Calculo II
PROYECTO 1. Datos Preliminares: 1.1. Facultad: • • • • • •
Cachi Bacón, Robert – Facultad de Ingeniería Gamarra Banda, Manuel – Facultad de Ingeniería Marín Escalante, Jorge Sixto – Facultad de Ingeniería Moscol Vizconde, José Agustín L. – Facultad de Ingeniería Ingeniería Polo Ortiz, Yuri – Facultad de Ingeniería Solórzano Sánchez, Jhanet – Facultad de Ingeniería
1.2. Carrera Profesional: • • • • • •
Cachi Bacón, Robert – Escuela Profesional Profesional de Ingeniería Industrial Industrial Gamarra Banda, Manuel – Escuela Profesional de Ingeniería Civil Civil Marín Escalante, Jorge Sixto Sixto – Escuela Escuela Profesional de Ingeniería Civil Moscol Vizconde, Vizconde, José Agustín – Escuela Profesional Profesional de Ingeniería Civil Civil Polo Ortiz, Yuri – Escuela Profesional Profesional de Ingeniería Industrial Industrial Solórzano Sánchez, Sánchez, Jhanet – Escuela Profesional de Ingeniería Ingeniería Industrial
1.3. Título del Proyecto: Volumen de un túnel
1.4. Tipo de Proyecto: 1.4.1. Según el propósito: propósito: Es básica y aplicada, puesto que se sustenta en postulados y teoremas que han sido corroborados desde el siglo XVII, por Francesco Bonaventura Cavalieri, y ahora utilizados en distintas áreas de la ingeniería.
1.4.2. Según el diseño del del proyecto: proyecto: De teoría fundamentada.
1.5. Alcance: El presente es un proyecto explicativo y descriptivo, y está enmarcado, en su mayoría, en el ámbito de la Ingeniería Civil, Ingeniería de Minas, Ingeniería Mecánica y demás ciencias en las que se deba intuir volúmenes de solidos, con caras homogéneas a lo largo de su extensión.
Volumen de un túnel
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2. Plan de Investigación: 2.1. Problema de investigación: 2.1.1. Realidad problemática: A lo largo de nuestra vida existen diversos problemas a los que debemos hacer frente, ya sea en la vida diaria como en la profesional. Entre los retos que debemos afrontar, está el poder tener una precisión exacta (en lo posible), del volumen que se ha de comprender dentro de una determinada zona o espacio cerrado, y lo dificulta aún más cuando se tienen secciones de formas no comunes (parábolas, por ejemplo) como base de estos sólidos. Es ahí que parte la necesidad de que conozcamos los elementos cognitivos que nos puedan dar una solución oportuna y precisa a lo que se busca, como es en este caso el volumen de un túnel.
2.1.2. Formulación del problema: La determinación del volumen, ya sea de sólidos o líquidos es importante, puesto que gracias a ello podemos decir a ciencia cierta la cantidad de masa que podría estar inmersa en un depósito o yacimiento (para el caso de extracción de roca en túnel o socavón propio de campamentos mineros), y así manejar datos exactos para el recojo de la sustancia, su posterior traslado, manejo y nuevo lugar de asentamiento. Si uno le da un enfoque orientado al ámbito de la ingeniería, la aplicación y la determinación de integrales, aporta a la obtención en lo más preciso posible, que es lo que siempre se busca, y en este caso, no es la excepción para el tema que estamos abordando.
2.1.3. Limitaciones: Por ser un proyecto de carácter teórico, este puede ser resuelto con formulas matemáticas, antes concebidas y comprobadas. Sin embargo, se puede cuestionar la veracidad de los datos arrojados por los teoremas, puesto que no tenemos un acceso abierto hacia los campamentos mineros ni construcción de túneles para poder dar un grado de relación con lo que sucedería en realidad, y la escases de trabajos que tengan en cuenta la integral y sus aplicaciones, hace que este proyecto aumente su relevancia.
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2.2. Objetivos: 2.2.1. Objetivo general: •
Aplicar una integral integral definida a fin de conseguir conseguir el volumen volumen de un túnel parabólico.
2.2.2. Objetivos específicos: •
• •
Determinar a partir de los datos dados en el ejercicio la ecuación de la parábola. Definir el principio principio de Cavalieri para el volumen de un sólido. Lograr exactitud exactitud en la forma de encontrar encontrar el volumen.
2.3. Marco teórico: 2.3.1. Antecedentes: Como hemos mencionado en varios acápites del presente proyecto, el eje fundamental y general del proyecto se sustenta en el principio de Cavalieri, el cual fue matemático italiano, discípulo del famoso astrónomo Galileo. Cavalieri debe su celebridad a su teoría de los “indivisibles”, que llegó a ser un factor importante en desarrollo del cálculo integral. Esta teoría, expuesta en su principal obra “Geometría de los Indivisibles” (1635), estudia las magnitudes geométricas como compuestos de un número infinito de elementos, o indivisibles, que son los últimos términos de la descomposición que se puede hacer. La medida de las longitudes, de las superficies y de los volúmenes se convierte entonces en la suma de la infinidad de los indivisibles, o sea que es el principio de una integral definida. Este reconocido matemático, formulo el siguiente principio para el volumen de un sólido:
Donde: A(x): Es el área de una sección transversal medida a una distancia “x” de un plano de referencia. a : Distancia mínima al plano de referencia. b : Distancia máxima a partir del plano de referencia.
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A continuación se ha de determinar de manera más explicita y didáctica la forma como logró llegar a esta fórmula matemática, el matemático Cavalieri, utilizada para sólidos con secciones secciones transversales. transversales.
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2.4. Hipótesis: 2.4.1. Planteamiento de la hipótesis: Lo que el grupo propone para la solución del problema, que en este caso es el volumen de un túnel, es la aplicación del teorema de Cavalieri, construyendo la ecuación de la parábola, partiendo de tres puntos conocidos para poder determinar el área de la parábola y luego sustituirla en el teorema antes descrito.
2.4.2. Variables: Las variables que en esta situación nos da el problema, son los puntos, partiendo de lo que dice el problema, que es el siguiente: “El siguiente gráfico muestra la vista de planta de la construcción de un túnel parabólico.”
De 8.5 m de altura, 6.25 m de ancho y una profundidad de 200 m. Según lo expuesto, podemos deducir que tenemos 3 puntos (el vértice y dos puntos, que si se considera un eje en el punto medio sobre tierra), de una parábola que se abre hacia abajo, y con ello se logró determinar la siguiente ecuación de la parábola.
9. 9 . 7 7 − y = 1.15
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Donde: A : Es 1er punto que tienen en común con el eje “x” y es (3.125, 0). B : Es 2do punto que tiene en común con el eje “x” y es (-3.125, 0). C : Es el vértice de la parábola y tiene coordenadas coordenadas (0, 8.5). Y luego solamente bastaría intercambiar el resultado del área en el teorema de Cavalieri para poder concluir el volumen del túnel.
2.4.3. Operacionalización de variables: Hallando el área que encierra la parábola con el eje “x”.
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30.41 m2
Luego la incluimos en el teorema de Cavalieri:
Donde: a : Límite inferior. b : Límite superior
= 30.41.
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3
m
3. Conclusiones: Se puede concluir finalmente que la forma en como podamos determinar un volumen de una sección de túnel o de todo en él, va ser de vital importancia, ya sea para la aplicación en un campamento minero, obras viales, datos estadísticos y demás escenas de la ingeniería. Además, que el teorema de Cavalieri, puede tener diversos propósitos, tanto en lo que tiene que ver en este caso el túnel, como en diversas formas de sólidos.
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4. Bibliografía: 4.1. Bibliografía Geometría de los Invisibles (2008), Edición XXV, España, Editorial Cerro Azul. Módulo de Integral Definida (2010), UDEA, Colombia. 4.2. Linkografía: http://issuu.com/sapini/docs/geometria_analitica_4__par_bola_#downlo ad http://www.unizar.es/aragon_tres/errores/C4/C4teoria.htm
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