Diego Guerrero Luis Valencia Juan Naranjo Cálculo I Juan Manuel Conde Segundo Semestre (2014 – (2014 – 1015) 1015) 29 – 29 – 04 – 04 – 2015 2015 Proyecto de Aplicación: Construcción de una montaña rusa. 1. Problema 1.
a) Suponga que la distancia horizontal entre P entre P y Q es Q es 100 pies. Escriba ecuaciones en a, b y c que aseguren que el trayecto sea suave en los puntos de transición.
() = + + ′() = 2 + El origen se encuentra en 0 por lo que f(0) que f(0) va va a ser igual a 0(cero); ya que al reemplazar en la ecuación la constante (C) es igual a 0.
( (0) = 0
=> =>
=0
Cuando la pendiente es positiva, es decir la derivada de la función para f '(0) va '(0) va a ser igual a 0.8. 0.8.
′( ′(0) = 0.8
=>
= 0.8
Cuando la pendiente es negativa, es decir la derivada de la función para f '(100) va '(100) va a ser igual a -1.6 .
(100) = 1.6
=>
200 + = −1.6
b) Resuelva las ecuaciones del inciso a para a, b y b y c; hallar una fórmula para f(x). para f(x). En el literal anterior se obtuvo los valores de a, b y c, c, luego se reemplazan los mismos en f(x) en f(x)..
200a + b = -1.6; entonces se reemplaza b en la ecuación obtenida a partir de Si b = 0.8 y 200a f( x) . f’(100) para despejar el valor de a. Por último, se reemplazan a y b en f(x) 200 200 + 0.8 0.8 = −1.6 −1.6
200 = −2.4 = −
2.4 200
= −0.012 () = −0.012 + 0.8 c) Dibuje L1, f y L2 para verificar gráficamente que las transiciones son suaves. La recta L1 pasa por el origen y tiene pendiente 0.8 por ende = 0.8. La distancia entre P y Q es 100, entonces cuando x = 100, se sustituye x en f(x) y se determina que y = -40.
Del paso anterior obtenemos Q(100, -40) y la pendiente m = -1.6. A partir de la ecuación de la recta se obtiene L 2.
− = ( − ) − (−40) = −1.6 ( − 100) = −1.6 + 120 =
d) Diferencia entre la elevación de P y Q. P(0,0) y Q(100,-40), debido a la diferencia de elevación, nos enfocamos en el eje Y(sólo el vertical). Por lo tanto:
0 − (−40) = 40 pies
2. La solución del problema 1 puede parecer suave, pero es posible que no sienta lo
suave debido a que la pieza definida como función [consistente en L 1(x) para x < 0, f (x) para 0 ≤ x ≤ 100; y L 2 (x) para x > 100] no tiene una segunda derivada continua. Por consiguiente, usted decide mejorar su diseño utilizando una función cuadrática q(x) = ax2 + bx + c únicamente en el intervalo de 10 ≤ x ≤ 90 y conectarlo con las funciones lineales por medio de funciones cubicas: g(x) = kx3 + lx2 + mx + n h(x) = px3 + qx2 + rx + s
0 ≤ x < 10 90 < x ≤ 100
a. Escriba un sistema de ecuaciones con 11 incógnitas que aseguren que las funciones y sus dos primeras derivadas coincidan en los puntos de transición.
Analizando la información proporcionada, se puede trabajar en una función por partes separadas por los intervalos que se proporciona dónde para cada uno existe una ecuación diferente y por ende distinta pendiente, derivadas y valores.
Intervalo de (-∞,0): la función es la recta = 0.8, su primera
derivada ´ = 0.8, su segunda derivada ´´ = 0.
Intervalo de [0,10): la función es ( ) = + + + ,
su primera derivada ´() = 3 + 2 + , su segunda derivada ´´() = 6 + 2.
Intervalo de [10,90]: la función es ( ) = + + , su
primera derivada ´() = 2 + , su segunda derivada ´´() =
2a.
Intervalo de (90,100]: la función es ℎ( ) = + + +
, su primera derivada ℎ´() = 3 + 2 + , su segunda derivada ℎ´´() = 6 + 2.
Intervalo de (100, ∞): la función es la recta = −1.6 + 120,
su primera derivada ´ = −1.6, su segunda derivada ´´ = 0.
Se puede ver claramente que (x) toma 4 valores que son x = 0; x= 10; x = 90 y x= 100. Por tanto, en base a la información en los puntos anteriores, se remplaza x en la ecuación que le corresponde de acuerdo al intervalo
en la que se encuentre. Se cumple la condición de que para ser continuas, los valores de las ecuaciones en los intervalos deben de ser los mismos.
Si x = 0: o
(0) = (0) (0) + (0) + (0) + = 0.8(0) =0
o
´(0) = ´ (0) 3(0) + 2(0) + = 0.8 = 0.8
o
´´(0) = ´´ (0) 6(0) + 2 = 0 =0
Si x = 10: o
(10) = (10) (10) + (10) + (10) + = (10) + (10) +
o
´(10) = ´(10) 3(10) + 2(10) + = 2(10) +
o
´´(10) = ´´(10) 6 + 2 = 2
Si x = 90: o
ℎ(90) = (90) (90) + (90) + (90) + = (90) +(90)+
o
ℎ´(90) = ´(90) 3(90) + 2(90) + = 2(90) +
o
ℎ´´(90) = ´´(90) 6(90) + 2 = 2
Si x = 100: o
ℎ(100) = (100) (100) + (100) + (100) + = −1.6(100) + 120
o
ℎ´(100) = ´ (100) 3(100) + 2(100) + = −1.6
o
ℎ´´(100) = ´´ (100) 6(100) + 2 = 0
b. Resuelva las ecuaciones del inciso a) con un sistema algebraico computarizado para encontrar las fórmulas para q(x), g(x), y h(x).
Por medio del SAC se obtuvo que:
Para q(x) : = −
75
; =
5
; = − .
Por lo tanto () = −
Para g(x) : = −
5
Para h(x) : =
5
75
+
5
−
; = 0 ; = ; = 0. 5
Por lo tanto ( ) = −
; = −
Por lo tanto ℎ() =
5
5
; =
5
+ 5
7
5
+ −
; = −
5
+
7 5
.
+−
c. Dibuje L 1, g, q, h y L 2 y compárelos con las gráficas del problema 1 inciso c).
Grafica de L1, g, q, h y L2.
