul' A /o,iu'/i0 *e o+,e"r; u' f0rul' 5'r' /'l/ul'r e*,e l#i,e. P'r' e*,o< *e "e"u/ir; u' forul' ' fi "e /'l/ul'r io /oo l' e"i"' "el ;re' "e u 5'r'lelogr'o. Co el fi "e *i5lifi/'r lo* /;l/ulo* *e ,o' el 5u,o Gui<1i "el i@*io re/,;gulo /oo el 1@r,i/e Gi)ue ,iee /oo re5re*e,'/ioe* lo* *ege,o* "e re/,' "irigi"o* /u!o 5u,o ii/i'l e* ! >ue for' "o* l'"o* '"!'/e,e* "el 5'r'lelogr'o /u!' ;re' e* io ui"'"e* /u'"r'"'*. Refi@r'*e ' l' figur' &. A*#< ioK AZ. Coo GForul'* e,o/e* GF0rul'* Por ,',o< GF0rul'* Al *u*,i,uir e*,' e5re*i0 5or io e G3 *e ,iee GF0rul' E*,e l#i,e e* u' "o+le i,egr'l >ue ei*,e *o+re R "e+i"o ' l' /o,iui"'" "e FX ! f!. De e*,e o"o *e ,iee el ,eore' *iguie,e.
( &eorema
Su5og' >ue f ! *u* 5rier'* "eri1'"'* 5'r/i'le* *o /o,iu'* e l' regi0 /err'"' R "el 5l'o !. Si o ui"'"e* /u'"r'"'* e* el ;re' "e l' *u5erfi/ie $KfGue *e e/ue,r' *o+re R< e,o/e* GF0rul'
Ejercicio )
C'l/ule el ;re' "e l' *u5erfi/ie e el 5rier o/,',e /or,'"' e el /ili"ro %$%K)7 5or lo* 5l'o* K(< K%< !K(< !K3. 'olución
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L' *u5erfi/ie "'"' *e ue*,r' e l' figur' 7. L' regi0 R e* el re/,;gulo e el 5rier /u'"r',e "el 5l'o ! lii,'"o 5or l'* re/,'* K%< !K3. L' *u5erfi/ie ,iee l' e/u'/i0 %$%K)7. Si *e "e*5e4' $ e l' e/u'/i0 ',erior *e o+,iee $K)7%. Por ,',o< fGue *i o ui"'"e* /u'"r'"'* e* el ;re' "e l' *u5erfi/ie< e,o/e*< 5or el ,eore' 6< GForul' Co/lu*i0H El ;re' "e l' *u5erfi/ie e* %Q ui"'"e* /u'"r'"'*.
Co*i"ere '-or' l' /ur1' !KFG /o 'JKJK+< FGW( 5'r' ,o"' "e '<+ ! F[ /o,iu' e '<+. Si e*,' /ur1' *e gir' 'lre"e"or "el e4e < *e o+,iee u' *u5erfi/ie "e re1olu/i0. U' e/u'/i0 "e e*,' *u5erfi/ie e* !%$%KFG% G6 L' figur' 8 ue*,r' l' *u5erfi/ie "e re1olu/i0. E e*,' figur' el 5l'o ! *e e/ue,r' e el 5l'o "e e*,' -o4'? *i e+'rgo *e ,iee u *i*,e' /oor"e'"o "ere/-o. Se "e*e' o+,eer u' f0rul' 5'r' /'l/ul'r el ;re' "e e*,' *u5erfi/ie "e re1olu/i0 e5le'"o el ,eore' 6. De l'* 5ro5ie"'"e* "e *ie,r#'< el ;re' "e l' *u5erfi/ie u+i/'"' 5or 'rri+' "el 5l'o ! ! fre,e 'l 5l'o ! e* u /u'r,o "el ;re' "e l' *u5erfi/ie /o5le,'. Al re*ol1er G6 5'r' $ ! o ,o'"o e /ue,' l' r'#$ /u'"r'"' eg',i1' 5ue*,o >ue $WK(< *e ,iee fGue fGue *e o+,iee ' 5'r,ir "el ,eore' 6 e* GF0rul' E*,' "o+le i,egr'l e* i5ro5i' "e+i"o ' >ue el i,egr'"o ,iee u' "i*/o,iui"'" ifii,' e /'"' 5u,o "e l' fro,er' "e R "o"e !KFG ! e "o"e !KFG. E /o*e/ue/i'< *e e1'l=' l' "o+le i,egr'l /oo u' i,egr'l i,er'"' 5'r' l' /u'l el i,egr'"o i,erior e* i5ro5io. Si o ui"'"e* /u'"r'"'* e* el ;re' "e l' *u5erfi/ie "e re1olu/i0< e,o/e* GFForul' G& Por ,',o< "e G& GF0rul' E*,e re*ul,'"o *e e*,'+le/e /oo u ,eore'< "o"e F *e *u*,i,u!e 5or f.
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) &eorema
Su5og' >ue l' fu/i0 f e* 5o*i,i1' e '<+ ! >ue f[ e* /o,iu' e '<+. Si o ui"'"e* /u'"r'"'* e* el ;re' "e l' *u5erfi/ie "e re1olu/i0 >ue *e o+,iee 'l gir'r 'lre"e"or "el e4e ! l' /ur1' !KfG< /o 'JKJK+< e,o/e* GF0rul'
Ejercicio *
C'l/ule el ;re' "el 5'r'+oloi"e "e re1olu/i0 geer'"o 'l gir'r l' i,'" *u5erior "e l' 5'r;+ol' !%K65< /o (JKJK-< 'lre"e"or "el e4e . 'olución
E l' figur' 9 *e ue*,r' el 5'r'+oloi"e "e re1olu/i0. Si *e "e*5e4' ! e l' e/u'/i0 "e l' 5'r;+ol'< /o !WK(< *e o+,iee !K%5)%)%. De o"o >ue *i o ui"'"e* /u'"r'"'* e* el ;re' "e l' *u5erfi/ie< e,o/e* 5or el ,eore' &< /o fGK%5)%)%< GF0rul'* Co/lu*i0H El ;re' "el 5'r'+oloi"e "e re1olu/i0 e* 93QG5G5-35% ui"'"e* /u'"r'"'*.
Bibliografía
Lei,-ol"< Loui*< El C;l/ulo< )::9< Ofor, Ui1er*i,! Pre**< *@5,i' e"i/i0< )393 5;gi'*. es.wikipedia.org/wiki/ Slug
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