Proyecto Final Calculo Vectorial

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Proyecto Final Cálculo Vectorial SENOIDES Y FASORES Ramirez Islas Saul 2RM3

Aplicación del calculo Vectorial a la Ingenieria.

23/05/2013

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INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME UNIDAD AZCAPOTZALCO

Introducción: En este Documento pretendemos

ver qué son los fasores. Su definición definici ón y

explicación y cómo se pueden utilizar para analizar circuitos en vez de utilizar las expresiones de las funciones senoidales directamente. Se presentará una aplicación interactiva en la que se puede ver cómo se puede pasar de una función senoidal a su representación fasorial. 2. Definición y explicación

Los fasores nos van a permitir trabajar con las funciones senoidales de una forma más fácil en algunas ocasiones como al integrar y al derivar.

Como

con

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se puede ver el voltaje con la expresión:

y una corriente con la expresión

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con Definición de fasor:

, donde es una cantidad compleja que se emplea para

representar funciones del tiempo que varían de forma senoidal. número complejo con:

es un

1. módulo: la amplitud de la magnitud que representa. 2. fase: la fase de dicha magnitud en t=0.

El fasor se relaciona con las funciones senoidales a través de la siguiente expresión:

Para poder usarlo en las ecuaciones integro-diferenciales inte gro-diferenciales se necesita ver cómo responden a esas operaciones.

Aplicación interactiva sobre fasores. Desde este apartado se puede acceder a una aplicación interactiva que a partir de los parámetros de una función senoidal, hace una representación de ésta, y calcula el fasor y la fase. Los parámetros que la aplicación permite introducir son:   

Fm: es la amplitud de la forma de onda. La frecuencia de la función senoidal, expresada en radianes por segundo. La fase de la forma de onda, o nda, pudiéndose elegir tanto tanto un valor en radianes como en segundos.

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3. Diferenciación con fasores Si tenemos una función g(t) con su parte real x(t) y su parte imaginaria y(t), y definimos la función:

diferenciando f(t):

Si diferenciamos g(t) y luego tomamos la parte real:

Al final:

Las relaciones que tenemos en la diferenciación son:

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4.

Integración con fasores Con la función h(t) definida como la integración de f(t):

Las relaciones que hay en la integración se pueden ver a continuación:

Por lo tanto, se pueden resolver las ecuaciones ecu aciones integro-diferenciales que aparecen en régimen permanente senoidal mediante med iante la utilización de fasores. Esto se debe a que las derivadas de rivadas y las integrales se transforman en multiplicaciones y divisiones por y así estas ecuaciones se convierten en algebraicas mediante fasores.

5. Ejemplo de análisis con fasores Si estas expresiones son el dato o incógnita de un circuito como:

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Sabemos que del circuito se puede sacar la siguiente ecuación:

utilizando fasores

Objetivo:

El fin de este proyecto es el hacer conciencia en los estudiantes y se den cuenta que tan importantes son las materias como las matemáticas en nuestras vidas como ingenieros y dar a conocer algunas aplicaciones Ramirez Islas Saul

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que pueden tener dentro de la industria. Nosotros mostramos una aplicaciones en la ingeniería que fue la de los fasores esta es solo una demostración de que realmente son importantes las matematicas en nuestras vidas como futuros ingenieros.

Desarrollo:

El cálculo vectorial es un campo de las matemáticas referidas al análisis real multivariable de vectores en 2 o más dimensiones. Consiste en una serie de fórmulas y técnicas para solucionar problemas muy útiles para la ingeniería y la física. Dentro del cálculo vectorial encontramos las ecuaciones paramétricas. Una ecuación paramétrica permite representar una o varias curvas o superficies en el plano o en el espacio, mediante valores arbitrarios o mediante una constante, llamada parámetro, en lugar de mediante una variable in de pendiente de cuyos valores se desprenden los de la variable dependiente. dependiente. Las funciones paramétricas paramétricas son aquellas en las que las coordenadas x e y se definen en funciones separadas de otra variable, llamada habitualmente t. Un ejemplo simple de esto, es cuando se usa un parámetro de tiempo para determinar la posición y la velocidad de un móvil. En el uso estándar del sistema de coordenadas, una o dos variables son consideradas como variables independientes, mientras que la restante es la variable dependiente, con el valor de ésta siendo equivalente al de la imagen de la función cuando los restantes valores son sus parámetros. Esta representación tiene la limitación de requerir que la curva sea una función de X en Y, es decir que todos los valores X tengan un valor y sólo un valor correspondiente correspondiente en Y.

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Para hacer esto, tanto X como Y son considerados variables dependientes, cuyo resultado surge de una tercera variable conocida como parámetro. La representación paramétrica de una curva en un espacio n-dimensional consiste en n funciones de una variable t que en este caso es la variable independiente o parámetro de la forma, donde eire presenta la i-ésima coordenada del punto generado al asignar valores del intervalo [a, b] a t. Es común resumir las ecuaciones paramétricas de una curva en una sola ecuación vectorial Donde êi representa al vector unitario correspondiente a la coordenada i-ésima.

Como se puede observar en las escenas de representación de las curvas, para la representación en coordenadas polares, sólo es preciso definir las coordenadas de cada punto: r (distancia al polo) y t (ángulo con el eje polar), en función de las coordenadas cartesianas x e y. Un sistema de coordenadas en el plano nos permite asociar un par de números con cada punto del plano. Hasta ahora hemos considerado exclusivamente sistemas de coordenadas cartesianas rectangulares para localizar un punto en el plano, por medio de un par de puntos. En este sistema, las coordenadas son números dirigidos desde dos rectas fijas llamados ejes. Otra forma de representar puntos en el plano es empleando coordenadas coordenadas polares, en este sistema se necesitan un ángulo (q) y una distancia (r). Para medir q, en radianes, necesitamos una semirrecta dirigida llamada eje polar y para medir r, un punto fijo llamado polo. Si queremos localizar un punto (r, q) en este sistema de coordenadas, lo primero que tenemos que hacer es trazar una circunferencia de radio r, después trazar una línea con Ramirez Islas Saul

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un ángulo de inclinación q y, por último, localizamos el punto de intersección entre la circunferencia y la recta; este punto será el que queríamos localizar. Senoides y fasores.

Es un vector utilizado para representar una onda, de forma que el vector suma de varios fasores puede ser utilizado para determinar la magnitud y fase de varias ondas después de procesos de interferencia. La longitud del fasor da la amplitud y el ángulo entre el mismo y el eje-x la fase angular. Debido a las propiedades de la matemática de ondas, en electrónica se utilizan habitualmente en el análisis rudimentario rudimentario de circuitos en AC. Finalmente, pueden ser utilizados para describir el movimiento de un oscilador. Un fasor es una representación gráfica de un número complejo que se utiliza para representar una oscilación, de forma que el fasor suma de varios fasores puede representar la magnitud y fase de la oscilación resultante de la superposición de varias oscilaciones en un proceso de interferencia. Los

fasores

se

utilizan

directamente

en

Óptica,

Ingeniería

de

Telecomunicaciones, Electrónica y Acústica. La longitud del fasor da la amplitud y el ángulo entre el mismo y el eje- x la fase angular. Debido a las propiedades de la matemática de oscilaciones, en electrónica los fasores se utilizan habitualmente en el análisis rudimentario de circuitos en AC. Finalmente, los fasores pueden ser utilizados para describir el movimiento de un oscilador. Las proyecciones del fasor en los ejes x e y tiene diferentes Ramirez Islas Saul

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significados físicos. Los fasores se usan sobre todo para resolver visualmente problemas del tipo: "existen varias ondas de la misma frecuencia pero fases y amplitudes diferentes interfiriendo en un punto, ¿cuál es la intensidad resultante?". Para solventar este problema, se dibuja un fasor para cada una de las oscilaciones en dicho punto y después se aplica la suma fasorial (similar a la suma vectorial) sobre ellos. La longitud del fasor resultante es la amplitud de la oscilación resultante, y su longitud puede elevarse al cuadrado para obtener la intensidad. Nótese que mientras que la suma de varias oscilaciones sinusoidales no es necesariamente necesariamente otra oscilación sinusoidal, la suma de varias oscilaciones sinusoidales de la misma frecuencia sí lo es, permitiendo leer la fase resultante como el ángulo del fasor resultante.

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Impedancia:

La impedancia es una magnitud que establece la relación (cociente) entre la tensión y la intensidad de corriente. Tiene especial especial importancia si la corriente varía en el tiempo, en cuyo caso, ésta, la tensión y la propia impedancia se describen con números complejos o funciones del análisis armónico. Su módulo (a veces impropiamente llamado impedancia) establece la relación entre los valores máximos o los valores eficaces de la tensión y de la corriente. La parte real de la impedancia es la resistencia y su

parte

imaginaria

es

la

reactancia.

Admitancia: En ingeniería eléctrica, la admitancia de un circuito es la facilidad que este ofrece al paso de la corriente. Fue Oliver Heaviside quien comenzó a emplear

este

término

en

diciembre

de

1887.

De acuerdo con su definición, la admitancia [pic] es la inversa de la impedancia

Potencia instantánea:

La potencia instantánea es el valor límite de la l a potencia media cuando el intervalo de tiempo Δt se aproxima a cero.

[pic] Donde: ▪ P es la potencia, ▪ W es el trabajo, ▪ t es el tiempo.

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Conclusión:

Con esto podremos concluir que el cálculo vectorial o ya mejor dicho cualquier tipo de matemática siempre va a ser importante y necesaria para cualquier cosa sabiendo esto podremos decir que las matemáticas tiene diferentes aplicaciones en todos lados industria, hogar, comercios, etc. Así como lo presentamos en este proyecto de fasores existen infinidad de aplicaciones cuales como en la construcción de brazos robóticos ya que estos manejan diferentes puntos de movimiento, giros aciertos grados, fuerzas, etc. Por esto nosotros como prospectos a ingenieros debe ser de suma importancia manejar a la perfección las matemáticas y todas sus ramas de ellas.

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Bibliografia: 1) Fundamentos de circuitos eléctricos Charles K.Alexander; Mathew N.O.Sadiku Tercera edición.

2) Circuitos Eléctricos Dorf Sbovoda Sexta edición.

Wsewolod Warzanskyj Poliscuk. Análisis de Circuitos. Departamento de publicaciones de E.T.S de Telecomunicación de Madrid, Madrid 1995, pág. 6-12.

James W. Nilsson, Susan A. Riedel. Electric Circuits. Prentice-Hall, 1999, pág. 417-422, 458-462.

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