FACULTAD: INGENIERÍA CARRERA: INGENIERÍA AMBIENTAL
CURSO:
Calculo 1
Docente:
Huamán de la cruz, Rafael
TÍTULO:
aplicación de la derivada.
Integrantes:
– Joset Malqui Pérez. (Cod.718165) – – – –
FECHA:
08/11/2016
Cajamarca – Perú Perú
Calculo I
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INDICE INTRODUCCION ........................................................................................................................ ....................................................................................................................... 3 OBJETIVOS ................................................................................................................................ ............................................................................................................................... 4 General: ................................................................. ................................................................................................................................... .................................................................. 4 Específicos: ...................................................................... ............................................................................................................................. ....................................................... 4
BIOGRAFIA ............................................................. ................................................................................................................................ ................................................................... 4 1)
Isaac Newton ................................................................................................................... .................................................................................................................. 4
................................................................................................................................. 7 DERIVADA ..................................................................................................................................
Concepto:.............................................................. ................................................................................................................................. ................................................................... 7 Propiedades: .................................................................... ........................................................................................................................... ....................................................... 7
Derivada una función constante ...................................................................................... 7 ............................................................................................................................... ................................................................... 7 Ejemplo ............................................................ .............................................................................. 7 Derivada de una suma de funciones ...............................................................................
Derivada de una diferencia de funciones ...................................................................... 8 Ejemplo ............................................................. ................................................................................................................................ ................................................................... 8
Derivada de un producto de funciones .......................................................................... 8 Ejemplo ............................................................ ............................................................................................................................... ................................................................... 8 Derivada de un cociente de funciones ........................................................................... 8 Ejemplo ............................................................. ................................................................................................................................ ................................................................... 8 ............................................................................................................................. ....................................................... ............................................................................................ ...................... 9 ...................................................................................................................... 10 APLICASIONES .......................................................................................................................
Aplicaciones Aplicaciones de la derivada: derivada: ............................................................................................... 10 Aplicaciones Aplicaciones a destacar: .......................................................... ..................................................................................................... ........................................... 10 1). razón de cambio: ........................................................................................................ 10
2.)
Crecimiento poblacional: ..................................................................................... 12
Problemas propuestos: ............................................................................................................ ........................................................................................................... 18 ....................................................................................................................... ..................................................... 20 SUGERENCIAS .................................................................. .................................................................................................................... 20 CONCLUSIONES .....................................................................................................................
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................................................... .................................................................................... 21 ANEXOS .................................................................................................................................... ................................................................................................................................... 21
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INTRODUCCION
Este proyecto de investigación sobre las aplicaciones de la derivada tiene como objetivo familiarizarnos con algunas de estas aplicaciones que tiene la derivada ya que es un concepto muy importante en calculo y es base para los próximos cursos como la física química, hidráulica, etc. en nuestra carrera profesional.
En esta secuencia trabajamos con las aplicaciones de las derivadas en el marco de la resolución de problemas. Atreves de las reglas de las derivadas, con los cuales podremos plantear diferentes cálculos para resolver distintos problemas y verificar la validez del resultado obtenido, entre el contexto del problema. Con la finalidad de consolidar el concepto de la derivad de una función, definición, propiedades, reglas y lo más importante, las aplicaciones que tiene la derivada.
A continuación explicaremos a más profundidad la definición de la derivada y las diversas aplicaciones que tiene ya sea en la parte académica como en la vida cotidiana donde día a día las utilizamos. Esperamos que este trabajo sea de su agrado y le sirva como una importante información para que se le haga más fácil resolver problemas de la derivada y tener un concepto más definido de estas aplicaciones.
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OBJETIVOS General:
Demostrar las diferentes aplicaciones de la derivada.
Específicos:
Familiarizarnos con las aplicaciones de la derivada. Resolver problemas de algunas aplicaciones. Indicar los conceptos, propiedades, etc. de las aplicaciones.
BIOGRAFIA 1) Isaac Newton Isaac Newton fue un científico inglés, nació en el día de navidad en 1642 del calendario antiguo. Su madre preparó un futuro de granjero para él pero; después se convenció de que su hijo tenía talento y lo envió a la Universidad de Cambridge, donde para poder pagarse los estudios comenzó a trabajar. Newton en la universidad no destacó especialmente. Su graduación fue en 1665. Después de esto se inclinó a la investigación de la física y de las matemáticas. Debido a esto a los 29 años formuló algunas teorías que le llevarían por el camino de la ciencia moderna hasta el siglo XX. Isaac es considerado como uno de los principales protagonistas de la "revolución científica" del siglo XVII y el "Padre de la mecánica moderna". Pero él nunca quiso dar publicidad a sus descubrimientos. Newton coincidió con Gottfried Leibniz en el descubrimiento del cálculo integral, lo que contribuyó a una renovación de las matemáticas. También formuló el teorema del binomio, que es llamado el binomio de newton. Aunque sus principales aportes fueron en el ámbito de la ciencia. Primeras investigaciones:
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Las primeras investigaciones giraron en torno a la óptica, donde explicó que la luz blanca era una mezcla de los colores que tiene el arcoíris. Con esto hizo una teoría sobre la naturaleza corpuscular de la luz.
En 1668 diseño el primer telescopio reflector, el cual es un tipo de los que se usan actualmente en la mayoría de los observatorios astronómicos. Con esto escribió la obra "óptica" (1703) donde recogió su visión de esta materia. Trabajo también en áreas como la termodinámica y la acústica. Su lugar en la historia se lo debe a la nueva fundación de la mecánica. Donde en su obra "Principios matemáticos de la filosofía natural" formuló las tres leyes fundamentales del movimiento: Después de esto Newton se dedicó a aplicar esos principios generales y a resolver problemas concretos, como predecir la posición exacta de los cuerpos celestes. Con esto se convierte en el mayor astrónomo del siglo. En 1703 fue nombrado presidente de la royal society de Londres. En 1705 terminó la ascensión de su prestigio, ya que fue nombrado caballero.
2) Gottfried Wilhelm Leibniz Gottfried Wilhelm von Leibniz; Leipzig, actual Alemania, 1646 - Hannover, id., 1716) Filósofo y matemático alemán. Su padre, profesor de filosofía moral en la Universidad de Leipzig, falleció cuando Leibniz contaba seis años. Capaz de escribir poemas en latín a los ocho años, a los doce empezó a interesarse por la lógica aristotélica a través del estudio de la filosofía escolástica. En 1661 ingresó en la universidad de su ciudad natal para estudiar leyes, y dos años después se trasladó a la Universidad de Jena, donde estudió matemáticas con E. Weigel. En 1666, la Universidad de Leipzig rechazó, a causa de su juventud, concederle el título de doctor, que Leibniz obtuvo sin embargo en Altdorf; tras rechazar el ofrecimiento que allí se le hizo de una cátedra, en 1667 entró al servicio del arzobispo elector de Maguncia como diplomático, y en los años siguientes desplegó una intensa actividad en los círculos cortesanos y eclesiásticos. En 1672 fue enviado a París con la misión de disuadir a Luis XIV de su propósito de invadir Alemania; aunque fracasó en la embajada, Leibniz permaneció cinco
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Años en París, donde desarrolló una fecunda labor intelectual. De esta época datan su invención de una máquina de calcular capaz de r ealizar las
Operaciones de multiplicación, división y extracción de raíces cuadradas, así como la elaboración de las bases del cálculo infinitesimal. En 1676 fue nombrado bibliotecario del duque de Hannover, de quien más adelante sería consejero, además de historiador de la casa ducal. A la muerte de Sofía Carlota (1705), la esposa del duque, con quien Leibniz tuvo amistad, su papel como consejero de príncipes empezó a declinar. Dedicó sus últimos años a su tarea de historiador y a la redacción de sus obras filosóficas más importantes, que se publicaron póstumamente. Representante por excelencia del racionalismo, Leibniz situó el criterio de verdad del conocimiento en su necesidad intrínseca y no en su adecuación con la realidad; el modelo de esa necesidad lo proporcionan las verdades analíticas de las matemáticas. Junto a estas verdades de razón, existen las verdades de hecho, que son contingentes y no manifiestan por sí mismas su verdad. El problema de encontrar un fundamento racional para estas últimas lo resolvió afirmando que su contingencia era consecuencia del carácter finito de la mente humana, incapaz de analizarlas por entero en las infinitas determinaciones de los conceptos que en ellas intervienen, ya que cualquier cosa concreta, al estar relacionada con todas las demás siquiera por ser diferente de ellas, posee un conjunto de propiedades infinito.
Frente a la física cartesiana de la extensión, Leibniz defendió una física de la energía, ya que ésta es la que hace posible el movimiento. Los elementos últimos que componen la realidad son las mónadas, puntos inextensos de naturaleza espiritual, con capacidad de percepción y actividad, que, aun siendo simples, poseen múltiples atributos; cada una de ellas recibe su principio activo y cognoscitivo de Dios, quien en el acto de la creación estableció una armonía entre todas las mónadas. Esta armonía preestablecida se manifiesta en la relación causal entre fenómenos, así como en la concordancia entre el pensamiento racional y las leyes que rigen la naturaleza.
Las contribuciones de Leibniz en el campo del cálculo infinitesimal, efectuadas con independencia de los trabajos de Newton, así como en el ámbito del análisis combinatorio, fueron de enorme valor. Introdujo la notación actualmente utilizada en el cálculo diferencial e integral. Los trabajos que inició en su juventud, la búsqueda de un lenguaje perfecto que reformara toda la ciencia y permitiese
convertir la lógica en un cálculo, acabaron por desempeñar un papel decisivo en la fundación de la moderna lógica simbólica.
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DERIVADA Concepto: La derivada es uno de los conceptos más importante en matemáticas. La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto.
Propiedades: Derivada una función constante La derivada de una función constante es cero. Ejemplo
Si
, entonces
Derivada de una suma de funciones La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de dichas funciones:
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Este resultado, se puede ampliar a cualquier número de funciones:
Derivada de una diferencia de funciones La derivada de la diferencia de dos funciones es igual a la diferencia de las derivadas de dichas funciones:
Ejemplo
Derivada de un producto de funciones La derivada del producto de dos funciones,
y
, viene dada por la fórmula:
Ejemplo
Observe que
y que la derivada de
es precisamente
.
Derivada de un cociente de funciones
La derivada del cociente
viene dada por la fórmula:
Ejemplo
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Reglas:
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APLICASIONES Aplicaciones de la derivada: 2.1.
Crecimiento y decrecimiento de una función
2.2.
Intervalos de crecimiento y decrecimiento
2.3.
Intervalos de crecimiento y decrecimiento
2.4.
Extremos relativos o locales
2.5.
Concavidad y convexidad
2.6.
Puntos de inflexión de una función
2.7.
Crecimiento Poblacional
2.8.
Razón de Cambio
Aplicaciones a destacar: 1). razón de cambio:
Concepto: con la razón de cambio podemos calcular diferentes factores que nos piden en los problemas académicos como en la vida cotidiana, por ejemplo un ingeniero ambiental quiere saber el incremento de la presión atmosférica respecto a la temperatura en la cuidad de Cajamarca en un cierto tiempo, gracias a la RC puede obtener datos de este incremento en el tiempo que sugiere analizar. La razón de cambio, ya sea en la posición, o en el estado de algo, está íntimamente ligada a que el tiempo transcurra.
Definición: El concepto de razón de cambio se refiere a la medida en la cual una variable se modifica con relación a otra. Se trata de la magnitud que compara dos variables a partir de sus unidades de cambio. En caso de
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que las variables no estén relacionadas, tendrán una razón de cambio igual a cero. La razón de cambio más frecuente es
La velocidad, que se calcula dividiendo un trayecto recorrido por una unidad de tiempo. Esto quiere decir que la velocidad se entiende a partir del vínculo que se establece entre la distancia y el tiempo. De acuerdo a cómo se modifica la distancia recorrida en el tiempo por el movimiento de un cuerpo, podemos conocer cuál es su velocidad.
Supongamos que un automóvil recorre 100 kilómetros en dos horas. La razón de cambio existente entre ambas variables es 50 kilómetros por hora. Ese valor representa su velocidad, ya que v = d / t (velocidad = distancia / tiempo). A partir del conocimiento de una razón de cambio, es posible desarrollar diferentes cálculos y previsiones. Si conocemos el nivel de contaminación que está llegando a un arroyo a partir del vertido de sustancias químicas por parte de una industria, es posible utilizar la razón de cambio para señalar qué tan rápido se incrementa el nivel de contaminación. Con un cálculo similar, se puede calcular la velocidad de propagación de una epidemia en una determina ciudad, tomando como datos la cantidad de personas que contrajo el virus en x días.
Es posible distinguir entre dos tipos de razón de cambio: la promedio y la instantánea, las cuales se explican a continuación. Es importante
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Resaltar que haciendo uso de estos conceptos, se abren las puertas a la solución de ciertos problemas para los cuales los métodos algebraicos no son efectivos
Propiedades:
CAMBIO PROMEDIO
CAMBIO INSTANTANEO
2.) Crecimiento poblacional: Definición: el crecimiento poblacional se refiere a la cantidad de humanos, insectos, es decir todo tipo de ser vivo que gracias a la fórmula de la razón de cambio podemos calcular la tasa de crecimiento promedio de dicha población dada una ecuación planteada y en un intervalo de tiempo, asimismo se puede determinar el crecimiento en un tiempo exacto (instantáneo) gracias a la derivada de dicha ecuación y reemplazando el tiempo sugerido ya sea segundos, minutos, días, años, etc. Obtendremos el dato del crecimiento de la población. Propiedades:
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Problemas propuestos: 1) El PIB de cierto país es aproximado por la función N(t) = t2 + 4t + 150 mil millones de UM t años después del 2003. a) Estime la tasa de cambio al comienzo del 2005
b) Estime la tasa de cambio porcentual del PIB al comienzo del 2005 Respuesta: a) 20 miles de millones por año, b) 7.87% 2) Un conjunto de bacterias se reproducen cada 21 min en donde durante ese tiempo cada una de ellas se divide en dos. Si inicialmente hay 4 bacterias. ¿Qué tiempo tomara obtener 128 bacterias?
3) Una lámpara proyectora situada sobre el piso ilumina una pared que está a 12 metros de distancia. Sin un hombre de 2 metros de alto camina desde la lámpara hacia el edificio a una velocidad de 1.6 m/s, ¿con que rapidez decrece su sombra proyectora sobre el edificio cuando se encuentra a 4 metros de este? 4) Si la arista de un cubo crece a razón de 2 cm/seg. ¿a qué velocidad cambia el volumen del cubo en el instante en que la arista mide 5 cm? 5) Una barra circular de metal tiene la forma de un cilindro circular recto. Cuando se calienta, su longitud y su diámetro aumentan a razón de 0.04 cm/min y 0.01 cm/min respectivamente. ¿a qué razón aumenta el volumen de la barra en el instante en que el largo mide 20 cm y el diámetro 3 cm? 6) Supón que estamos interesados en determinar la velocidad de desplazamiento del ferrocarril central que une a l as ciudades Lima, Huancayo y Huancavelica. ¿Cómo calculamos la velocidad promedio del ferrocarril? ¿A qué velocidad se desplaza el ferrocarril a las cuatro horas de viaje? Especialistas de la empresa administradora de este servicio de 7) transporte han estimado que la distancia recorrida después de “t ” horas de viaje es: d(t) = 4t2 + 10t kilómetros, donde: 0 ≤ t ≤10
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8) un globo esférico se infla y su radio (en centímetros) a las t minutos puede calcularse mediante la función r(t) = 2t/3 para 0≤ t ≤0 a) Escribe el volumen en función del tiempo b) Calcula la razón de cambio instantáneo del radio con respecto al tiempo cuando t = 8 c) Calcula la razón de cambio instantáneo del volumen con respecto al radio cuando t = 7 d) Calcula la razón de cambio instantáneo del volumen con respecto al tiempo cuando t = 6 9) Suponga que el desplazamiento de un móvil hasta el tiempo t está dado por la ecuación d(t) = 64 + 4t2 metros, donde t está medido en segundos. Determinar la velocidad promedio durante los tiempos de a) t = 2 a t = 4. b) t = 2 a t = 3 y c) t = 2 a t = 2 .1/2 10) Un granjero tiene cierta cantidad de vacas que desea saber su producción promedio en los últimos 5 años y que está dada por la función V(t) = 12t2 + 6t3 + 3. 11) Se ha decidido establecer el precio de la gasolina por mes de acuerdo a la siguiente formula P =15 + 0.3t + 0.08t3/2 UM contados a partir del próximo mes. ¿A qué razón porcentual cambiará el precio de la gasolina un mes después de implementado el plan tarifario? ¿4 meses después? ¿9 meses? Respuesta: 2.73%; 3.2%; 3.32%
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SUGERENCIAS Sugerimos que los estudiantes que no entienden muy bien este tema de derivadas, intenten desarrollar los ejercicios propuestos para que se familiaricen con el tema y logren entenderlo a más profundidad. Tomar interés al momento de leer este trabajo de investigación, ya que es de suma importancia el tema de derivadas para los estudiantes de ingeniería porque a lo largo de su carrera es necesario aplicar este tema por ejemplo en la física, química, hidráulica, biología, etc. Visitar las páginas webs y libros que se encuentran en nuestras referencias bibliográficas, para contemplar más acerca de cada aplicación de la der ivada y desarrollar más ejercicios similares a los que hemos propuesto.
CONCLUSIONES La derivada tiene muchas aplicaciones en la vida diaria, con ella se puede calcular la “razón de cambio” o en palabras más simples, velocidad. También nos ayuda a encontrar valores máximos y mínimos para problemas físicos reales (bajo el mismo principio de razón de cambio). Asimismo es empleada en la construcción de un edificio, con una función que relacione los costos del edificio con el tamaño del mismo. Muchas son las aplicaciones de la derivada en profesiones como la ingeniería, la economía, la administración etc. Tras la realización de este proyecto de investigación sobre las aplicaciones de la derivada hemos llegado a la conclusión de que ha sido una experiencia académica muy positiva y que el tema es un complemento necesario para el futuro de nuestra carrera profesional. Esta experiencia no ha ayudado a conocer las diversas aplicaciones que tienen la derivada y sobre todo la importancia para resolver problemas en nuestra vida cotidiana. Lo más importante es que hemos aprendido a diferenciar cada una de las aplicaciones de la derivada
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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ANEXOS 1)
BUSCANDO IINFORMACION DE LAS APLICACIONES DE LA DERIVADA.
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2)
ESTABLECIENDO LOS PROBLEMAS RESUELTOS Y PREOPUESTOS
3)
CULMINANDO NUESTRO PROYECTO DE INVESTIGACION Y GUARDANDO NUESTROS MATERIALES UTILIZADOS.
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