1. TEMA: ¿En que contribuye el cálculo vectorial en el estudio de estructuras?, el caso se analizara desde la estática de partículas.
2. OBJETIVOS 2.1 OBJETIVO GENERAL Analizar una estructura estática aplicando las ecuaciones básicas del cálculo vectorial.
2.2 OBJETIVOS ESPECIFICOS:
Estudiar y analizar las temáticas que contribuyen a la formación de ingenieros civiles. Buscar las aplicaciones que tiene el cálculo vectorial en estructuras rígidas. Explicar y concluir las relaciones y enseñanzas de las dos ramas a estudiar Llevar a la práctica el conocimiento adquirido en la vida cotidiana.
3. JUSTIFICACIÓN: El cálculo vectorial es una rama matemática que pe rmite el estudio de movimientos por medio de vectores en 2 o más dimensiones, esto permite que se estudien fenómenos físicos ya que muchos de los problemas se pueden formular por medio de un sistema de ecuaciones vectorial, en la estática se implementan para buscar tensiones, fuerzas permitiendo una predicción de movimiento o equilibrio a la acción de estas, el estudio de estos cuerpos y movimientos se pueden realizar desde la estática u dinámica; en este caso se realizara un trabajo en conjunto del cálculo vectorial y la estática permitiendo un mejor conocimiento durante el estudio de sus relaciones para mejorar habilidades en la aplicación de estas ramas de la ingenier ía. Este proyecto llama la atención debido a que las estructuras es una de las ramas de la ingeniería civil, se pueden estudiar de forma vectorial, sus movimientos y fuerzas son representadas mediante vectores, de esa manera se busca una explicación del porque el cálculo vectorial se encuentra en el pensum académico; en este caso se desea hacer una demostración de las aplicaciones que tiene respecto al estudio de estructuras estáticas. }
4. MARCO TEORICO.
4.1 CÁLCULO VECTORIAL: El cálculo vectorial o análisis vectorial es un campo de las matemáticas referidas al análisis real multivariable de vector es en 2 o más dimensiones. Es un enfoque de la geometría diferencial como conjunto de fórmulas y técnicas para solucionar problemas muy útiles para la ingeniería y la física. Consideramos los campos vectoriales, que asocian un vector a cada punto en el espacio, y campos escalares, que asocian un escalar a cada punto en el espacio. Por ejemplo, la temperatura de una piscina es un campo escalar: a cada punto asociamos un valor escalar de temperatura. El flujo del agua en la misma piscina es un campo vectorial: a cada punto asociamos un vector de velocidad. Cuatro operaciones son importantes en el cálculo vectorial:
Gradiente: mide la tasa y la dirección del cambio en un campo escalar; el gradiente de un campo escalar es un campo vectorial. Rotor o rotacional: mide la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto; el rotor de un campo vectorial es otro campo vectorial. Divergencia: mide la tendencia de un campo vectorial a originarse o converger hacia ciertos puntos; la divergencia de un campo vectorial es un campo escalar. Laplaciano: relaciona el "promedio" de una propiedad en un punto del espacio con otra magnitud, es un operador diferencial de segundo orden.
4.2 ESTATICA: La estática es la rama de la mecánica clásica que analiza las cargas (fuerza, par / momento) y estudia el equilibrio de fuerzas en los sistemas físicos en equilibrio estático, es decir, en un estado en el que las posiciones relativas de los subsistemas no varían con el tiempo. La primera ley de Newton implica que la red de la fuerza y el par neto ( también conocido como momento de fuerza) de cada organismo en el sistema es igual a cero. De esta limitación pueden derivarse cantidades como la carga o la presión. La red de fuerzas de igual a cero se conoce como la primera condición de equilibrio, y el par neto igual a cero se conoce como la segunda condición de equilibrio.
4.3 ANALISIS DEL EQUILIBRIO: La estática proporciona, mediante el empleo de la mecánica del sólido rígido, solución a los problemas denominados isostáticos. En estos problemas, es suficiente plantear las condiciones básicas de equilibrio, que son: El resultado de la suma de fuerzas es nulo. El resultado de la suma de momentos respecto a un punto es nulo.
Estas dos condiciones, mediante el álgebra vectorial, se convierten en un sistema de ecuaciones; la resolución de este sistema de ecuaciones es la solución de la condición de equilibrio. Existen métodos de resolución de este tipo de problemas estáticos mediante gráficos, heredados de los tiempos en que la complejidad de la resolución de sistemas de ecuaciones se evitaba mediante la geometría, si bien actualmente se tiende al cálculo por ordenador. Para la resolución de problemas hiperestáticos (aquellos en los que el equilibrio se puede alcanzar con distintas combinaciones de esfuerzos) es necesario considerar ecuaciones de compatibilidad. Dichas ecuaciones adicionales de compatibilidad se obtienen mediante la introducción de deformaciones y tensiones internas asociadas a las deformaciones med iante los métodos de la mecánica de sólidos deformables, que es una ampliación de la mecánica del sólido rígido que, además, da cuenta de la deformabilidad de los sólidos y sus efectos internos. Existen varios métodos clásicos basados en la mecánica de sólidos deformables, como los teoremas de Castigliano o las fórmulas de NavierBresse.
4.4 SUMA DE FUERZAS: Cuando sobre un cuerpo o sólido rígido actúan varias fuerzas que se aplican en el mismo punto, el cálculo de la fuerza resultante resulta trivial: basta sumarlas vectorialmente y aplicar el vector resultante en el punto común de aplicación. Sin embargo, cuando existen fuerzas con puntos de aplicación diferentes es necesario determinar el punto de aplicación de la fuerza resultante. Para fuerzas no paralelas esto puede hacerse sumando las fuerzas dos a dos. Para ello se consideran dos de las fuerzas que trazan rectas prolongando las fuerzas en ambos sentidos y buscando su intersección. Esa intersección será un punto de paso de la fuerza suma de las dos. A continuación se substituyen las dos fuerzas por una única fuerza vectorial suma de las dos anteriores aplicada en el punto de intersección. Esto se repite n-1 veces para un sistema de n fuerzas y se obtiene el punto de paso de la resultante. En el caso límite del que se tengan n fuerzas paralelas puede emplearse el polígono funicular para hallar el punto de paso de la resultante.
5. APLICACIONES: Por esta cuestión es que la estática resulta ser una materia indispensable en carreras y trabajos como los que llevan a cabo la ingeniería estructural, mecánica y de construcción, ya que siempre que se quiera construir una estructura fija, como ser, un edificio, en términos un poco más extendidos, los pilares de un rascacielos, o la viga de un puente, será
necesario e indiscutible su participación y estudio para garantizar la seguridad de aquellos que luego transiten por las mencionadas estructuras. La estática abarca el estudio del equilibrio tanto del conjunto como de sus partes constituyentes, incluyendo las porciones elementales de material. Uno de los principales objetivos de la estática es la obtención de esfuerzos cortantes, fuerza normal, de torsión y momento flector a lo largo de una pieza, que puede ser desde una viga de un puente o los pilares de un rascacielos. Su importancia reside en que una vez trazados los diagramas y obtenidas sus ecuaciones, se puede decidir el material con el que se construirá, las dimensiones que deberá tener, límites para un uso seguro, etc., mediante un análisis de materiales. Por tanto, resulta de aplicación en ingeniería estructural, ingeniería mecánica, construcción, siempre que se quiera construir una estructura fija. Para el análisis de una estructura en movimiento es necesario considerar la aceleración de las partes y las fuerzas resultantes. El estudio de la Estática suele ser el primero dentro del área de la ingeniería mecánica, debido a que los procedimientos que se realizan suelen usarse a lo largo de los demás cursos de ingeniería mecánica.
SOLIDOS Y ANALISIS ESTRUCTURAL: La estática se utiliza en el análisis de las estructuras, por ejemplo, en arquitectura e ingeniería estructural y la ingeniería civil. La resistencia de los materiales es un campo relacionado de la mecánica que depende en gran medida de la aplicación del equilibrio estático. Un concepto clave es el centro de gravedad de un cuerpo en r eposo, que constituye un punto imaginario en el que reside toda la masa de un cuerpo. La posición del punto relativo a los fundamentos sobre los cuales se encuentra un cuerpo determina su estabilidad a los pequeños movimientos. Si el centro de gravedad se sitúa fuera de las bases y, a continuación, el cuerpo es inestable porque hay un par que actúa: cualquier pequeña perturbación hará caer al cuerpo. Si el centro de gravedad cae dentro de las bases, el cuerpo es estable, ya que no actúa sobre el par neto del cuerpo. Si el centro de gravedad coincide con los fundamentos, entonces el cuerpo se dice que es meta estable. Para poder saber el esfuerzo interno o la tensión mecánica que están soportando algunas partes de una estructura resistente, pueden usarse frecuentemente dos medios de cálculo:
La comprobación por nudos. La comprobación por secciones.
Para lograr obtener cualquiera de estas dos comprobaciones se debe tomar en cuenta la sumatoria de fuerzas externas en la estructura (fuerzas en x y en y), para luego comenzar con la comprobación por nudos o por sección. Aunque en la práctica no siempre es posible analizar una estructura resistente exclusivamente mediante las ecuaciones de la estática, y en esos casos deben usarse métodos más generales de resistencia de materiales, teoría de la elasticidad, mecánica de sólidos deformables y técnicas numéricas para resolver las ecuaciones a las que esos métodos llevan, como el popular método de los elementos finitos.
.6.APLICACIÓN
Para llevar a cabo este proyecto se realizó una maqueta del planetario de Maloka ubicado en Bogotá, Colombia. A través del diseño elaborado, se prosigue a identificar la ecuación canónica de dicha estructura por medio de los conocimientos adquiridos en el cálculo vectorial.
Considerando que la base de la estructura se encuentra en los ejes (x,y) se tiene que:
2 + 2 = 9
Pero esta circunferencia al ser llevada a una tercera dimensión (x,y,z) se obtiene una esfera cuya ecuación está dada por:
2 + 2 + 2 = 9 Al ser convertida en función se tiene que:
= (, ) = √ 9 − 2 − 2 CENTRO DE MASA Al hallar el centro de masa, primero se debe hallar el calculo de masa (M) distribuidas de la figura (D), planetario de maloka, que tiene un radio (R), su densidad de masa de superficie es proporcional a la distancia del punto al diàmetro de la figura, que en este caso podemos tomar la de un semicirculo.
Calculo de masa distribuida en la figura:
Centro de masa: Con los mismos ejes, el radio perpendicular al diámetro es eje de simetría de D, por lo que el centro de masa. Se encuentra en él. así que x= 0
Momento de inercia: Es una cierta medida de la respuesta del cuerpo al intento de girarlo alrededor de un eje. Suponemos que el sólido V en R3, donde se han tomado ejes X, Y, Z. La idea es sumar los productos de los elementos diferenciales de masa, dm, por el cuadrado de la distancia de cada uno de ellos al eje considerado. Así, los momentos de inercia respecto de los ejes coordenados, Z respectivamente son:
Donde:
CONCLUSIONES Para la aplicación de este proyecto lo vemos reflejado en que podemos utilizar las figuras cónicas del cálculo vectorial para realizar un nuevo diseño novedoso y con la ayuda de la las ecuaciones de la estática innovar el mundo de la construcción.
Las integrales dobles contribuyen en el método que se emplea para encontrar el centro de masa, y la masa de la figura.
Las integrales triples permiten la medición de los momentos de inercia de la figura, siempre se realizan hacia los dos ejes y uno permanece constante.
Calculo vectorial a partir de la asignatura y del proyecto nos demuestra que es una herramienta a lo largo de la carrera, pues es una base para los cálculos, mediciones que debemos hacer al ejercer la carrera.
