CÁLCULO II
CÁLCULO INTEGRAL DEL VOLUMEN, TRABAJO Y MEZCLA DE UNA PISCINA CIRCULAR, UBICADA EN LA VILLA DEPORTIVA REGIONAL DEL CALLAO, EN EL PRIMER SEMESTRE 2016.
AUTORES: SILVA ZAMORA , CLEVER TAFUR TARAZONA , ELIZABETH VALVERDE DULANTO , LHYA
DOCENTE: SOLÒRZANO CARRASCO DAVID
2016
CARRERA : INGENIERIA INDUSTRIAL
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CAPÍTULO I 1.1.
INTRODUCCIÓN: Desde la antigüedad hasta en la actualidad el hombre tiene el interés de conocer todo lo que sea parte de su mundo, desde sus aplicaciones hasta los beneficios que nos ofrece. Es por ello que existen formas para medir distancias, hallar áreas, volúmenes, etc. mediante fórmulas, pero aun así hoy en día se buscan modos y formas para trabajar y resolver problemas de la vida cotidiana. Las matemáticas son herramientas que nos permiten predecir sucesos y modelar situaciones. Lo primordial del presente trabajo es resaltar lo temas de mayor importancia en el curso de Cálculo II para nuestra vida cotidiana y aún más en la vida de un futuro ingeniero, ya que sin las nociones de dicho curso sería imposible resolver problemas en los que se necesiten de cálculos precisos, donde las operaciones habituales de la matemática no alcancen resultados que se aproximen o asemejen a la realidad.
1.2.
PROBLEMA GENERAL ¿Cómo calcular el volumen, trabajo y mezcla de una piscina circular ubicada en la Villa Deportiva Regional del Callao?
1.3.
PROBLEMAS ESPECÍFICOS ¿Calcular el volumen de una piscina circular ubicada en la Villa Deportiva Regional del Callao? ¿Qué cantidad de cloro contiene la piscina circular ubicada en la Villa Deportiva Regional del Callao en cualquier tiempo “T” y pasando los 30 min que cantidad de cloro contiene? ¿Qué tiempo debe pasar para que la piscina se llene completamente y solo pueda quedar cloro en ella? ¿Calcular el trabajo efectuado al bombear el agua hasta la parte superior de la piscina circular ubicada en la Villa Deportiva Regional del Callao?
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¿Calcular el trabajo efectuado al llenar el agua hasta a una altura de 1.6 m de la piscina circular ubicada en la Villa Deportiva Regional del Callao? 1.4.
OBJETIVOS a. Objetivo general
Calcular el volumen, trabajo y mezcla de una piscina circular ubicada en la Villa Deportiva Regional del Callao.
b. Objetivos específicos
Determinar el volumen de una piscina circular ubicada en la Villa Deportiva Regional del Callao.
Medir la cantidad de cloro que contiene la piscina circular de villa deportiva regional del callao en cualquier tiempo “T” y pasando los 30 minutos.
Medir que tiempo debe pasar para que la piscina circular de villa deportiva regional del callao solo contenga cloro residual.
Determinar el trabajo al bombear el agua utilizada por los bañistas para ser cambiada.
Determinar el trabajo realizado por el grifo para llenar la piscina circular de villa deportiva regional del callao hasta la altura de 1.6 metros.
1.5.
JUSTIFICACIÓN: Nuestro trabajo es de mucha importancia puesto que nos permite poner en evidencia la utilidad de los temas tratados en el curso de cálculo II, en la soluciones de un problema de ingeniería con el fin de obtener los resultados deseados. En este trabajo de investigación usaremos fórmulas para hallar el volumen, trabajo y mezcla de una piscina mediante la aplicación de las integrales. Página 3
1.6.
MARCO TEÓRICO
1.6.1 CONCEPTOS Y DEFINICIONES BÁSICAS Piscina: Se utilizaba para designar pozos para peces de agua dulce o salada. También se utilizó para designar los depósitos de agua conectados a los acueductos.
1.6.2
MARCO CONCEPTUAL VOLUMEN: Volumen es la cantidad que contiene un envase. Volumen implica trabajar en tres dimensiones.
El método de los casquetes cilíndricos El volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar alrededor del eje y la región que está comprendida entre la curva y = f(x), con f(x) > 0, el eje x y las rectas verticales x = a y x = b, donde 0 < a < b, está dado por la integral:
b
∫ 2 πx f ( x ) dx a
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TRABAJO: Se realiza trabajo cuando una fuerza desplaza un objeto. Si una fuerza constante F desplaza un objeto una distancia d, en la dirección de la fuerza, el trabajo W realizado por la fuerza es: W =F . d
Si una fuerza variable F(x) de manera continua, desplaza un objeto una distancia d, en la dirección de la fuerza, el trabajo W realizado por la fuerza se obtiene sumando los «trabajos» en intervalos muy pequeños, es decir:
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La fuerza varía conforme el objeto cambia de posición
F ( x )
x0 x1 L xn 1 xn
a
X
F( x)
F a( x )
Xi-1
X i
b b
El trabajo a lo largo del i-ésimo intervalo ∆w
=
i
c F¿
n
Como:
w ≅∑ ∆ w i=1
F
n
i
w ≅∑ ¿
i
) ∆ xi
i=1
Haciendo n à ∞, tenemos: El trabajo W realizado por una fuerza F(x) que varía de forma continua, es dado por: b
w=∫ F ( x ) . dx a
MEZCLAS:
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Se tiene un recipiente con volumen V0 y una cantidad d soluto Q 0, donde está entrando una solución de concentración C1 a una tasa Ay está saliendo la solución de concentración C(t) , a una tasa B. Se requiere saber: V(t)
: volumen en cualquier tiempo t
Q(t)
: Cantidad d soluto en el tiempo t
C(t) =
Q (t ) V (t )
: Concentración de soluto en cualquier tiempo t
Para ello se resuelven ecuaciones diferenciales lineales. En efecto, analicemos cada caso: Cálculo de V (t): Volumen en el tiempo t.
El volumen en cualquier instante t , se modela de acuerdo a la siguiente ecuación: dV =A−B dt Resolvemos por separación de variables:
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V =( A−B ) t +k y V ( 0 )=V
El volumen en cualquier tiempo t está dado por:
0
V (t)=( A−B ) t+V
0
Cálculo de Q (t): Cantidad de soluto en el tiempo t.
La cantidad de soluto en cualquier instante t, se modela de acuerdo a la siguiente ecuación:
dQ =razón d entrada de soluto−razón de salida de soluto dt dQ =A C1−BC (t ) dt
Q( t) dQ =A C1−B dt V ( t)
Reescribimos:
dQ B + Q ( t )= A C1 y Q ( 0 )=Q0 dt V ( t )
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La cual es una ED lineal de primer orden con condición inicial
CAPÍTULO II 2.1.
ACTIVIDADES DE LA INVESTIGACIÒN Nuestro proyecto lo estamos aplicando a las Piscinas de Villa Deportiva Regional del Callao, nos atendió el señor Jorge Elisalde (coordinador general de toda la Villa) quien nos dio la posibilidad de poder entrar a la Villa para realizar nuestra visita y poder tomar los datos necesarios para realizar el trabajo. También se encontró el coordinador del área de natación Samuel Cabrera quien nos dio ayudo a poder realizar las medidas y nos brindó algunos datos que son adicionales al proyecto. Obtuvimos datos de 3 piscinas con diferentes medidas:
PISCINA SEMI PROFESIONAL
LARGO: 25 metros.
ANCHO: 15 metros.
PROFUNDIDAD:
de
80
centímetros a 1.40 metros.
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PISCINA OLIMPICA
LARGO: 50 metros.
ANCHO: 20 metros.
PROFUNDIDAD: 2.20 metros.
CARRILES: 8 carriles de 2.50 metros cada uno.
PISCINA REDONDA
DIAMETRO: 8.90 metros.
PROFUNDIDAD: 1.8 m
Para la aplicación del cálculo integral tomaremos como ejemplo los datos de una sola piscina en este caso nos decidimos por la piscina circular. Volumen de la piscina: Tema: Volumen de capas cilíndricas v =2 π r h ∆ r
V = (circunferencia) x (altura) x (grosor) 2π
h
∆r
Datos: Página 10
y= 1.8
Profundidad = 1.8 m Diámetro =
= 8.90 m
dx Radio
1.80= y
8.90 =4.45 2
r = 4.45 f ( x )= y =1.8
X
4.45
V =2 π ∫ X ( f ( x ) ) dx 0
4.45
V =2 π ∫ X ( 1.8 ) dx 0
4.45
V =2 π ∫ 1.8 X dx 0
[∫ ] 4.45
V =2 π × 1.8
X dx
0
V =2 π × 1.8
[ x2 ] 2
|4.450 V =1.8 π ( 4.45)
V =111.98 m
2
3
Cantidad de cloro que se necesita para desinfectar la piscina Cálculo de datos Página 11
Dato: Q: 2mg/L
0.002g/L
Del cálculo anterior sabemos: V =111.98 m3
111.98m3 ×1000 litros=111980litros 1m3
Aplicamos regla de tres simple: 1L
2mg
111980L
x x = 223966 mg/L
223.96 gramos de cloro añade Sedapal Por dato sabemos que la piscina circular se llena 240L cada 6minutos Aplicamos regla de tres simple: 6min
240L
1min
X X = 40L/min
∴ A : 40 litros/minuto
V0 : 111980 litros
B : 40 litros/minuto
Q0 :223.96 gramos de cloro por litro
A =40L/min
B =40L/min Q(t) = ?
A
: Ingreso del agua
B
: Concentración del fluido
Q0
: Cantidad de cloro que Sedapal añade al agua potable
V0
: Volumen inicial 12 de la piscina
Soluto
: Cloro en pastilla
Página
Solvente : Agua
a) Q (t) : Cantidad de cloro en un tiempo “t” b) Cuánto cloro habrá en 30 minutos I)
V ( t )= ( A−B ) t+V
0
V ( t )= ( 40−40 ) t +111980 V ( t )=111980 litros II) Q(t) dθ = A C1 −B dt V (t) Q(t ) dθ =40 × 3−40 dt 111980 Q(t) dθ =120− dt 2799.5 335940−Q ( t ) ¿ dθ 335940−Q(t) ¿ = dt 2799.5¿ 335940−Q ( t ) Cuando A = B, se utiliza EDO ¿ ¿ dθ 1 ∫ 335940−Q(t¿)= 2799.5 ∫ dt t
+C 1 =e 2799.5 335940−Q ( t )
1 t
e 2799.5
+C
Página 13
=335940−Q ( t )
Q (t )=335940−
1 t 2799.5
C
a)
223.96=335940−C 1 e 0 223.96=335940 – C1 C1 =335716.04 Q (t )=335940−335716.04 e−t /2799.5
b)
Q (30 )=? Q (30 )=335940−C 1 e−30 /2799.5 Q (30 )=3 802.4 gramos de cloro
Trabajo efectuado al momento de bombear el agua hasta el borde de la piscina
Diámetro = 8.9m 2
g=9.8 m/ s
ρ agua=1000 kg /m
3
Área = π r2 A = π (4.45)2 Página 14 A = 19.80 π I. dv (diferencial de volumen ) dv=( área ) dy
II. df (diferencial de la fuerza) df =ρ× g× dv df =( 1000 ) ×(9.8) ×(3.14)×(19.80) dy df =609285.6 dy
III. d ω (diferencial de trabajo) dω=df ×(distancia) dω=609285.6 dy ×(1.8− y ) 1.8
∫ dω=609285.6 ∫ (1.8− y ) dy 0
[
1.8
]
y2 dω=609285.6 1.8− ∫ 2 0 Trabajo efectuado al momento de llenar el agua hasta 1.6 m del borde de la piscina.
Página 15
g=9.8 m/ s2
ρ agua=1000 kg /m3
I.
Diámetro = 8.9m
Área = π r2 A = π (4.45)2
IIII. d ω (diferencial de trabajo)
dv (diferencial de volumen ) dv=( área ) dy
dω=df ×(distancia) dv=19.80 π dy dω=609285.6 dy ×(1.8− y )
II.
df (diferencial de la fuerza) df =ρ× g× dv
1.6
∫ dω=609285.6 ∫ ( y )dy
df =( 1000 ) ×(9.8) ×( 3.14)×(19.80) dy
0
[ ]
y2 dω=609285.6 ∫ 2 CAPÍTULO III
1.6
0
3.1. CONCLUSIÓN Podemos concluir que el uso del método de casquetes, el método de trabajo y el método de ecuaciones diferenciales para mezclas nos ayuda a determinar el volumen, trabajo y cantidad de soluto de la piscina ya que era uno de los objetivos principales de nuestro proyecto. Además este trabajo nos da a conocer cómo podemos relacionar el campo matemático con los sucesos reales. Finalmente el uso de las integrales es un campo muy amplio el cual nos ayudó a llegar a nuestros resultados esperados.
CAPÍTULO IV Página 16
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Matusan, E. (2001). Aplicaciones De La Integral (1° Edición)
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